高考数学一轮复习知识梳理：多面体与求内切外接问题（含解析）

多面体与求内切外接问题（八大题型）

方法归纳4

一、外接球问题

若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面体的外接球问

题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置问题，其中球心位置的确定

是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。

如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球

的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论：

结论1：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。

结论2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。

结论3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。

结论4：正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。

结论5：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

二、内切球问题

若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这

个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。并非所有多面体都有内切球,

下面介绍几种常见多面体内切球问题：

1.正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。

2.正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。

题型归纳

目录：

♦题型01：三棱柱

♦题型02：四棱锥

♦题型03：棱台

♦题型04：侧棱垂直于底面

♦题型05：正方体、长方体

♦题型06：其他多面体

♦题型07：三棱锥

♦题型08：折叠问题

♦题型01：三棱柱

1.在一个封闭的直三棱柱48C-44cl内有一个体积为V的球，若AB，BC,AB=6,AC=1O,AA,=5,

则球的体积的最大值为()

12532c“

A.----兀B.—71C.27兀D.36兀

63

【答案】B

【分析】设“3C的内切圆。的半径为『，由等面积法得(/C+ZB+8C)"=6X8,解得r=2.由于阴=5,

所以球的最大半径为2,由此能求出结果.

【解析】由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.

所以球在底面^ABC内的投影的圆面最大不能超出“BC的内切圆.

设圆。与内切，设圆。的半径为

由/313C,AB=6,AC=10,则8C=8

由等面积法得(/C+/3+BC)xr=6x8,得r=2.

由于三棱柱高羽=5,若球的半径夫=2,此时能保证球在三棱柱内部，

所以直三棱柱ABC-44G的内切球半径的最大值为2.

所以球的体积的最大值为：岁/=岁、23=学.

333

故选：B

2.在正三棱柱中，AB=AA1=4,£为线段CG上动点，。为3c边中点，则三棱锥/-8DE外

接球表面积的最小值为.

【答案】4871

【分析】建立边长CE和。到平面距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出。尸最小值，建立

外接球半径尺2=小+4的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值.

【解析】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心。到平面距离为。尸，设OF=h,

有因为△28。为直角三角形，则。尸经过直角三角形斜边中点，即尸为N8中点.

故取的中点设为尸，则由正三角形求解高知CF=2后如图，设CE=x,

设球心O到平面ABD距离为OF,设OF=h

QOE=OA=R,OE2=(OF-CE)2+CF2=(h-x)2+(2A/3)2=OA2=OF2+AF2=h2+22,

2x2x

当且仅当X=2A/2时即CE=2V2取“=”.

222

:.R=h+4>8+4=12).-.1S'=47r7?>48K.

故最小为487r.

故答案为：487r.

A

BiG

【点睛】立体图形平面化，结合函数和基本不等式的知识求解是问题的关键.

3.已知正三棱柱的底面边长为46，高为6,经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角,

如图1,得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球。的球面上，则球。的体积为（）

图1图2

A4下80^5160、

A.0O71BR.------71rC.-------TiDn.-----

333

【答案】D

【分析】根据几何体特征、勾股定理及其外接球体积公式计算即可.

【解析】设M、N分别为正棱柱上下底面的中心，即如V=6,

由几何体的特征易知其外接球球心。在儿W上，如图所示，

根据正三角形的中心性质可知/N=gxJ（49*2⑹*=4,同理。河=2,

设外接球半径为R,MO=h/l]ON=6-h,

22

所以有22+/=R2=4+（6-A）=>A=4,J?=2V5,

则外接球体积d成3=竺还兀.

33

故选：D

【点睛】思路点睛：对于几何体外接球问题，第一步先确定球心位置，可以先通过确定一面的外接圆圆心

去确定，本题几何体比较规则，容易得出球心在上下中心连线上；第二步，由点在球上及球体的特征结合

勾股定理构建方程组解方程求半径即可.

4.如图，在直三棱柱4BC-中，侧棱长为2,AC1BC,/C=3C=1,点。在上底面481cl（包含

边界）上运动，则三棱锥。-4BC外接球半径的取值范围为（）

9353'

C.D.

W'5452

【答案】B

【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可.

【解析】因为“3C为等腰直角三角形，AC=BC=\,

所以的外接圆的圆心为的中点。一

且/Q4

设4月的中点为£,连接。也,

则O]£//44],QEL平面4BC,

设三棱锥D-ABC外接球的球心为O,

/厂、

DE=t0<t<—,

由球的性质可得点。在。也上，设oq=x,[2J

外接球的半径为五,因为0/=00=R,

历7

又04区在，贝片4x41,

28

因为7?2=X2+:，所以兽WF.,

2642

则2«尺工包.；

82

故选：B.

(1)棱长为的正方体的外接球半径为尺=且°;

【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法:

2

(2)长方体的长，宽，高分别为。，b,c,则其外接球的半径为R=

2

(3)直棱柱的高为分，底面多边形的外接圆半径为r，则其外接球半径为R=

♦题型02：四棱锥

5.四棱锥尸-4BCD中，平面平面/BCD,底面4BCD为矩形，PA=PD,AB=2,BC=2。,若

四棱锥尸-/8CD的外接球表面积为20兀，则四棱锥尸-的体积为()

A.4GB.1273C.述或4GD.4拒或12#1

3

【答案】C

【分析】根据面面垂直的性质，结合勾股定理即可求解即可求解四棱锥的高，由体积公式即可求

解.

【解析】取4D的中点E,连接PE,

又因为PN=PD,所以PE_L40,

又因为平面尸4D_L平面/BCD,且交线为4D,PEu平面P4D,

所以PE_L平面/3CZ）.

设48co的中心为O,球心为。，贝l」OO'_L平面/BCD,

于是O，B=；BD=g不2?+（26）=2,OO'HPE.

设四棱锥尸-4BCD的外接球半径为五,其表面积为4位?2=20兀，故尺=石.

过。作OM//OE,则四边形OO£M为矩形，

故O'O=ME,OM=O'E=gAB=1,

在Rt^OO'B和RT^OMP中,

R2=O'O2+O'B2==PM2+OM2,

O'B=2,OM=l,

所以O'O=1,PM=2,ME=OO'=1.

当O在平面4BCD的上方，此时四棱锥的高为尸£=尸诩+儿化=3,

四棱锥P-ABCD的体积|x2x2V3x3=4V3.

当O在平面48。的下方，此时四棱锥的高为PE=P〃-腔=1,

，四棱锥尸-/BCD的体积』x2x2&xl=3^.

33

故选:C.

【点睛】本题关键要注意外心即可能在平面Z8CD上方，也可能在下方，思考问题要周密.

6.已知正四棱锥尸-的侧棱长为加，且二面角尸-N3-C的正切值为2及，则它的外接球表面积

为（）

…40「25

A.12兀B.—兀C.871D.工兀

32

【答案】D

【分析】如图，根据线面垂直的判定定理可得尸。/平面48。，则/尸〃。为二面角P-AB-C的平面角,

设正方形28CD的边长为利用锐角三角函数求出。，即可求出尸。，AO,再设球心为G,则球

心在直线尸。上，设球的半径为R,利用勾股定理求出R,最后再由球的表面积公式计算可得.

【解析】设正方形48。中心为。，取中点打，连接P。、PH、OH,

则PH±AB,OH1AB,PHCOH=H,PH、OHu平面ABCD,得尸O」平面ABCD,

所以Z.PHO为二面角P~AB-C的平面角，即tanZ.PHO=——=23",

设正方形48CD的边长为。（。＞0）,贝1]20=收々，

XAO=^AC=^a2+a2=^a,P4=M,由尸O?+NO?=P/?,

2（67

即（亚—a=10,解得。=2（负值己舍去），

\7

则尸0=2血，AO=4i，设球心为G,则球心在直线尸。上，设球的半径为尺,

则R2=V?+（2后-R『，解得R=手，

人/?V7S

所以外接球的表面积s=4成2=4冲土=—K.

I4）2

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再

由正四棱锥的性质确定球心在尸。上.

♦题型03：棱台

7.已知正四棱台/BCD-44GA,/8=2,半球的球心。在底面44G2的中心，且半球与该棱台的各棱

均相切，则半球的表面积为（）

A.9兀B.18兀C.27兀D.36兀

【答案】c

【分析】分析半球与各棱的切点位置，利用球的切线性质，用R表示出侧棱长，从不同角度表示出棱台的高,

从而建立关于区的方程，然后可得.

【解析】由题意可知，4与CQ1为下底面，

记上底面48CD的中心为,过C作CH垂直于平面48clz垂足为

易知点a在4。上，记半球与BC,0cl再q分别相切于点E,F,G,

由正四棱台和球的对称性可知，E,G为BC,B&的中点，

因为AB=2,所以NC=2&，CE=CF=l,

记半球的半径为尺，则G/=C1G=OG=A,

所以CG=R+i，HC[=OC「OH=&-亚,

分别在AOO|EaCG”中，由勾股定理得。。；=OE2-O.E2=R2-1,

222

CH=CC^-C}H=（7?+1）-（亚-，

因为OOi=CH,所以（尺+1）2_（血尺-6『=&-],

解得R=3或尺=0（舍去）,

所以半球的表面积为」x4成2+无友=3兀改=27%.

2

故选：C

【点睛】关键点睛：本题考查学生的直观想象能力，解题关键在于利用球的切线性质，用R表示出侧棱，然

后根据棱台的高距离方程求出半径即可.

8.在正三棱台ABC-A^C,中，，二面角4-8C-4的正弦值为亭，则ABC-

的外接球体积为（）

A80兀160J?TI„rz「65A/65K

A.——B.——--C.40j5兀D.

336

【答案】B

【分析】记正三棱台上下底面的中心分别为a,a,Be,4G的中点分别为的中点为石，先判断

为二面角4-的平面角，然后求出棱台的高，判断球心位置，利用勾股定理求解可得半径，

然后可得体积.

【解析】记正三棱台上下底面的中心分别为a,c，Be,用&的中点分别为的中点为石，

如图，因为BCCN为等腰梯形，分别为8C,耳G的中点，

所以，由等腰梯形性质可知DDt1BC,

又一BC为正三角形，所以4D7.BC,

所以乙4卬为二面角4-8C-4的平面角，

由正棱台性质可知，。。,平面48C,

因为=2Vs,AB=4-^3，所以4。=3,AD=6,

所以4。1=20n=2,AO2=2O2D=4,O2E=ED=1

易知a，//o/,所以为平行四边形，

所以。02〃口£，所以平面/3C,

由题知sinNDQE=NDQE仁［，］］，

所以cosNDQE="，所以tan/，OE=2,

5

所以002=D'E=DEtanZZ）QE=2,

易知，正三棱台NBC-44G的外接球的球心在射线。。2上，记为。，半径为尺

22

若球心O在线段。。2上，贝！IOO^+O2A=R=4。；+（2-。。2）2,

即00；+16=4+（2-。02）二解得。2。=-2,不符合题意；

AB

若球心。在下底面下方，则OO；+。?/2=R2=40；+（2+。。2『，

即OO；+16=4+（2+OQ『，解得Q0=2,贝lj尺==2石,

所以/8C-44G的外接球体积为g成3=9x（2指）3=”臀.

故选：B

♦题型04：侧棱垂直于底面

9.如图，四棱锥尸-N8C。中，尸/，面48cD,四边形々CD为正方形，PA=4,尸C与平面/BCD所成

角的大小为。，且tan6=迪，则四棱锥尸-4BCZ）的外接球表面积为（）

3

C.34兀D.14兀

【答案】C

【分析】依题意可将四棱锥补成长方体PEFG-4BCD,则四棱锥尸-N3CD的外接球也是长方体

PEFG-ABCD的外接球，由tane=3^可求出NC的长，进而可求尸C,即为外接球的直径，从而可得外

3

接球的表面积.

【解析】如图，因为P/J■面48C。，四边形48CD为正方形,

所以可将四棱锥P-ABCD补成长方体PEFG-ABCD,

则四棱锥尸-48CD的外接球也是长方体PEFG-48co的外接球.

由尸/，面ABCD,所以NPCA就是尸。与平面ABCD所成的角6,

PA4半，所以/C=30，

则tan0=--

ACAC

设四棱锥尸-48CD的外接球的半径为R,

因为长方体尸的对角线尸C的长即为其外接球的直径,

所以尸C=2R=JNC2+尸=J(3/『+42=而,所以R=与，

所以四棱锥尸-4BCD的外接球的表面积为4位2=34兀.

故选：C

10.如图，在四面体48co中，△48。与△BCD均是边长为的等边三角形，二面角/--C的大小

为90。，则四面体/BCD的外接球表面积为.

【答案】20兀

【分析】设a为△BC。的中心，。为四面体4BCD的外接球的球心，过。作然后在Rt^/GO

中，由G/2+GO2=o4求出外接球的半径，再由球的表面积公式计算可得.

【解析】如图所示：设。1为△BCD的中心，。为四面体/BCD的外接球的球心，

贝I］。。］，平面8OC.

因为二面角/--。的大小为90。，即平面48。，平面BCD,

设M为线段2。的中点，外接球的半径为R,

连接NM,CM,CM,

过。作OGL/M于点G,

易知G为/\ABD的中心，则。0]=OG=MOl=MG,

因为腿4=Y-X2G=3,

2

i^MG=OG=—x3=1,GA=2,

3

在RtZ\/G。中，GA2+GO2=OA2,

故产+22=展,则

所以外接球的表面积为S=4成2=20兀，

故答案为：20兀.

♦题型05：正方体、长方体

11.已知正方体-48cA的棱长为4,点£是棱的中点，尸为四边形CDAG内（包括边界）的一

动点，且满足37//平面胡建，与尸的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（）

A.8"兀B.24兀C.18元D.3届

【答案】A

【分析】作出辅助线，得到平面43E〃平面片确定当尸在线段跖V上运动时，满足8///平面84E,

耳尸的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥。,

求出外接球半径，得到外接球体积.

【解析】分别取CQ,CG的中点M,N,连接

故MNUCD、,

因为42/A8C,AXDX=BC,

所以四边形AXDXCB为平行四边形,

所以48/ADC，故MNUA'B,

因为MVu平面42(2平面8］印¥,

所以48//平面片MN,

又点E是棱。。的中点，所以ME=54，BBJ/ME,

故四边形B.BEM为平行四边形，

所以BE//BM,

又用Mu平面印l/N,BE<z平面4MN,

所以8E//平面片

因为48nB£=8,AB,BEu平面A}BE,

所以平面43E//平面片"N,

故当P在线段儿W上运动时，满足用P//平面B4E，

BF的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥CX-BXMN,

其中qM,C\N,C禺两两垂直，且C、M=C、N==4,

故其外接球半径为‘25+42=a,

2

故较小部分的外接球的体积为"I兀V?=8访I.

故选：A

【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和

半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.

12.已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,盒内有一个半径为1的小球,

若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（）

2022

A.36——兀B.32——冗

33

40

C.60—12兀D.60----7i

3

【答案】B

【分析】分别计算小球在8个顶点和12条棱不能到达的空间体积，然后进行相加即可.

【解析】小球在8个顶点不能到达的空间相当于棱长为2的正方体挖去一个半径为1的球，

4

其体积为8--7T,

小球在CD,4耳，GA这4条棱不能到达的空间相当于一个长为3,宽为2,高为2的长方体挖去

一个底面半径为1,高为3的圆柱，

其体积为3x2x2-371=12-3兀,

小球在BC,AD,B、C、,42这4条棱不能到达的空间相当于一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为

1,高为2的圆柱，

其体积为2x2x2-2兀=8-2兀,

小球在陷，BBi,CG，这4条棱不能到达的空间相当于一个长为2,宽为2,高为1的长方体挖去一

个底面半径为1,高为2的圆柱,

其体积为2x2xl-7r=4-K,

422

所以小球不能到达的空间的体积为8—7r+12-37r+8-2兀+4-7i=32----兀,

33

故选：B.

♦题型06：其他多面体

13.如图1,一圆形纸片的圆心为O,半径为46，以。为中心作正六边形/BCD跖，以正六边形的各边

为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆。上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图

形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该

正六棱台的高为指，则其外接球的表面积为（）

35兀

D.

【答案】D

【分析】根据侧面积与底面积的关系求出相应的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球

的表面积.

【解析】如图1,设以NB为底边的等腰三角形的中位线为4g，连接04,分别交44,43于点

则点N分别为AXBX,N3的中点.

设25=2。，则4月=。，3=2ax^P=&，@=4百丁"①.

折叠后形成的正六棱台如图2所示，设上底面44£2用耳的中心为。一连接。河，

贝U0xM=axsin60°=.

连接。1。，则是正六棱台ABCDEF-//。。也低的高，即QO=n.

过点M作MGLON,垂足为G,则底面/8CDE尸，故欣?=«。=#.

在RtAMNG中，MN=yjMG2+NG2=MG1+（ON-QM/=也4；犷②,

由①②得生性二色=也4+3叱,解得"1,

22

所以正六棱台ABCDEF-48CRE百的上、下底面的边长分别为1和2.

由«。=卡，可知正六棱台的外接球球心O2必在线段上，

连接则QRQ4为外接球的半径，设为r.

在RtAQOD和Rt4^q”中，由勾股定理得［,，

可得。6^+0D2=op-+0Q；,

又因为QO=QQ+OQ=&,Q4=l,OD=2,

22

gPOO^+2=（V6-G>G>2）+l,解得0（?2=’，

则r2=OO\+OD2=+2?=?,

所以所求外接球的表面积为4无产=Q罟Sir.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，几何体外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立

体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问

题，关键在于确定外接球的球心的位置.

14.六氟化硫，化学式为SF$,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在

电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作

是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体-尸的棱长为

«,下列说法中正确的个数有（）

①异面直线AE与BF所成的角为45°；

②此八面体的外接球与内切球的体积之比为3TL

③若点P为棱EB上的动点，则AP+CP的最小值为2瓜；

④若点。为四边形/8CD的中心，点。为此八面体表面上动点，且则动点。的轨迹长度为?前.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】对①：借助等角定理，找到与ZE平行，，与3尸相交的线段，计算即可得；对②：借助外接球与内

切球的性质计算即可得；对③：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算.对④，计算

Jr2T00『力的值,并比较它们的大小，即可得出当点。在平面BCE内时，点。在三角形8CE的内切圆上

运动，结合对称性即可验算.

【解析】对①：连接/C,取NC中点O,连接OF,

由题意可得。£、。尸为同一直线，A、E、C、尸四点共面，

又AE=EC=CF=FA,故四边形/EC/为菱形，

故AE/1CF,故异面直线ZE与3户所成的角等于直线CF与B尸所成的角,

即异面直线AE与B尸所成的角等于ZCFB=60。，故①错误;

对②：由四边形48co为正方形，AC2^BC2+AB2=EC2+AE2=2a7,

故四边形/ECF亦为正方形，即点O到各顶点距离相等，

即此八面体的外接球球心为。，半径为火=H=a,

22

设此八面体的内切球半径为「，

VSXr2V

则有E-ABCD-F=^H=E-ABCD=2X|Xfl2X^-=1X.化简得T

则此八面体的外接球与内切球的体积之比为=3百,故②正确;

------CL

【6J

对③：将△NE3延仍折叠至平面砂C中，如图所示:

EC

则在新的平面中，A、0、C三点共线时，4P+CP有最小值,

贝U（4P+C尸）.=Y-ax2=JJa,故③错误.

\/min2

对于④，设三角形3CE的内切圆半径为外，则由等面积法，有工.34%=工力.也,

2123

解得4=^-a，

16

由②可知，点O到平面8CE的距离为『=近°,

6

这表明当点。在平面BCE内时，点。在三角形8CE的内切圆上运动,

它的周长是2叫，

根据对称性可知动点。的轨迹长度为8x2^=8x2nx息=速。兀，故④正确.

163

正确的编号有②④.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于得出当点。在平面8CE内时，点。在三角形BCE的内切圆上

运动，根据对称性即可顺利得解.

♦题型07：三棱锥

15.若三棱锥S-4BC的所有顶点都在半径为2的球。的球面上，S3为球。的直径，且/C=2后，则该三

棱锥的最大体积为（）

4816

A.-B.-C.3D.—

333

【答案】B

【分析】由勾股定理逆定理得到。4,OC,故S.,℃=；ONQC=2,要想该三棱锥的体积最大，则S3,平

面/。C,从而求出最大体积.

【解析】S3的中点为。，连接。4。。，则。4=O5=OC=OS=2,

因为女=2挺，^OA2+OC2=AC2,

要想该三棱锥的体积最大，则S3,平面/OC,

11O

故最大体积V=22oe-SB=-X2x4=-

3A33

故选：B

16.在正三棱锥4-3CD中，M、N分别为8c的中点，尸为棱上的一点，且尸C=2尸D,MNVMP,

若指，则此正三棱锥Z-3CD的外接球的表面积为（）

A.371B.6兀C.8JiD.9兀

【答案】D

【分析】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明ABLAD,ACLAD,将三棱

锥力-BCD补成以"、/nNC为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥/-8c。的外接球，求出外接球

的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解.

【解析】如图，取CD的中点0,连接/。、BQ,则〃/3,

由^ABVMP,

因为三棱锥/-BCD为正三棱锥，所以/C=Na8C=8。，

而。是CD的中点，所以CD,2。LCD,

又/Qc3Q=。,/。、5Qu平面43。，所以CD_L平面480,

由/Bu平面ABQ,得4BJ.CD,又ABLMP,

MPcCD=P,MP、CDu平面/CD,所以48J.平面/CD,

由NC、4Du平面/CD,所以4B//C,ABLAD,

根据正三棱锥的特点可得NC,ND,

故可将三棱锥/-BCD补成以"、"为棱的正方体，如图,

所以正方体的外接球即为三棱锥/-BCD的外接球.

由而得AB=拒,可得正方体的棱长为百，所以（2及）2=（指，

QcQ

即&=J,所以正三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S=4成2=4取7=9兀.

故选：D

17.已知三棱锥尸-48C的底面是直角三角形，P/工平面48C,PA=AB=AC=2,则（

A.三棱锥P-A3C外接球的表面积为12兀

B.三棱锥尸-4BC外接球的表面积为48兀

C.三棱锥P-/8C内切球的半径为三四

3

D.三棱锥P-/8C内切球的半径为H

9

【答案】AC

【分析】根据三棱锥特征构造长方体求出外接球半径，求得表面积，再由等体积法求出内切球半径.

【解析】由题意可知ACjAP两两垂直,

则三棱锥尸一45。外接球的半径R满足（2R『=+AC2+AP2=12,

从而三棱锥P-外接球的表面积为4成2=12K,

故A正确，B错误.

114

由题意可得三棱锥尸一的体积7=-x-x2x2x2=-

323f

三棱锥尸一/BC的表面积S=gx2x2x3+/x（2亚『=6+26.

设三棱锥尸-N8C内切球的半径为『，

因为展;济，

T,V43—、万

所以「=匕=4厂则C正确，D错误.

S6+2V33

故选：AC

18.如图，在正三棱锥尸-48C中，PB=gc=24i>,分别是棱的中点，M是棱尸C上的任

意一点，则下列结论中正确的是（）

B.异面直线。E与所成角的余弦值为g

C./M+MB的最小值为疝

D.三棱锥尸-43C内切球的半径是包里D

【答案】ACD

【分析】对于A,易知/CJBD,AC1PD,可证NC_L平面尸BD,再由线面垂直的性质定理即可得证；对

于B,取3c中点尸，连接DF,EF,由DFI/AB,知NED尸即为异面直线DE和48所成角，由尸C_L4B,

可推出所,。尸，再由三角函数的知识即可求解；对于C,将平面R4C和平面PBC平铺展开，形成四边形

PACB,连接AB,交PC于点、M,此时=是最小值，再结合二倍角公式与余弦定理即可求解;

对于D,设内切球的球心为O,点尸在平面/BC内的投影为O-。1为。8C的重心，球。与平面R4C相切

于点G,设三棱锥尸-/3C内切球的半径为广，由APOG相似于APDO],即可求解.

【解析】对于A,如图1所示，连接3D,PD,

由正三棱锥的性质可知PA=PC=246,AB=BC=AC=2y[3,

因为。为/C中点，

所以NC/BZ）,AC1PD,

又因为8。口尸刀=。，BD,PDu平面PBD,

所以NC_L平面尸3。，

又因为尸8u平面PBO

所以故A正确；

对于B,如图①，取BC中点尸，连接。尸，EF,

因为。、厂分别为/C,BC的中点，

所以DF//AB,DF=5

所以NEDF即为异面直线DE和N3所成角或其补角，

因为£、尸分别为尸8,BC的中点，

所以£尸=布，

由选项A知，PB1AC,同理可得尸C_L/3,

所以£尸_1_。尸，

所以。£2=斯2+。尸2=6+3=%

所以。E=3,

所以cosZ.EDF=,

DE3

即异面直线。£和43所成角的余弦值为"，故B错误；

3

对于C,将平面上4c和平面P3C平铺展开，形成四边形R4c8,

如图②所示，连接N8,交尸C于点此时=是最小值，

连接尸尸，贝ijcos/尸＜/=空=£=正，

PC2764

3

所以cosNACB=2cos2ZPCF-1=一一,

4

在“BC中，由余弦定理知，

AS2^AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=12+12-2xl2x(-^42,

所以43=必，

即+的最小值是石^,故C正确；

对于D,如图③所示，设内切球的球心为O,点P在平面48c内的投影为。-。1为AA8C的重心,

球。与平面网C相切于点G,则G在PD上，且OGLPO,

在APAD中，PD=ylPA2-AD2=-24-3=而，

在“BC中，BD=NAB。-AD?=J12-3=3,

因为q为“BC的重心，所以。q=ggo=i,

在！尸0Q中，尸Q1=JpzP-DO；=J21-1=2退,

设三棱锥尸-/8C内切球的半径为「，

OGPO

由△尸0G相似于APDQ,得丽=而，

即2=坐二，解得「='（而T）,故D正确；

1V21

故选：ACD.

图①

【点睛】关键点点睛：本题考查了异面直线所成角、最短距离及内切球，解题关键是作出异面直线所成角、

平面展开求最值以及通过相似三角形求内切球的半径.

19.如图，正三棱锥尸-4BC的侧面和底面43C所成角为&,正三棱锥。-/8C的侧面和底面4BC所成角

为£,48=2百，尸和。位于平面/3C的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则

NPBQ=，tan(a+£)的最大值为.

【分析】由几何体结构特征可知PQ为外接球直径即得/网。=90。；先没PN=%,QN=%,外接球半径为R,

则由尸=PB-+BQ2以及已知条件可求得岫2=4,再根据几何体结构特征得

tana="=4，tan£=0=h2,再结合两角和正切公式以及基本不等式即可求解.

MNMN

【解析】由几何体结构特征可知尸。为外接球直径，所以/尸=90。；

连接P。，交平面4BC于点N,取48中点连接CW,

由正棱锥性质知NeCM,MC7V==^BC2-BM2=|^（2A/3）2-（V3）2=2,

则8N=2、CM=3,MN=l,设尸N=%,"=%,外接球半径为R,

贝1JP&2=3管+尸解=1+斤，BQ2=BN2+NQ2=l+h^

所以由尸°?=依2+302得（4+为『=i+〃；+i+后，4也=4,

rPN,cQN

tana-----/z,,tan//-----="2，

,MNMN

tana+tan0h[+h4+〃2

故tan(«+夕)=2

1-tanatan/31—4-3

而4+为22新屋=4,当且仅当％=,2=2时取等,

4

故tan(a+/?)max=-『

4

故答案为：90°;--.

【点睛】关键点点睛：求解tan（a+p）max的关键是由2。2=.2+502以及已知数据求出力甸=4.

♦题型08：折叠问题

20.在“5C中，AB=AC=2,ZBAC=120°f过点A作⑷/_L5C,垂足为点将沿直线翻折,

使点5与点。间的距离为3,此时四面体的四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为（）

A5A/10TID1八C13A/13TI「12

A.----B.10KC.-----D.13兀

36

【答案】D

【分析】如图，根据余弦定理求出3C,根据正弦定理求出△8CD的外接圆半径，结合球的性质和勾股定理

求出球的半径，利用球的表面积公式计算即可.

【解析】如图，

将沿直线NW翻折，得到满足题意的几何体为三棱锥/-3cM,

因为AB=AC=2,ZBAC=120。,过点A作4M_LBC,贝l]

ZBAM=60°,ZABM=30°,-=—,:^-=-,BM=yl3,AM=l,

AB2AB2

在ABCA/中，BM=C,CM=他,BC=3,

由余弦定理，得cos/BMC=BM+CM-BC=J_,所以，/BMC=120°

2BM-CM2

设ABCM的外接圆圆心为。，半径为r,则。3=。。=九0=厂，

由正弦定理，得二组n=2r,解得厂=若，即〃。=6，

sinl20

易知⑷/人平面BCM,又是球。的弦，OA=OM,AM=1,

所以=

得球的半径为OM=旧＞+(扬2=平，

13

所以球的表面积为S=4n-O“2=4TTX—=13K.

4

故选：D.

21.如图1,在矩形/BCD中，4B=1,BC=2,“是边3c上的一点，将“8/沿着蜀