高考数学专项复习练习卷：概率统计（原卷版和解析版）

概率统计

1.（新课标全国n卷）某农业研究部门在面积相等的loo块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产

量（均在［900,1200）之间，单位：kg）并部分整理下表

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

2.（新高考天津卷）下列图中，相关性系数最大的是（）

3.（全国甲卷数学（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A-4B-3C-TD-i

4.（新高考上海卷）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

5.（新课标全国I卷）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到

推动出口后亩收入的样本均值于=2.1,样本方差$2=0,01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布

N（L8,0.12）,假设推动出口后的亩收入F服从正态分布NG，S?）,则（）（若随机变量Z服从正态分布

N（u,a2^,P（Z<"+（T）利0.8413）

A.P{X>2）>0.2B.尸（X>2）<0.5

c.P（r>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

6.（新课标全国I卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,

5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的

卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃

置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率

为.

7.（全国甲卷数学（理））有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,

每次取1个球.记机为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则加与〃差的

绝对值不超过g的概率是.

8.（新高考天津卷）48,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A的概率为；

已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为.

9.（新高考上海卷）某校举办科学竞技比赛，有4B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000

道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92,3题库的正确率是0.86,C题

库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

10.（新课标全国n卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一

阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次,

则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为

第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为0,乙每次投中的概率为

各次投中与否相互独立.

（1）若P=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

（2）假设o<P<g,

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

11.（全国甲卷数学（理））某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的

产品中随机抽取150件进行检验，数据如下:

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

（1）填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异?

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,设万为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果

万＞p+1.65j约二则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生

产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（晌R2.247）

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

12.（新高考北京卷）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元

赔偿次数01234

单数800100603010

在总体中抽样100单，以频率估计概率：

（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率;

（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望；

（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的

数学期望.

13.（新高考上海卷）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取

580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

(附：---7T7~7T7----n=a+b+c+dP(/>3.841)^0.05.)

^a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

一、单选题

I.（2024・山东•模拟预测）一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,加，12,14,21,若该组数据的中位

3

数是极差的］，则该组数据的第45百分位数是（）

A.4B.6C.8D.12

2.（2024•福建泉州•二模）己知线性回归方程，=最+0.6相应于点（2,5.5）的残差为-0」，贝上的值为（）

A.-2.4B.-2.5C.2.4D.2.5

3.（2024•陕西•三模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3

小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选

错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确

选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.已知在某次新结构数学试题的考试中，

小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选

项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（）

A.9B.10C.11D.12

4.（2024・四川成都・三模）如图，由观测数据（孙乂）（，=123,4,5,6）的散点图可知，V与x的关系可

以用模型y=b\nx+a拟合，设z=lnx,利用最小二乘法求得/关于z的回归方程y=bz+l.已知

Z=1人

占入2%3%4%5%6=©I?,X%=18,贝I5=（）

6

%

*

*

*

,•

O：x

1712

A.—rrB.—rrC.1

ee

5.（2024・天津•二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了

“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图

所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（）分

频率

A.84B.85C.86D.87

6.（2024・四川绵阳•模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每

天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了

下列结论，其中正确的是（）

A.估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天

B.估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3

C.估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时

D.估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时

7.（2024・上海•三模）下列命题错误的是（）

A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B.设…（“）,若矶!）=30,。⑷=20,则”=90

C.线性回归直线y=%+a一定经过样本点的中心（x,y）

D.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球

作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且E（X）=8

Y=bx+a+e,,

8.（2024•湖北荆州•三模）根据变量¥和尤的成对样本数据，由一元线性回归模型E（e）=0,D（e）=cr2侍到

经验回归模型，=%+&,求得如图所示的残差图.模型误差（）

A.满足一元线性回归模型的所有假设

B.不满足一元线性回归模型的E（e）=0的假设

C.不满足一元线性回归模型的D（e）=〃假设

D.不满足一元线性回归模型的E（e）=0和。⑻=M的假设

9.（2024•黑龙江•二模）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得/=2.826,依据a=0.05的独立性

检验，结论为（）参考值：

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

A.x与y不独立

B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C.x与y独立

D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

10.（2024・四川绵阳•模拟预测）袋子中有9个除颜色外完全相同的小球，其中5个红球，4个黄球.若从袋

子中任取3个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为2红1黄的概率为（）

II.（2024•河南•三模）已知

X<〃+cr）=0.6827,P（〃-2cr4X<〃+2cr）=0.9545,P（〃一3cr4X<〃+3cr）=0.9973.某体育器材

厂生产一批篮球，单个篮球的质量y（单位：克）服从正态分布N（600,4）,从这一批篮球中随机抽检300

个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（）

A.286B.293C.252D.246

12.（2024•河北衡水•三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别

213

为且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概

率为（）

1210

A.—B.-C.—D.—

331313

13.（2024•湖南长沙•三模）已知随机变量X服从正态分布N出叫,且P{X<2-上）=P（X>2+Q=0.3,左>0,

贝!]P（2<X<2+左）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

二、多选题

14.（2024・河北・三模）根据中国报告大厅对2023年3月〜10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发

电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：

月份3456

发电量/亿千瓦时242.94230.87240.59259.33

月份78910

发电量/亿千瓦时258.9269.19246.06244.31

关于2023年3月〜10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（）

A.中位数是259.115B.极差是38.32

C.第85百分位数是259.33D.第25百分位数是240.59

15.（2024•江西南昌•二模）为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽

取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格:

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性15520

女性81220

合计231740

甲校样本

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性7030100

女性4555100

合计11585200

乙校样本

n(ad-bcf

（参考公式及数据：,2=n-a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

则下列判断中正确的是（）

A.样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例

B.样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例

C.根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关

D.根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关

16.（2024•湖南长沙•三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组

成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，

乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为；二,—,=，贝U（）

3256

13

A.乙组同学恰好命中2次的概率为养

B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率

C.甲组同学命中次数的方差为:

D.乙组同学命中次数的数学期望为不

17.（2024•全国•二模）甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有

3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙

袋中随机获出一个小球，记4表示事件“从甲袋摸出的是红球“，4表示事件“从甲袋摸出的是绿球“，记用表

示事件“从乙袋摸出的是红球”，鸟表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（）

A.4，4是对立事件B.4，坊是独立事件

37

C.P（5|A）=-D.尸（鸟⑷+P同4）=6

214o

18.（2024・河南•二模）现有编号分别为4«=1,2,3）的三个盒子，其中4盒中共20个小球，其中红球6个,

4盒中共20个小球，其中红球5个，4盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记

事件A：“该球为红球”，事件耳：“该球出自编号为4（，=1，2,3）的盒中“，则下列说法正确的是（）

A.尸（，闺）=口

9

B.P（A\=—

V735

C.P（瓦]

D.若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自4盒的概率最小

19.（2024•山东日照•二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A,“乙正面向上“

为事件3,“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C,则下列判断正确的是（）

21

A.A与8相互独立B.A与B互斥C.P（S|C）=-D.P（C）=-

20.（2024•福建三明•三模）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中

任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（）

3

A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为《

B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为5

C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为孟

1Q

D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为行

三、填空题

21.（2024・上海・三模）已知人工厂库房中的某种零件60%来自甲公司，正品率为90%；40%来自乙公司，

正品率为95%,从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为

22.（2024•安徽安庆・三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,

4.现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上

所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

23.（2024•天津•模拟预测）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸

出1个球，摸出的球不再放回.设第1,2,3次都摸到红球的概率为耳；在第1,2次都摸到红球的条件下，

第3次摸到红球的概率为6.求耳+6=.

24.（2024・福建厦门•模拟预测）在"维空间中（力22,〃eN）,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标

可表示为n维坐标（%,%…吗），其中卬©{0,1}（1V，V%，eN）.贝l]5维“立方体”的顶点个数是；定义:

在〃维空间中两点与（4也,…也）的曼哈顿距离为何-阴+|。2-仇|+…+.在5维“立方体”

的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则E（x）=.

25.（2024・广东广州•模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点。出发，每隔1s等可能

地向左或向右移动一个单位，共移动5次.该质点在有且仅有一次经过-1位置的条件下，共经过两次1位置

的概率为.

-6-5-4-3-2-10123456

26.（2024・广东广州•三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选

择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个

箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以

便增加中奖概率.现在已知甲选择了1号箱，用4表示i号箱有奖品。=1,2,3,4）,用瓦表示主持人打开i号

箱子（/=2,3,4）,贝,若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为.

四、解答题

27.（2024•福建泉州•二模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随

机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：主持人请

抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，

在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲选

择之外的一个空箱子，记为X号箱.

（1）求X=1的概率；

⑵求X的方差；

⑶若X=l,现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？

28.（2024•陕西•三模）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023年火爆“出圈”

后，“村超”热度不减.2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，

一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组

织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调

查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价.设事件/="游客对“村超”满意“，事件8="游客年龄不超过

35周岁”，据统计，尸（削8）=:尸3/）=；.

（1）根据已知条件，填写下列2x2列联表并说明理由；

年龄满意不满意合计

年龄不超过35周岁

年龄超过35周岁

合计

（2）由（1）中2x2列联表数据，分析是否有99%的把握认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联？附:

,n(ad-be}

K-=-------------—~'――--------fi=a+b+c+d

^a+b)[c+d)(a+c)(b+d)

参考数据：

P(K0.100.050.0250.0100.0050.001

上02.7063.8415.0246.6357.87910.828

29.（2024•浙江杭州•二模）杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点

推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况:

日期，12345678910

销售量了（万张）1.931.951.971.982.012.022.022.052.070.5

1101010

经计算可得：歹=京2>:"85,2>，=96，»；=385.

1UZ=1Z=1Z=1

（1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据,

求V关于f的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；

⑵该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），X的

分布列如下：

X234

£j_

P

36

今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率.

附：对于一组数据（%,匕）,（％%），…，（〃"，％），其回归线£=4+应，的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

n

Z"，匕-nuv

8T------------,a=v-/3u

i=l

30.（2024・湖南长沙•三模）如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔1s向左或向右移

动一个单位，向右移动的概率为共移动4s,设随机变量X为移动4s后质点的坐标.

-6-5-4-3-2-'16123456*

（1）求移动4s后质点的坐标为正数的概率；

（2）求随机变量X的分布列及数学期望.

31.（2024・北京•三模）某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有48两个指标.从两条产品

线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表：

甲生产线

12345678910

产品序号

A指标0.980.961.071.021.000.930.920.961.111.02

B指标2.011.971.962.032.031.981.951.992.072.02

乙生产线

12345678

产品序号

A指标1.020.970.950.941.130.980.971.01

B指标2.012.032.151.932.012.022.192.04

假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立.

(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其A指标大于1且B指标大于2的概率；

(2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示B指标大于2的产品数，估计X的数学期望；

(3)已知产品45指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生

产线产品更好的概率估计值最大？(结论不要求证明)

32.(2024・湖南衡阳•三模)现有48两个不透明盒子，都装有m个红球和m个白球，这些球的大小、形

状、质地完全相同.

(1)若刃=3,甲、乙、丙依次从/盒中不放回的摸出一球，设X表示三人摸出的白球个数之和，求X的分

布列与数学期望；

(2)若加=1,从/、3两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，〃(〃eN*)次这样的操作后，记/

盒子中红球的个数为X“，求：

⑴凡=1的概率；

(ii)X”的分布列.

33.(2024•广东广州•三模)甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，■■■,第25格，棋子开始在第

1格.盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同).每次甲在盒中

随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2

格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束.记棋子跳到第〃格的概率为乙(〃=1,2,3,…,25).

(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望；

(2)求｛々｝的通项公式.

34.(2024•河北衡水•模拟预测)已知甲口袋有加(加1,%eN*)个红球和2个白球，乙口袋有21,”eN*)

个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连

续摸球2次，每次摸出一个球.

⑴当加=4,”=2时,

(i)求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；

(ii)设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X,求X的数学期望；

(2)当机="时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P,则当相为何值时，P最大？

35.(2024・湖南长沙•三模)开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的

重要举措是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生

课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，对学生进行简单随

机抽样，获得数据如表：

男女

支持方案一2416

支持方案二2535

假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.

(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布

列与数学期望；

(2)在(1)中Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差。(X)与。(丫)的大小.

概率统计

1.（新课标全国n卷）某农业研究部门在面积相等的loo块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产

量（均在［900,1200）之间，单位：kg）并部分整理下表

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计

算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为10个0-3卢4=66%,故B错误；

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确；

对于D,由频数分布表可得，亩产量在［1050,1100）的频数为100-（6+12+18+24+10）=30,

所以平均值为$0x（6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175）=1067,故D错误.

故选；C.

2.（新高考天津卷）下列图中，相关性系数最大的是（）

y/

c.D.

->

OxOx

【答案】A

【分析】由点的分布特征可直接判断

【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较

好，呈现明显的正相关，卜|值相比于其他3图更接近1.

故选：A

3.（全国甲卷数学（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

112

A.—B.—C.-D.,

4323

【答案】B

【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；

基本事件总数显然是A：=24,

O1

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为三=9

243

故选：B

4.（新高考上海卷）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

【答案】C

【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.

【详解】对于AB,当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.

对于CD,因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，

故C正确，D错误.

故选：C.

5.（新课标全国I卷）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到

推动出口后亩收入的样本均值丁=2.1,样本方差$2=o,oi,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布

N（L8,012）,假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（只s）,则（）（若随机变量Z服从正态分布

N（U,CT~^,P（Z<U+<J）~0.8413）

A.P{X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（Y>2）>0,5D.尸（J>2）<0.8

【答案】BC

【分析】根据正态分布的3b原则以及正态分布的对称性即可解出.

【详解】依题可知，X=2.1,52=0.01,所以y~N（2.1,0.1）,

^P（Y>2）=P（y>2.1-0.1）=<2.1+0.1）«0.8413>0.5,C正确，D错误；

因为X~N（1.8,0.1）,所以尸（X>2）=尸（X>1.8+2x0.1）,

因为尸（X<1.8+0.1卜0.8413,所以尸（X>1.8+0.1卜l-0.8413=0.1587<0.2,

而尸（X>2）=/（X>L8+2xO.l）<HX》1.8+0j<。2,B正确，A错误,

故选：BC.

6.（新课标全国I卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,

5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的

卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃

置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率

为.

【答案】1/0.5

【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.

【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为乂,X2，工，工，四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在

该轮获胜的概率/（玛=1）=捷=|,所以E（七）=|（左=1,2,3,4）.

44oo

从而成用=£(3+占+》3+工)=£典到)=£3=亍

k=lk=\3Z

记4=尸(X=硕左=0,1,2,3).

如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以0。=±==；

如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以。3=±==.

3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故20+P1+P2+A=1，Pi+2P2+323=£(幻二万.

所以01+22+3=1，01+222+：=!"，两式相减即得22+,故02+)3二.

12o22422

所以甲的总得分不小于2的概率为P2+P3=g.

故答案为：y.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从

而避免繁琐的列举.

7.(全国甲卷数学(理))有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,

每次取1个球.记机为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则加与〃差的

绝对值不超过g的概率是.

【答案】看7

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为6,第三个球的号码为。，则

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A；=120种，

设前两个球的号码为6,第三个球的号码为。，则”|上一审wg,

故12c-(〃+b)区3,故-3W2c-(a+6)W3,

故〃+6-3«2。<。+6+3,

若c=l,则a+b«5,则为:(2,3),(3,2),故有2种，

若c=2,m<a+b<l,则(。同为:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种，

当c=3,贝IJ3(Q+6«9,贝()(〃/)为:

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种,

当c=4,则5Va+bVll,同理有16种,

当c=5,则74。+6413,同理有10种，

当c=6,贝!!9Va+bW15,同理有2种，

共加与〃的差的绝对值不超过g时不同的抽取方法总数为2（2+10+16）=56,

故所求概率为需=5.

7

故答案为：—

8.（新高考天津卷）48,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A的概率为:

已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为.

【答案】--

【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选

了A活动，他再选择5活动的概率.

【详解】解法一：列举法

从五个活动中选三个的情况有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE10种情况，

其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

则甲选到A得概率为：尸=持=:；

乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再选则3有3种可能性：ABC,ABD,ABE,

31

故乙选了A活动，他再选择3活动的概率为：=二.

62

解法二：

设甲、乙选到A为事件乙选到B为事件N,

C23

则甲选到A的概率为尸（河）=清=子

q

乙选了A活动，他再选择B活动的概率为尸（MM）=,篇）

ct

山林心生3i

故答案为：-；y

52

9.（新高考上海卷）某校举办科学竞技比赛，有4B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000

道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题

库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

【答案】0.85

【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.

【详解】由题意知,48,C题库的比例为：5:4:3,

各占比分别为25=4白3，

121212

543

则根据全概率公式知所求正确率P=五*0.92+—x0