高考数学一轮复习专项训练：导数与函数的单调性（原卷版+解析版）

导数与函数的单调性（九大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01利用导数求函数的单调区间（不含参）

♦题型02用导数判断或证明函数的单调性

♦题型03含参分类讨论函数的单调区间

♦题型04由函数的在区间上的单调性求参数

♦题型05函数与导数图像之间的关系

♦题型06利用导数比较大小（含构造函数）

♦题型07利用导数解不等式

♦题型08抽象函数与导数

♦题型09用导数解决实际问题

♦题型01利用导数求函数的单调区间（不含参）

1.（2024高三•全国•专题练习）求下列函数的单调区间.

（1）/（x）=x2-Inx；

（2）;'（尤）=三；

x-2

⑶/（x）=-x3+3x2.

2.（2024高三・全国•专题练习）函数/（x）=V-Inx单调递减区间是（）

3.(2023•全国•模拟预测)已知函数〃x)=ln(x-2)+ln(4-x),则〃x)的单调递增区间为()

A.(2,3)B.(3,4)C.(-%3)D.(3,。)

♦题型02用导数判断或证明函数的单调性

4.(23-24高三下•河南郑州•阶段练习)已知函数/(x)=5+ax-(G+l)lnx在x=l处的切线方程为

y=bx+^(a,beR).

(1)求。，b的值；

(2)证明：〃x)在(l,+8)上单调递增.

5.(23-24高二上•江苏盐城•期末)已知函数/(x)=e*+cosx,xN0.

⑴求曲线V=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

⑵求证：“X)在［0,+oo)上单调递增.

6.(23-24高二下•河北石家庄•阶段练习)已知函数/(》)=1+2/<0亦-00$工.

(1)求/(x)的解析式；

(2)判断〃x)在(-甩0］上的单调性.

♦题型03含参分类讨论函数的单调区间

7.(23-24高三上,湖北•期中)已知函数/(x)=gx、+■I'/+(a-l)x+1.

(1)若曲线V=/(无)在点(2,”2))处的切线与直线6+〉+1=0平行，求出这条切线的方程；

⑵讨论函数“X)的单调性.

8.(23-24高二下•山东潍坊•期中)已知函数f(x)=x-alnx(a€R).

⑴当a=2时，求曲线”X)在点(1J。))处的切线方程；

(2)讨论函数〃x)的单调性.

9.(23-24高三上•内蒙古赤峰•期中)已知函数/'(x)=e*ln(x+e).

(1)求曲线了=/(无)在点(0J⑼)处的切线方程；

(2)设g(x)=/(x),讨论函数g(x)在［0,+8)上的单调性.

♦题型04由函数的在区间上的单调性求参数

10.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）若函数/（X）=x3+6x2+cx+d的单调递减区间为（-2,4）,则

b+c=()

A.-27B.-16C.16D.27

IL（23-24高三上.广东汕头•期中）设ae（O,l）,若函数〃尤）=优+（1+”>在（0,+s）递增,则。的取值范围

D.

12.（2023•贵州遵义•模拟预测）若函数=在区间（1,3）上单调递增，贝的可能取值为（）

A.2B.3C.4D.5

13.（2023高三・全国•专题练习）若函数/（%）=尔—3/+%+1恰有三个单调区间，则实数〃的取值范围为

（）

A.［3,+8）B.（—8,3）C.（―co,0）u（0,3）D.（―巩0）

14.（2023•广西玉林•二模）若函数/（X）=（办+1）3在［L2］上为增函数，则。的取值范围是（）

A.一上+0°1

B.

c•-卜8D.[0,+功

♦题型05函数与导数图像之间的关系

15.（2024•重庆•模拟预测）已知函数/（幻=/（%>0）,。为实数，/⑴的导函数为/（x）,在同一直角坐标

16.（23-24高二下•安徽合肥•期中）已知函数了=#'（尤）的大致图象如图所示（其中/'（X）是函数/（X）的导

函数），则y=/（x）的图象可能是（)

17.（2013•广东广州•一模）已知函数＞==/'（x）的图像可能是（）

♦题型06利用导数比较大小（含构造函数）

3

18.（23-24高二下•安徽•阶段练习）已知"4tan[4=7,7c=12,则（）

O

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

19.（2024•山东泰安•模拟预测）已知定义域为R的偶函数在（-。⑼上单调递减，则下列结论正确的是

()

20.（2024•河北沧州.模拟预测）已知/'（x）=3f2-2cosx,设°=2-。J,b=^-,。=唾，，则/⑷，f®,

1（c）的大小关系为（）

A./(c)>/(tz)>/(Z?)B./(Z))>/(a)>/(c)

C./3)>/(c)>/(“)D./(C)>/(/))>/(G)

21.(23-24高二下•四川成都•期中)已知0〈占〈％〈1，则下列选项正确的是()

XiXlX2

A.>x2eB.x{e>x2e

C.Inx2>x2InxxD.x{Inx1<x2Inx2

x—x1

22.(2024•安徽•三模)已知实数国,％生满足;^=e2-1=则()

2-x1Jl+x3+120

A.Xj<x2<x3B.<x3<x2

C.x2<x3<x1D.x2<x{<x3

23.（2024・山西•三模）已知函数/（》）=1。8;卜2-2》+3）-归一1|,若°=/（log23）,6=4sin=/屋

则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

♦题型07利用导数解不等式

24.(23-24高二下•四川成都•期中)已知函数/(x)=ln(l+x2)+e,则不等式〃2尤+1)</(尤-1)的解集

为()

A.(-oo,0)u(l,+oo)B.(-oo,-2)

C.(-oo,-2)u(0,+co)D.(-2,0)

25.(2024・湖南永州•三模)已知函数/(x)=e「er+sinx-x+2,其中e是自然对数的底数.若

7'[log』1+/(3)>4,则实数，的取值范围是()

A.C.(0,8)D.(8,+co)

26.(23-24高二下•天津•期中)天知定义在R上的奇函数〃x)满足，/(-2)=0,当x>0时，#，(x)-/(x)<0,

贝的解集为()

A.(-00,-2)U(0,2)B.(一8,-2)。(2,+8)

C.(-2,0)0(0,2)D.(―2,0)U(2,+8)

27.(23-24高二下•河南•期中)已知定义在(。,+纥)上的单调递增函数〃x)满足，>x恒成立，其中/'(x)

是函数的导函数.若2/(%-2022)<(〃?-2022)/0),则实数加的取值范围为()

A.(0,2022)B.(2022,2024)C.(2022,+»)D.(2024,+oo)

♦题型08抽象函数与导数

28.(2024•陕西西安•模拟预测)定义在R上的函数〃尤)的导函数为f(x),且有

/(-3)=-12,/(-x)+/(r)=0,且对任意xeR都有/'(无)>3,则使得-3e*-3N0成立的x的取值范

围是.

29.(2023高三・全国・专题练习)已知函数/(x)及其导函数/'(X)的定义域均为R,满足/'(%)=/'(4-x),

/■(2)=0,/(1)=-1,当x>2时，(x-2)r(x)+2/(x)>0,则不等式(x-2『N1的解集为.

♦题型09用导数解决实际问题

30.（23-24高三下•上海松江•阶段练习）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗

形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R,若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为

31.（23-24高三上•上海嘉定,期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污

染源距离的平方成反比，比例常数为左化>0）.现已知相距18km的A,8两家化工厂（污染源）的污染强度

分别为。，b,它们连线段上任意一点C处的污染指数V等于两化工厂对该处的污染指数之和.设

NC=x（km）（O<x<18）.若0=1,且x=6时，V取得最小值，则6的值为.

32.（2024・上海徐汇•二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道34相交于点。，一根长度为8的直杆的

两端点42分别在4,4上滑动（43两点不与。点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上

的点尸满足OP，AB,则AOAP面积的取值范围是.

02模拟精练

一、单选题

1.（2024辽宁沈阳三模）已知函数〃力=以+：/一"+1,则"0<2"是"〃目在（0,+e）上单调递增"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024・湖北武汉•模拟预测）函数=+（）

A.是偶函数，且在区间（0,+司上单调递增B,是偶函数，且在区间（0,+8）上单调递源

C.是奇函数，且在区间（o,+e）上单调递增D.既不是奇函数，也不是偶函数

3.（2024•天津红桥•二模）函数/（无）=（--2x）e'的图象大致是（）

4.（2024•山东潍坊•三模）已知函数”X）的导函数为了'（X）,且/⑴=e,当x>0时，/（x）<J+e1则不

等式/3一血>1的解集为（）

e

A.（0,1）B.（0,+e）C.（l,+8）D.（O,l）u（l,+（x））

5.（2024•江西宜春•三模）已知。=在，方=墨，c=（，其中e=2.71828…为自然对数的底数，则（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

6.（2024・山东济南•一模）若不等式lnx43+64e%a,6eR）对任意的xe1,|恒成立，则。的最小值为（）

35-

2

A._3e2B.--e

333

C.-In-D.3e-31n-

222

7.（2024・重庆•二模）设函数/（x）=ln（x—2）,点,/（芯））,川%2J（%）），其中2<再<12,且,+'=；，

则直线斜率的取值范围是（）

f（x）

8.(2023,四川达州■一模)已知/(x)=aln(x-l)-J?+4x?,g(x)=xex-lux-x-,若不等式—>0的解

集中只含有2个正整数，则。的取值范围为（）

二、多选题

9.（2024•山东•模拟预测）已知/（尤）,g（x）分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且/（x）+g（x）=e"，设函

数。（上肾

则G(x)()

A.是奇函数B.是偶函数C.在R上单调递减D.在R上单调递增

10.（2023•全国•模拟预测）数学模型在生态学研究中具有重要作用.在研究某生物种群的数量变化时，该

种群经过一段时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线大致呈"S'形，这种类型的种群增长称为"S"形增长,

所能维持的种群最大数量称为环境容纳量，记作K值.现有一生物种群符合"S"形增长，初始种群数量大于

。，现用x表示时间,/口）表示种群数量,已知当种群数量为S时,种群数量的增长速率最大.则下列函数

模型可用来大致刻画该种群数量变化情况的有（)

K--

Kex

A."E训B./(x)=<

K0y

4-Kx

(xNO)

12x+e

11.（2023•海南海口•模拟预测）已知函数/（x）的定义域为R,其导函数为f（x）,且2/（x）+r（x）=x,

/(0)=-1,贝!J()

A./(-1)>-2B./⑴>-1

C.“X)在(-刑0)上是减函数D./（X）在（0,+8）上是增函数

三、填空题

1JT

12.（2024•河北邢台•二模）若。=丁6=tan§c=lnr则"‘6,,的大小关系是——（请用"〈"连接）.

13.（2024,四川•模拟预测）已知函数/（x）=Y+（无-2）e、-2x+5在区间（3加-1,加+2）上不单调，则机的取

值范围是.

14.（2024•内蒙古赤峰•模拟预测）已知定义在R上的函数“X）满足/'（无）+4/比）＞0,且/（0）=1,则下列

说法正确的是.

①/（X）是奇函数②Hxe（0,+oo）J（x）＞0

③/⑴＞4④以＞0时，

ee

四、解答题

y—1

15.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知函数/（可=12-不

（1）求“X）在处的切线；

（2）比较In需2023与-焉1的大小并说明理由•

16.（2024・山东•模拟预测）已知函数/'（x）=MlTnAx）.

⑴若曲线/（x）在x=e处的切线与直线y=x垂直，求后的值；

（2）讨论〃x）的单调性.

17.（2024•全国•模拟预测）己知函数=1M.

（1）讨论函数/（x）的单调性；

⑵若函数“X）的最小值为：，不等式小）“1）屋，-62+机在卜,2］上恒成立，求实数加的取值范围.

18.（2024•海南•模拟预测）已知函数/（x）=ax（lnx-l）,aeR.

（1）当。=1时，求曲线了=/（无）在点（e,/（e））处的切线方程；

⑵若函数g（x）=/（尤）-2尤+3（/'⑶为/⑴的导函数），讨论g（x）的单调性.

19.（2024•山东泰安•模拟预测）在数学中，由加X“个数为（:1,2,…，机;/=1,2,…排列成的机行〃列的数

Qu%2a\n

表?“：称为机x"矩阵，其中与称为矩阵/的第z•行第7列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵N

a,m(2%”

和8,如果4的列数等于8的行数，则可以把/和8相乘，具体来说：若/=

,则C==

Cy=a/+%%+…+ambnjj=1,2，…〃,j=1,2,■■■/I,已知,函数/(x)=q+C2.

⑴讨论〃x)的单调性;

(2)若再,々(再<々)是〃x)的两个极值点,证明：Vx0e(xj,x2),f(x0)+f(x2)+6xl+xllnl6<0.

导数与函数的单调性（九大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01利用导数求函数的单调区间（不含参）

♦题型02用导数判断或证明函数的单调性

♦题型03含参分类讨论函数的单调区间

♦题型04由函数的在区间上的单调性求参数

♦题型05函数与导数图像之间的关系

♦题型06利用导数比较大小（含构造函数）

♦题型07利用导数解不等式

♦题型08抽象函数与导数

♦题型09用导数解决实际问题

♦题型01利用导数求函数的单调区间（不含参）

1.（2024高三•全国・专题练习）求下列函数的单调区间.

（1）/（x）=x2-Inx；

（2）;'（尤）=三；

x-2

⑶/（x）=-x3+3x2.

【答案】（I）单调递增区间为三,+8,单调递减区间为o，T

（2）单调递增区间为（3,内），单调递减区间为（一*2）和（2,3）.

⑶单调递增区间为（0,2）,单调递减区间为（-双0）和（2,+8）.

【分析】根据导数公式以及导数运算法则进行求导，令导数大于零，求得函数的增区间，令导数小于零,

求得函数的减区间，逐一计算即可.

【解析】（1）函数/（X）的定义域为（0,+8）,广。）=2%-工="二

XX

令/'（无）>0,得x>走，令/'（x）<o,得0<x<也,

22

.••/（X）在上单调递增，在0,--上单调递减，

（五、（亚'

.••函数/（X）的单调递增区间为3,+8,单调递减区间为|0,三

vJV

（2）函数"X）的定义域为（-8,2）。（2,+8）,

ex(x-3)

(x-2『’

令/'(x)>0,得x>3；令/''(尤)<0,得x<3或2Vx<3.

.•.函数/（》）单调递增区间为（3,+8）,单调递减区间为（-8,2）和（2,3）.

（3）函数/（x）的定义域为R,

f\x)--3x2+6x=-3x(x-2),

令f\x)>0,得0<x<2；令/'(x)<0,得x<0或x>2.

...函数〃x）的单调递增区间为（0,2）,单调递减区间为（-8,0）和（2,+8）.

2.（2024高三•全国•专题练习）函数/（x）=x2-lnx单调递减区间是（）

【答案】A

【分析】求导后，令/'（x）W0,解出即可.

2

【解析】/'（x）=2尤一1;=^?Y^,-1x>0,

令T（x）40,解得gw学，

所以单调递减区间为|0,学,

故选：A.

3.（2023•全国•模拟预测）已知函数〃x）=ln（x-2）+ln（4-x）,则的单调递增区间为（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（一93）D.（3,收）

【答案】A

【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.

fx—2>0

【解析】由4r>0得：2<X<4,即〃x）的定义域为（2,4）；

•.f（x\=□_____!_=_2（3T）_

7I尸x-24-x~（x-2）（4-x）,

.•.当x«2,3）时，#（x）〉0；当xe（3,4）时，f'（x）<0；

\/（x）的单调递增区间为（2,3）.

故选：A.

♦题型02用导数判断或证明函数的单调性

4.（23-24高三下•河南郑州•阶段练习）已知函数/（x）=5+ax-（ax+l）lnx在尤=1处的切线方程为

>=Zzx+g（Q,6£R）.

⑴求a,6的值；

⑵证明：/（x）在（1,+8）上单调递增.

【答案】（l）a=2,b=0

⑵证明见解析

/⑴=6

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，，、5.即可得到方程组，解得即可；

/（1）=^+2

(2)令g(x)=x—-21nx,xe(l,+"),利用导数说明函数的单调性，即可得到当xe(1,+8)时g(x)>0,

即当无e(l,+e)时/'(x)>0,即可得证.

*Y

【解析】(1)因为/(x)=5+QX-(QX+l)lnX,

所以f\x)=x+a-a\nx-""I=x---a\nx,

xx

川)=61—1—。In1=6(1八

/?=0

依题意可得</(1)=^|，弧1/,,5,解得土,

—Fu—(〃+l)lnl=bd—[Q—2

、22

所以4=2,6=0.

r21

(2)证明：由(1)/(%)=—+2x-(2x+l)lnx,贝l」/'(x)=x——21nx,

2x

令g(x)=/(x)=x」_21nx,xe(l,+8),贝ijg，⑺=]+与二>0,

xXXX

所以g(x)在(l,+8)上单调递增，又g⑴=0,

所以当X€(l,+8)时g(X)>0,即当X€(l,+8)时/'(X)>O,

所以/(无)在(1,+8)上单调递增.

5.(23-24高二上■江苏盐城■期末)已知函数/(x)=e*+cosx,xN0.

⑴求曲线V=在点(0J(0))处的切线方程；

(2)求证：/⑶在［0,+oo)上单调递增.

［答案］(门—>+2=0

⑵证明见解析

【分析】(1)由题意求导函数，求出切线的斜率和切点坐标，即可得出切线方程;

(2)证出导函数恒大于等于0即可.

【解析】(1)因为/'(x)=e*-sinx,x^0,

所以八0)=1,〃0)=2,

所以曲线V=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为广2=x,

即x-y+2=0.

(2)由(1)知,f'(x)=eA-sinx,x>0,

因为x20所以e'Nl,X-l<sinx<l,

所以f\x)=ex-sinx>1-sinx>0,

所以/(x)在［0,E)上单调递增.

6.(23-24高二下•河北石家庄•阶段练习)已知函数/(x)=e*+2/(O)x-cosx.

⑴求/(x)的解析式；

(2)判断/(x)在(一甩0］上的单调性.

【答案】⑴〃x)=e-2x—cosx

(2)/«在(-8,0］上的单调递减.

【分析】(1)先对/0)求导，再将x=0代入到函数可求出了'(0)=-1,进而求出〃x)的解析式；

(2)先对/(x)求导，当x40时，0<e，Vl,sinx<l,所以/'(无)V0恒成立，即可得出答案.

【解析】(1)因为/(x)=e*+2尸(0)x-cosx,所以/'(x)=e*+2/'(0)+sinx,

则40)=e°+2八0)+sin0=l+2八0),所以/'(0)=7,

所以/(x)=ex-2x-cosx.

(2)/'(x)=e*-2+sinx,

当x40时，0<e*V1,sinx<1,

所以f(x)=ex-2+sinx<0恒成立，

所以“X)在(T»,0］上的单调递减.

♦题型03含参分类讨论函数的单调区间

7.(23-24局三上•湖北•期中)已知函数/(x)=］/+万X2+(a-1)x+1.

⑴若曲线了=/(无)在点(2,”2))处的切线与直线8+〉+1=0平行，求出这条切线的方程；

(2)讨论函数“X)的单调性.

【答案】(1)答x+3"5=0

⑵答案见解析

【分析】(1)求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出“=-3,从而得到/(2)=-弓31，求出

切线方程；

(2)求定义域，求导，对导函数因式分解，分1-0=-1和三种情况，讨论得到函数的

单调性.

【解析】(1)/，(x)=x2+ax+a-l,f(2)=3a+3

由已知了'(2)=-6,

3。+3=-6得a=-3

又〃2)=号

曲线/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为y+?=-6(x-2)

化简得：18x+3y-5=0

(2)1定义域为R,

/,(x)=(x+«-l)(x+l),令/[x)=0得x=l-a或x=-[

①当1-a<-1即。>2时，

令/C(x)>0得尤>-1或令_f(x)<0得1一a<x<l,

故/(x)在单调递减，在(e,l-a),(-1,+吗上单调递增；

②当l-a=-l即a=2时，/'(x)=(x+l)220恒成立，

故/(x)在R上单调递增；

③当即a<2时，

令*x)>0得比>1-〃或》<-1,令r(x)<0得,

/(x)在(-1,1-。)上单调递减,在(-巴-1),+8)上单调递增；

综上，当a>2时，〃x)在单调递减，在(e,l—a),(T+s)上单调递增;

当a=2时，/(x)在R上单调递增；

当a<2时，“X)在上单调递减，在(-%-1),(1-。,收)上单调递增；

8.(23-24高二下•山东潍坊•期中)已知函数/(x)=x-alnx(aeR).

(1)当a=2时，求曲线”X)在点(1J。))处的切线方程；

⑵讨论函数“X)的单调性.

【答案】(i)x+y-2=o

(2)答案见解析

【分析】(1)求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程;

(2)求出函数的导函数，分两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.

【解析】(1)当。=2时/(x)=x-21nx,

则/(切=1二=上工，所以广⑴=一1,

XX

因为即切点为(1,1),

所以切线方程为尸1=即尤+y-2=0.

(2)函数〃x)=x-alnx的定义域为(0,+e),

当aWO时，/'(尤)>0恒成立,函数/(x)在(0,+司上单调递增；

当a>0时，则当％>a时f\x)>0,当0<x<〃时f\x)<0,

所以函数/(X)在内)上单调递增，在(0,0)上单调递减；

综上可得：当aWO时/(x)在(0,+司上单调递增；

当a>0时在(a,+oo)上单调递增，在(O,a)上单调递减.

9.(23-24高三上•内蒙古赤峰•期中)已知函数/(无)=e*ln(尤+e).

(1)求曲线昨/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵设g3=⑺，讨论函数g(无)在［0,+句上的单调性.

［答案］(l)(e+l)x_ey+e=O

(2)单调递增

【分析】(1)利用导数的几何意义求切线的斜率，再由点斜式得切线方程；

(2)研究函数g(x)在［0,+8)上的单调性,先求解g'(x),因不易判断g'(x)符号,由g'(x)=e，・〃(x)构造局部

函数〃(X),再继续求解再x),分析得出、(x)>0,由此逐步分析出g'(x)符号，从而得出g(x)的单调性.

【解析】(1)•••/(x)=e'ln(x+e),

.•./(o)=i,即切点坐标为(0』),

又；l(x)=e[ln(x+e)H------J

••・切线斜率左=/'(0)='1,

e

则切线方程为y-l=(：+l]x,即：(e+l)x-ey+e=0；

(2),•1g(x)=/,(x)=e%ln(x+e)+^7^J

,g，(x)=e[ln(x+e)+£一大，

21

令/z(x)=ln(x+e)

x+e(x+e)2'

22(x+e2-2(x+e)+2(x+e—1)2+1〉0

贝"=3----------r:

(x+e)(x+e)(x+(片ej

・•・〃(x)在［0,+")上单调递增,

2e-l12e—l八

/./z(x)>h(0)=lne+=l+2~~>0'

e2e

g'(x)=e*,〃(x)>0在[0,+8)上恒成立,

g(X)在［0,+8)上单调递增.

♦题型04由函数的在区间上的单调性求参数

10.(23-24高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)若函数/(X)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-2,4),则

b+c=()

A.-27B.-16C.16D.27

【答案】A

【分析】根据导数分析单调性，结合二次不等式的解集与系数关系求解即可.

2b…

-----=—2+4

【解析】由题意/()=3/+2入+,,且13<0的解集为(-2,4),故3,

-=-2x4

13

解得6=-3,°=-24,故6+c=-27.

故选：A

11.（23-24高三上•广东汕头・期中）设ae（0,1）,若函数/k）=屋+（1+。）工在（0,+e）递增，则。的取值范围

【答案】B

【分析】把函数/（x）在（0,+"）递增利用导数转化为（詈］在（O，+8）上恒成立，利用指数函数单

调性得一需fL,解对数不等式即可得解・

【解析】因为函数/3=底+。+。『在（。,+司递增,

所以［卜)=11110+(1+0),侬1+0)20在(0,+8)上恒成立，

则(l+01n(l+a)2-a，lna,BPf—>-一巴」在(0,+司上恒成立,

\a)ln(l+a)

由函数丫单调递增得-——,

ya)\a)ln(l+a)

又〃£(0,1),所以〃+l£(l,2),所以ln(a+l)〉0,

ln(a+l)2-lnQ

所以'解得与<a<\

0<。<1即忱Ti

所以。的取值范围是

故选：B

12.（2023・贵州遵义•模拟预测）若函数〃x）=e'f在区间（1,3）上单调递增，则。的可能取值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】由/'（x）=e，2f（2x-a）,结合题意aW2/在口,3］上恒成立求范围，即可判断所能取的值.

【解析】由题设〃尤）=1"在区间0,3）上单调递增，所以尸（外=/9（2》-〃）20恒成立，

所以（1,3）上2x-aN0恒成立，即a42x恒成立，

而y=2x在(1,3)上递增，故aW2.

所以A符合要求.

故选:A

13.(2023高三•全国•专题练习)若函数〃"="3-3/+》+1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为

()

A.[3,+oo)B.(—oo,3)C.(—8,0)。(0,3)D.(―℃,0)

【答案】C

【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.

【解析】由题意得函数了⑺的定义域为R,r(x)=3«x2-6x+l,

要使函数/(x)=#_3/+x+1恰有三个单调区间，

/、faw0

则/'%=0有两个不相等的实数根，・,・人八，解得。<3且〃。0,

[A=36—12Q>0

故实数a的取值范围为(F,0)U(0,3),

故选：C.

14.(2023•广西玉林二模)若函数/(x)=(依+1)砂在[1,2]上为增函数，则a的取值范围是()

“「1'「1)

L2)L3)

C.D.[0,+ao)

【答案】B

【分析】对函数求导，根据题意可得/'(尤)=(如+。+1把*20对尤«1,2卜恒成立，列出不等式组，解之即可求

解.

【解析】依题意得八x)=(ax+a+l)e-0对尤中2恒成立，

即办+.+1之0对工€[1,2卜恒成立.

因为歹="+。+1的图象为直线,

a+a+l>0解得

所以aW-g.

2〃+a+l20

故选：B.

♦题型05函数与导数图像之间的关系

15.(2024•重庆・模拟预测)已知函数〃x)=xa(x>0),夕为实数，/⑴的导函数为/(x),在同一直角坐标

【答案】C

【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B,C,D项，通过图象观察分析可得£〉1,结合两函数图象交

点的位置舍去C项.

【解析】由/(无)=X。,可得f(x)=axj

对于A,当a=-l时，在第一象限上/递减，对应/'卜户^二二-^图象在第四象限且递增，故A

项符合；

对于B,C,D,在第一象限上/(X)与/'(X)的图象在(0,+8)上都单调递增，故a>0且则々>1.

又由/3=/'(x)可得x=a>1,即“X)=X。与/(x)=axa-'的图象交点横坐标应大于1,显然C项不符合,

B,D项均符合.

故选：C.

16.(23-24高二下•安徽合肥・期中)已知函数'=3'(x)的大致图象如图所示(其中/'(x)是函数〃x)的导

函数)，则了=/(x)的图象可能是()

【分析】由y=4(x)的图象可知，当xey,-1)51，+8)时/'(幻>0,当xe(-l,l)时八x)<0,即可求解.

【解析】由y=M'(x)的图象可知，

(x<-1[-1<x<0fO<x<lJx>1

[r(x)>0<0<05V(x)>0'

所以当xw(-co,-l)u(l,+8)时,f\x)>0,

当xe(-1,1)时，f'(x)<0,

则函数/(x)在(1,+s)上单调递增，在(-U)上单调递减.

结合选项可知：C正确，ABD错误.

故选:C

17.(2013・广东广州•一模)己知函数y=/(x)的图像如图所示，则其导函数y=/'(x)的图像可能是()

yt

【答案】A

【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.

【解析】由图可知，当x＞0时，“X）单调递减，r（x）＜0,由此排除BD选项.

当x＜0时，从左向右，“X）是递增、递减、递增,

对应导数的符号为+，-，+,由此排除C选项，

所以A选项正确.

故选：A

♦题型06利用导数比较大小（含构造函数）

3

18.(23-24高二下•安徽•阶段练习)已知Q=4tan7,4,=7,7,=12,则()

O

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】C

33

【分析】利用放缩法可得。＞5,b.,作差可比较，力的大小.

【解析】令/'(x)=tanx-x(0<x<$,求导得/'(x)=-\----1>0,所以/'(x)>〃0),

2cosx

兀

所以tanx>x(0<x<,

333113

«=4tan->4--=—,b=log7=—log7<—log8=—,所以。>6,

882422222

In121n4-(ln7)2<Qnl2+ln4j-4Qn7(n49)-4(n7j

c-/)=log12-log7=0.所以。＜6.

74In71n441n71n441n71n4

所以C<6<Q.

故选：C.

19.(2024•山东泰安・模拟预测)已知定义域为R的偶函数/(x)在(--0)上单调递减，则下列结论正确的是

()

>/哈>/一1.1>/11sinl-

99

D.ZUy>/sin1^>/

C.

>小叱10i?

【答案】C

1+x

【分析】对所要比较的式子适当变形，构造函数=sinx,(O<x<l),g(x)=x-In,(0<%<1)证

得Ovsin^v5<lng，结合已知即可进一步求解.

【解析】因为定义域为R的偶函数/(%)在(-汽。)上单调递减，所以定义域为R的偶函数，(x)在(0,+。)上

单调递增,、、

1+—

1H10+110

而/,GAJ-吟=小=/In=fIn

1010-11-—

10J)

1+X

令=x-sinx,(O<x<l),g(x)=x-ln,(0<x<l),

117-1-Y2/、

则//(x)=]_C0Sx>0,g'x)=]----------------=1-------=---------7<(在(0,1)上恒成立,

1+X1X1Ji1A-

所以〃(x)在(0,1)单调递增，g(x)在(0,1)单调递减,

5-sin\>"(O)=O,g=LlnLg6>0,

所以〃

1?1091厂

即0<sinLLlnU,

10109

而定义域为R的偶函数4%)在(0,+动上单调递增,

11

综上所述，

9i?1?

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解题的关键是构造出适当的函数，从而得出0<sinA<2<ln^，由此即可顺利得

20.(2024•河北沧州・模拟预测)已知〃x)=3--2cosx,设“=2-味b。二四,，则〃。)，/伍),

1(c)的大小关系为()

A.f(c)>f(a)>f(b)B./(/?)>/(a)>/(c)

C./(^)>/(c)>/(«)D./(c)>/(&)>/(a)

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可.

【解析】当xeR时，*/(%)Wf(-x)