高考数学二轮复习：平面向量小题全归类（练习）（解析版）

专题11平面向量小题全归类

目录

题里01平面向量基本定理及其应用........................................................2

02平面向量共线的充要条件及其应用...................................................2

03平面向量的数量积.................................................................3

04平面向量的模与夹角..............................................................4

05等和线问题......................................................................4

题型06极化恒等式......................................................................5

题瞿07矩形大法.........................................................................5

08平面向量范围与最值问题...........................................................6

09等差线、等商线问题.............................................................7

10奔驰定理与向量四心9

世11阿波罗尼斯圆问题10

12平行四边形大法11

13向量对角线定理,

一题型01平面向量基本定理及其应用

1.（2023•江苏南通•高三江苏省如东高级中学校考期中）己知万是两个不共线的向量,

m=2a—3B,n=4a—2bp=3a+b,贝U（）

2.（2023•安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图

所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=2C=8=1,AB，BC,AC1.CD,AC与BD交于点。，若

DO=XAB+\xAC,贝!]4+〃=（）

DC

A.V2-1B.1-^/2C.72+1

3.（2。23•广东肇庆•统考模拟预测）如图，在平行四边形中’AE=^D,BF=：BC,应与

£）方交于点。.设荏=£,AD=b,若AO=/U+4B,则兄+"=（）

11

17

W02平面向量共线的充要条件及其应用

4.（2023•四川成都•高一成都七中校考阶段练习）如图，在AABC中，点。满足的=2元，过点。的

直线分别交直线4氏AC于不同的两点设丽=加而，〃=〃研则根2+/2的最小值是（）

A

A.-B.2C.V2D.远

55

.1-►

5.（2023•重庆北暗•高一西南大学附中校考期末）AABC中，。为A3上一点且满足若尸

为线段。上一点，且满足通=2谡+3（3〃为正实数），则的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

6.（2023•浙江宁波•高二校联考期末）在融。中，点O满足说=2丽，过点O的直线分别交射线

AB,AC于点Af,N,S.AM=mAB^AN=nAC贝的最小值为（）

A.—B.—C.3D.4

33

一题型03平面向量的数量积

7.（多选题）（2021•新高考I）已知O为坐标原点，点＜（cosa,sina）,g（cos£,-sin0,£（cos（a+p）,

sin（a+6））,A（l,0），贝！J（）

A.I西|=|西B.|通|=|亚I

C.OAO^=O^O^D.OAO^=O^O^

8.（2023•安徽安庆•高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知在“LBC中，AB=3,AC=4,

ZBAC=^,AD=2DB，尸在CZ）上，AP=^AC+AAD,则=.

9.（2023•上海静安•高三校考阶段练习）己知向量。=（l,g）,且的夹角为三，0+分（2弓-3&=4,

则B在Z方向上的投影向量等于.

10.（2023•上海闵行•高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量两，OK,两，若存在

单位向量历满足万•西+万・砥+…+砺・W=o,则称丽是向量组西，oK,西的平衡向

量.已知（西，砒）=4，向量而是向量组西，竭，弧的平衡向量，当5A砥取得最大值时，

函的值为

一1型04平面向量的模与夹角

11.（2023•北京）已知向量日满足商+6=（2,3）,4-5=（-2,1）,则|肝-出『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

12.（2023•甲卷）向量|@|=|5|=1,|c|=A/2,S.a+b+c^O,贝!Jcos〈方-无，b-c）=（）

1224

A.--B.--C.-D.-

5555

13.（2023•广东广州•高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知正三角形△ABC的边长为1,设

AB=a^AC=b.则2元十5与一3Z+2石的夹角=.

14.（2023•全国•模拟预测）已知向量a==-1）,若实数根/满足加/=一1,贝！+与£+怎

的夹角为•

15.（2023•四川广安•高三校考阶段练习）已知向量Z=（1,指），B=（3,祖），且B在Z方向上的投影数量

为-3,则向量Z与B的夹角为.

・题型05等和线问题

16.（2023•湖北•高一校联考期中）给定两个长度为1的平面向量函和加，它们的夹角为90。，点C

在以。为圆心的圆弧上运动，若碇=+其中则3尤+5》的最大值为（）

A.B.5C.后D.6

17.（2023•全国•高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量方和砺，它们的夹角为90。，如图所

示，点。在以0为圆心的圆弧A3上运动，若云=1两+丁而，其中x,则x+y的最大值是

（）

B

OA

A.1B.V2C.V3D.2

18.（2023•上海黄浦•高二格致中学校考期中）在AABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P为AABC所

在平面内的动点，且PC=2,^CP=ACA+nCB,则给出下面四个结论：

4

①〃的最小值为-二；②两.两的最小值为-6；

3

③几+〃的最大值为了；④西•丽的最大值为10.

4

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

19.（2023•吉林•统考一模）在直角三角形ABC中，A=90。，AABC的重心、外心、垂心、内心分别为

G],G3,G",若禧=4通+“而（其中i=l,2,3,4）,当4+〃，取最大值时，i=（）

A.1B.2C.3D.4

一题型06极化恒等式

20.（2023・山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点P为

正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，两.两的取值范围是.

21.（2023•湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABC。中，斯是CZ）边上长为6的可移动的线段，

4）=4,AB=8A/3,BC=12,则说.乔的取值范围为.

22.（2023・陕西榆林•三模）四边形ABCD为菱形，ZBAC=30°,AB=6,P是菱形ABC。所在平面的任意

一点，则丽.京的最小值为.

一题型07矩形大法

23.设向量方，b,1满足I万|=出|=1,晨（a-c）-（b-c）=0,则的最小值是（）

A.B.C.上D.1

22

24.（2023•河北石家庄•高三阶段练习）已知向量心b，满足向=应，忖=⑦5=3,若

（c~2a）-（2b-3c）=0,贝！］，一目的最大值是.

25.（2023•全国•高三专题练习）已知向量3B满足同=同=£3=2且则忸的

最大值为.

・题型08平面向量范围与最值问题

26.（2022•上海）在AABC中，ZA=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点，点尸在边3c上，则加•屈

的最小值为—.

27.（2023•上海）已知函、OB.反为空间中三组单位向量，且函_L砺、OALOC,无与玩夹角为

60。，点P为空间任意一点，且|中|=1,满足I彼•碇阚丽・/I|丽•西|,则|加•花|最大值为.

28.（多选题）（2023•安徽•高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知尸（2,0）,A（cosa,sina）,

5（cos^,smy0）,A,8两点不重合，贝！I（）

A.|苏-国的最大值为2

B.|可+而|的最大值为2

C.若丽=4而，国-词最大值为6

D.若丽=几而，|向+得最大值为4

29.（多选题）（2023•福建南平•高一武夷山一中校考期中）圆暴定理是平面几何中的一个定理，是相交

弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长

的积相等，例如，如果交点为尸的两条相交直线与圆。相交于AC与此，则R4•尸C=PRPD）,如下

图，已知圆。的半径为3,点P是圆。内的定点，且OP=2,弦AC、8。均过点P,则下列说法正确的是

A.PAPC=-SB.砺•两的取值范围是

C.当ACJ_B。时，通•丽为定值D.ACLBO时，|恁口丽|的最大值为28

7T

30.（2023•四川攀枝花•统考模拟预测）在平面四边形（MCB中，。4，。氏。4=3,/。54=NAC8=§,

则反.次的最大值为（）

A.6A/3B.9A/3

C.12D.15

31.（2023•北京西城•高三北师大实验中学校考阶段练习）平面直角坐标系xOy中，定点A的坐标为

（cosasin。），其中Ovewjt.若当点B在圆（x-ZH+V=1上运动时，砺.砺的最大值为0,则（）

九ULTuun

A.的最小值为—2

TPuuruun3

B.e=行,。的最小值为-:

32

2冗uirami

C.的最小值为—2

27Tuuruim3

D.0——,0403的最小值为—

32

32.（2023•江西•高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xQy中，A（l,0）,B（0,3）,C（3,0）,动点尸

满足同=1,则网+丽+西的最大值是（）

A.6B.2.72+1C.5D.V10+1

33.（2023•四川宜宾•四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）设向量Z、b，"满足同=1，

问=2,/=0，c-（a+5-c）=o,则r的最大值等于（）

A.75B.1+且C.2D.1

2

・题型09等差线、等商线问题

34.（2023•全国•高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量市和赤，它们的夹角为120。，点C在

以。为圆心的圆弧A8上运动，若灰=x》+y丽，其中X、蚱R.则x+y的最大值为；x-y的取

值范围是.

,3»

35.（2023•山西•高一统考期末）已知在△ABC中，点。满足30=13。，点£在线段AD（不含端点A,

。）上移动，^AE=AAB+^AC,贝1］幺=____.

A

36.（2023•高一单元测试）如图，在AABC中，AB=4,AC=8,44c=60。，若延长到点。，使

BA=BD,当点E在线段AB上移动时，设题=4正+〃而，当2取最大值时，2-〃的值是.

—.3—►

37.（2023•山东潍坊•高三开学考试）在AABC中，点D满足当点E在射线（不含点

4

A）上移动时，若衣=4荏+〃正，则4+工的最小值为.

4

f1f

38.（2023•重庆万州•高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在AASC中，BD=-BC,点E

21

在线段AD上移动（不含端点），若凝=2矗+〃/，则耳+口的取值范围是.

39.（多选题）（2023•辽宁•高一东港市第二中学校联考阶段练习）已知AABC中，

A3=AC=后,8C=2,£＞是边5c的中点，动点P满足=1,Q=x而+y正，贝!|（）

A.x+V的值可以等于2

B.x-y的值可以等于2

C.2尤+y的值可以等于T

D.尤+2y的值可以等于3

__3―.

40.（2023•黑龙江哈尔滨•高三哈师大附中校考期末）在AABC中，点。满足=当E点在线段

4

3

AD（不包含端点）上移动时，若荏=2而+，则2+工的取值范围是

A.［孚,+oo）B.［2,+oo）C.（］，+8）D.（2,+00）

41.（2023•浙江•浙江省江山中学校联考模拟预测）在AA5c中，E,尸分别为AC,Z?C的中点，点。是

线段AF（不含端点）内的任意一点，AD=mAB+nAE，则（）

A.me（0,1）B.MG（0,2）C.n=2mD.m+n=\

42.（2023•河南•校联考模拟预测）在AABC中，。是A3边上的点，满足AD=2DB,E在线段。上

（不含端点），S.AE^xAB+yAC（x,yeR）,则芝宫的最小值为（）

A.3+20B.4+2若C.8+4若D.8

■题型10奔驰定理与向量四心

43.（多选题）（2023•河北保定•高三校联考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。

是AABC内一点，①OC,AAOC,AAOB的面积分别为SA，SB，Sc，则

SAOA+SBOB+SCOC=0.设。是AABC内一点，AABC的三个内角分别为A,B,C,.BOC,

LAOC,AAO3的面积分别为SA，SB,SC,若3宓+4赤+5^=0，则以下命题正确的有（）

B.。有可能是的重心

C.若。为AABC的外心，则sinA:sinJS:sinC=3:4:5

D.若。为“BC的内心，贝IJAASC为直角三角形

44.（多选题）（2023•湖北武汉•高一校联考阶段练习）已知〃，N在所在的平面内，且满足

AMBM=BMCM^CMAM，CA^NB+2NA，则下列结论正确的是（）

A."为AASC的外心

B.”为国。的垂心

C.N为AABC的内心

D.N为AABC的重心

45.（多选题）（2023•山西大同•高三统考阶段练习）设。为“LBC的外心，AB=2,AC=4,ZBAC

的角平分线AW交BC于点〃，贝ij（）

A.AM=-AB+-ACB.AM=-AB+-AC

3333

C.ABAO=2D,AM-AO=6

46.（多选题）（2023•高一课时练习）已知AABC所在平面内有三点O,N,P,则下列说法正确的是

A.若网=|词=|西,则点。是的外心

B.^NA+NB+NC=O,则点N是AABC的重心

C.若前诲=而衣=玩.包,则点尸是44BC的垂心

{ABAC>I-.ABAC1一

D.若曰+『BC=O,且而•5=5,则“IfiC为直角三角形

［网陷陷2

47.（多选题）（2023•吉林•高一吉林一中校考期中）对于给定的△ABC,其外心为O,重心为G,垂心

为H,内心为。，则下列结论正确的是（）

uumuum1lUump

A.AC-AO=-|AC|

ULUlUUUULUUUULULUULlUUL

B.HAHB=HAHC=HBHC

C.AG+BG+CG=0、

ADAr

D.若A、P、。三点共线，则存在实数2使AP=2"

一题型11阿波罗尼斯圆问题

48.（2023•湖南衡阳•校联考一模）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到

两定点距离之比为常数M左>0#片1）的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的

距离为4,动点P满足然二代，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为；肉.而最大值

rD

是.

49.（2023•浙江•校联考三模）己知向量£,5，"满足|e=1,出|=2五，ab=Q，\c-a\=2\l-b\,

则|c+b-x（b+2a）|的最小值是.

50.（2023•浙江嘉兴•统考二模）已知向量力，b,\a\=\b\=2,若痴=2且;”万,卜-可，则

伍-可•卜-5）的最小值是.

51.（多选题）（2023•江苏徐州•高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点

A3的距离之比为定值〃几21）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xQy

PA1

中，A（—3,0）,5（6,0）,点P满足万f=彳.设点尸的轨迹为C,则（）

rD2

A.轨迹C的方程为（x+3y+y2=36

PD1

B.在x轴上存在异于A,8的两点Q,E,使得寸=彳

C.当A,8,p三点不共线时，射线尸。是/"3的角平分线

D.在轨迹C上存在点M,使得冠限砺=2

W12平行四边形大法

52.（2023・浙江•模拟预测）已知々为单位向量，平面向量心B^^\a+e\=\b-e\=l,”5的取值范围是

53.（2023•福建・高三福建师大附中校考阶段练习）设圆〃，圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点

P,点A,8分别是圆圆N上的两动点，则丽.丽的取值范围是（）

C.[—8,1]D.[—16,1]

・题型13向量对角线定理

54.（2023•天津河东•统考一模）在平面四边形A8C。中，点E、/分别是边AD、8C的中点，且AB=1,

EF=近,CD=非,右5c=15,则的值为

A.13B.14C.15D.16

55.（2023•浙江杭州•高三统考期末）在四边形ABC。中，点瓦/分别是边相＞,3C的中点，设

ADBC=m，ACBD=n^AB=42fEF=\,CD=6则

ED

B

A.2m-n=\B.2m-2n=l

C.m-2n=lD.2n-2m=l

56.（2023•浙江温州•瑞安中学校考模拟预测）在四边形A3CQ中，点区方分别是AD,8C的中点，设

ADBC=x，ACBD=y,若AB=g，EF=1,CD=0则.的最小值为.

57.（2023•浙江•高一开学考试）在AA6C中，AB=2,AC=3,ABAC=2^若点尸满足而=2元，

贝!.

专题11平面向量小题全归类

目录

01平面向量基本定理及其应用.......................................................14

02平面向量共线的充要条件及其应用.................................................16

题型03平面向量的数量积...............................................................18

04平面向量的模与夹角.............................................................21

05等和线问题.....................................................................24

06极化恒等式.....................................................................27

07矩形大法........................................................................29

题型08平面向量范围与最值问题..........................................................31

09等差线、等商线问题.............................................................37

10奔驰定理与向量四心.............................................................44

11阿波罗尼斯圆问题...............................................................49

12平行四边形大法52

13向量对角线定理.

■题型01平面向量基本定理及其应用

1.（2023•江苏南通•高三江苏省如东高级中学校考期中）已知入B是两个不共线的向量,

m=2a-3bn=4a—2bfp=3a+b,贝!J()

A-5n—6m「-5n+6m-1In—10m―11^2+10m

A.p=-----B.p=----------C.p=------------D.p=------------

8888

【答案】C

【解析】因为Z，分是两个不共线的向量,设p=xm+yn,

5

X=——

2x+4y=3,4

即-1，解得

11

y=­

8

二匚［、I->5->■ll-,11〃-1Oz/z

所以p=——m-\—n=------------

488

故选：C

2.（2023•安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图

所示的直角三角形来构造无理数.已知42=^^=8=1,43,3（?,42，。,4<:与3£）交于点。，若

DO=XAB+liAC,贝|/1+〃=()

1-72C.V2+1D.一亚-1

【答案】A

【解析】以C为坐标原点，CRQ4所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系,

由题意得AC=血，

则.0,行）,24,4,C（0,0）,AB=专,-孝，AC=（0,-72）.

因为CB=CO=1,NDCB=90°+45。=135°,故ZBDC=22.5°,

因为tan45。=-2tan,26=],所以tan225=应-1（负值舍去），

所以OC=OC-tan225=及一1，

故。（0,夜-1）.又0（-1,0）,则加=（1,五-1）,

[1.2

因为力0=大旗所以,

^-1=-—/l-V2zz

L2

解得"，所以2+〃=6-1,

〔〃=-1

故选：A.

3.（2023•广东肇庆•统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中,AE=-ADfBF=-BCfCE与

34

£>F交于点。.设通=£,7J5-bJ^AO=Aa+jub,则2+〃=（）

4A_____________________

D上c

8「19-3-11

A.—B.—C.—D

17171717

【答案】B

【解析】连接AF，AC,

A.____________

K

Dc

・・・。,0,厂三点共线，，可设而=乂而+y福，则x+y=l,

/.AO=xAD+y（^AB+BF^=xAD++；A£）］=［x+；y）5+yq；

・・・£,。。三点共线，，可设加=如亚+加花，贝!Jm+几=1,

刀=、而+〃（亚+通）=］+〃卜+茄;

x+y=l

m+n=lX'

17—►8-11-8

\1m，解得：］，「.A。=—aHb,即X+"=F-1119

x+-y=—+n817171717-17'

43y=一

［17

y=n

故选：B.

一题型02平面向量共线的充要条件及其应用

4.（2023•四川成都•高一成都七中校考阶段练习）如图，在AABC中，点。满足丽=2玄，过点。的

直:线分别交直线AB,AC于不同的两点",N.设荏=,nAM,AC=nAN,则加2+〃2的最小值是（）

9L3A/5

A.-B.2C.y/2,D.

亍

【答案】A

【解析】因为前=2无，所以而=国+［通］祝+牛丽

又因为加、。、N三点共线，所以1+9=1.所以〃2=3-2〃.

2629

所以根2+/=(3—2〃y+〃2=5n-i2n+9=5(H--)+-

63Q

所以当〃=l,根时,病+"有最小值为-.

故选:A.

5.（2023•重庆北倍•高一西南大学附中校考期末）△ABC中，。为A2上一点且满足通而，若尸

为线段O上一点，且满足通=2丽+（2,〃为正实数），则上的最小值为（）

3z〃

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

uunumnuumruimuum

【解析】因为尸为线段8上一点，则AP=xAD+yAC=]AB+yAC,且％+y=l,

__.__».A=—fx=3A

又因为AP=XA5+〃AC,可得<3,即〈,

[y=〃

所以32+4=1,

可得导2=^+—+2>2U-x—+2^4,

3AJLI丫3%〃

当且仅当刍=2，即〃=32=1时，等号成立,

32jU2

所以+—的最小值为4.

3/L〃

故选：B.

6.（2023•浙江宁波•高二校联考期末）在“3。中，点。满足函=2丽，过点O的直线分别交射线

AB,AC于点M,N,且词=相通，AN=nAC则根+2孔的最小值为（）

【答案】A

【解析】由题可知，m>0,n>0,

因为加=机检，AN=nAC，所以通=,汨，AC=-AZV,

mn

又南=2砺，所以超一方亍=2荏-2布,

—.2—•1--2.1—.

所以AO=—AB+—AC=—AM+—AN,

333m3n

21

因为MOW三点共线，所以茄+而=1，

“2c/c、/21、4机4〃4c48

所以机+2〃=(机+2n)(-----1------)=—H--------1------>—+2

3m3n33n3m33

m4n

当且仅当1;3,,即加==q时，等号成立.

—+—=133

3m3n

Q

所以根+2〃的最小值为§.

故选：A

一题型03平面向量的数量积

7.(多选题)(2021•新高考I)已知。为坐标原点，点<(cosa,sina),鸟(cos尸，-sin4)，P3(cos(a+P)，

sin(a+£)),A(l,0),则()

A.|西|=|西B.|福|二|南|

C.DX•西=西圾D.•西二圾•西

【答案】AC

【解析】法一、:《(cos。,sina),7^(cos^,-sin/3),P3(cos(cr+f3),sin(a+£)),A(l,0),

二.OPX=(cosa,sina),OP2=(cos尸，一sin尸),

=(cos(a+P),sin(a+/7)),OA=(1,0),

APX=(coscr-l,sincr),AP2=(cos〃一l,-sin/),

222

则|OPX|=y/cosa+sina=1,|OP21=yjcos/3+(-sin=1,贝lj|。片|=||,故A正确；

|APi|=(coscr-1)2+sin2a=vcos2a+sir^a—2cosa+l=，2-2cosa,

222

|AP21=yj(cos/7-1)+(-sin=yjcosj3+sin-2cos+1=52-2cos0,

|丽国苑I，故5错误；

GA-OP3=1xcos(cr+£)+0xsin(cr+4)=cos(a+P),

0Pi-0P2=cosacosJ3-sinasinp=cos(a+p),

OAOP3=OPXO^,故。正确；

OAO^=1xcos。+0xsina=cosa,

0P2-OP3=cos[3cos(cr+6)一sin/3sin(a+0=cos[夕+(a+/?)]=cos(a+2/3),

OA.OP^OR.OP^,故。错误.

故选：AC.

法二、如图建立平面直角坐标系,

4(1,0),作出单位圆O,并作出角a,13,-13,

使角a的始边与。4重合，终边交圆。于点片，角月的始边为。片，终边交圆。于骂,

角-尸的始边为。4,交圆。于

于是《(cos/sin(z),P3(cos(a+(3),sin(a+0),g(cos£,-sin£),

由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、。错误.

故选：AC.

8.(2023•安徽安庆•高三安庆市第十中学校考阶段练习)已知在“山C中，AB=3,AC=4,

ZBAC=pAD=2DB^P在CD上,AP=^AC+AAD,则/.配=.

【答案】4

【解析】因为Q=g*+4而，EC。三点共线，

所以1+2=1,解得2=：,

22

因为莅=2而，所以通="|通，

.1—.1__.1__.1—.

则AP=—AC+—A£>=—AC+—48,

2223

BC=AC-AB,

所以Q.瓦/+g网.西一碉

22

=LAC--AB--ACAB

236

=8-3-工X4X3XL=4.

62

故答案为：4.

9.（2023・上海静安•高三校考阶段练习）已知向量£=（1,石），且Z花的夹角为三，Q+和（213母=4,

则办在Z方向上的投影向量等于.

【答案】，，乎）

【解析】同=2,a-zj=|a||zj|cosy=2-|^|-^=|^|,

由已知0+办（2£-3垃=21日3-3片=8-*3际=4,解得忖=1（负值舍去），

a-b1laA6、

・・・B在Z方向上的投影为图=5，B在£方向上的投影向量为了口=（¥彳）・

故答案为：（;，乎）

10.（2023•上海闵行•高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量的，魄，…，M，若存在

单位向量历满足万・西■+万•酶+…+而・西=0,则称而是向量组西，砥，…，西的平衡向

量.已知（函，阳）=弓，向量而是向量组市，羽，弱的平衡向量，当丽•风取得最大值时，

西•可的值为.

［答案］二逅

6

【解析】当初=区时，次3・砥取得最大值，

又（西，阳）=（，如图所示，

砒+砥卜“两+羽）2=,西。+2两弧+时=Jl+1+1=6,

设西+%=砺，（西研=同0,可，

贝皈+魄%%'-丽+1=0,

所以OA，QB=-1,即代cos6=-1,解得cos8=-1■,

故sin9=Vl-cos20=，。4=*或呜,

万77W（a冗'n71,•A・兀1^6—3

OA-OA.=cos6——=cos"cos—+sinasin—=----x----1---x—=------

」勺6632326

V3V61-A/6-3

或西•砥=cos[e+《=cos0cos--sin^sin—=----XX—=

663-2326

故答案为：一3士、

6

・题型04平面向量的模与夹角

11.(2023•北京)已知向量4,I满足。+方=(2,3),a-b=(-2,1),则|开一出『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】•.,苕+B=(2,3),3-5=(-2,1),

a=(0,2),B=(2,l),

.-.|a|2-|g|2=4-5=-l.

故选：B.

12.(2023•甲卷)向量|@|=出|=1,|c|=72,^.a+b+c=6,贝！JcosQ-^,b-c)={)

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