高考数学二轮复习：立体几何常见压轴小题全归纳（练习）（解析版）

专题14立体几何常见压轴小题全归纳

目录

题里01球与截面面积问题................................................................

02体积、面积、周长'角度、距离定值问题............................................2

03体积、面积、周长、距离最值与范围问题............................................4

04立体几何中的交线问题............................................................

05空间线段以及线段之和最值问题.....................................................6

题型06空间角问题......................................................................7

题瞿07轨迹问题.........................................................................8

08以立体几何为载体的情境题........................................................9

09翻折问题.......................................................................11

W01球与截面面积问题

1.（2023・浙江宁波・统考一模）已知二面角尸一3C的大小为彳，球。与直线®目切，且平面

PAB,平面ABC截球。的两个截面圆的半径分别为1、啦,则球。半径的最大可能值为（）

A.B.2yf2D.V10

2.（2023•海南海口•海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一

个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，Q,a为圆柱上下底面

的圆心，。为球心，跳'为底面圆Q的一条直径，若球的半径r=2,则平面OEF截球所得的截面面积最

小值为（）

A.2兀

3.（2023•四川内江•四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球。是正三棱锥A-BCD（底面是正三

角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=e,A3=0,点£是线段8c的中点，过点E

作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）

,32兀0兀一兀

A.—B.——C.-D.-

4324

4.（2023•江西•高三校联考阶段练习）在正方体ABCD-A4GR中，AB=2,M,N分别为AD,BC的中

点，该正方体的外接球为球。，则平面截球。得到的截面圆的面积为（）

A.如B.办c.也D.也

5555

一^型02体积、面积、周长、角度、距离定值问题

5.（多选题）（2021•新高考I）在正三棱柱ABC-中，AB=A4,=1,点尸满足/=X前+〃瓯，其

中/le[0,1],〃e[0,1],则（）

A.当2=1时，△明尸的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-48C的体积为定值

C.当X时，有且仅有一个点P,使得4尸，8尸

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得A3,平面AB/

6.（2023•全国•高三专题练习）正三棱柱4BC-ABC1的各条棱的长度均相等，。为M的中点，M,

N分别是线段2片和线段CG上的动点（含端点），且满足3M=GN,当M,N运动时，下列结论正确的

是（）

A.在ADMN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DAW_L平面8CG4

C.三棱锥A-DVW的体积为定值

D.△加W可能为直角三角形

7.（2023•湖南•邵阳市第二中学模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABC。-中，P为线段

用鼻上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）

B.三棱锥尸-AB。的体积为定值

C.过点尸平行于平面AB。的平面被正方体ABC。-4AGQ截得的多边形的面积为G

D.直线P\与平面\BD所成角的正弦值的范围为

8.（2023•广东实验中学高一期中）已知正四面体ABCD的棱长为3,其外接球的球心为。.点E满足

AE=2AB（O<A<1）,过点E作平面a平行于AC和3D,设。分别与该正四面体的棱BC、CD、相

交于点尸、G、H,则（）

A.四边形的周长为定值6

B.当2时，四边形EFG”为正方形

C.当几=；时，。截球。所得截面的周长为叵

D.3Ae（O,l）,使得四边形瓦G”为等腰梯形

9.（2023•江苏苏州•模拟预测）在棱长为1的正方体A8CD-A4Gs中，点P满足

DP=XDDx+piDA,Ae[0,l],we[0,1],则()

A.当a=4时，BP±AC{

B.当〃=；时，三棱锥G-PBC的体积为定值

C.当;1+〃=1时，PC+PB的最小值为J3+6

D.当£+〃2=i时，存在唯一的点尸，使得点尸到A8的距离等于到的距离

一^903体积、面积、周长、距离最值与范围问题

10.（2022•乙卷）已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四

棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.-C.—D.—

3232

11.（2022•新高考I）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3剔3如，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.[18,27]

44443

12.（2023•四川省内江市第六中学高二期中）已知四面体ABCD的所有棱长均为双,M,N分别为棱

AO,3c的中点，尸为棱上异于A8的动点.有下列结论：

（0

①线段MN的长度为1；②点C到面VFN的距离范围为0,—；

I2）

③AKWN周长的最小值为血+1；④NM7W的余弦值的取值范围为0,

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

13.（2023•全国•高三专题练习）已知棱长为2的正方体A5CQ-，棱。2中点为M，动点尸、

。、R分别满足：点尸到异面直线BC、G2的距离相等，点。使得异面直线40、所成角正弦值为定

值雪，点R使得=彳.当动点P、。两点恰好在正方体侧面CDD£内时，则多面体RWPGQ体积

最小值为（）

C.—D-T

2

一题鳖04立体几何中的交线问题

14.（2023•四川成都•高三校联考期末）在正方体ABCD-ABJGP中，E为线段AD的中点，设平面

A3G与平面CGE的交线为〃?，则直线优与AC所成角的余弦值为（）

A.1B.在C.叵D.正

2255

15.（2023•河北保定•高三统考期末）已知三棱锥£>-ABC的所有棱长均为2,以3。为直径的球面与

△ABC的交线为L,则交线乙的长度为（）

.2A/3TI„4^3?1„2新n4通兀

A.r>.----------C.---------L）.---------

9999

16.（2023•安徽•统考一模）安徽徽州古城与四川阖中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四

大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体A8CD-AqG0.已知该正方体中，点

瓦方分别是棱MKG的中点，过A，耳厂三点的平面与平面A3C。的交线为/,则直线/与直线A2所成角

为（）

71兀

A.B.C.D.

42

一题型05空间线段以及线段之和最值问题

17.（2023•河北•高一校联考期末）己知四棱锥尸-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，底

面ABC。，PA=4及，则四棱锥P-ABCD外接球表面积为;若点2是线段AC上的动点，贝U

|尸。|+|。同的最小值为

7T

18.（2023•浙江绍兴•高一统考期末）直三棱柱ABC-A4G中，ZB=j,AB=BBl=BC=l,P、Q

分别为线段AG、AA的动点，则△用PQ周长的最小值是.

19.（2023•广西玉林•统考二模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.如图，在

鳖腌B4BC中，R4_L平面ABC,AB±BC,AB=3,BC=y[5,E4=4,D,E分别为棱PC,PB上一点,

则AE+DE的最小值为.

20.（2023•北京门头沟•统考一模）在正方体ABC。-4月£。中，棱长为1,已知点P、。分别是线段

A%、A。上的动点（不含端点）.

①PQ与8c垂直；

②直线P。与直线8不可能平行；

③二面角AC-。不可能为定值；

④则|尸。|+|。。|的最小值是；

其中所有正确结论的序号是.

一题型06空间角问题

21.（2022•浙江）如图，已知正三棱柱A2C-44G,AC=AAI,E,歹分别是棱3C,AG上的点.记EF

A.源版/B.鹰yC.力物aD.磅//3

22.（2022•甲卷）在长方体ABC。-A耳G2中，已知2。与平面ABCD和平面照用台所成的角均为30。,

则（）

A.AB=2AD

B.AB与平面A4GD所成的角为30。

C.AC=CBt

D.BQ与平面BB|GC所成的角为45。

23.（2023•浙江绍兴•模拟预测）如图，斜三棱柱ABC-ABIG中，底面AABC是正三角形，及EG分别

是侧棱AA，84，CG上的点，S.AE>CG>BF,设直线与平面斯G所成的角分别为名尸，平面

£FG与底面ABC所成的锐二面角为8,贝1J（)

A.sin^<sina+sin^,cos0<costz+cos；0

B.sin。2sine+sin"cos8vcosa+cos4

C.sin。vsina+sin"cos。>cosa+cos4

D.sin82sina+sinQ,cos82cosa+cos4

24.（2023•浙江•高三专题练习）在三棱锥尸-"C中，顶点尸在底面的射影为AABC的垂心。（。在

△ABC内部），且尸。中点为M,过AM作平行于8C的截面a,过3M作平行于AC的截面夕，记a,夕

与底面ABC所成的锐二面角分别为4，%,若NPAM=NPBM=6,则下列说法错误的是（）

A.若*=%,则AC=8C

B.若442，贝！Jtan6}-tan名=；

C.。可能值为?

D.当e取值最大时，4=2

25.（2023•全国•高二课时练习）已知正方体ABC。-A'B'C'D的棱长为3,E为棱A3上的靠近点B的三

等分点，点P在侧面CC'D'O上运动，当平面3'EP与平面ABCD和平面CC'D'D所成的角相等时，则ZXP的

最小值为（）

A3A/10口3Mc9回n7a

5101010

一题型07轨迹问题

26.（2023•全国•高三专题练习）已知正方体ABCD-A'B'C'。'的棱长为4,E,尸分别为班'，C'D的

中点，点P在平面中，2尸=2拈，点N在线段AE上，则下列结论正确的个数是（)

①点P的轨迹长度为2万；

②线段FP的轨迹与平面A'8'C。的交线为圆弧；

③NP的最小值为吟=也；

④过A、E、下作正方体的截面，则该截面的周长为4+:曲+26

33

A.4B.3C.2D.1

27.（2023•江西•模拟预测）已知正方体ABC。-A及G，的棱长为3,点P在△AGB的内部及其边界上

运动，且。尸=Ji7，则点尸的轨迹长度为（）

A."rB.27tC.2缶D.3兀

28.（2023•重庆•模拟预测）已知棱长为3的正四面体A-BCD,P是空间内的任一动点，且满足

PA>2PD,E为中点，过点。的平面。〃平面8CE,则平面a截动点尸的轨迹所形成的图形的面积为

（）

A.7TB.2TtC.3%D.47r

29.（2023•浙江•模拟预测）在棱长为上的正方体ABC。-中，P为侧面BCC由内的动点，且直

线与的夹角为30。，则点尸的轨迹长为；若点A与动点P均在球。表面上，球。的表

面积为.

30.（2023•江苏无锡•高三期末）正四面体ABCD的棱长为12,在平面BC。内有一动点尸，且满足

AP=673,则尸点的轨迹是：设直线AP与直线BC所成的角为6,则cos。的取值范围为

W08以立体几何为载体的情境题

31.（2023•河北•高三校联考期末）由空间一点。出发不共面的三条射线。4,OB,0C及相邻两射线

所在平面构成的几何图形叫三面角，记为O-ABC.其中。叫做三面角的顶点，面AOB,BOC,C6M叫

做三面角的面，ZAOB,NBOC,/AOC叫做三面角的三个面角，分别记为a,B，丫，二面角

A-OB-C.B-OA-C.A—OC—3叫做三面角的二面角，设二面角A—OC-3的平面角大小为x,则一

定成立的是()

cosa-cosScosycosa+cos£cos/

A.cosx=------；------------—B.cosx=-----；------J-------

sin夕sin/sin,sin/

sinor-sin/?sinysina+sin£siny

C.cosx=--------------------D.cosx=--------------------

cos夕cosycos夕cos/

32.(2023•辽宁沈阳•统考一模)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,

规定：多面体顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角

度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.则正

八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）

A.2兀B.4兀C.6兀D.8兀

33.（2023•山西长治•高三统考阶段练习）设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在尸处的离散曲

率为1-1（/。/。,+/。,尸。3+~+/2尸9）其中2，。=123..,Q3）为多面体加的所有与点尸相邻的顶

27r

点，且平面。|尸。2，02尸。3，……，遍及多面体加的所有以尸为公共点的面如图是正四面体、正八

面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a,b,c,d,则a,b,c,1的大

小关系是（）

正四面体正八面体正十二面体正二十面体

A.a>b>c>dB.a>b>d>c

C.b>a>d>cD.c>d>b>a

W09翻折问题

34.（2023•江苏南京•高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在菱形ABC。中，ZABC=60°,M为

8C的中点，将“IBM沿直线A"翻折成连接与C和耳。，N为耳。的中点，则在翻折过程中,

下列说法中错误的是（）

B.不存在某个位置，使得平面ACN

C.存在某个位置，使得A片，CD

D.AS1与CN的夹角为三

35.（2023•浙江衢州•高一统考期末）在矩形A3CL（中，BC=4,M为3c的中点，将AABMr和△DCM

沿AM,DM翻折，使点B与点C重合于点尸，若NAPr>=135。，则三棱锥V-7^4。外接球的表面积为

（）

A.12;tB.36KC.96-160）兀D.94一16四）兀

36.（2023•江苏盐城•高一盐城市第一中学校联考期中）己知正方形A3CD的边长为2,现将AAOC沿

对角线AC翻折，得到三棱锥D-MC.记ACBCAD的中点分别为则下列结论错误的是（）

A.MN与平面30。所成角的范围是

B.三棱锥D-ABC体积的最大值为述

3

C.MV与AC所成角的范围是

D.三棱锥ABC的外接球的表面积为定值

37.（2023•全国•高三对口高考）如图，已知矩形A8CD,48=1,&?=友.将4"。沿矩形的对角线

的所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）

A'

A.对任意位置，三组直线“AC与30”，“A3与。”，“4。与2。”均不垂直

B.存在某个位置，使得直线AC与直线垂直

C.存在某个位置，使得直线AD与直线3C垂直

D.存在某个位置，使得直线A3与直线CO垂直

专题14立体几何常见压轴小题全归纳

目录

01球与截面面积问题................................................................13

02体积、面积、周长、角度、距离定值问题............................................17

03体积、面积'周长、距离最值与范围问题............................................27

04立体几何中的交线问题...........................................................35

05空间线段以及线段之和最值问题....................................................38

06空间角问题.....................................................................43

07轨迹问题........................................................................51

08以立体几何为载体的情境题.......................................................57

09翻折问题.......................................................................59

一题型01球与截面面积问题

1.（2023•浙江宁波・统考一模）已知二面角尸-3C的大小为彳，球。与直线,相切，且平面

PAB、平面ABC截球O的两个截面圆的半径分别为1、后，则球0半径的最大可能值为（

A.72B.2A/2C.3D.M

【答案】D

【解析】设点。在平面R1B、平面ABC内的射影点分别为V、N,

设球。切A3于点E,连接ME、NE、MN,如下图所示：

因为平面RR,ABu平面则

由球的几何性质可知，OE±AB,

因为。MnOE=O,OM>OEu平面。0E,则AB2平面OME,

同理可知，2平面ONE,

因为过点E作直线A3的垂面，有且只有一个，所以，平面OME、平面ONE重合，

因为0"_1_平面BIB,MEu平面则同理可知，ON±NE,

所以，。、M,E、N四点共圆，

由已知条件可知，ME=1,NE=&.，

因为AB2平面OME,NE、MEu平面OME,则AB_LME,ABINE,

所以，二面角尸-AB-C的平面角为/MEN或其补角.

37r

①当NMEN=一时，

4

由余弦定理可得MN?=ME2+N£2-2ME,NECOS3=1+2-2xlx夜x--

4I2J

=5,故MN=层，

易知，0E为AACVE外接圆的一条弦，

MN_卡>

所以，球。半径0E的最大值即为出外接圆的直径，即为sin/MEN=方

~T

JT

②当=—时，

2-2ME-NEcos-=l+2-2xlxy/2x—=l

42

故肱V=l,

易知，0E为AACVE外接圆的一条弦,

MN=-L=J2

所以，球。半径0E的最大值即为△肱VE外接圆的直径，即为sin/MEN0

2

综上所述，球。的半径的最大可能值为质.

故选：D.

2.（2023•海南海口•海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一

个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，a，a为圆柱上下底面

的圆心，。为球心，E尸为底面圆Q的一条直径，若球的半径厂=2,则平面OE尸截球所得的截面面积最

13c14c16

A.27rB.——71C.---71D.——7T

555

【答案】D

【解析】由球的半径为人可知圆柱的底面半径为广，圆柱的高为2r,过。作。于G,如图所示:

275

丁

设平面OEF截得球的截面圆的半径为｛,

当所在底面圆周上运动时,

0到平面DEF的距离4VOG,

所以1=产一力=4_力＞4--|=y

所以平面DEF截得球的截面面积最小值为g兀，

故D正确；

故选：D.

3.（2023•四川内江•四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球。是正三棱锥A-BCD（底面是正三

角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BCf,A3=0,点£是线段8c的中点，过点E

作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）

,37t2兀0兀一兀

A.—B.——C.-D.-

4324

【答案】A

【解析】如图：

。1是A在底面的射影，由正弦定理得,△BCD的外接圆半径xl=1.

sin60°2

由勾股定理得棱锥的高|AQ|=万1=1设球。的半径为R,

贝I］我=（1-R>+1,解得R=l,

所以|oq|=o,即以与。重合,

所以当过点E作球。的截面垂直于0E时，截面面积最小,

此时截面半径为忸囿=立，截面面积为二.

1124

故选：A.

4.（2023•江西•高三校联考阶段练习）在正方体A8CZJ-AgG。中，AB=2,M,N分别为的中

点，该正方体的外接球为球O,则平面截球。得到的截面圆的面积为（）

A.如B.办c.旦D.巴

5555

【答案】D

【解析】如图，连接与N,由题意易知MN||A片，

MN=故四边形4用20为平行四边形.

设用CcBG=H,取4G的中点K,连接NK,

在RjgKN中，B、N=下,B、K=1,NK=2,

故点K到B\N的距离为半，故点H到B、N的距离为g,

因此圆心0到平面A、MN的距离为咚.由题易知球。的半径R=有，

故平面AMN截球O得到的截面圆的半径r=,故截面圆的面积S=无产=g兀.

题型02体积、面积、周长、角度、距离定值问题

5.（多选题）（2021•新高考I）在正三棱柱ABC-AAG中，&2=的=1,点P满足丽=2品+〃瓯，其

中/le[O,1],〃e[0,1],则（）

A.当；1=1时，△用P的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸-ABC的体积为定值

c.当时，有且仅有一个点P,使得产

D.当〃=；时，有且仅有一个点尸，使得平面AB/

【答案】BD

【解析】对于A,当4=1时，丽=阮+〃西，即5=〃西，所以乔//西,

故点P在线段CG上，此时△ABXP的周长为ABX+BtP+AP,

当点P为CG的中点时，的周长为e+夜，

当点P在点G处时，△AB1尸的周长为2点+1,

故周长不为定值，故选项A错误;

对于3,当〃=1时，BP=XBC+BB[,BP^P=ABC,所以肝//而,

故点P在线段上，

因为4G//平面ABC,

所以直线B£上的点到平面A,BC的距离相等，

又△ABC的面积为定值，

所以三棱锥P-48c的体积为定值，故选项3正确;

对于C,当时，取线段3C,8c的中点分别为M,,连结MM,

因为而=gm+"瓯，即砺=〃西，所以而/函,

则点P在线段必加上，

当点P在M处时，A,M}IBjCp4Ml

又瓦。10|瓦2=用，所以4必J■平面BAGC,

又u平面BBC。，所以即4尸_1,3尸，

同理，当点P在〃处，\PLBP,故选项C错误；

对于。，当〃=g时，取CG的中点，，的中点。，

因为丽=彳/+!西，BPDP=ABC,所以琼//交，

则点P在线的£>2上，

当点P在点2处时，取AC的中点E,连结A[E,BE,

因为BEJ_平面ACGA，又ADU平面ACGA，所以ARJ.BE,

在正方形ACGA中，AD^A.E,

又BEp|AE=E，BE,AEU平面ABE,

故AD】_L平面ABE，又ABu平面ABE,所以ABLAR,

在正方体形AB4A中，AB_LA4，

又420|覆1=4,AD1；Agu平面A4R,所以_L平面ABQ],

因为过定点A与定直线AtB垂直的平面有且只有一个，

故有且仅有一个点P,使得A3,平面尸，故选项。正确.

故选：BD.

6.（2023•全国•高三专题练习）正三棱柱ABC-A片G的各条棱的长度均相等，。为人4的中点，M,

N分别是线段8耳和线段CQ上的动点（含端点），且满足BM=GN,当M,N运动时，下列结论正确的

是（）

A.在AOMN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面。MN_L平面8CG4

C.三棱锥A-OMV的体积为定值

D.ADMN可能为直角三角形

【答案】ABC

【解析】取MN、BC的中点。、E,连接。。、OE、AE.

对于A选项，•.•班//CC]且即=CG，BM=C[N,

:.BM+CN=ClN+CN=CCl=AA1,^BM//CN//A^,

易知四边形3CW为梯形或平行四边形，

因为。、E分别为MN、3c的中点，所以，OEHBMHCN,则。E7/AD,

gM+CjV

>OE==-CCl=-AAi,

222

QO为4A的中点，，Ar>=:44,=OE,

所以，四边形ADOE为平行四边形，.•.OD〃AE,

•.•ODO平面ABC,AEu平面ABC,；.OD〃平面ABC,A选项正确；

对于B选项，•.•△ABC为等边三角形，E为BC的中点，则AELBC,

•.•2耳_1_平面48。，

QBCI.1AE，平面BCG4，ODIIAE,（9D±BCC^,

•rODu平面DMN,因此，平面Z）A/N_L平面BCC4,B选项正确；

对于C选项，因为AADM■的面积为定值，

CCJ/AA，。（^^平面抽耳？，A^u平面A4t耳8,所以，CG〃平面9片B,

因为NeCC”所以，点N到平面4418n的距离为定值，进而可知，三棱锥A-DMN的体积为定值，C选

项正确；

对于D选项，•.•8，平面8耳。（，％乂匚平面8月。。，.・.。。，阿，

•.•。为MN的中点，则DM=OV,

若ADAW为直角三角形，贝以DMN为等腰直角三角形，则。D=OM=ON=gMN,

设正三棱柱ABC-4与£的棱长为2,则OD=AE=2sin6（r=^,则MV=26,

因为MNVBG=2及，散MN丰2乖,所以，ADMN不可能为直角三角形，D选项错误.

故选：ABC.

7.（2023•湖南•邵阳市第二中学模拟预测）如图，在棱长为1的正方体A8C。-ABIGA中，尸为线段

上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）

A.三棱锥4-8DG外接球表面积为3万

B.三棱锥尸的体积为定值

C.过点尸平行于平面4出。的平面被正方体AB8-AAG2截得的多边形的面积为指

D.直线尸4与平面48。所成角的正弦值的范围为岑，丰

【答案】ABD

【解析】对于A选项，三棱锥A-8DG外接球即为正方体A8C。-的外接球，

正方体ABC。-ABIGQ的外接球直径为2R=A/L

故三棱锥A-BOG外接球的表面积为4万尺2=3%,A对；

对于B选项，因为B即/。2且故四边形B8QD为平行四边形，

所以，BQJIBD,QgRa平面ABD,5Z）u平面Af。，「.BQi〃平面ABD,

••,PeBR,所以点p到平面AXBD的距离等于点Dx到平面的距离，

5"叩=/4A,DD]=—,Vp_\BD==^B-\DDX=§S"ODj"A3=：,B对；

对于c选项，・.・4月//0）且44=8,则四边形4As为平行四边形,

所以，AD“B,C,

•••丹。0平面48。，ADu平面所以，B1C〃平面ABD,

又因为用R〃平面A?。，BCcBQi=Bi，所以，平面4CQ〃平面AB。，

所以，过点尸平行于平面48。的平面被正方体A8CD-A4GD截得的多边形为ABC。，

易知ABCR是边长为行的等边三角形，该三角形的面积为曰*（后『=*，C错；

设点尸到平面48。的距离为"由VP_AiBD=以“皿=g知，

l

点P到平面ABD的距离为h=等吧=一3x言=乎，

~2

当点P在线段3a上运动时，因为A4=A2,若尸为BQ的中点时，PA-L^Dj,

（必需=；与口=,，

当点尸为线段8a的端点时，（缶）皿=1,即24PA41,

设直线尸4与平面48。所成角为e,Sin9=ge卓,当,D正确.

故选：ABD.

8.（2023•广东实验中学高一期中）已知正四面体ABCD的棱长为3,其外接球的球心为O.点E满足

AE=AAB（O<A<1）,过点E作平面。平行于AC和3D,设。分别与该正四面体的棱BC、CD、ZM相

交于点/、G、H,贝I」（）

A.四边形EFGH的周长为定值6

B.当4=g时，四边形E/GH为正方形

C.当力=；时，。截球。所得截面的周长为旧力

D.32G(O,l),使得四边形瓦GH为等腰梯形

【答案】ABC

【解析】对于A选项，因为AC//平面EFGH,ACu平面ABC,平面ABCpI平面瓦GH,

EF//AC,同理可得GH〃AC,所以，EF//GH,同理由〃/G,

所以，四边形E/7GH为平行四边形，则砂=G",EH=FG,

因为£F〃AC,则变=些=1一2,同理受=笠=2,

ACABBDAB

所以，Eb+£H=3。—九)+34=3,因此，四边形瓦G”的周长为定值6,A对；

对于B选项，取线段8。的中点“，连接AM、CM,

因为="为3D的中点，所以，AM±BD,同理5D_LCM,

因为AMcCM=V,所以，3D_L平面ACM,•jACu平面ACM,:.AC±BD,

当时，贝=

222

因为£F〃AC,EHUBD,ACLBD,：.EF±EH,

所以，四边形EFGH为正方形，B对；

对于C选项，将正四面体ABCD补成正方体ABBQ-NCm,

则正方体APBQ-NCTD的棱长为”=1A?=述，

22

该正方体的体对角线为AT=超AP=巫,

2

所以，线段AT的中点。为正四面体ABCD的外接球球心，则球。的半径为R=亚，

4

因为PB〃DNS.PB=DN,则四边形P3DN为平行四边形，所以，BD//PN,

因为EF//AC,后「^平面""，4。＜=平面四。^,二£/;7/平面儿?。^^

因为EH1IBD,则EH//PN,因为EH仁平面APCN,PNu平面APCN,〃平面APCN,

因为曾「即=£,所以，平面EFG"〃平面APCN,

设平面E/G”分别交棱CT、PB、AQ、DN于点、I、J、K、L,连接〃、JK、KL、LI,

因为平面EFGHH平面APCN,平面APBQA平面EFGH=JK,平面APBQ^\平面APCN=AP,

JK//AP,

同理〃7/CN,因为APHCN,;.JKHIL,同理〃〃乙K,

所以四边形"KL为平行四边形，

AKAE11F)

-,-JK//AP,APHQB,则JK〃Q8,则〒=弁=胃，；.AK=上AQ=4，

AQAB332

因为点。到平面APCN的距离为＜4。=孚，

易知平面〃KL与平面APCN之间的距离为AK=YZ,

2

所以，球心。到平面EFGH的距离为1=述-"=",

424

所以，球。被平面EFGH所截的圆的半径为r=VFK=巫，

2

因此，当4=g时，。截球。所得截面的周长为=,C对；

对于D选项，由A选项可知，四边形EFGH必为平行四边形，D错.

故选：ABC.

9.（2023•江苏苏州•模拟预测）在棱长为1的正方体中，点P满足

DP=ADZ）i+//DA,[0,1],we[0,1],则（）

A.当2=〃时，BP±AC,

B