高考数学一轮复习重难点突破：玩转指对幂比较大小（含解析）

玩转指对幕比较大小

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：直接利用单调性........................................................................3

题型二：引入媒介值.............................................................................4

题型三：含变量问题.............................................................................6

题型四：构造函数...............................................................................8

题型五：数形结合..............................................................................12

题型六：特殊值法、估算法.....................................................................18

题型七：放缩法................................................................................20

题型八：不定方程..............................................................................23

题型九：泰勒展开..............................................................................25

题型十：同构法................................................................................27

题型十一：帕德逼近估算法.....................................................................31

03过关测试....................................................................32

（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定,b,c的大小.

（2）指、对、暴大小比较的常用方法：

①底数相同，指数不同时，如°』和优2,利用指数函数＞=/的单调性；

②指数相同，底数不同，如X：和甘利用幕函数『=/单调性比较大小;

③底数相同，真数不同，如log*和log,%利用指数函数log“x单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大

小关系的判定.

（3）转化为两函数图象交点的横坐标

（4）特殊值法

（5）估算法

（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

（7）常见函数的麦克劳林展开式：

2

xVe&府

®e=l+x+—+…+——+--------x

2!n\(w+1)!

N52,.+\

②sinx=x------1-----------------------------------------------------FO(X2K+2)

3!5!(北I1)!

fY4X6X2"

@cosx=l-—+——+。(铲)

2!4!6!(2〃)！

丫2v3丫〃+1

④ln(l+x)=x-—+-------+(-1)〃二一+o(x〃+i)

23n+\

⑤------=1+X+X2+…+%”+0(x〃)

1-x

@(1+x)n=1+nx+!1)L2+o(x2)

0

题型归纳与总结

题型一：直接利用单调性

【典例1-1】记aMBMluOjWZ.CniogozOj,贝!!（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】因为6=0.3一幕函数y=/在（0,+功上单调递增，

又£>3,所以1/：2>3°2>3°=1,

所以b>a>\,

又对数函数夕=唾02》在（0，+s）上单调递减，所以c=logo,203<logo,2S2=l,

故6>a>l>c.

故选：D.

【典例1-2］（2024•全国•模拟预测）已知a=3°%&=log25,©=1幅2百,则实数a,b,c的大小关系

是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【解析】由y=3*在R上单调递增，可得3°4>34=6>}又（3°J了=27<25=32,

则士<4=3“<2.

2

由y=log2x在（0,+s）上单调递增,可得方=log25>log,4=2.

由y=logs》在（0,+（»）上单调递增，可得c=log32g<log33G=m.

所以b>a>c,

故选：A.

£3

【变式1-1］设a；］：,6=仁『，c=lnl,6,贝|（）

A.c<a<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

2T鼻

162000(纤J3]=27J323

49-6125(5)1256125

3

3『，即a>b,

>

32768

=15.625，

3125

所以(e°6)5>i.65,所以e°6〉1.6，则lne06>lnl.6，即lnl.6<0.6,

3

又6==|,所以6>c,

所以a>b>c.

故选：D

【变式1-2](2024•宁夏银川•三模)已知”=0.2°"b=cos2,c=lgl5,则()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】由题知a=0.2%6=cos2,c=lgl5,因为/'(x)=lgx在定义域内单调递增,

所以/(15)>[(10),即c=lgl5>lgl0=l,

因为g(x)=0.2,在定义域内单调递减，所以g[J<g(0),BP0<a=0.2°-5<0.2°=b

因为/z(x)=cosx在(0,兀)上单调递减，所以〃⑵<,即6=cos2<cos]=0,

综上：b<0<a<l<c.

故选：D

题型二：引入媒介值

【典例2-1】(2024•甘肃兰州•二模)故a[胃、6=c=log3y,贝Ua,b,c的大小顺序是

()

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

_553

【解析】7=U>1=噫9>。=1。83g

所以c<6<〃，

故选：D

【典例2-2】（2024•高三•广西•开学考试）已知a=sinB，6=2°」，c=log,百，贝!|（）

6

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

【解析】a=sin兀?=：1,

62

因为2°<2°」<方，所以1<6<2,

log241<log,V3<log22,所以;<c<l,

所以6>c>a,

故选：A.

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）已知。=啕30・6,b=O.50-6，c=2cos222.5°-b那么。，b,c的

大小关系为（）

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

【答案】B

1111

【解析】因为（0.6）7>0.3,所以06〉035，则〃=logo.3<bgo.3。3万=—，BP0<tz<—,

22

0.5<Z>=0.5°-6<0.^-5=—,即工<b=正，

222

c=2cos222.5°-1=cos45°=——，故Q<6<C

2

故选：B

【变式2-2］（2024•江西上饶•模拟预测）设（；）。=2,6=108工:，,=（；#，则有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】B

【解析】由6=2,得a=log『<bg；l=0,Z,=logi|=log23>log22V2=1,

113

c=23<22<-,而c>0,所以…<6.

2

故选：B

题型三：含变量问题

【典例3-1］（2024•陕西西安•统考一模）设。>6>0,。+6=1且x=）=k>g［a,z=lo,+］）a6,则

x,%z的大小关系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.X<y<z

【答案】A

【解析】由a>6>0,a+b=1,可得0<6<—<a<l,

2

贝Ij2=1强'卡=log/b=log^b=-\

\ab）abab

因为o<b<l,所以&6=1,则广log〃=Tog/>Tog"=-l,

b

因为尤=_（工］<-1,所以x<z<y.

故选：A.

【典例3-2】（多选题）若0<a<b<l,贝!］（）

A.ab<baB.ab+］<a+b

C.a''h<b'~aD.

【答案】AC

【解析】A选项中，因为0<a<l,故>=优在R上单调递减，故/

因为y=x"在（0,+e）上单调递增，故a"<b"，综上，ab<aa<ba，A正确；

B选项中，由于。+6-。6-1=（。一1）（1一6）<0,而已知0<a<b<l,所以B不正确；

C选项中，al-b<b'-a—

\-a\-b

设〃x)==(0<X<1)，则/-(x)=(0<X<1”

设g(x)=lnx+L-l(0<x<l),

y—I

贝g'(x)=<°ng(x)>g(l)=0nf，(x)>0,

X

所以了⑴在(0,1)上递增，这样故C正确；

D选项中，取。=：,b=；,则1084(1+6)=1081；=1081^^,1086(1+〃)=1。81%,

933,

又空=巫〉色>[,故logji+bAlogi^vlogMl+aQlogi4,所以D错误.

399§339

故选：AC.

【变式3-1](多选题)(2024•海南海口•模拟预测)已知x,y,z都为正数，且2,=3y=6)贝U()

111,1

A.xy>4z2B.-+C.x+y>4zD.x+y<5z

xyz

【答案】ACD

【解析】令2*=3〉=6"=上>1,贝！]x=log2左，y=log3k,z=log6k,

所以‘+'=log/2+1(^3=108^6=J，B错误；

xyz

z=2^L<^y=&(注意x/y>0等号不成立)，故4z2<xy,A正确；

x+y2jxy2

z=je)L<(x+y)i=x+Z(注意等号不成立)，贝iJ4z<x+y,C正确，

x+y4(x+y)4

由x+y—5z=log2左+log3左一51og6左,令f(x)=log2X+log3X-5log6X<XG(1,+oo),

贝1]八x)=-(―+————)=--[(ln6)~~51n21n3],

xln2In3In6xIn2In3In6

由(In6)2-51n21n3=(In2+ln3)2-5In2In3=(ln1^)2-In21n3<(InVe)2-In21n3=-In2In3,

因为ln3>lne=l,--In21n3<--ln2=ln^^<0，

442

综上，f\x)<0,即/(x)在X£(l,+8)上单调递减，

所以/(x)</(l)=0,故1%％+1。83%〈51叫了恒成立，即x+y〈5z,D正确.

故选：ACD

-!-<ln(l+-)<-,贝!!(

【变式3-2］（多选题）（2024・山西•模拟预测）已知当x〉0时,

1+xXX

上B.In9<l+—H-----F—<InlO

A.9❷2829

【答案】ACD

1]1111Q-9

【解析】因为;---<ln(l+—)<—,令、=8,---=—<ln(l+-)=In—,则e9<一,

1+xxx1+89888

令x=9,ln(l+1)=lny<1,则与<e"A正确;

因为ln(l+3=ln3<上，则ln2<l,ln-<-,In—<-,以上各式相加有lnl0<l+1+…+1,B

xxx1229929

错误;

由ln(l+3=上x+1<L得,xln(x+l)-xlnx-l<0,即xln(x+l)-(x-l)lnx-l<Inx,

xxx

于是ln2-l<lnl,21n3-ln2-l<ln2,31n4-21n3-l<ln3,...»9lnlO-8In9-l<ln9,

以上各式相加有91nl0-9<ln9!,即e瓜7分=.=(3)9<9!,C正确；

ee

1||r°r1c9i

由ln(l+±)<七得，(l+-r<e,因止匕斗+学+...+W=(i+_Ly<e,

XXX9999

【变式3-31(多选题)(2024•湖北•模拟预测)己知正实数a,6,c满足c"<6"<1<log,“，则一定有

()

A.a<1B.a<bC.b<cD.c<a

【答案】AB

【解析】由正实数a,b,c,以及J<1,加<1可得c,6e(O,l),

又log。a>1=log3,所以a<c<l.

所以/<cJ又以<6",所以/<",

即61na<alnb,等价于史色〈电2,

ab

构造函数/(x)=53，x>0

/，(上手，

当xe(O,l)时，-@)=匕野>0

故〃》)=?在(0,1)上递增，从而a<6.

又取b=c时，原式为6"</<1<log/同样成立，

故CD不正确，

故选：AB

题型四：构造函数

2

【典例4-1】设。=log32,b=log,3,c=~,d=log53,则(

A.a<b<c<dB.a<c<d<b

C.a<d<c<bD.c<a<b<d

【答案】B

【解析】构造函数/(')=—,/(')的定义域为(0,+功，

/(切=上等，令/'(x)>0可得：xe(O,e),令/'(无)<0可得：xe(e,+e),

所以/(无)在(O,e)上单调递增，在(e,+e)上单调递减.

故〃3)>〃4)=〃2),即**竽

变形可得丁工<；，即log32<7，所以Q<C；

In333

2

X31n3=ln27>ln25=21n5,所以§<k)g53,又因为1(^3〈log,？，

所以综上，a<c<d<b,

故选：B.

11,Z>=2Infsin1^+cos1^\c=|ln|,则a,6,c的大小关系是

【典例4-2](2024•湖北武汉•二模)设”

51010

)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】由已知可得6=21n(sin'+cos二1Y1

=ln|sin—+cos—I=ln(l+sin—),

1010I1010

设/(%)=%—sinx,xe(0,l),则=1-cosx>0,

所以/(x)=^-sinx在(0,1)上单调递增,

>/(0)=0,即g>sing,所以b=ln[l+sin；1]<ln[l+11],

所以/

I55

1y

设g(无)=x-ln(x+l),%e(0,l),则g'(x)=l-----=---->0,

x+lX+1

所以g(x)=X-ln(x+1)在(0,1)上单调递增,

所以gg)>g(0)=0,即311111+口>，1+5出口，

综上,

设〃(x)=x-£ln(x+l),XG(0,1),则斤(x)=l--J=生。

55x+5x+l

g,l]时，h\x)>0,

当时，h'(x)<0,当XG

所以h(x)=x-|ln(x+1)在上单调递减，在(，1J上单调递增，

所以打gJ<〃(0)=0,即:<■|ln"+"]=：ln：,所以.<c,

所以6<Q<C

故选：B.

4

【变式4-1】设。=mp6=lnl.04,c=e°°4—l,则下列关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】设/(x)=e=(x+l),g(x)=lnx-(xT),则/⑴=e-l,g'(x)=子，

易知尤>0=>/'(X)>0,1>x>0=>g'(x)>0,且x<0n/'(%)(0,»1=>8'(尤)<0,

所以/(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+功上单调递增；g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

即1(x)2/(O)=OneX-12X,在工=0时取得等号，

且g(x)Wg(l)=0nlnxWx—1,在x=l时取得等号，则ln^W工-1">0)nIn尤21—1，在x=l时取得等

XXX

号，

144

所以e004-l>0.04=1.04-1>lnl.04>l-----=—>——，^c>b>a.

1.04104105

故选：D

【变式4-2](2024•全国•模拟预测)已知°=5。5。,6=49",c=5149.则()

A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c

【答案】B

【解析】因为a=5()5。，b=495l所以Inq=501n50,lnb=5Hn49,

令〃x)磊")1+——Inx

则

令g(x)=l+：—hix(x〉e2),则8'卜)=一^^<0恒成立,

所以g(x)在旧+8)上单调递减，则g(无)<g(e2)=l+4-2<0,

Q

所以八x)<0在•，+«)上恒成立,则以x)上单调递减,又^<49<50,

所以/(50)</(49),即甯<甯，即501n50<5Hn49,

所以Inq<In6,则Q<6；

因为c=5/9,所以lnc=491n51,而ln〃=501n50,

]r\x/八1----Inx

令h(x)^—(x>e),则“⑴=J),,

令0(x)=l----lnx(x>e2),则d(x)=—二<0恒成立，

所以9(x)在(e2,+oo)上单调递减，则研尤)<9卜2)=1-：-2<0,

所以〃(x)<0在付+可上恒成立，则贴)上单调递减，Xe2<50<51>

所以〃(51)<〃(50),即〈鬻，即491n51<50ki50,

所以Inc<In〃，贝ljc<a；

综上，c<a<b.

故选：B.

【变式4-3］已知。=log2986—log2985,6=1-cos^—,c=^—,则()

986985

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

【答案】c

【解析】设g(x)=log2(x+l)-x,xe(0,l),则g'(x)=&/而5-1，

当时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当丁€【右7』时'g'(x)<°，g(x)单调递增；

又g(o)=g(l)=°，所以g(x)=log2(x+l)_%>0,%w(0,l)，

1

所以〃=log986-log985=--------二c；

22985

0</?=1-cos---<1,0<—<c=—<1

986986985

设/(x)=l-cosx-x,0<x<l,

r(x)=sinx-l<0,所以函数/(x)在区间(0,1)上单调递减,

所以/(x)=l-cosx-x</(0)=0,

所以l-cosx<x,又0<^—<1,

所以1-cos-'-v-'-V-1-

贝1Jb<c,

986986985

综上，a>c>b.

故选：C.

题型五：数形结合

【典例5-1】(2024•高三•海南•期末)若。=lnl.1,6=4,。=炳，贝!]()

e

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】c

【解析】设〃x)=lnx-(x-l),/'(x)=1-l,当xe(l,2)时，

r(x)<0,/(x)单减，故/==即

设g(x)=e、'-(x+1),g〈x)=e*—l,当xe(-l,0)时，gf(x)<0,

所以g(-O.9)>g(O),即e«9-(-0.9+l)>e。-(0+l)=0,即

c=0.P>0,1'=0,1'故"最小，

433=焉=壶,(e0t,)10<39=19683,(710),°=105=100000,

因为19683<100000,所以,°9广<39<(而广，所以e"vJiU,g>卡，

所以b>c>〃

故选：C

13

【典例5-2】(2024•陕西商洛•模拟预测)设。=sin0.2/=0.16,c=—In不，则()

22

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】设/(%)=sinx一(x-％£[o,0.2](x)=cosx-1+2x,

设g(x)=f'(x),g'(x)=-sinx+2>0,所以g(x)2g(0)=0,

所以函数/(x)在[0,0.2]上单调递增，

所以/(0.2)=$M0.2-(0.2-02)=5吊0.2-0.16>4。=(,即a>b.

根据已矢口传c=—In—=—In—=—In，

2220.821-0.2

可设〃(力=)[1!1(1+1)-111(1一%)]-5111¥,XG[0,0.2],

则"(x)=2L+1-cosx=—二-cosx>0,

v7

21l+x1-x\—X

所以函数“X)在［o,0.2］上单调递增,

所以力(O2)>力(0)=0,gpotz.

综上，c>a>b.

故选：D.

【变式5-1]已知°=0.8°5+0.8°7+0.8°9,/,=O.6°-8+O.7O-8+O.8O-8,「一一+「段+丁，，则(

C-V\CTD

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】设f(x)=08,画出/(x)的图象，

故/(x)为下凸函数,

当x尸％时/(演)丁优)>4宥1

05070907

所以0.8心+0.8"9>2X0.8°7,a=O.8-+O,8-+O.8->3xO.8-.

设g(x)=x°%x>0),画出g(x)图象,

，斗g(x)=x°8(x>0)

故g(x)为上凸函数，当X尸z时g(,2"J<g[122]，

所以b=O.608+O.70-8+0.潸<3xO.708，

同一坐标系内画出/(无)=0®和r(x)=07的图象，

r（x）=0.7xZ

段）=08S87

O.

7S1

O.

O\0?77

又y=07在R上单调递减，故0.8°7>0.7"7>0.7°巴所以。>尻

^A（x）=lnx-1+—（0<x<l）,则〃（x）=L--y<0,力（无）在（0,1）上单调递减,

所以0<x<l时/z（x）>/z（l）=0,

所以0.6°s>e-同理可得0.7北>屋石，O.80-8>,

相加得0.6&8+O,70-8+O,808>e、+e行+e"，b>c>

所以a>6>c.

故选：A

【变式5-2](2024•四川广安•二模)已知。，b,。均为正数，«=1+1-2\〃=4+6(2-3"),

4-2

----r-=log4(c+3),则。，b,。的大小关系为()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】。=1+±-2'可变形为：a--=l-r,〃=4+“2-3')可变形为：b-^-=2-3b,

aab

2

A_r4

-----=log4(c+3)可变形为：c—=-log4(c+3),

c------------------------c

JC

f(x)=x~—,g(x)=l-2,〃(x)=2-3*,^(x)=-log4(x+3),且无>0,

可知a,6,c分别为函数/(x)与g(x),h(x),4(无)的交点横坐标，

当x>0时,/(力单调递增且〃1)=-3,/⑵=0,

g(x),h(x),q(尤)这三个函数全部单调递减，Mg(l)=/z(l)=^(l)=-l>-3,g(2)=-3<0,

A(2)=-7<0,q(2)=-log45<-1<0,

由零点存在性定理可知:。也。41,2),所以只需判断g(x),h(xV夕卜)这三个函数的单调性,在

xe(l,2)范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大,

由图象可知，夕（x）=-log4（x+3）下降速度最慢，所以。最大，

gr（x）=-2xln2,h\x）=~yIn3,x〉0时，所以交点a>6,

【变式5-3］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知2"=l°g<，=k）g的,则下面正确的是（）

1

A.a>bB.a<—

4

C.b>^~D.|^-6|<—

2z

【答案】D

［解析］令”x）=2-log产2工+至~由2-logy,故/⑷=0,

22

由V=2*与y=log2x在（0,+8）上单调递增,故〃x）在（0,+功上单调递增,

又/［J=2"+log2；=24-2<0,/Q"|=22+log21=V2-l>0,故故B错误；

令g(x)=1J

一log[X=I+log2x,

2

由函数y=的图象及V=-log2X的图象可得g（x）在（o,+动上只有一个零点,

由0=1嗝6，故g(b)=0,

又g

-1=0-故befl吁故C错误;

O'2}

有.<6,故A错误；|°_目<四一,=理二'<1=1.,故D正确.

1124442

故选：D.

【变式5-4】雅各布•伯努利(JakobBernoulli,1654/705年)是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，

他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中.伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的

不等式.伯努利不等式的一种形式为：Vx>-1,〃EN*，则(l+x)〃21+内.伯努利不等式是数学中的一

种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用.已知

11

a=log2024-log2023,b=\-cosc=——，则()

2220242023

A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】B

2024c—120241

【解析】a=log22024-log22023=log2C-2023-2023-'

2023

令/(x)=log2X,g(x)=xT，两函数图象如图所示,

因为/(X)、g(x)均单调递增，且/(l)=g(l),〃2)=g⑵,

结合图象可知当xe(l,2)时,/(x)>g(x),BPlog2x>x-l,

20241

故噫黑>---------1故；

2023

TT

如图，单位圆4中，BD1AC于D,设NA4C=6,0<6><-,

2

则前的长度/=e，|/O|=cos。，|CQ|=l—cos。,

则由图易得，I>|SC|>|C£)|,BP0>l-cos0,

所以---->----->1-cos-----故。〉6；

202320242024

综上，a>c>b.

故选：B.

【变式5・5】(2024•高三•江苏苏州•期中)设。=(cos(,6=sin1,0=e；贝b,。的大小关系为

().

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】设=作出单位圆，与x轴交于A点，则/(1,0),

过点A作/C垂直于x轴，交射线08于点C,连接48,过点B作8DJ_x轴于点。，

由三角函数定义可知/C=tana,BD=sinafAB=a

设扇形CUB的面积为S],则,即万tana>—«>—sina,故tana>a>sina,

因为^所以tan：>：>sin!,

又cos—>0,由tan—>一得sin->一cos—,即6>a,

555555

令/(x)=e*-x-l,x<0,

贝ijr(x)=e，-l,当x<0时，/'(x)=e，一l<0,

故/(X)在(-8,0)上单调递减，

所以/U>/(0)=0,所以「>之,

故c〉b，

综上，a<b<c.

故选：D

【变式5-6］（2024•江西南昌•三模）若［；=log2。，CL2-C,则正数名Ac大小关系是

（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】由=log2a,则0为y=g］与y=logzx交点的横坐标，

由gJ=〃，贝U6为y=QJ与y=X?交点的横坐标，

由1=2-即c°=（g］'贝I。为y=与了二炉交点的横坐标，

2

作出y=,J=log2X,y=X,>=%的图象如下所示，

题型六：特殊值法,估算法

【典例6-1】若都不为零的实数a,b满足。>6,则（）

A.—<B.—I—>2C.ea~b>1D.Ina>In6

abab

【答案】C

【解析】取a=l,b=T,满足a",4错误;

ab

ha

当a=l,b=-l,满足a>6,fi-+y=-2<2,8错误；

ab

因为a>6,所以。一6>0,所以e"-">l，C正确；

当a<0或6<0时，lna,lnb无意义，故。错误.

故选：C

【典例6-2]已知〃=2",b=\nx,c=x3若％w（0,l）,贝！J。、b、。的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解析】取X=g,则a=2；>r6=lng<0,c=<1,所以a>c>b.

故选：B.

【变式6-1】已知”=百，b=2；，c=log?e,则a,b,。的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】由/=9,b&=2,可知。>b>l,

33

又由e?<8,从而©<2.^/2二”'可得。=1。82e</<a,

因为/一（§4=2-野<0,所以

56255

因为e5-26>2.75-64>0,从而e5>26,即e>25，

6£

由对数函数单调性可知，c=log2e>log225,

综上所述，a>c>b.

故选：B.

【变式6-2]（2024•陕西安康•模拟预测）若。，瓦c满足2">2",log3c<0,则（）

1cc

A./,x>0B.a>b

yb-a）c

C.ac>bcD.a+c>be

【答案】c

【解析】由2">2',log3c<0,得a>b,0<c<l,所以6-°<0,所以他，、<0,所以A错误;

令a=-l,b=-2,c=z,此时a。与6。无意义，所以B错误；

因为〃所以由不等式的性质可得ac>6c,所以C正确；

13

令a=—2,b=—3,c=—,则Q+C=—=bc,所以D错误.

22

故选：C.

题型七：放缩法

【典例7-1】(2024•全国•模拟预测)已知6=l+sin-,c=lT，则a,b,。的大小关系为

a-Q10

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】c

【解析】令/■(x)=e-x-l(x20),则/■'@)=/一120恒成立，

所以/(x)在(0,+")单调递增，

所以当x>0时，/(x)>/(0)=0,即e*>x+l(x>0)；

令g(x)=x-sinx(无上0),则g'(无)=l-cosx»0恒成立，

所以g(x)在(0,+功单调递增，

所以当x>0时，g(x)>g(O)=O,即sinx<x(x>0)；

由诱导公式得6=1+sin电=l+sin?,

ITjr—

所以b=l+sin—<1+—<e10,因此；

1010

因为。_,正<已而一e°4，c=l.l6=(l.l15)，

故只需比较e与1.之的大小，

151512

由二项式定理得，l.l=(1+0.1)>l+C]5x(0.1)+Cf5x(0.1)>3>e,

所以c>a.

综上，c>a>b.

故选：C

3

【典例7-2】(2024•全国•模拟预测)已知a」log,12,Z，=sin—,c=贝I](

3-10⑺

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】因为。=(log512=Jlog5：144>3og5：125=2，b=sin=<sin5=1,

3oo21062

所以.

兀1.兀1.兀1

因为b=sin3->sin—cos——=—sm—>一sin—=一1

101010252644

所以.

综上可知，c<b<a.

故选：B.

【变式7-1](2024•全国•模拟预测)已知a=lg2,6=lg5,则下列不等式中不成文的是(

A.0<ab<1B.20"*>—C.y[a+y[b>V2D.-l—>4

2ab