高考数学一轮复习专项突破：指数、对数、幂值的比较大小（原卷版和解析版）

专题突破卷-指数、对数、幕值的比较大小

亳题生颈姒

题生备小击破

题型一基本不等式比较大小

1.已知。>6>1,则下列不等式不一定成立的是（）

ab

A.------>------B.log/<log/

4+16+1

C.log/+log/>2D.ab>ba

2.设a=log2（）262025,6=log2（）252024,c=logo.202602025,则（）

A.c<a<bB.b<a<c

C.b<a<cD.a<b<c

3.已知°=T°g1,6=皿6.皿4,c=gj;则（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

4.已知玉=log32,X2=log56,%3='og25,贝！J（）

A.x1<x2<x3B.xx<x3<x2C.x3<xx<x2D.、3<%2<再

5.已知a>0,b>0,且a+b=ab,则下列不等式成立的是

A.a+b<4B.log2a+log2b>2

C.b\na>lD.4a+4b>3

6.下列不等式中不一定成立的是（）

4

2

A.QX-x>1B.lnx<x2-1C.1+-I<3D.Ig3.lg5<(lg4)

4

7.设。二噫3,6=噫5,c=log58,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

已知〃=：/=1!1[,0=(10867-1)1115,则(

8.)

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

9.设a=logs3,6=logg5,ce-ln2,则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

10.若a>6>l,x=ln，P=g(ln〃+In，),z=Jlna•In),则

)

A.B.J?<Z<X

C.z<x<>D.z<y<x

11.设。ulog/l,b=log1312,c=log0120.11,则（）

A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

12.已知5—a=lna,b=log43+log917,76+24b=25c,则以下关于a,b,c的大小关系正确的是

()

A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

13.若〃<6<0则()

ab

A.a2<b2B.ab<b2C.2a>2bD.-+->2

ba

”=log23,，=k）g34,c=：的大小关系为（）

14.

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

15.已知〃=1.01/=e°°i,c=4破，则。也c的大小关系为（

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

16.设Q/ER,S.a<b<0,贝1J(

ba

A.B.—>—

abab

baci+bI——

C.-+->2D.------>7ab

ab2

17.设p：a>0,b>0；下列条件中，不熊成为夕的必要条件的是（）

A.(a+b)11>4B.a3+b3>2ab2

a+b

C.+1)(6+1)>1D.a+b++y[a+y/b

18.已知。=log76,b=log87,c=log98,贝I()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<b<a

19.已知。则以下不正确的是（）

a

A.a+b>2B.a>1

C.b>\D.

ba

20.已知。=R)g32,b=k)g43,c=log54,贝ij(

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

题型二由不等式性质比较大小

21.下列说法中，正确的是（）

b

A.若a>b>0,c<d<0则一定有

fc~d

B.若。>b,I0|<|

C.右b>a,m>0,则---->—

b+mb

D.若加2,贝

6c74

—<a+b<—c

53

7

22.若正实数。c满足不等式组a<b+c<-a,则a,，,c的大小关系为()

6

2b<c+a<——117b

4

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

23.若Q,6,CER,a,b,c>0,且〃Z?+6c+ca=l则下列不等式一定成立的是（)

A.a2+b2+c2>2B.a+b+c>y[?)

C.a+b+c>V5D.a+b+c<42

24.下列命题为真命题的是（）

什b+cb

A.右a>b,贝!j----->—B.若a>b,c>d,则

a+ca

D.若贝U—^->—

C.若〃<6<0,贝!J/vabv/

a-ba

25.已知a>0,b>0,则下面结论正确的是（）

A.若ab=4,贝！JQ+6V4B.若a>b,贝!|42>於2

hhm

C.若Q+26=2,贝！12。+4°有最小值4D.若。>6>加>0,则一>——

aa+m

26.已矢口Q=log2986—log2985,6=1—cos--,。=----，贝!J()

986985

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

11I?1一

27.已知a=—e”,6—In——,c=—,那么。也c的大小关系为()

111110

A.b<a<cB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

28.若a也c满足2"〉2'/og3c<0,则()

A.z,1x>0B.ac>bc

\b-a)c

C.ac>beD.a+c>be

29.已知a,6,c£R,则下列命题为假命题的是()

A.若a>b,贝！Ja+c>6+cB.若a>b>0,贝!Ja"〉/，

什7八八n.rbb+C

D.右。>6>0,c>0,贝!j—〉----

aa+c

13

30.设。=547/=k）g25，c=lgw，则这三个数之间的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

题型三利用对数函数单调性比较大小

31.下列各不等式成立的是（）

,,5

0302

A.log26<-B.12>13-

「「2

C.In2<—D.log2>0,32

303

32.已知aea—兀，b\nb=兀，c=y/n，贝!J(

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

已知“=log?g,b=1.20,2,c=0,521,则a,

33.b,c的大小关系是)

A.a<c<bB.c<a<bc.c<b<aD.a<b<c

34.已知4=203,Z>=log21.5,c=log023,则a,6,c的大小关系为)

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

-0303

35.若a=4.2-，b=4.2-,c=log420.3,则a,b,c的大小关系为

A.a>b>cB.b>a>cc.c>a>bD.b>c>a

36.若a=lg0.8,6=0.69,C=0.49°4°,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a.

37.若a=log37,b=log940,c=J4.05，贝lj(

A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

-i.i

38.已知Q=，b=4°6,c=log8,则0,b,c的大小关系为（

I3

A.a<c<bB.b<c<ac.c<a<bD.c<b<a

0.4

1

39.已知4=2°」，b=，C=log则（)

32e

A.a>b>cB.b>c>ac.a>c>bD.c>a>b

40.已知a,6eR,且a>b,则下列不等式一定成立的是（）

11

A.—>—B.C.tz3>b3D.ac1>be2

ab

题型四利用森函数单调性比较大小

41.若a=0.2%6=0.3%c=log050.3,则a,b,。的大小关系为（）

A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

42.已知a则（

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

43.已知。=log62,Z>=log060.2,c=0.6%则a,b,c的大小关系（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

44.已知实数a=logo,2（）.3,6=（O.3）",c=3°2,则（）

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.a>b>c

45.已知a=log56,b=log2V81c=4e,则。，b,c大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

i

46.若a=10glie,6=（五10贝l]a,6,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

47.在0.6°3O,607,0.7°6,0.7°7这四个数中，最大的数为（）

A.O.606B.O.607C.O.70-6D.O.707

48.已知。>b>0,c<0,则下列正确的是（）

ba

A.ac>beB.ac>bcC——>——D.ab-bc>0

*c2c2

49.设a=0.5°4,b=04则（）

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

50.给出下列命题:

①若a>b,则ac2>be2;

②若a>b,则1;

ab

③若a,6是非零实数，且a<6,则

abab

④若。<b<0,JUlJa2>ab>b2

其中正确的命题是.（填对应序号即可）

®福时网篇

1.下列对数值比较大小正确的是（）

A.log210.4<log210.3B.>logL-^c.log32<log^4

D.log23<log023

22

兀

2.已知Q=log52,b=log3,c=sin—,比较Q,b,c的大小为()

46

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

6

20235+1,61720733+11,则。与。之间的大小关系是（

3.已知a=)

20234+l20235+1

A.a=bB.a>bC.a<bD.无法比较

4.比较大小：a=logj?/=e"\c=e》（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

5.下列各式大小比较中，其中正确的是（)

A.V7-V5>V5-V3

C.21n3<31n2

6.下列各式比较大小正确的是（）

A.1.725>1.73B.0.61>0.62C.O.801>1,201D.1.703<0,931

_3

7.已知a=logo.33,b=4,c=4-1则下列大小比较正确的是（)

A.a<b<cB.b<a<c

C.a〈c〈bD.c〈b〈a

8.已知。=笔界，6=舞:，则。与6之间的大小关系是（）

ZUZ1+12U21+1

A.a>bB.a<bC.a=bD.无法比较

9.设0<x<]t己a=lnsinx,Z?=sinx,c=esinx则比较a,b,。的大小关系为（)

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

10.下列各式比较大小正确的是（）

A.1.703<0.931B.1.72-5>1,73C.0.6'>0.62D.O.8-0-1>1,250-2

11.定义在尺上的函数/四=5指》+2X，若b=fQn回，c=fe3,则比较a,

b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

12.设实数a,6满足5"+lV=18"，7"+9'=15J则。，I的大小关系为（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.无法比较

20204+l,20205+l-।y日/、

13.已知a=---------,b=------------,则。，b之间1的1V大l小关系TE（）

20203+120204+1

A.a>bB.a<bC.a=bD.无法比较

14.在必修第一册教材“821几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当

0cx<2或x>4时，2">一当2<…时，请比较"1叫3,…吟，1喈

的大小关系

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

15.下列各式比较大小正确的是（）

A.1.725>1.73B.0.6-1<0.62

C.O.805>1,250-5D.1.7°3>0,931

16.已知。=bgo.53,b=Q.53,c=345试比较a,b,。的大小为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

17.下列比较大小正确的是（）

A.1<0.5-2<0.5-3B.OS?<1<OS?

c.0.5-3<1<OS?D.OS?<0,5-3<1

18.已知两个数a=0.4°%6=0.6°4则大小比较正确的是（）

A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b不能比较

19.已知。=bg尸，3=0.6一%c=06”,则下列大小比较中正确的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

20.比较。=logsJLb=e0J,c=e'n：的大小（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

21.若x,y,z是正实数，满足2x=3y=5z,试比较3x,4yf6z大小（）

A.3x>4y>6zB.3x>6z>4y

C.4y>6z>3xD.6z>4y>3x

1

22.比较大小：a=log3V2,b=e°,°=J*（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

23.比较0=1。8116=（；）3。=（|03的大小（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

24.下列大小比较正确的是（）

0506-0J01

A.2>2-B.log052<log053C.5>6~D.cosl<cos2

25.比较下列几个数的大小：a=（I）03,Z>=log1,=50001,则有（

2c）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

专题突破卷-指数、对数、幕值的比较大小

亳题生颈姒

题生备小击破

题型一基本不等式比较大小

1.已知。>6>1,则下列不等式不一定成立的是（）

A.-^->-^-B.log/<log/

a+16+1

C.bg»+log〃a>2D.ab>ba

【答案】D

【分析】根据不等式的性质即可求解A,根据对数的运算性质即可求解BC,举反例即可求

解D.

【详角星】对于A,由。>6>1可得〃+1〉6+1>2,故一^—<7^—,

Q+1b+1

因止匕1-------->1------,即---->----，A正确，

。+16+1。+1b+1

对于B,bg/<log«a=l,log/Alog^nl,故log/<log/,B正确,

对于C,log/+log/=log/+」二>2（由于log/wl,故等号取不到），C正确，

log/

对于D,取。=4,6=2,则/="=16,故D错误,

故选：D

2.设a=log2()262025,6=log20252024,c=k>go2O2602025,贝|()

A.c<a<bB.b<a<c

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】B

【分析】首先根据对数函数的性质确定0<。<1,0<b<l,c>1,再作商比较a与b的大小关系

即可.

【详解】由对数函数的性质得logz3lv142。262025<10g20262026,

所以0<a<l,同理，0<Z)<l,

而c=log020260.2025>log020260.2026=1,

所以c>a,c>b,

a_log20262025_In2025In2024_(In2025(

~b~log20252024-In2026'1112025-In2024In2026)

2

e、ccc”,ccc,(In2024+In2026A/,/....—TT--\2(.2024+2026Y.....,

In2024-In2026<I-----------------I=(InV2024x202§<IIn---------------I=(ln2Z0125)”,

所以3>1,即综上，b<a<c.

b

故选：B.

zQ\0.6

3.已知”=-嗔8,Z)=log56.log54,，则()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

3

【分析】化简可得〃=log68,结合对数函数性质证明1<Q<一,结合基本不等式及对数性质

2

证明6<1,结合函数/=为(-叫+⑹上的增函数，证明C>g,由此可得结论.

【详解】a"-logl8=log(-8,

6

3

因为82=64<216=63,所以8<6一又6<8,

所以6<8<6］，因为函数>=1。86》为(0,+e)上的增函数，

33

所以l<log68<5，即1<Q<3，

因为b=log56-log54<1嗝6产4]=J=（普可=]，

所以6<1,

因为函数y=[2]为（-8,+8）上的增函数，

所以6<Q<C,

故选：D.

4.已知玉=log32,%2=log56,%3=：log25，则()

A.x1<x2<x3B.<x3<x2C.x3<x1<x2D.x3<x2<x1

【答案】A

【分析】先判断出再<1,x2>l,x3>l,然后根据作差法结合基本不等式比较/，马.

【详解】由题意，=log32<log33=1,x2=log56>log55=1,x3=^-log25>^-log24=1,

11Jn

由换底公式，x3=^-log25=^-j^=J^-=log45,

22m2In4

ln6ln5_In4-ln6-(ln5)2

_、3=log6-log5=

54In5In4In5-In4

(ln4+ln6V(In24?(In25?

由于In4wln6,根据基本不等式,In4-In6<(n5Y,

故4一工3<0,即％2<工3，于是吃<%2<%3.

故选：A

5.已知Q〉0,b〉0,且Q+b=ab,则下列不等式成立的是（）

A.a+b<4B.log2a+log2b>2

C.6In«>1D.4a+4b>3

【答案】C

【分析】A选项，根据1的妙用进行求解；B选项，对原条件直接使用基本不等式,

成=0+622病即可求解；C选项，将待证明表达式消去一个字母，构造函数，利用导数

知识解决；D选项，结合B选项的分析可解决.

【详解】因为。+6=的，所以1+：=1,

ab

对于A项：o+Z>=(a+Z>)|-+-|=2+->2+2=4,

\ab)ab

3

当且仅当a=b=2时取得等号，从而在。=3,6=不时。+/?〉4,故A错误；

2

对于B项：因为=2y/ab，所以“624,

log2a+log2b=log2ab>log24=2,当a=6=2时取得等号,log2a+log2b=2f故B

错误；

对于C项：因为Q6=Q+6,所以6=----->0,所以〃>1,

a-\

于是61na>l等价于，一lna>l,等价于山。>0，

a-1a

构造函数/(x)=lnx+^_l(x>l),/z(x)=--^-=^-^->0,

XXXX

所以f(x)在(1,+8)上单调递增；

所以/'(x)〉/。)：。恒成立，所以不等式blna>l成立，故C正确；

对于D项：根据B选项的分析，a+b=ab>A,

贝“G+斯)=a+b+ly/ab>4+2y/4=8,EP4a+4b>2>/2,

当a=6=2时取得等号，此时八+C=20<3,故D错误.

故选：C

6.下列不等式中不一定成立的是()

A.ex-x>lB.lnx<x2-lC.11+j<3D.Ig3.lg5<(lg4)2

【答案】B

【分析】AB选项，分别构造函数/■(x)=e'-x和g(x)=lnx-x2,然后根据函数的单调性得

到最值，即可判断不等式是否成立；C选项，计算，然后比较大小；D选项，根据基本不等

式和对数运算得到Ig3-lg5<(lg厉『，然后根据对数函数的单调性比较大小.

【详解】令/(x)=e-x,则/'(x)=e-l,

令/'(x)>0,解得x>0,令/''(x”。，解得x<0,

所以/'(x)在(0,+8)上单调递增，(-叫。)上单调递减，

所以/■(x)=e-x2/(0)=l,F-xWl一定成立，故A不合题意；

令g(x)=lnx-x2,则g〈x)」_2xJ_2x,

XX

令g［x)>0,解得0<》<变，令g<x)<0,解得尤>1,

22

所以g(x)在0,^-上单调递增，|事,+”上单调递减，

(5、/iii1

所以g(x)=lnx—x24g—=ln----=--ln2-->-l,

所以InxW/—i不一定成立，B满足题意；

［1+，丫=竺<邈=3,所以［1+，［<3一定成立，故C不合题意；

4J2562564)

檐3.檐5<13；坨5)=低匹卜随4丫，所以lg3Jg5<(lg4『一定成立，故D不合题意.

故选：B.

7.a=log23,Z>=log35,c=log58,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

333

【分析】根据指数函数性质得出。>；，6<:,c〈=，然后利用作差法比较b与c的大小关

222

系即可.

【详解】因为3?>23,所以log?32>log?23,即210g23>3,所以即。>］；

33

因为5?<33,所以log352<333,即210g35<3,所以嘀54，即6<万；

33

因为8?<53,所以82<logs53,即210g$8<3,所以即c<$

又因为6-c=log,5-log58=-log58=1-—3；吗、,

10g5310g53

且2jlog53•logs8<log53+log58=log524<log525=2,

所以logs3•logs8<1,所以b—c〉0,所以6>c；

综上所述，a>b>c.

故选：A.

8.已知Q=：,6=ln[,c=(log67—l)ln5,则()

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=ln(x+l)-x(x>0),由导数分析函数〃x)在(0,+“)上单调递减,

所以得到工〉ln(x+l),得到(〉ln“+g1=lng,作差比较k)g56-log67的大小，利用基本

5

不等式比较大小即可.

【详解】设/(x)=ln(x+l)-x(x>0),则r(力=9-1=停<0,/")在(0,+8)上单调递

减,

所以/(“<〃0)=0,所以工〉ln(x+l),|>lnll+11=14

,Iny=(log6-l)ln5,

555

,、22

Ig5+lg7；尼36

,(lg6)2-2lg35

lg6lg7(坨6)--lg51g7〉

=2>0,

log56-log67=

lg5lg6lg51g6lg51g6lg51g6

所以a>b>c,

故选：A.

9.设。=log53,6=log85,c=eTn2,则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用对数函数性质，结合基本不等式比较大小即得.

1-ln2_

【详解】依题意，a=log53>log5V5=log85>log82V2—=e

2

而£==]0g53bg58<(log53+log58

blog852

所以6>a>—=c.

2

故选：D

10.若〃>6==；(lna+ln"),z=JlnaJnb,贝lj()

A.x<z<>B.><z〈x

C.2<x<yD.2<”x

【答案】D

【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系.

【详解】由x=ln^^,y=；(ln“+ln〃)=ln\^z=dnalnb,

而Q〉b>l,贝UlnQ>lnZ?〉0,所以;(ln、+lnb)>Jnq.lnb,即歹>z,

由疝，则111^.>1口而，即x>P,

22

综上，x*>z.

故选：D

11.设Q=log/1,/?=log1312,c=log0120.11,则()

A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】由对数函数性质知0<。<1,Q<b<a,O1,然后由基本不等式证明

lglllgl3<(lg12)2,再用作差法比较a,b大小后可得.

【详解】由对数函数性质知10氏21<1。81211〈1。当212,即0<a<l,同理0<6<1,

Xlogo120.11>log0120.12,EPc>1,

lglllgl3<(lgll^lg13)2=(野y<(号什=1g212,

所以…翳翳嘀典

即4<6,综上。<6<。,

故选：D.

12.已知5—a=lna,b=log43+log917,76+246=25°,则以下关于的大小关系正确的是

()

A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】D

【分析】根据零点存在性定理可求解2<6<3,进而根据指数对数的运算性质结合基本不等

式求解c<6的范围，即可比较大小.

【详解】由a+lna-5=0,令/⑷=a+lna-5,则在定义域内单调性递增，且

/(3)=3+ln3-5=ln3-2<0,/(4)=4+ln4-5=ta4-l>0,

由零点存在性定理可得3<a<4,

=log3+log17=照z16=2

b49蜀黔2

又b=log43+log917<log44+log981=3,因止匕2<6<3,

7"+24"=25°>72+21=625,可得c>2,

，玄<1,25°<253：.c<b,

：.c<b<a.

故选：D

13.若°<6<0则()

A.a1<b~B.ab<b2C.2">2"D.-i—>2

ba

【答案】D

【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.

【详解】A.因为a<6<0,则同>例，则/>〃，故A错误；

B.因为所以仍>〃，故B错误；

Cj=2"在R上单调递增，当〃<6<0时，2"<2J故C错误；

D.因为。<6<0,所以一和不都大于0,则？之=2,

abba\ba

当2==时，即。=b<0时等号成立，所以“=”不能取到，所以£+2>2,故D正确.

abba

故选：D

14.a=log23,6=log34,c=|■的大小关系为（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】由对数性质及基本不等式比较各数的大小.

【详解】由b=log34=log3M^^>c=1-=log3^243,

由署|=logs2x4<,°g32；4：=［詈<1,Bpiog34<log23,故6<°

综上，c<b<a.

故选：A

15.已知。=1.01,6=6°",£；=而运，则凡Ac的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】c

【分析】

构造函数可得e'2x+l，据此判断〜，再由五〈且判断c<a即可得解.

2

【详解】令)(尤)=e*-(x+l),贝1」(&)=1一1,可知x<0时/'(x)<0,x>0时/(x)>0,

故)(x)在(-*0)上单调递减,在(0,+◎上单调递增，可知2"0)=0,

所以e、2x+l,x=0时等号成立，所以b=e°m>0.01+1=1.01="，故…；

又«(匕当x=l时等号成立，则c="瓦〈旦”=1.01=。，故c<a.

22

综上，b>a>c.

故选：C

16.设Q/ER,且q<b<0,则()

11ba

A.B.->-

abab

-baa+br-r

C.—I—>2D.------->Vab

ab2

【答案】C

【分析】由。<b<0,可得!>1，A错