




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
三角函数中有关①的取值范围与最值问题
目录
01方法技巧与总结..............................................................2
02题型归纳与总结..............................................................3
题型一:零点问题...............................................................3
题型二:单调问题...............................................................7
题型三:最值问题...............................................................9
题型四:极值问题...............................................................12
题型五:对称性问题.............................................................14
题型六:性质的综合问题.........................................................17
03过关测试...................................................................22
1、/(x)=4sin(ox+e)在/(x)=4sin®x+e)区间(〃,6)内没有零点
i,।T
,।T
\b7-a\-^
kn-(p
=<kji<aco+e<4+左乃=><a>-------—
①
kn<ba>+(p<7i+k7i
<7i+kji-(p
0)
同理,"x)=/sin(ox+e)在区间[〃,们内没有零点
\b-a\<^
\b-a\-^
k兀一(p
=><k7i<aco+cp<7i+k7i=><a>-------—
co
k兀<bco+9<%+ATT
7i+k7i-
b7<-----------9
CD
2、/(x)=4sin(ox+e)在区间(a,b)内有3个零点
T<\b-a\<2T
'T<\b-a\<2T
kn~(p<(k+V)7T(p
=><k7l<ao)+0<TT+ATT<
coco
3〃+ATT<6G+°«4〃+ATT
(k+3)zr一夕<((左+4)TT-(p
CDCD
同理/(%)=4sin(s+0)在区间[a,b]内有2个零点
2112
7/7k:i~(p,k几+兀一(p
k7i<aa)+(p<7i+knn<-------—<a<................—
Ct)CD
2兀+kji&b(ot(p<3兀+krc,.
*(z后+2)7i—夕<〈(z左+3)7i-(p
G)G)
3、/(x)=Asin(ox+°)在区间(a,6)内有n个零点
("1)T4以I<5+l)T
2
kji-(pk7l+71~(p
=><<a<-------------
coco
(k+n)7i9<<(左+n+V)7i-(p
0)0)
同理f(x)=4sin®x+e)在区间[a,b]内有n个零点
丁印一水”
kn~(pkji'兀一(p
n<------------------------------------<a<--------------—
CDCD
(k+n)rc一0<<(左+〃+1)%一(P
CDCD
、已知一条对称轴和一个对称中心,由于对称轴和对称中心的水平距离为也
417则
4
2〃+1(2〃+V)7i
=|Z?-tz|
5、已知单调区间36),则卜一6Kg
题剑蠡与总结
题型一:零点问题
【典例1-1】已知函数/6)=sinS尤+。)(。〉0,附〈$,且/(0)=9,则下列陈述不正确的是()
22
A.若函数“X)的相邻对称轴之间的距离为则函数/(无)的最小正周期为兀
B.若函数“X)的相邻对称轴之间的距离为,,则x=A为/(x)的一条对称轴
C.若函数/⑴在区间(0,万)上有三个零点,则0的范围为|,£]
D.若函数“X)在无零点,则。的范围为[。,:个与
【答案】C
【解析】/(0)=sin。=等,|^|<—,则夕=§,f(x)=sin(a>x+—),
jr
选项A,T=—x2=7i,正确;
2
选项B,T=—=—x2,co=2,/(x)=sin(2x+f),
o)23
TT7TTTTT
x=二时,2x+-=-,因此工二二是函数/(X)图象的一条对称轴,正确;
123212
选项C,%£(0,万)时,/(x)有三个零点,贝!J3乃<W4〃,-<a)<--,错误;
333
选项D,工£[],§时,因为①〉0,则s+*等+卜号+争,/⑴无零点,
con7i八4
----+—<7T=>0<6W<—,
2--33
P,07171(071nc10
或乃<---1——<------1——<2"=2<。<—,
33233
0)7171(07171厂16
或P2%<----+—<-----+—<34=>5<G<—,
33233
什07171cirr_L①兀①兀071「/、4兀71,,>/-t_丁人口H.
/i'——+—>3^,贝!]。〉8,此时二-----=——>7i,/(%)在—上一'定有零点,不合就思,
332361_32_
所以0e[o,g]u[2,?ju[5,gj,正确.
故选:C.
【典例1-2](2024•陕西•模拟预测)已知函数〃%)=5m8-6<:0$8+1(0>0)在(0,21)上有且只有5个
零点,则实数外的范围是()
<1137](1371(25111(251T
A.—B.—C.-D.
(26J162J(124J<122J
【答案】C
【解析】因为/(%)=sincox-y[3coscox+l=2sin^x-y^+l,
令/(x)=2sin(Gx—])+l=0,即sin(ox—W]=-g,
所以,sin(ox-3=-;在(0,2%)上有且只有5个零点,
因为工£(0,2万),所以故r—§£1—§,2加y—§,
所以,如图,由正弦函数图像,要使$也,》-。]=-;在(0,2%)上有且只有5个零点,
mi23%25,11
贝U-------------<2TICO<----,即一<co<—,
636124
所以实数0的范围是(三,2.
1124
71)7T
【变式1-1]已知函数/(%)=sin(35;-:)sin(20x+L)在区间(0,兀)恰有6个零点,若口〉0,则。的取值
46
范围为()
A•(律B.(*C.(器口.
【答案】C
jrSir71Sir
【解析】函数/(x)=sin(30x——)sin(2°x+—),由/(X)=。,得sin(3。%——)=0或5皿2。1+—)=0,
4646
解得了(X)的正零点为牛答或牛兽工AeN,
12G12G
则函数〃x)从左到右的零点依次为:告IT,夺5兀,井7兀,等Q,等137r,产17兀,等197r,
12。12a)12。12G12G12。12。
为了使得/(X)在区间(0,兀)恰有6个零点,只需¥17<兀7iV1等9兀,解得1719
12®12®1212
所以实数。的取值范围为(%省.
故选:C
【变式1-2】已知/'(x)=2cos]ox-3(其中。>0),若方程"(x)|=l在区间(0,兀)上恰有4个实根,则。
的取值范围是()
A.承]B.|,3C2,|JD.12,|
【答案】D
【解析】由"(x)l=l,得2cos"弋=1,
所以COS〔GX-g=g或cos]_
2
71717171712,717147r
所以GX——=——+2kn,或GX——=—+2E,或GX---=——+2左兀,或GX——=——+2kii,keZ,
33333333
jrjrjr
由X£(0,兀),得公T£(0,G7C),所以公r——G(——M兀——),
因为方程"(X)1=1在区间(0,兀)上恰有4个实根,
【变式1-3】函数〃x)=2sin(s+0),(。>0,0<0苫)满足〃0)=1,且>=/(力在区间-,0上有
且仅有3个零点,则实数。的取值范围为()
A.(5,7)B.T,qC.gT]D.[4,8)
【答案】C
7TJT
[解析]/(0)=2sin=1,0<^9<—,,
兀rr兀兀①7171
/./(x)=2sin[ox+.,因为'®-y,0,0>0,则0x+7e一
366]
因为>=/(%)在区间-三,。上有且仅有3个零点,且歹=sinx在零点0之前的三个零点依次为
一3兀,一2兀,一兀,
兀G兀/cclA73ZR「13191
贝!|一一—+-e(-37i,-27r],解得I
故选:C.
【变式1-4](2024・湖北武汉•模拟预测)设。>0,已知函数〃尤)=sin[3ox-jsin12ox+芝|在(0,兀)上
恰有6个零点,则口取值范围为()
<197]<171911317313
A・居q]B.A,运|D.
129124512
【答案】B
【解析】由题意可知,
令/(x)=sin13Gx一力sin12G=0,
BPsin(3@x-:]=0或sin(2Gx+,1=0,
(4左+1)兀5(6左+1)兀
即nnx=1-------或%A-----------二
12。12。
7i5兀7兀9兀13K17K19K
当%>0时,零点从小到大依次为X=届'届'届'届'届'京'后
e“‘17兀,19兀
因止匕有---<71<------
12G12(v
1719
即。£
12?12
故选:B.
题型二:单调问题
【典例2-1]若函数/(x)=sinOX+3(O>0)在区间-二;上单调递增,则。的取值范围是()
V|_126
A.(0,2]B,(0,4]C.(0,6]D.(0,8]
【答案】A
■AR_LL.、t,「兀兀rrt兀「兀71G>71r
【斛析】当----,—]时,CDX+—e[------,—+——],
126661266
若函数/(%)=sin(GX+>0)在区间[-二,g]上单调递增,
6126
7iam,兀八,
—+——《一+2版
则I662,左eZ,解得①42+12人,gV8—24左,左EZ,
〔2612
又@〉0,当左=0时,可得0〈①42.
故选:A.
【典例2-2】(2024•四川成都•模拟预测)若函数〃x)=sin(0x)(o>O)在上单调递增,则。的取值范
围为()
A.(0,,B.(0,2)C.(0,;D.(0,2]
【答案】D
【解析】函数"X)=sin(ox)(。>0)在上单调递增,
当xe[。,彳)时,(DX6f0,—©'j,贝!]解得0<(oV2,
故选:D
【变式2-1]已知函数/(%)=2COS2QX-3,若对任意的实数加,/(x)在(和冽+5)的值域均为[-3,-1],且
兀71
在上单调递减,则。的范围为.
_3719M3
【答案】u-,-4yUlf
~2y2_U2_L2J
【解析】易得/'(x)=cos2s-2,由〃x)e[-3,T],有cos2axe[-1,1],
即对任意的实数在(优,加+5)内都满足cos20xe[-l,l],
27r
故加+5-冽>7=丽,则㈤>?,
7171
由/(x)在上单调递减,则5一7工57,即0<同46,
k-TT上•TT,JT
当Q0时,由于/(x)在R上的单调递减区间为——,一+「,keZ,
CDCD2CD
n7t71
令40.有
-。之2co,则
71710,茄71],则44。/;
令k=3有u
2co
n7i2万5万
令k=2,有?U,无解,
4Tco2G
7t3)“9
故—u4,-
52)22
371
同理,当0<0时,有2-4
272',
3。4,|.
综上,G)Gu「1lu
2pl]
_371「9/n3、
故答案为:一一,一4D
~2-y23Z
【变式2-2](2024•宁夏银川•三模)函数歹=/(%)的图像是由函数'=馍5(5)(G大于零)的图像向左平
移2个单位所得,若函数y=〃x)在(万,2万)范围内单调,则。的范围是
6G
【答案】0号5ui'H
12
【解析】y=/(x)是由y=cos(0x)大于零)向左平移/个单位所得,故/■(》)=cosox+工
6①I6
又V=〃尤)在(乃,2万)即ox+aeCOTT+—,2CO7T+—\上单调,
66)
7171
kn<371H——<2CO71-\——<K7l+7l,k,
66
。〉0。〉0
■JIa)>k-^(keZ),
「.<con+--k7i(kGZ)
兀ks
1371+—<k7l+7l(kGZ)6?<-+—(^GZ)
k517
由一+—>k——,左<一,「"=0或左=1,
21266
八,5—511
/.0<6><——或一"。"——,
12612
综上,口的范围为(0,百U—.
I12」|_o12_
故答案为:,怖um.
<12」|_o12_
【变式2-3]已知函数/(x)=sin(5-][3>0),若函数/(x)在pTi上单调递减,则。的取值范围为
()
-5H
A.[1,2]B.I,-C.D.,-
636
【答案】D
【解析】由[+2版Vox-gv芬+2E《eZ,得到百十?祈了+及兀
232—x—
G)CD
—+2A-7T
_6_____<2E
又因为〃X)在pTl上单调递减,所以<。2(左㈤,
11兀c,'
-------F2kjt
7l<----------
3
S11ITIT
得至!J—1~4左《口«—卜2k,keZ,又——>—,口〉0,即0<@42,
36co2
令上=0,得至!
36
故选:D.
题型三:最值问题
【典例3-1】函数〃x)=2sin(5+g(。>0)在区间[0,20]上有50个最大值,则。的范围_____.
589万601万]
【答案】120'120J
【解析】根据函数〃x)=2sin5+g(。>0)在区间[0,20]上有50个最大值,由第50个和第51个最大值
满足1+49x2/<20o+y<y+50x2^-求解.因为函数/(x)=2sin[@:+在区间[0,20]上有50个
最大值,
第一个最大值为:3X+々士
32
第二个最大值为:ox+g=g+2万,
32
第三个最大值为:°%+g=g+4万,
32
TTTT
第50个最大值为:(x)xH—=—\-49x2TT,
32
TTIT
第51个最大值为:G)XH—=—F50x2TT,
32
所以—+49X2TT<20G+—<—+50X2TT,
232
口7i49万,71L
解得----1-------Q3<----+5"
12010120
589〃601叫
综上:切的范围是1205120J
589万601吟
故答案为:120?120J
【典例3-2]若函数/(%)=685口%-51115+13>0)在(。句内存在最小值但无最大值,则①的范围是.
【答案】(匕511
【解析】函数〃x)=2彳COS&X—QsinGx+1=2co,ox晨J+1,①>0,
LL/八兀\r_L兀,兀兀〃?兀、
所以当xw0,彳时,cox+—^\—,--+—L
61626)
又/(X)在[og]内存在最小值但无最大值,
结合图象可得"春+台"
解得。<Gw?.
33
.内田口(511
故答案为:I—
【变式3-1](2024•江西鹰潭•三模)已知函数/(%)=以63+5出妙(口>0),若/仁「百且
/(x)>/W,则/的最小值为()
A.11B.5C.9D.7
【答案】D
【解析】由/(%”/佰]可知,/(X)在'=£取得最小值,所以函数/(%)的一条对称轴为%=?
V0766
X0+y=2x^,因此/(gJ=/(O)=G,即0=6;
所以/(x)=GcosGx+sinGx=2sina)x-\—,
又/(X)在x=2取得最小值,可知$0+W=.+2E«eZ,
6632
尚牟得(D=7+12k,kGZ,
又G〉0,所以左=0时,④=7+12左,左EZ取得最小值为7.
故选:D
【变式3-2】函数仆)=疝1"+"(。>0)在]:,勺内恰有两个最小值点,则。的范围是(
。・[川D.[,3_
【答案】B
【解析】因为函数/(x)=sin(0x+7(0>O)在、,引内恰有两个最小值点,®>0,
)
所以最小正周期满足T1<-771--17I=1-K<T<-77I--171=-371,
3l44J2442
..42兀.7q15
所以7<&=二44,—71<——兀+—兀«一兀,
3T12444
4
—<(D<4
34皿,
所以有:,;
7兀7。兀7111717
——<------+—<
I2442
故选:B
题型四:极值问题
7171।
((L»Q,--<(P<-I的最小正周期为T.
的极小值点,则。的最小值为.
【答案】14
【解析】因为/(x)=sin(ox+e)[o>0,-J<9<]所以最小正周期?=生,
V22yCD
T1^2
f(y)=sin(ct)~+(p)=sin(7i+(p)=-sincp
」]
又一]<0<5所以夕=_:,即/(x)=sinjs
I4J
又无=方为/(x)的极小值点,所以50-;=-]+2E#eZ,解得°=-2+16左,左eZ,因为。>0,所以当
左=1时0mh.=";
故答案为:14
【典例4-2】已知函数/(x)=4sin(ox+e)[0>O/9|<5j,/(0)=/(4)=-2,函数/(x)在(0,4)上有且仅有
一个极小值但没有极大值,则。的最小值为()
4兀c»八5几—4万
A.—B.一C.~~D.—
6363
【答案】c
171TT
【解析】•・,/(0)=4sin0=-2,2山夕=一;.又
226
0+47135万
当%=----=2时,函数取到最小值,此时2。——=2左4+—〃,keZ.解得G=+——,keZ.
2626
所以当左=0时,3=下
6
故选:c.
【变式4-1](2024•山西运城・高三统考期中)已知函数〃X)=cos[ox+>o)在区间(o,TJ内有且仅有一
个极小值,且方程/(x)=;在区间内有3个不同的实数根,则。的取值范围是(
)
251125II竺
B.C.D.
石'万不'万6,2J
【答案】C
【解析】因为所以8+詈+£|,若/(x)在区间(0,。)内有且仅有一个极小值,贝IJ
万<9+[<3%(1).若方程/(x)=;在区间[o,S]内有3个不同的实数根,则与〈笋+手,所以
77c7CCDTC_...h-n2511
一<——+—<3^-(2),由⑴(2),解得一<co<一.
32462
所以。的取值范围是.
I62」
故选:C
【变式4-2](2024•全国•校联考三模)已知函数小)=2而"+曰(。>0),xe-1,j.若函数/(x)只
有一个极大值和一个极小值,则。的取值范围为()
A.(2,5]B.(2,5)C12,|D.(2,|1
【答案】C
।।兀G)7C7CG)7C7C-.._,.
【解析】令尤+[,因为xe-所以s+片-亍+歹三十Z则问就转化为r了=2sw在
632
CO71TC07171.厂人et
-3+7=+不上只有一个极大值和一个极小值,
因为xe函数〃x)只有一个极大值和一个极小值,则即T>苧,X7=—,所
32J21\5)3CD
以0T所以一等+会。
2<69<58
解得<28故2<04二
-<co<-3
[33
故选:C
【变式4-3】函数/'(xbsinlox+gk。>。)在[0,1]上有唯一的极大值,则。e()
13TI25兀)
D.
【答案】c
【解析】方法一:当xe[(M]时,y3+卜+y,
因为函数/(X)=sin[ox+/](0>O)在[0,1]上有唯一的极大值,
7TTT
所以函数片Situ在5M+§上有唯一极大值,
71兀
CD+—>—
327113兀
所以,解得0W
兀,5兀6?T
69+—<——
32
故选:C
方法二:令。、+4=2碗+工,keZ,则GX=2E+巴,keZ,
326
所以,函数/(x)=sin(ox+>0)在y轴右侧的第一个极大值点为尤=;,第二个极大值点为X=/,
I3J6a>6G
因为函数/@)=5出"+与](。>0)在[0,1]上有唯一的极大值,
兀<]
??解得。€f7113兀
所以,
三1,
、6G
故选:C
题型五:对称性问题
【典例5-1】已知函数〃x)=2sin(sx-g)(s>g,xeR),若/⑴的图象的任意一条对称轴与x轴交点的横
坐标均不属于区间(3兀,4兀),则。的取值范围是()
cA171729.
B-9寸nl卜Ir右]
c「1117力lr17
D•[百片叫]
【答案】D
【解析】因为/(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3兀,4兀),
Lr-r、t12兀
所以一x——>4兀-3兀,
20)
所以
2
兀兀L.7兀、,兀右力/口6左+56左+11,〜
又hr+—W3s——,且析+兀+—>4。兀——,解得----<a><-----,左EZ,
23231824
又因—<co<\,
2
6左+51
----〉一
182
所以<,左£Z,解得k=1,2,
6左+11〉6左+56左+5
<1
24-18’18
1117
当左=1时,404,符合题意,
7187724T
1723
当左=2时,—,符合题意,
171723
所以於D--,--
241824
故选:D.
【典例5-2】已知/(%)=2百sinwxcoswx+2cos2wx,(w>0),若函数在区间,兀I内不存在对称轴,则
w的范围为()
*U!13。,”23
A.B.
34?4
120,1U25
C.D.
336
【答案】c
【解析】函数化简得/(x)=V3sin2wx+cos2wx+1=2sin2wx+
7几
k?i-\—
可得函数的对称轴为X
____3_(丘Z),
2w
由题意知,后"+fv万且('+l)"+f>,
------'------------乎71
2w22w
即左迎以,keZ,若使该不等式组有解,
36
i+47
则需满足左二尸,即左V:,又卬>0,
363
4“劣444?
故0W把型,即左>一:,所以,〈左又获Z,
6333
(1]「12一
所以左=0或左=1,所以WE0二U-,—.
I6」1_33_
【变式5-1]已知函数/(x)=cos]s-£|3〉0)在区间[0,为上有且仅有3条对称轴,则。的取值范围是
()
1317913913、1317、
A.(z一,]B.z(一,一]C.[―,—)D.[一,—)
4444L44L44
【答案】C
【解析】/(x)=cos,x-£}o〉0),
cox---k7i,keZ,贝ijx二(1+4.)乃,keZ,
44G
函数/(x)在区间[0,幻上有且仅有3条对称轴,即0其1+")"“乃有3个整数才符合,
4。
0叱(1+4左)万w万,得04^^Wln0Vl+4左M4。,则左=0,1,2,
4G4G
913
即1+4X2«4G<1+4X3,:.—<CD<——.
44
故选:C.
【变式5-2】函数/(工)=国«5+:卜。>0)在区间[0,兀]上恰有两条对称轴,则。的取值范围为()
713911711
A.4?TB.4?7C.D.4'"
【答案】D
【解析】/(x)=sin^69x+^(69>0),
令。工+工=左兀+四,左EZ,贝!Jx=(1+44)兀,左£z,
424G
函数/(X)在区间[0,呵上有且仅有2条对称轴,即0V0+4))"W兀有2个整数1符合,
4。
(1+4左)兀,口八1+4左Y八Y
0<-------—<7i,得0W-------<1=>O<1+4A:<4。,则左二0』,
4。4。
59
即1+4x1<4④<1+4x2,:.—<o)<—.
故选:D.
【变式5-3]已知函数/(x)=Gsin°xcosox+cos2Gx-g(①>0,x£&)在[0,句内有且仅有三条对称轴,则Q
的取值范围是()
513
C.D.
6
【答案】B
【解析】工40,兀]时,函数
-=色in2加+L《+COS25+sin
f(x)=yfisinCDXCOSCDX+cos2Ct)Xq,兀],则
222~72
2«x+^e5,20兀+3,函数/(x)在[0,兀]内有且仅有三条对称轴,贝!|:满足”等。兀+^<2,解得
6|_66」262
75「75、
-<®<4,即实数。的取值范围是41•
63L6ij
题型六:性质的综合问题
【典例6-1】已知函数/'(x)=sin(0x+9)(<a>0),下述五个结论:
①若夕=3,且“X)在[0,2司有且仅有5个零点,则〃x)在(0,2万)有且仅有3个极大值点;
②若"=?,且"X)在[0,2句有且仅有4个零点,则“X)在[0,2句有且仅有3个极小值点;
③若夕=,且了⑴在[0,2司有且仅有5个零点,则小)在,喘上单调递增;
④若/=£,且“X)在[0,2句有且仅有4个零点,则。的范围是停坐;
4Loo7
⑤若“X)的图象关于X=(对称,x=-?为它的一个零点,且在(亮,第1上单调,则。的最大值为11.
其中所有正确结论的编号是()
A.②③④B.①③⑤C.②④⑤D.①③④
【答案】D
【解析】结合正弦函数V=sinx的性质进行判断.作出y=sin(ox+9)的大致图象,由[0,2扪上的零点个数
判断①②③④,其中③需结合单调性判断,结合周期,先确定周期的表达式.再由单调性得周期的范围,
JT
然后从最大的。验证,判断⑤.①若/=《,/(X)在[0,2汨上有5个零点,可画出大致图象,由图可知,
②若。=:,且/(x)在[0,2汨有且仅有4个零点,同样由图可知/(X)在[0,2斓有且仅有2个极小值点,故
②错误;
③若9=2,由/(x)在[0,2词上有5个零点,得学.2兀<学,即冬,当xe(0,怖]时,
55G5。510110J
1<®x+j<^+j,所以器+]〈需〈,所以“X
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 第一部分 必修第一册 UNIT 3 SPORTS AND FITNESS
- 2025年FRM金融风险管理师考试专业试卷(金融风险管理报告撰写技巧)
- 钳工高级工职业技能鉴定题库2025年-金属成形工艺与设备
- 二年级数学计算题专项练习1000题汇编集锦
- 2024年度安徽省三支一扶之公共基础知识押题练习试卷B卷附答案
- 沼气集中供气系统项目风险分析和评估报告
- 口腔医学技术专业实习报告撰写指南
- 2025年中小学安全工作指导计划
- 城市消防安全事故应急预案及处理流程
- 国际交流协会筹备工作情况报告范文
- 我的家乡新疆-我爱你课件
- 液化天然气(LNG)相关的知识培训
- 施工升降机安全管理培训课件
- 2017华东六省一市优质课课件连乘问题11月29日
- 部编版(统编)一年级语文下册每课练习题(全册全套)
- DB62∕T 4134-2020 高速公路服务区设计规范
- 《影视鉴赏(第二版)》课件2-0故事片引子
- 青岛版科学一年级下册《塑料》教学设计
- 专利文件撰写殷红梅课件
- 中铁集团工程有限公司人力资源绩效考核暂行办法
- 部编版七年级语文下学期木兰诗对比阅读练习题(含解析答案)
评论
0/150
提交评论