高考数学一轮复习重难点突破：三角函数中有关ω的取值范围与最值问题（含解析）

三角函数中有关①的取值范围与最值问题

目录

01方法技巧与总结..............................................................2

02题型归纳与总结..............................................................3

题型一：零点问题...............................................................3

题型二：单调问题...............................................................7

题型三：最值问题...............................................................9

题型四：极值问题...............................................................12

题型五：对称性问题.............................................................14

题型六：性质的综合问题.........................................................17

03过关测试...................................................................22

1、/(x)=4sin(ox+e)在/(x)=4sin®x+e)区间(〃，6)内没有零点

i,।T

,।T

\b7-a\-^

kn-(p

=<kji<aco+e<4+左乃=><a>-------—

①

kn<ba>+(p<7i+k7i

<7i+kji-(p

0)

同理，"x)=/sin(ox+e)在区间［〃，们内没有零点

\b-a\<^

\b-a\-^

k兀一(p

=><k7i<aco+cp<7i+k7i=><a>-------—

co

k兀<bco+9<%+ATT

7i+k7i-

b7<-----------9

CD

2、/(x)=4sin(ox+e)在区间(a,b)内有3个零点

T<\b-a\<2T

'T<\b-a\<2T

kn~(p<(k+V)7T(p

=><k7l<ao)+0<TT+ATT<

coco

3〃+ATT<6G+°«4〃+ATT

(k+3)zr一夕<((左+4)TT-(p

CDCD

同理/(%)=4sin(s+0)在区间［a,b］内有2个零点

2112

7/7k:i~(p,k几+兀一(p

k7i<aa)+(p<7i+knn<-------—<a<................—

Ct)CD

2兀+kji&b(ot(p<3兀+krc,.

*(z后+2)7i—夕<〈(z左+3)7i-(p

G)G)

3、/(x)=Asin(ox+°)在区间(a,6)内有n个零点

("1)T4以I<5+l)T

2

kji-(pk7l+71~(p

=><<a<-------------

coco

(k+n)7i9<<(左+n+V)7i-(p

0)0)

同理f(x)=4sin®x+e)在区间［a，b］内有n个零点

丁印一水”

kn~(pkji'兀一(p

n<------------------------------------<a<--------------—

CDCD

(k+n)rc一0<<(左+〃+1)%一(P

CDCD

、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为也

417则

4

2〃+1(2〃+V)7i

=|Z?-tz|

5、已知单调区间36),则卜一6Kg

题剑蠡与总结

题型一：零点问题

【典例1-1】已知函数/6)=sinS尤+。)(。〉0,附〈$,且/(0)=9，则下列陈述不正确的是()

22

A.若函数“X)的相邻对称轴之间的距离为则函数/(无)的最小正周期为兀

B.若函数“X)的相邻对称轴之间的距离为，，则x=A为/(x)的一条对称轴

C.若函数/⑴在区间(0,万)上有三个零点，则0的范围为|,£]

D.若函数“X)在无零点，则。的范围为[。，:个与

【答案】C

【解析】/(0)=sin。=等，|^|<—,则夕=§,f(x)=sin(a>x+—),

jr

选项A,T=—x2=7i,正确；

2

选项B,T=—=—x2,co=2,/(x)=sin(2x+f),

o)23

TT7TTTTT

x=二时，2x+-=-,因此工二二是函数/(X)图象的一条对称轴，正确；

123212

选项C,%£（0,万）时，/（x）有三个零点，贝！J3乃<W4〃，-<a）<--,错误;

333

选项D,工£[],§时,因为①〉0,则s+*等+卜号+争,/⑴无零点,

con7i八4

----+—<7T=>0<6W<—,

2--33

P，07171(071nc10

或乃<---1——<------1——<2"=2<。<—,

33233

0)7171(07171厂16

或P2%<----+—<-----+—<34=>5<G<—,

33233

什07171cirr_L①兀①兀071「/、4兀71,,>/-t_丁人口H.

/i'——+—>3^,贝！]。〉8,此时二-----=——>7i,/（%）在—上一'定有零点，不合就思，

332361_32_

所以0e[o,g]u[2,?ju[5,gj,正确.

故选：C.

【典例1-2]（2024•陕西•模拟预测）已知函数〃%）=5m8-6<：0$8+1（0>0）在（0,21）上有且只有5个

零点，则实数外的范围是（）

<1137]（1371（25111（251T

A.—B.—C.-D.

（26J162J（124J<122J

【答案】C

【解析】因为/（%）=sincox-y[3coscox+l=2sin^x-y^+l,

令/（x）=2sin（Gx—]）+l=0,即sin（ox—W]=-g,

所以，sin（ox-3=-；在（0,2%）上有且只有5个零点，

因为工£（0,2万），所以故r—§£1—§,2加y—§,

所以，如图，由正弦函数图像，要使$也，》-。]=-；在（0,2%）上有且只有5个零点，

mi23%25,11

贝U-------------<2TICO<----,即一<co<—,

636124

所以实数0的范围是（三,2.

1124

71）7T

【变式1-1］已知函数/（%）=sin（35；-：）sin（20x+L）在区间（0,兀）恰有6个零点，若口〉0,则。的取值

46

范围为（）

A•（律B.（*C.（器口.

【答案】C

jrSir71Sir

【解析】函数/（x）=sin（30x——）sin（2°x+—）,由/（X）=。，得sin（3。%——）=0或5皿2。1+—）=0,

4646

解得了（X）的正零点为牛答或牛兽工AeN,

12G12G

则函数〃x）从左到右的零点依次为：告IT,夺5兀,井7兀，等Q，等137r，产17兀，等197r，

12。12a）12。12G12G12。12。

为了使得/（X）在区间（0,兀）恰有6个零点，只需¥17<兀7iV1等9兀，解得1719

12®12®1212

所以实数。的取值范围为（%省.

故选：C

【变式1-2】已知/'（x）=2cos］ox-3（其中。>0）,若方程"（x）|=l在区间（0,兀）上恰有4个实根，则。

的取值范围是（）

A.承］B.|,3C2,|JD.12,|

【答案】D

【解析】由"（x）l=l,得2cos"弋=1,

所以COS〔GX-g=g或cos]_

2

71717171712,717147r

所以GX——=——+2kn,或GX——=—+2E,或GX---=——+2左兀，或GX——=——+2kii,keZ,

33333333

jrjrjr

由X£（0,兀），得公T£（0,G7C）,所以公r——G（——M兀——）,

因为方程"（X）1=1在区间（0,兀）上恰有4个实根,

【变式1-3】函数〃x）=2sin（s+0）,（。>0,0<0苫）满足〃0）=1,且>=/（力在区间-,0上有

且仅有3个零点，则实数。的取值范围为（）

A.（5,7）B.T，qC.gT]D.[4,8）

【答案】C

7TJT

[解析]/（0）=2sin=1,0<^9<—,,

兀rr兀兀①7171

/./(x)=2sin[ox+.,因为'®-y,0,0>0,则0x+7e一

366]

因为>=/（%）在区间-三，。上有且仅有3个零点，且歹=sinx在零点0之前的三个零点依次为

一3兀,一2兀,一兀,

兀G兀/cclA73ZR「13191

贝！|一一—+-e（-37i,-27r],解得I

故选：C.

【变式1-4]（2024・湖北武汉•模拟预测）设。>0,已知函数〃尤）=sin[3ox-jsin12ox+芝|在（0,兀）上

恰有6个零点，则口取值范围为（）

<197]<171911317313

A・居q]B.A，运|D.

129124512

【答案】B

【解析】由题意可知，

令/（x）=sin13Gx一力sin12G=0,

BPsin（3@x-：]=0或sin（2Gx+,1=0,

（4左+1）兀5（6左+1）兀

即nnx=1-------或％A-----------二

12。12。

7i5兀7兀9兀13K17K19K

当%>0时，零点从小到大依次为X=届'届'届'届'届'京'后

e“‘17兀，19兀

因止匕有---<71<------

12G12(v

1719

即。£

12?12

故选：B.

题型二：单调问题

【典例2-1]若函数/(x)=sinOX+3(O>0)在区间-二；上单调递增，则。的取值范围是()

V|_126

A.(0,2]B,(0,4]C.(0,6]D.(0,8]

【答案】A

■AR_LL.、t,「兀兀rrt兀「兀71G>71r

【斛析】当----，—]时，CDX+—e[------，—+——],

126661266

若函数/(%)=sin(GX+>0)在区间［-二,g］上单调递增,

6126

7iam,兀八，

—+——《一+2版

则I662,左eZ,解得①42+12人,gV8—24左，左EZ,

〔2612

又@〉0,当左=0时，可得0〈①42.

故选：A.

【典例2-2】(2024•四川成都•模拟预测)若函数〃x)=sin(0x)(o>O)在上单调递增，则。的取值范

围为()

A.(0,，B.(0,2)C.(0,；D.(0,2］

【答案】D

【解析】函数"X)=sin(ox)(。>0)在上单调递增，

当xe［。，彳)时，(DX6f0,—©'j,贝!］解得0<(oV2,

故选：D

【变式2-1］已知函数/(%)=2COS2QX-3,若对任意的实数加，/(x)在(和冽+5)的值域均为［-3,-1］,且

兀71

在上单调递减，则。的范围为.

_3719M3

【答案】u-,-4yUlf

~2y2_U2_L2J

【解析】易得/'(x)=cos2s-2,由〃x)e[-3,T],有cos2axe[-1,1],

即对任意的实数在（优,加+5）内都满足cos20xe[-l,l],

27r

故加+5-冽>7=丽，则㈤>?,

7171

由/（x）在上单调递减，则5一7工57，即0<同46,

k-TT上•TT,JT

当Q0时，由于/（x）在R上的单调递减区间为——,一+「,keZ,

CDCD2CD

n7t71

令40.有

-。之2co，则

71710,茄71],则44。/；

令k=3有u

2co

n7i2万5万

令k=2,有?U，无解,

4Tco2G

7t3)“9

故—u4,-

52)22

371

同理,当0<0时，有2-4

272'，

3。4,|.

综上,G)Gu「1lu

2pl]

_371「9/n3、

故答案为:一一，一4D

~2-y23Z

【变式2-2]（2024•宁夏银川•三模）函数歹=/（%）的图像是由函数'=馍5（5）（G大于零）的图像向左平

移2个单位所得，若函数y=〃x）在（万,2万）范围内单调，则。的范围是

6G

【答案】0号5ui'H

12

【解析】y=/（x）是由y=cos（0x）大于零）向左平移/个单位所得，故/■（》）=cosox+工

6①I6

又V=〃尤）在（乃,2万）即ox+aeCOTT+—,2CO7T+—\上单调,

66)

7171

kn<371H——<2CO71-\——<K7l+7l,k,

66

。〉0。〉0

■JIa)>k-^(keZ),

「.<con+--k7i(kGZ)

兀ks

1371+—<k7l+7l(kGZ)6?<-+—(^GZ)

k517

由一+—>k——，左<一,「"=0或左=1,

21266

八,5—511

/.0<6><——或一"。"——,

12612

综上，口的范围为(0,百U—.

I12」|_o12_

故答案为：，怖um.

<12」|_o12_

【变式2-3]已知函数/(x)=sin(5-][3>0),若函数/(x)在pTi上单调递减，则。的取值范围为

()

-5H

A.[1,2]B.I,-C.D.，-

636

【答案】D

【解析】由[+2版Vox-gv芬+2E《eZ,得到百十？祈了+及兀

232—x—

G)CD

—+2A-7T

_6_____<2E

又因为〃X）在pTl上单调递减，所以＜。2(左㈤,

11兀c,'

-------F2kjt

7l<----------

3

S11ITIT

得至!J—1~4左《口«—卜2k,keZ,又——>—,口〉0,即0<@42,

36co2

令上=0,得至!

36

故选：D.

题型三：最值问题

【典例3-1】函数〃x）=2sin（5+g（。＞0）在区间［0,20］上有50个最大值，则。的范围_____.

589万601万］

【答案】120'120J

【解析】根据函数〃x)=2sin5+g(。>0)在区间［0,20］上有50个最大值，由第50个和第51个最大值

满足1+49x2/<20o+y<y+50x2^-求解.因为函数/(x)=2sin［@:+在区间［0,20］上有50个

最大值，

第一个最大值为：3X+々士

32

第二个最大值为：ox+g=g+2万,

32

第三个最大值为：°%+g=g+4万,

32

TTTT

第50个最大值为：(x)xH—=—\-49x2TT,

32

TTIT

第51个最大值为：G)XH—=—F50x2TT,

32

所以—+49X2TT<20G+—<—+50X2TT,

232

口7i49万,71L

解得----1-------Q3<----+5"

12010120

589〃601叫

综上:切的范围是1205120J

589万601吟

故答案为:120?120J

【典例3-2］若函数/(%)=685口%-51115+13>0)在(。句内存在最小值但无最大值，则①的范围是.

【答案】(匕511

【解析】函数〃x)=2彳COS&X—QsinGx+1=2co,ox晨J+1,①>0,

LL/八兀\r_L兀，兀兀〃？兀、

所以当xw0,彳时，cox+—^\—,--+—L

61626)

又/(X)在［og］内存在最小值但无最大值，

结合图象可得"春+台"

解得。<Gw?.

33

.内田口（511

故答案为：I—

【变式3-1］（2024•江西鹰潭•三模）已知函数/（%）=以63+5出妙（口>0）,若/仁「百且

/（x）>/W,则/的最小值为（）

A.11B.5C.9D.7

【答案】D

【解析】由/(%”/佰］可知，/(X)在'=£取得最小值，所以函数/(%)的一条对称轴为％=?

V0766

X0+y=2x^,因此/(gJ=/(O)=G,即0=6；

所以/(x)=GcosGx+sinGx=2sina)x-\—,

又/（X）在x=2取得最小值，可知$0+W=.+2E«eZ,

6632

尚牟得(D=7+12k,kGZ,

又G〉0,所以左=0时，④=7+12左，左EZ取得最小值为7.

故选：D

【变式3-2】函数仆）=疝1"+"（。>0）在］：,勺内恰有两个最小值点，则。的范围是（

。・［川D.［，3_

【答案】B

【解析】因为函数/（x）=sin（0x+7（0>O）在、，引内恰有两个最小值点，®>0,

）

所以最小正周期满足T1<-771--17I=1-K<T<-77I--171=-371,

3l44J2442

..42兀.7q15

所以7<&=二44,—71<——兀+—兀«一兀,

3T12444

4

—<(D<4

34皿,

所以有：,；

7兀7。兀7111717

——<------+—<

I2442

故选：B

题型四：极值问题

7171।

((L»Q,--<(P<-I的最小正周期为T.

的极小值点，则。的最小值为.

【答案】14

【解析】因为/(x)=sin(ox+e)[o>0,-J<9<]所以最小正周期？=生,

V22yCD

T1^2

f(y)=sin(ct)~+(p)=sin(7i+(p)=-sincp

」］

又一]<0<5所以夕=_：,即/(x)=sinjs

I4J

又无=方为/(x)的极小值点，所以50-；=-]+2E#eZ,解得°=-2+16左，左eZ,因为。>0,所以当

左=1时0mh.=";

故答案为：14

【典例4-2】已知函数/(x)=4sin(ox+e)[0>O/9|<5j,/(0)=/(4)=-2,函数/(x)在(0,4)上有且仅有

一个极小值但没有极大值，则。的最小值为()

4兀c»八5几—4万

A.—B.一C.~~D.—

6363

【答案】c

171TT

【解析】•・,/(0)=4sin0=-2,2山夕=一；.又

226

0+47135万

当％=----=2时，函数取到最小值，此时2。——=2左4+—〃，keZ.解得G=+——,keZ.

2626

所以当左=0时，3=下

6

故选：c.

【变式4-1](2024•山西运城・高三统考期中)已知函数〃X)=cos[ox+＞o)在区间(o,TJ内有且仅有一

个极小值，且方程/(x)=；在区间内有3个不同的实数根，则。的取值范围是(

)

251125II竺

B.C.D.

石'万不'万6，2J

【答案】C

【解析】因为所以8+詈+£|,若/(x)在区间(0,。)内有且仅有一个极小值，贝IJ

万＜9+[＜3%(1).若方程/(x)=；在区间[o，S]内有3个不同的实数根，则与〈笋+手，所以

77c7CCDTC_...h-n2511

一＜——+—＜3^-(2),由⑴(2),解得一＜co＜一.

32462

所以。的取值范围是.

I62」

故选：C

【变式4-2](2024•全国•校联考三模)已知函数小)=2而"+曰(。＞0),xe-1,j.若函数/(x)只

有一个极大值和一个极小值，则。的取值范围为()

A.(2,5]B.(2,5)C12,|D.(2,|1

【答案】C

।।兀G)7C7CG)7C7C-.._，.

【解析】令尤+[,因为xe-所以s+片-亍+歹三十Z则问就转化为r了=2sw在

632

CO71TC07171.厂人et

-3+7=+不上只有一个极大值和一个极小值,

因为xe函数〃x)只有一个极大值和一个极小值，则即T＞苧，X7=—,所

32J21\5)3CD

以0T所以一等+会。

2<69<58

解得＜28故2<04二

-<co<-3

[33

故选：C

【变式4-3】函数/'(xbsinlox+gk。＞。)在[0,1]上有唯一的极大值，则。e()

13TI25兀）

D.

【答案】c

【解析】方法一：当xe［(M］时，y3+卜+y,

因为函数/(X)=sin［ox+/］(0>O)在［0,1］上有唯一的极大值,

7TTT

所以函数片Situ在5M+§上有唯一极大值,

71兀

CD+—>—

327113兀

所以,解得0W

兀，5兀6?T

69+—<——

32

故选：C

方法二：令。、+4=2碗+工，keZ,则GX=2E+巴，keZ,

326

所以，函数/(x)=sin(ox+>0)在y轴右侧的第一个极大值点为尤=；,第二个极大值点为X=/,

I3J6a>6G

因为函数/@)=5出"+与］(。>0)在［0,1］上有唯一的极大值，

兀<］

??解得。€f7113兀

所以，

三1,

、6G

故选：C

题型五：对称性问题

【典例5-1】已知函数〃x)=2sin(sx-g)(s>g,xeR),若/⑴的图象的任意一条对称轴与x轴交点的横

坐标均不属于区间(3兀,4兀)，则。的取值范围是()

cA171729.

B-9寸nl卜Ir右］

c「1117力lr17

D•［百片叫］

【答案】D

【解析】因为/(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3兀,4兀),

Lr-r、t12兀

所以一x——>4兀-3兀，

20)

所以

2

兀兀L.7兀、,兀右力/口6左+56左+11,〜

又hr+—W3s——,且析+兀+—>4。兀——,解得----<a><-----，左EZ,

23231824

又因—<co<\,

2

6左+51

----〉一

182

所以<，左£Z,解得k=1,2,

6左+11〉6左+56左+5

<1

24-18’18

1117

当左=1时，404，符合题意，

7187724T

1723

当左=2时，—,符合题意,

171723

所以於D--，--

241824

故选：D.

【典例5-2】已知/（%）=2百sinwxcoswx+2cos2wx,（w>0）,若函数在区间，兀I内不存在对称轴，则

w的范围为（）

*U！13。，”23

A.B.

34?4

120,1U25

C.D.

336

【答案】c

【解析】函数化简得/(x)=V3sin2wx+cos2wx+1=2sin2wx+

7几

k?i-\—

可得函数的对称轴为X

____3_（丘Z），

2w

由题意知，后"+fv万且（'+l）"+f>，

------'------------乎71

2w22w

即左迎以，keZ,若使该不等式组有解,

36

i+47

则需满足左二尸，即左V：,又卬>0,

363

4“劣444?

故0W把型,即左>一:，所以，〈左又获Z,

6333

(1］「12一

所以左=0或左=1,所以WE0二U-,—.

I6」1_33_

【变式5-1］已知函数/(x)=cos］s-£|3〉0)在区间［0,为上有且仅有3条对称轴，则。的取值范围是

()

1317913913、1317、

A.(z一，­］B.z(一,一］C.［―,—)D.［一，—)

4444L44L44

【答案】C

【解析】/(x)=cos,x-£}o〉0),

cox---k7i,keZ,贝ijx二(1+4.)乃,keZ,

44G

函数/(x)在区间［0,幻上有且仅有3条对称轴，即0其1+")"“乃有3个整数才符合,

4。

0叱(1+4左)万w万,得04^^Wln0Vl+4左M4。，则左=0,1,2,

4G4G

913

即1+4X2«4G<1+4X3,：.—<CD<——.

44

故选：C.

【变式5-2】函数/(工)=国«5+：卜。>0)在区间［0,兀］上恰有两条对称轴，则。的取值范围为()

713911711

A.4?TB.4?7C.D.4'"

【答案】D

【解析】/(x)=sin^69x+^(69>0),

令。工+工=左兀+四，左EZ,贝!Jx=(1+44)兀,左£z,

424G

函数/(X)在区间［0,呵上有且仅有2条对称轴，即0V0+4))"W兀有2个整数1符合,

4。

(1+4左)兀,口八1+4左Y八Y

0<-------—<7i,得0W-------<1=>O<1+4A：<4。,则左二0』，

4。4。

59

即1+4x1<4④<1+4x2,：.—<o)<—.

故选：D.

【变式5-3］已知函数/（x）=Gsin°xcosox+cos2Gx-g（①>0,x£&）在［0,句内有且仅有三条对称轴，则Q

的取值范围是（）

513

C.D.

6

【答案】B

【解析】工40,兀］时，函数

-=色in2加+L《+COS25+sin

f(x)=yfisinCDXCOSCDX+cos2Ct)Xq,兀］，则

222~72

2«x+^e5,20兀+3,函数/（x）在［0,兀］内有且仅有三条对称轴，贝！|：满足”等。兀+^<2,解得

6|_66」262

75「75、

-<®<4,即实数。的取值范围是41•

63L6ij

题型六：性质的综合问题

【典例6-1】已知函数/'（x）=sin（0x+9）（<a>0）,下述五个结论：

①若夕=3,且“X）在［0,2司有且仅有5个零点，则〃x）在（0,2万）有且仅有3个极大值点；

②若"=?,且"X）在［0,2句有且仅有4个零点，则“X）在［0,2句有且仅有3个极小值点；

③若夕=,且了⑴在［0,2司有且仅有5个零点，则小）在，喘上单调递增；

④若/=£,且“X）在［0,2句有且仅有4个零点，则。的范围是停坐；

4Loo7

⑤若“X）的图象关于X=（对称，x=-?为它的一个零点，且在（亮,第1上单调，则。的最大值为11.

其中所有正确结论的编号是（）

A.②③④B.①③⑤C.②④⑤D.①③④

【答案】D

【解析】结合正弦函数V=sinx的性质进行判断.作出y=sin（ox+9）的大致图象，由［0,2扪上的零点个数

判断①②③④，其中③需结合单调性判断，结合周期，先确定周期的表达式.再由单调性得周期的范围,

JT

然后从最大的。验证，判断⑤.①若/=《，/（X）在［0,2汨上有5个零点，可画出大致图象，由图可知，

②若。=:，且/（x）在［0,2汨有且仅有4个零点，同样由图可知/（X）在［0,2斓有且仅有2个极小值点，故

②错误；

③若9=2，由/（x）在［0,2词上有5个零点，得学.2兀<学，即冬，当xe（0,怖］时，

55G5。510110J

1<®x+j<^+j,所以器+］〈需〈，所以“X