高考数学一轮复习题型专练：三角函数概念与诱导公式（含解析）

三角函数概念与诱导公式

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：终边相同的角的集合的表示与区别.........................................2

题型二：等分角的象限问题.......................................................3

题型三：弧长与扇形面积公式的计算...............................................5

题型四：割圆术问题.............................................................6

题型五：三角函数的定义.........................................................8

题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值.........................................9

题型七：弦切互化求值..........................................................10

题型八：诱导求值与变形........................................................13

题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用............................14

02重难创新练.................................................................16

03真题实战练.................................................................25

题型一：终边相同的角的集合的表示与区别

1.与-20°角终边相同的角是（）

A.-300°B.-280°C.320°D.340°

【答案】D

【解析】因为与-20°角终边相同的角是-20°+入360°，左eZ,

所以当无=1时，与-20。角终边相同的角是340。，D选项符合，其他选项不满足上eZ.

故选：D

2.集合;+次ez］中的角所表示的范围（阴影部分）是（）

【答案】C

【解析】当先=2〃（〃eZ）时，2»K+-<a<2»7r+-,neZ,此时。表示的范围与四4aW巴表示的范围一样;

4242

JTJTJTIT

当左=2〃+1（〃eZ）时，2〃兀+n+―Wa<2nn+7H■—,«eZ,止匕时a表示的范围与一+兀<aW—+兀表示的范围

4242

一样，

故选：C.

3.与97?r终边相同的角的表达式中，正确的是（）

4

7T

A.45。+2析，左EZB.h3600+—,左EZ

4

C.h360°+315°,无eZD.2E-左eZ

4

【答案】D

【解析】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A,B错误.

与个终边相同的角可以写成2版+争优eZ）的形式，

左=-2时，2也+岑=-华，315。换算成弧度制为二，所以C错误，D正确.

444

故选：D.

4.把-380。表示成6+2E（左EZ）的形式，贝帽的值可以是（）

71兀-8兀8兀

A.-B.--C.——D.——

9999

【答案】B

【解析】V-380°=-20°-360°,-380°=（-1-27t）rad,

故选：B.

题型二：等分角的象限问题

5.如果角a的终边在第三象限，则段的终边一定不在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】「a为第三象限角，.•"•360°+180°<a<h360°+270°小eZ,

（~Y

・•.左•120。+60。<§（左•120°+90°,左EZ,

a

令k=3n,eZ,时，3/7.120°+60°<-<3»-120°+90°,〃eZ,

3

可得/的终边在第一象限；

ZV

令人=3〃+1,“eZ时，（3«+1）-120°+60°<y<（3«+1）■120°+90°,〃eZ,

可得与的终边在第三象限，

a

令左=3〃+2,时，（3〃+2>120°+60°<§<（3〃+2）/20°+90°,〃eZ,

・•・可得当的终边在第四象限，

故选:B.

6.若角a是第二象限角，则券是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角

【答案】C

jrjr（y

【解析】由题意可知一+2E<a<兀+2左兀=>—+E<—<--\-kn（kGZ）,

2422v7

当无为偶数时，;+而终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴,

当上为奇数时，（+E终边为第三象限角平分线，'+E终边为纵轴负半轴,

a

即与的终边落在直线>=x及歹轴之间，即第一或第三象限.

2

故选：C.

7.已知9为第二象限角，若sin5=—sin5,则■|在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】因为。为第二象限角，

兀

所以2历I+—<。<2kji+兀,左wZ,

2

ftT兀6T兀1r

贝kuH—<一<kitH—,keZ,

422

5兀63兀

当k=0时，,当k=l时，——<—<——,

422422

.e.e

因为sin—=-sin—,

22

nn

所以sin；<0,所以工在第三象限，

22

故选:C

fy

8.若a是第一象限角，则-£是（）

A.第一象限角B.第一、四象限角

C.第二象限角D.第二、四象限角

【答案】D

【解析】由题意知,h360°<e<h360°+90°,kwZ,

Of(y

则hl80°<—<hl80°+45°,所以一hl80°-45°<--<-^180°,左eZ.

22

当人为偶数时，-1为第四象限角；当左为奇数时，-1为第二象限角.

22

所以-1是第二或第四象限角.

故选：D.

题型三：弧长与扇形面积公式的计算

9.已知一个扇形圆心角60°,。所对的弧长/=3兀，则该扇形面积为.

27

【答案】yTi

【解析】因为扇形圆心角a=60°,且。所对的弧长/=3兀，

设扇形所在圆的半径为/，可得/=+=3%，解得r=9,

所以扇形的面积为S=4x371x9=雪.

222

故答案为：芳27兀.

,2兀

10.(2024•高三・浙江金华・期末)已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为?且半径为1的扇形，则该圆锥的

侧面积为.

【答案】|TT/1^

【解析】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积，

111717rlr

所以侧面积5=七〉=±「％=±、12*三=二.

22233

故答案为：y.

11.已知扇形的周长为7cm,则这个扇形的面积为3cm2,则该扇形圆心角的弧度数为.

【答案】g或T

【解析】设扇形半径为厂>0,

由题意可知：扇形的弧长为7-2->0,

13

则扇形的面积为3=于尸义(7-2r)=3cn?,解得r=5或2,

=4=8

可得扇形的弧长为4或3,所以该扇形圆心角的弧度数为。一^一3或。=士.

52

Qa

故答案为：3或1.

12.（2024•宁夏•二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米,则时针4h（时）转出的扇形面积是平

方厘米.

【答案】三77』1

33

177rTT

【解析】时针长度是1厘米，则时针4h（时）转出的扇形面积S=：x?xl2=£（平方厘米）.

233

故答案为：!

13.已知一扇形的圆心角为a,半径为r,弧长为/,若扇形周长为20,当这个扇形的面积最大时，则圆心

角&=弧度.

【答案】2.

【解析】由题意，扇形的圆心角为a,半径为r,弧长为/,且扇形周长为20,

可得/+2厂=20,即/=20-2r,

则扇形的面积5=3>=；・（20-2-）7=（10-厂）7=-r+10,.=-（厂-5）2+25,

当r=5时，扇形面积取得最大值，止匕时a=,=W=2.

r5

故答案为：2.

题型四：割圆术问题

14.刘徽（约公元225年-295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术

中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代

极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正〃边形等分成“个等腰三角形，当，变得很大时,

这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到sinl°的近似值为（）

TCTCTCTC

A.—B.-----C.-----D.-----

90180270360

【答案】B

【解析】将一个单位圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为1。，

••・这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，

/.360x—xlxlxsinl°=180sinl°«TI,

2

sin10»-^―.

180

故选：B.

15.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率万的方法有多种，与中国传

统数学中的，，割圆术，，相似.数学家阿尔・卡西的方法是：当正整数“充分大时，计算单位圆的内接正6〃边形

的周长和外切正6〃边形（各边均与圆相切的正6〃边形）的周长，将它们的算术平均数作为2%的近似值.按

照阿尔•卡西的方法，万的近似值的表达式是（

30°300)<.30°30°

A.3nsin+tan----B.sm---+tan----

nn)1knn

60°60°、ID.(.60°60°

C.3nsin+tan----6nsin---+tan----

nn，1I〃n

【答案】A

【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆心角为*360°=型60°-,每条边长为2sin3—0°,

nx6nn

所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12人苗3工0°,

n

30°30°

单位圆的外切正6〃边形的每条边长为2tan—,其周长为12〃tan—,

nn

,30°30°

12〃sin------tan-----------

=6〃sin迎+tan迎，

..27r--nn

2vnn)

(30°30°

贝U1=3〃sin-----+tan

Inn

故选：A.

16.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）刘徽（约公元225年一295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学

理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体

而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正〃边形等分成〃个

等腰三角形（如图所示），当〃变得很大时，这〃个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术

的思想得到sin3。的近似值为（）

一九

D.—

60

【答案】D

【解析】设圆的半径为R,依题意小扇形的圆心角为3。,

依题意，小扇形的面积近似等于小等腰三角形的面积，

故殳&x3=L；?2xsin3。，化简得sin30=二.

360260

故选：D

题型五：三角函数的定义

17.(2024・北京朝阳•二模)在平面直角坐标系X。中，锐角。以。为顶点,Ox为始边.将a的终边绕。逆

时针旋转:后与单位圆交于点如,),若cosa=——，则>二()

10

434

A.——B.--D.

555

【答案】D

【解析】如图,

//兀汨•/：-----------7VI

由cosa=——，0<a<—,Lesina=VI-cosa=------

10210

所以y=sin(a+：)=^^(sina+cosa),

故选：D

18.已知角a终边上一点尸(14),若cosa=且，则了的值为(

5

B.2C.±V5D.±2

【答案】D

1

【解析】由角。终边上一点夕(1/),得尸=Jl+j?,因此cosa=，解得V=±2,

所以》的值为±2.

故选：D

19.如图所示，在平面直角坐标系xp中，动点尸、。从点/(L0)出发在单位圆上运动，点尸按逆时针方向

7T11IT

每秒钟转二弧度，点0按顺时针方向每秒钟转二三弧度，则尸、0两点在第4次相遇时，点尸的坐标是(）

【答案】C

【解析】相遇时间为1=4*2兀+(；|+詈|=8秒,

故P转过的角度为］x8=与，

(?712兀।

其对应的坐标为［cos号,sinmJ,即I2；Tj

故选：C

题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值

20.如果。是第一象限角，则（）

A.sin2^>0tan20>0B.sin—〉0且tan26>0

2

AnQ

C.sin2。>0且tan—〉0D.sin—>0且tan—〉0

222

【答案】C

TT

【解析】因为。是第一象限角，则2E<9<7+2E,左eZ,

2

所以左兀<—<—卜kn,k£Z,

24

所以?是第一或第三象限角，贝l]sing>0或sing<0,tang>0,故排除B、D；

2222

又4kn<20<n+4kn,keZ,

所以2。的终边在第一、第二象限或在V轴的非负半轴上，贝Usin20>0,

当20的终边在y轴的非负半轴上时，tan28无意义，故排除A.

故选：C

21.（2024・高三・河北•期末）“a是第二象限角”是“sinatan（z<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】充分性：若a是第二象限角，贝1Jsina>0,tana<0,可推出sincztantz<0,充分性成立;

必要性：若sinatancz<0,即sina与tane异号，则a为第二象限或第三象限角，必要性不成立；

故选：A

22.已知点尸（tana,sina）在第三象限，则角a在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

/、ftana<0

【解析】•・•点Ptana,sina）在第三象限，，.八，.♦.a在第四象限.

故选：D.

23.（多选题）若cos[]-〃）cos£>0,则角力的终边可能在（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

【答案】BD

【解析】由题意可得：cos-cos/?=sin/?•cosy0>0,即sin£,cos£同号，

所以角耳的终边可能在第一象限或第三象限.

故AC错误，BD正确.

故选：BD.

题型七：弦切互化求值

24-若如"一2,则smJc/。

52

【答案】

【解析】因为tan<9=-2,

匚匕”1sin20+cos20tan20+1(^2)2+15

P/T以-----------=------------=--------=-------■=一

sin2^-cos20sin20-cos20tan20-\(-2)2-13

故答案为：

25.(多选题)已知0<%<兀，sinx+cosx=j,贝lj()

12.12

A.sinxcosx=-—B.sinxcosx=——

2525

7.7

C.sinx-cosx=—D.smx-cosx=—

55

【答案】AD

【解析】•••sinx+cosx=-)

/.(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx=——,

i725

12

sinxcosx=-----，故A正确B错误；

25

由0<xv兀，所以cosx<0,sinx>0,

▽,•、2[0•12449

Xsinx-cosx=l-2sinxcosx=l+—=—,

v72525

7

所以sinx-cosx=w，故C错误D正确.

故选：AD

26.（多选题）已知此。兀），sinO+cosO=g,则下列结论正确的是（）

713

A.9G2,71B.cos6=——

5

37

C.tan0——D.sin0-cos0=—

45

【答案】ABD

【解析】因为sin6+cos。=’,平方可得sin?e+2sin6cose+cos2。=l+2sin6cos9,

525

24

角毕得2sin。cos。=

TT

因为。£（0,兀），所以sin6>0,cos0<0,所以。£（于兀），所以A正确;

49

又由(sin6—cos6)7=sin2。-2sin。cos0+cos20=-

7

所以sin6—cos9=M,所以D正确;

sin0+cos0=—

543

联立方程组,解得sin6=—,cos6=-一,所以B正确;

sin0-cos6=—'

5

sinf）4

由三角函数的基本关系式，可得tanO=^£=-；,所以C错误.

cos"3

故选：ABD

27.已知sin。,cos。是关于龙的方程25/_35x+a=0的两个实根，则工——小力的值为

sin夕cos（7i+6）

【答案】H35/21-1

【解析】因为sin。，cos。是关于x的方程25f-35x+a=0的两个实根，

74912

可得sin6+cos。,平方可得l+2sin6cose=—,可得sin6cose=——

52525

7

5

--1-----1-=--1-1--1-=-si-n8-+-c-os-0-35

1212

sin。cos（兀+。）sin3cos3sin。cos。一

25

故答案为：II

6

28.设sin。一cos。=—，则sin。•cos。=

3

7

【答案】ii

【解析】因为sin9-cos9=——，

3

2

所以（sin0-cosOp=sin20+cos26—2sin6cos6=1—2sin6cos0=—

7

所以sin6cos0=—

18

7

故答案为：--

18

29.（2024,吉林长春•三模）已知々£（0,兀），且sina+cosa=（,贝！Jsin2a=

24

【答案】--

【解析】因为sina+cosa=-

2.7i21c♦24.._24

所以（sina+cosa=——psma+cosa+2sinacosa=——P2sinacosa=-——Psin2a-

25252525

24

故答案为：-石

题型八：诱导求值与变形

30.已知a是第三象限角，且cos2a=-g,则cos[]+a]=,tan^—+2<z

【答案】拽《百二

557

3

【解析】由二倍角公式得：cos26f=1-2sin2a=--,

因为a是第三象限角，所以解得sina=-25,

5

再由平方关系解得：cosa=_q,

sina5c32tana44

以tancc=-------=-------j=^—2,tan2a=----------=-----=—

cosaV51-tana1-43

一三

所以cos\—+a\=-sina=------

/、1--

（兀c）1+tan2a3]_

—+2a=------------=-Y

（4）1-tanla+47

3

故答案为：巫」.

57

31.已知cos[^1+a]=],贝Usin-a|的值为（

4

D.

5

【答案】C

【解析】因为cos（占+a

所以sin------a=sin=吟+小

故选：c

715兀

32.已知sina+—，则COSa-----

1212

3

故选：C.

33.已知4〉0,若85。=咚^,则cos[e+?]的值为（）

2ay6J

A.：B.1C.--D.—

222

【答案】D

【解析】由"0可得cos吟吟12券=1,即侬。洛当且仅当“=1时，等号成立,

又因V6£R,cose«l,故cos6=l,所以。=2E，左eZ,

因止匕cos[6+：）=cos[2A；7i+=cos~=V3

2

故选：D.

题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

34.已知cosc=-撞，且&为第三象限角.

5

（1）求sina,tana的值;

⑵求的值.

【解析】（1）因为sin?a+cos2a=1,cosa=-

所以sina=±——，又a为第三象限角，

5

所以sina=-",所以tana=2^=]

5cosa2

(2)由诱导公式化简得:

sinacosa-sina1

=tana=—

一cosa(-sina)(-cosa2

35.已知。角的始边与次轴非负半轴重合，尸(-2,3)是。角终边上一点.

(1)求sina,tana的值;

cos(7i-cr)

(2)若，求求a)的值.

cos——+a

I2

.33Vova

【解析】(1)由题意得sma=g)2+32=干，%naj=—万;

2V13

(2)cosa=

13

tan(一兀+a)cos(兀一a)tana-cosa

/(a)=cosa.(-sina/

cosp«

sinlsin(7i+cr+

I2

1cosa_132_31

cosasina4312

sin(2ji-a)cos(7i+a)tan(27i-a)

36.已知函数/(&)

sin+«tan(K-«

(1)化简/(a)；

⑵若〃a)=T，求cosa、tana的值;

(兀兀)/71)1q(271)c(5TI)....

(3)右al=~,求cos1~y+oj+2cos1---a\的值.

sin(2兀-a)cos(兀+a)tan(2兀-a)-sin祖-cos祖-tan@

/(«)=书inc

【解析】(1)sin^«tan(Kcoscr(-tancr)

+_a)

(2)因为/(a)=sina=-所以a为第三象限角或第四象限角.

sna

当a为第三象限角时，cosa=-Jl-sin2a__tanor=^=3

5cosa12

当a为第四象限角村，cosa=Jl-sin2a=tana=包色=一在1

5cosa12

(3)因为/(a)=sina,所以/[a+1]=sin[a+力=；.

2兀兀兀=rin[a+A,

cos——FCL=cos—+ex,~\—

2616J3

2兀_15兀1+472

因此cos------FCC+2cos------a

3I6-3-

㈤2

1.（2024•全国•模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像

砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流

派.苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛

等建筑中.图（1）是一个梅花成雕，其正面是一个扇环如图（2）,成雕厚度为6cm,/O=80cm,

五）=3凝,也所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：cn?）（）

图⑴图⑵

A.3200兀B.48071+960C.6880K+960D.3680兀+960

【答案】C

延长D4与C5交于点O.由丽=3蕊，40=80cm,得。4=40cm,OD=120cm.

因为团所对的圆心角为直角，所以①=60兀cm，蕊=20兀cm.

2

所以该梅花砖雕的侧面积SK^6(CD+AB+AD+BC)=4807t+960(cm),

扇环/BCD的面积为；(7ixl2()2一兀x402)=32007r(cm2),

则该梅花砖雕的表面积S表面积=48071+960+2X3200元=6880K+960(cm2).

故选：C.

2.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所

示，其中外弧长与内弧长之和为89cm,连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm,且该扇环的圆心角的弧

度数为2.5,则该扇环的内弧长为()

A.22cmB.26cmC.28cmD.30cm

因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5,

所以a=2.504,b=2.5OC,

即。/=&,OC=—

2.52.5

a—A

因为ZC=CM—=——=18,所以a—6=45.

2.5

又因为a+6=89,

=45

联立可得QQ，

[a+b=S9

[a=67

解得人”，所以该扇环的内弧长为22cm.

b=22

故选：A

3.已知扇形的圆心角弧度为2,所对弦长为6,则该扇形的面积为()

sin2sin22'sinl'sin2l

【答案】D

【解析】因为扇形的圆心角弧度为2,所对弦长为48=6,。为圆心，如下图,

取的中点。，连接OD,则0D_L/3,贝lJsin//OD=sinl,

则扇形的半径厂=上7,所以扇形的弧长/=2义三，

sin1sml

故选：D.

4.（2024・山东济南•二模）质点P和。在以坐标原点。为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动,

同时出发.尸的角速度大小为2rad/s,起点为圆。与x轴正半轴的交点；。的角速度大小为5rad/s,起点为

圆。与射线了=-屈（xNO）的交点.则当。与尸第2024次重合时，P的坐标为（）

2兀.2兀（5兀.5兀、（兀.兀、（兀.兀、

A.cos——,sin——B.-cos一,-sin-C.cos—,-sm—D.-cos—,sm—

99

【答案】B

【解析】设两质点重合时，所用时间为乙则重合点坐标为（cos2f,sin2t）,

由题意可知，两质点起始点相差角度为

则5f-2f=+■（左eN）,解得/=彳^+]（左eZ）,

若左=0,则，=巳，则重合点坐标为（cos',sin]],

若左=1,贝=则重合点坐标为（cos皆,sin与[,即1-cosg,-sing

若左=2,则仁—，则重合点坐标为（cos等,sin等J,即1-cos.in小,

12139兀

当。与尸第2024次重合时，左=2023,则/二——,

向壬人上人以士一平/24278兀.24278兀571.5兀

则重合点坐标为Icos---,sin--一,即-cos——,-sin——

99,

故选：B.

5.（2024•山东济南•二模）若sina-cosa=后，则tana=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】因为sina-cosa=应，

所以（sina-cos=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—sin2a=2,

一33

所以sin2a=-1=>2a=2左兀+一兀,左eZ=a=to+—n.kGZ,

24

所以tana=-1,

故选：B

6.（2024•北京通州•二模）在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重

合，终边与单位圆交于点-|［则COS（兀-2a）=（）

9

A.B.C.D.

25252525

【答案】B

34

【解析】由三角函数的定义可得sina=-《,cosa=1,

所以cos（兀—2a）=-cos2a=-（2cos2。-1）二一2x7

25,

故选：B.

7.（2024・辽宁抚顺•模拟预测）一般地，任意给定一个角aER,它的终边与单位圆的交点F的坐标，

无论是横坐标x还是纵坐标V,都是唯一确定的，所以点尸的横坐标工、纵坐标V都是角。的函数.下面给出

这些函数的定义：

①把点。的纵坐标y叫作。的正弦函数，记作sina,即〉=sina；

②把点尸的横坐标工叫作。的余弦函数，记作cosa,即、=35。；

③把点。的纵坐标V的倒数叫作a的余割，记作csca,即工=csca；

y

④把点尸的横坐标工的倒数叫作a的正割，记作seca,即'=5©（;。.

x

下列结论正确的有（）

A.esc-=-V2

4

■JI

B.当aw左兀+―,左£Z时，cosa・seca=l

2

C.函数/(x)=cscx的定义域为卜卜。左兀+!■，左EZ

71

D.当awhi且awfai+—,左EZ时,sec2a+sin2a+esc2a+cos2a>5

2

【答案】ABD

5TI11c-

【解析】选项A：CSCT=_3^=-,故A正确.

sin——rm—

44

厂兀1

选项B：当awE+—,左EZ时，cosa-seca=cosa--------=1成立，故B