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文档简介
三角函数概念与诱导公式
目录
01模拟基础练..................................................................2
题型一:终边相同的角的集合的表示与区别.........................................2
题型二:等分角的象限问题.......................................................3
题型三:弧长与扇形面积公式的计算...............................................5
题型四:割圆术问题.............................................................6
题型五:三角函数的定义.........................................................8
题型六:象限符号与坐标轴角的三角函数值.........................................9
题型七:弦切互化求值..........................................................10
题型八:诱导求值与变形........................................................13
题型九:同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用............................14
02重难创新练.................................................................16
03真题实战练.................................................................25
题型一:终边相同的角的集合的表示与区别
1.与-20°角终边相同的角是()
A.-300°B.-280°C.320°D.340°
【答案】D
【解析】因为与-20°角终边相同的角是-20°+入360°,左eZ,
所以当无=1时,与-20。角终边相同的角是340。,D选项符合,其他选项不满足上eZ.
故选:D
2.集合;+次ez]中的角所表示的范围(阴影部分)是()
【答案】C
【解析】当先=2〃(〃eZ)时,2»K+-<a<2»7r+-,neZ,此时。表示的范围与四4aW巴表示的范围一样;
4242
JTJTJTIT
当左=2〃+1(〃eZ)时,2〃兀+n+―Wa<2nn+7H■—,«eZ,止匕时a表示的范围与一+兀<aW—+兀表示的范围
4242
一样,
故选:C.
3.与97?r终边相同的角的表达式中,正确的是()
4
7T
A.45。+2析,左EZB.h3600+—,左EZ
4
C.h360°+315°,无eZD.2E-左eZ
4
【答案】D
【解析】在同一个表达式中,角度制与弧度制不能混用,所以A,B错误.
与个终边相同的角可以写成2版+争优eZ)的形式,
左=-2时,2也+岑=-华,315。换算成弧度制为二,所以C错误,D正确.
444
故选:D.
4.把-380。表示成6+2E(左EZ)的形式,贝帽的值可以是()
71兀-8兀8兀
A.-B.--C.——D.——
9999
【答案】B
【解析】V-380°=-20°-360°,-380°=(-1-27t)rad,
故选:B.
题型二:等分角的象限问题
5.如果角a的终边在第三象限,则段的终边一定不在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】「a为第三象限角,.•"•360°+180°<a<h360°+270°小eZ,
(~Y
・•.左•120。+60。<§(左•120°+90°,左EZ,
a
令k=3n,eZ,时,3/7.120°+60°<-<3»-120°+90°,〃eZ,
3
可得/的终边在第一象限;
ZV
令人=3〃+1,“eZ时,(3«+1)-120°+60°<y<(3«+1)■120°+90°,〃eZ,
可得与的终边在第三象限,
a
令左=3〃+2,时,(3〃+2>120°+60°<§<(3〃+2)/20°+90°,〃eZ,
・•・可得当的终边在第四象限,
故选:B.
6.若角a是第二象限角,则券是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
【答案】C
jrjr(y
【解析】由题意可知一+2E<a<兀+2左兀=>—+E<—<--\-kn(kGZ),
2422v7
当无为偶数时,;+而终边为第一象限角平分线,终边为纵轴正半轴,
当上为奇数时,(+E终边为第三象限角平分线,'+E终边为纵轴负半轴,
a
即与的终边落在直线>=x及歹轴之间,即第一或第三象限.
2
故选:C.
7.已知9为第二象限角,若sin5=—sin5,则■|在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【解析】因为。为第二象限角,
兀
所以2历I+—<。<2kji+兀,左wZ,
2
ftT兀6T兀1r
贝kuH—<一<kitH—,keZ,
422
5兀63兀
当k=0时,,当k=l时,——<—<——,
422422
.e.e
因为sin—=-sin—,
22
nn
所以sin;<0,所以工在第三象限,
22
故选:C
fy
8.若a是第一象限角,则-£是()
A.第一象限角B.第一、四象限角
C.第二象限角D.第二、四象限角
【答案】D
【解析】由题意知,h360°<e<h360°+90°,kwZ,
Of(y
则hl80°<—<hl80°+45°,所以一hl80°-45°<--<-^180°,左eZ.
22
当人为偶数时,-1为第四象限角;当左为奇数时,-1为第二象限角.
22
所以-1是第二或第四象限角.
故选:D.
题型三:弧长与扇形面积公式的计算
9.已知一个扇形圆心角60°,。所对的弧长/=3兀,则该扇形面积为.
27
【答案】yTi
【解析】因为扇形圆心角a=60°,且。所对的弧长/=3兀,
设扇形所在圆的半径为/,可得/=+=3%,解得r=9,
所以扇形的面积为S=4x371x9=雪.
222
故答案为:芳27兀.
,2兀
10.(2024•高三・浙江金华・期末)已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为?且半径为1的扇形,则该圆锥的
侧面积为.
【答案】|TT/1^
【解析】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积,
111717rlr
所以侧面积5=七〉=±「%=±、12*三=二.
22233
故答案为:y.
11.已知扇形的周长为7cm,则这个扇形的面积为3cm2,则该扇形圆心角的弧度数为.
【答案】g或T
【解析】设扇形半径为厂>0,
由题意可知:扇形的弧长为7-2->0,
13
则扇形的面积为3=于尸义(7-2r)=3cn?,解得r=5或2,
=4=8
可得扇形的弧长为4或3,所以该扇形圆心角的弧度数为。一^一3或。=士.
52
Qa
故答案为:3或1.
12.(2024•宁夏•二模)最美数学老师手表上的时针长度是1厘米,则时针4h(时)转出的扇形面积是平
方厘米.
【答案】三77』1
33
177rTT
【解析】时针长度是1厘米,则时针4h(时)转出的扇形面积S=:x?xl2=£(平方厘米).
233
故答案为:!
13.已知一扇形的圆心角为a,半径为r,弧长为/,若扇形周长为20,当这个扇形的面积最大时,则圆心
角&=弧度.
【答案】2.
【解析】由题意,扇形的圆心角为a,半径为r,弧长为/,且扇形周长为20,
可得/+2厂=20,即/=20-2r,
则扇形的面积5=3>=;・(20-2-)7=(10-厂)7=-r+10,.=-(厂-5)2+25,
当r=5时,扇形面积取得最大值,止匕时a=,=W=2.
r5
故答案为:2.
题型四:割圆术问题
14.刘徽(约公元225年-295年),魏晋时期伟大的数学家,中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术
中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这可视为中国古代
极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正〃边形等分成“个等腰三角形,当,变得很大时,
这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想,得到sinl°的近似值为()
TCTCTCTC
A.—B.-----C.-----D.-----
90180270360
【答案】B
【解析】将一个单位圆分成360个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为1。,
••・这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积,
/.360x—xlxlxsinl°=180sinl°«TI,
2
sin10»-^―.
180
故选:B.
15.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(兀Day).历史上,求圆周率万的方法有多种,与中国传
统数学中的,,割圆术,,相似.数学家阿尔・卡西的方法是:当正整数“充分大时,计算单位圆的内接正6〃边形
的周长和外切正6〃边形(各边均与圆相切的正6〃边形)的周长,将它们的算术平均数作为2%的近似值.按
照阿尔•卡西的方法,万的近似值的表达式是(
30°300)<.30°30°
A.3nsin+tan----B.sm---+tan----
nn)1knn
60°60°、ID.(.60°60°
C.3nsin+tan----6nsin---+tan----
nn,1I〃n
【答案】A
【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆心角为*360°=型60°-,每条边长为2sin3—0°,
nx6nn
所以,单位圆的内接正6〃边形的周长为12人苗3工0°,
n
30°30°
单位圆的外切正6〃边形的每条边长为2tan—,其周长为12〃tan—,
nn
,30°30°
12〃sin------tan-----------
=6〃sin迎+tan迎,
..27r--nn
2vnn)
(30°30°
贝U1=3〃sin-----+tan
Inn
故选:A.
16.(2024•黑龙江哈尔滨•二模)刘徽(约公元225年一295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学
理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体
而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正〃边形等分成〃个
等腰三角形(如图所示),当〃变得很大时,这〃个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术
的思想得到sin3。的近似值为()
一九
D.—
60
【答案】D
【解析】设圆的半径为R,依题意小扇形的圆心角为3。,
依题意,小扇形的面积近似等于小等腰三角形的面积,
故殳&x3=L;?2xsin3。,化简得sin30=二.
360260
故选:D
题型五:三角函数的定义
17.(2024・北京朝阳•二模)在平面直角坐标系X。中,锐角。以。为顶点,Ox为始边.将a的终边绕。逆
时针旋转:后与单位圆交于点如,),若cosa=——,则>二()
10
434
A.——B.--D.
555
【答案】D
【解析】如图,
//兀汨•/:-----------7VI
由cosa=——,0<a<—,Lesina=VI-cosa=------
10210
所以y=sin(a+:)=^^(sina+cosa),
故选:D
18.已知角a终边上一点尸(14),若cosa=且,则了的值为(
5
B.2C.±V5D.±2
【答案】D
1
【解析】由角。终边上一点夕(1/),得尸=Jl+j?,因此cosa=,解得V=±2,
所以》的值为±2.
故选:D
19.如图所示,在平面直角坐标系xp中,动点尸、。从点/(L0)出发在单位圆上运动,点尸按逆时针方向
7T11IT
每秒钟转二弧度,点0按顺时针方向每秒钟转二三弧度,则尸、0两点在第4次相遇时,点尸的坐标是()
【答案】C
【解析】相遇时间为1=4*2兀+(;|+詈|=8秒,
故P转过的角度为]x8=与,
(?712兀।
其对应的坐标为[cos号,sinmJ,即I2;Tj
故选:C
题型六:象限符号与坐标轴角的三角函数值
20.如果。是第一象限角,则()
A.sin2^>0tan20>0B.sin—〉0且tan26>0
2
AnQ
C.sin2。>0且tan—〉0D.sin—>0且tan—〉0
222
【答案】C
TT
【解析】因为。是第一象限角,则2E<9<7+2E,左eZ,
2
所以左兀<—<—卜kn,k£Z,
24
所以?是第一或第三象限角,贝l]sing>0或sing<0,tang>0,故排除B、D;
2222
又4kn<20<n+4kn,keZ,
所以2。的终边在第一、第二象限或在V轴的非负半轴上,贝Usin20>0,
当20的终边在y轴的非负半轴上时,tan28无意义,故排除A.
故选:C
21.(2024・高三・河北•期末)“a是第二象限角”是“sinatan(z<0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性:若a是第二象限角,贝1Jsina>0,tana<0,可推出sincztantz<0,充分性成立;
必要性:若sinatancz<0,即sina与tane异号,则a为第二象限或第三象限角,必要性不成立;
故选:A
22.已知点尸(tana,sina)在第三象限,则角a在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
/、ftana<0
【解析】•・•点Ptana,sina)在第三象限,,.八,.♦.a在第四象限.
故选:D.
23.(多选题)若cos[]-〃)cos£>0,则角力的终边可能在()
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
【答案】BD
【解析】由题意可得:cos-cos/?=sin/?•cosy0>0,即sin£,cos£同号,
所以角耳的终边可能在第一象限或第三象限.
故AC错误,BD正确.
故选:BD.
题型七:弦切互化求值
24-若如"一2,则smJc/。
52
【答案】
【解析】因为tan<9=-2,
匚匕”1sin20+cos20tan20+1(^2)2+15
P/T以-----------=------------=--------=-------■=一
sin2^-cos20sin20-cos20tan20-\(-2)2-13
故答案为:
25.(多选题)已知0<%<兀,sinx+cosx=j,贝lj()
12.12
A.sinxcosx=-—B.sinxcosx=——
2525
7.7
C.sinx-cosx=—D.smx-cosx=—
55
【答案】AD
【解析】•••sinx+cosx=-)
/.(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx=——,
i725
12
sinxcosx=-----,故A正确B错误;
25
由0<xv兀,所以cosx<0,sinx>0,
▽,•、2[0•12449
Xsinx-cosx=l-2sinxcosx=l+—=—,
v72525
7
所以sinx-cosx=w,故C错误D正确.
故选:AD
26.(多选题)已知此。兀),sinO+cosO=g,则下列结论正确的是()
713
A.9G2,71B.cos6=——
5
37
C.tan0——D.sin0-cos0=—
45
【答案】ABD
【解析】因为sin6+cos。=’,平方可得sin?e+2sin6cose+cos2。=l+2sin6cos9,
525
24
角毕得2sin。cos。=
TT
因为。£(0,兀),所以sin6>0,cos0<0,所以。£(于兀),所以A正确;
49
又由(sin6—cos6)7=sin2。-2sin。cos0+cos20=-
7
所以sin6—cos9=M,所以D正确;
sin0+cos0=—
543
联立方程组,解得sin6=—,cos6=-一,所以B正确;
sin0-cos6=—'
5
sinf)4
由三角函数的基本关系式,可得tanO=^£=-;,所以C错误.
cos"3
故选:ABD
27.已知sin。,cos。是关于龙的方程25/_35x+a=0的两个实根,则工——小力的值为
sin夕cos(7i+6)
【答案】H35/21-1
【解析】因为sin。,cos。是关于x的方程25f-35x+a=0的两个实根,
74912
可得sin6+cos。,平方可得l+2sin6cose=—,可得sin6cose=——
52525
7
5
--1-----1-=--1-1--1-=-si-n8-+-c-os-0-35
1212
sin。cos(兀+。)sin3cos3sin。cos。一
25
故答案为:II
6
28.设sin。一cos。=—,则sin。•cos。=
3
7
【答案】ii
【解析】因为sin9-cos9=——,
3
2
所以(sin0-cosOp=sin20+cos26—2sin6cos6=1—2sin6cos0=—
7
所以sin6cos0=—
18
7
故答案为:--
18
29.(2024,吉林长春•三模)已知々£(0,兀),且sina+cosa=(,贝!Jsin2a=
24
【答案】--
【解析】因为sina+cosa=-
2.7i21c♦24.._24
所以(sina+cosa=——psma+cosa+2sinacosa=——P2sinacosa=-——Psin2a-
25252525
24
故答案为:-石
题型八:诱导求值与变形
30.已知a是第三象限角,且cos2a=-g,则cos[]+a]=,tan^—+2<z
【答案】拽《百二
557
3
【解析】由二倍角公式得:cos26f=1-2sin2a=--,
因为a是第三象限角,所以解得sina=-25,
5
再由平方关系解得:cosa=_q,
sina5c32tana44
以tancc=-------=-------j=^—2,tan2a=----------=-----=—
cosaV51-tana1-43
一三
所以cos\—+a\=-sina=------
/、1--
(兀c)1+tan2a3]_
—+2a=------------=-Y
(4)1-tanla+47
3
故答案为:巫」.
57
31.已知cos[^1+a]=],贝Usin-a|的值为(
4
D.
5
【答案】C
【解析】因为cos(占+a
所以sin------a=sin=吟+小
故选:c
715兀
32.已知sina+—,则COSa-----
1212
3
故选:C.
33.已知4〉0,若85。=咚^,则cos[e+?]的值为()
2ay6J
A.:B.1C.--D.—
222
【答案】D
【解析】由"0可得cos吟吟12券=1,即侬。洛当且仅当“=1时,等号成立,
又因V6£R,cose«l,故cos6=l,所以。=2E,左eZ,
因止匕cos[6+:)=cos[2A;7i+=cos~=V3
2
故选:D.
题型九:同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
34.已知cosc=-撞,且&为第三象限角.
5
(1)求sina,tana的值;
⑵求的值.
【解析】(1)因为sin?a+cos2a=1,cosa=-
所以sina=±——,又a为第三象限角,
5
所以sina=-",所以tana=2^=]
5cosa2
(2)由诱导公式化简得:
sinacosa-sina1
=tana=—
一cosa(-sina)(-cosa2
35.已知。角的始边与次轴非负半轴重合,尸(-2,3)是。角终边上一点.
(1)求sina,tana的值;
cos(7i-cr)
(2)若,求求a)的值.
cos——+a
I2
.33Vova
【解析】(1)由题意得sma=g)2+32=干,%naj=—万;
2V13
(2)cosa=
13
tan(一兀+a)cos(兀一a)tana-cosa
/(a)=cosa.(-sina/
cosp«
sinlsin(7i+cr+
I2
1cosa_132_31
cosasina4312
sin(2ji-a)cos(7i+a)tan(27i-a)
36.已知函数/(&)
sin+«tan(K-«
(1)化简/(a);
⑵若〃a)=T,求cosa、tana的值;
(兀兀)/71)1q(271)c(5TI)....
(3)右al=~,求cos1~y+oj+2cos1---a\的值.
sin(2兀-a)cos(兀+a)tan(2兀-a)-sin祖-cos祖-tan@
/(«)=书inc
【解析】(1)sin^«tan(Kcoscr(-tancr)
+_a)
(2)因为/(a)=sina=-所以a为第三象限角或第四象限角.
sna
当a为第三象限角时,cosa=-Jl-sin2a__tanor=^=3
5cosa12
当a为第四象限角村,cosa=Jl-sin2a=tana=包色=一在1
5cosa12
(3)因为/(a)=sina,所以/[a+1]=sin[a+力=;.
2兀兀兀=rin[a+A,
cos——FCL=cos—+ex,~\—
2616J3
2兀_15兀1+472
因此cos------FCC+2cos------a
3I6-3-
㈤2
1.(2024•全国•模拟预测)石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕,由东周瓦当、汉代画像
砖等发展而来,明清时代进入巅峰,形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流
派.苏派砖雕被称为“南方之秀”,是南方地区砖雕艺术的典型代表,被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛
等建筑中.图(1)是一个梅花成雕,其正面是一个扇环如图(2),成雕厚度为6cm,/O=80cm,
五)=3凝,也所对的圆心角为直角,则该梅花砖雕的表面积为(单位:cn?)()
图⑴图⑵
A.3200兀B.48071+960C.6880K+960D.3680兀+960
【答案】C
延长D4与C5交于点O.由丽=3蕊,40=80cm,得。4=40cm,OD=120cm.
因为团所对的圆心角为直角,所以①=60兀cm,蕊=20兀cm.
2
所以该梅花砖雕的侧面积SK^6(CD+AB+AD+BC)=4807t+960(cm),
扇环/BCD的面积为;(7ixl2()2一兀x402)=32007r(cm2),
则该梅花砖雕的表面积S表面积=48071+960+2X3200元=6880K+960(cm2).
故选:C.
2.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画,题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所
示,其中外弧长与内弧长之和为89cm,连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm,且该扇环的圆心角的弧
度数为2.5,则该扇环的内弧长为()
A.22cmB.26cmC.28cmD.30cm
因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5,
所以a=2.504,b=2.5OC,
即。/=&,OC=—
2.52.5
a—A
因为ZC=CM—=——=18,所以a—6=45.
2.5
又因为a+6=89,
=45
联立可得QQ,
[a+b=S9
[a=67
解得人”,所以该扇环的内弧长为22cm.
b=22
故选:A
3.已知扇形的圆心角弧度为2,所对弦长为6,则该扇形的面积为()
sin2sin22'sinl'sin2l
【答案】D
【解析】因为扇形的圆心角弧度为2,所对弦长为48=6,。为圆心,如下图,
取的中点。,连接OD,则0D_L/3,贝lJsin//OD=sinl,
则扇形的半径厂=上7,所以扇形的弧长/=2义三,
sin1sml
故选:D.
4.(2024・山东济南•二模)质点P和。在以坐标原点。为圆心,半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动,
同时出发.尸的角速度大小为2rad/s,起点为圆。与x轴正半轴的交点;。的角速度大小为5rad/s,起点为
圆。与射线了=-屈(xNO)的交点.则当。与尸第2024次重合时,P的坐标为()
2兀.2兀(5兀.5兀、(兀.兀、(兀.兀、
A.cos——,sin——B.-cos一,-sin-C.cos—,-sm—D.-cos—,sm—
99
【答案】B
【解析】设两质点重合时,所用时间为乙则重合点坐标为(cos2f,sin2t),
由题意可知,两质点起始点相差角度为
则5f-2f=+■(左eN),解得/=彳^+](左eZ),
若左=0,则,=巳,则重合点坐标为(cos',sin]],
若左=1,贝=则重合点坐标为(cos皆,sin与[,即1-cosg,-sing
若左=2,则仁—,则重合点坐标为(cos等,sin等J,即1-cos.in小,
12139兀
当。与尸第2024次重合时,左=2023,则/二——,
向壬人上人以士一平/24278兀.24278兀571.5兀
则重合点坐标为Icos---,sin--一,即-cos——,-sin——
99,
故选:B.
5.(2024•山东济南•二模)若sina-cosa=后,则tana=()
A.1B.-1C.2D.-2
【答案】B
【解析】因为sina-cosa=应,
所以(sina-cos=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—sin2a=2,
一33
所以sin2a=-1=>2a=2左兀+一兀,左eZ=a=to+—n.kGZ,
24
所以tana=-1,
故选:B
6.(2024•北京通州•二模)在平面直角坐标系xOy中,角a的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重
合,终边与单位圆交于点-|[则COS(兀-2a)=()
9
A.B.C.D.
25252525
【答案】B
34
【解析】由三角函数的定义可得sina=-《,cosa=1,
所以cos(兀—2a)=-cos2a=-(2cos2。-1)二一2x7
25,
故选:B.
7.(2024・辽宁抚顺•模拟预测)一般地,任意给定一个角aER,它的终边与单位圆的交点F的坐标,
无论是横坐标x还是纵坐标V,都是唯一确定的,所以点尸的横坐标工、纵坐标V都是角。的函数.下面给出
这些函数的定义:
①把点。的纵坐标y叫作。的正弦函数,记作sina,即〉=sina;
②把点尸的横坐标工叫作。的余弦函数,记作cosa,即、=35。;
③把点。的纵坐标V的倒数叫作a的余割,记作csca,即工=csca;
y
④把点尸的横坐标工的倒数叫作a的正割,记作seca,即'=5©(;。.
x
下列结论正确的有()
A.esc-=-V2
4
■JI
B.当aw左兀+―,左£Z时,cosa・seca=l
2
C.函数/(x)=cscx的定义域为卜卜。左兀+!■,左EZ
71
D.当awhi且awfai+—,左EZ时,sec2a+sin2a+esc2a+cos2a>5
2
【答案】ABD
5TI11c-
【解析】选项A:CSCT=_3^=-,故A正确.
sin——rm—
44
厂兀1
选项B:当awE+—,左EZ时,cosa-seca=cosa--------=1成立,故B
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