高考解答题解题技巧全攻略-2025年高考数学复习热点题型专项训练（原卷版）

热点题型•解答题攻略

专题00高考解答题解题技巧全攻略

♦>-----------解答题・解法大全------------♦>

目录

方法一构建答题模板............................................................................1

方法二跳步答题................................................................................4

方法三分类讨论................................................................................6

方法四数形结合................................................................................8

方法五特殊值探路.............................................................................10

方法六正难则反...............................................................................12

♦>----------解答题♦解法探究-----------♦>

方法一构建答题模板

构建答题模板，步步为营，不因缺少步骤或者部分条件而导致扣分，是所有技巧的基础。

【典型例题】

1.（2024・广东江苏.高考真题）记VABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,己知sinC=0cos2，

q-+b"_c?=

（1）求&

（2）若VABC的面积为3+6,求c.

【详解】（1）由余弦定理有1+b2-c2=2"cosC,

对比已知/+62一°2="力，

可得cosC="2+方一o'=也验=，1,（注意公式书写和化简）

2ab2ab2

因为Ce（0,7i）,所以sinC>0,

从而sinC=Vl-cos2C=,

又因为sinC=0cos8，即cosB=：,

注意到5e（0,兀）,（容易忽略）

所以8=5.

(2)由(1)可得2=三，cosC=¥，Ce(O,7t),从而C=：,4=嗯.=1|,

5兀(it兀)_夜V3V21A/6+72

而sinA=sinsin

12(46)22224

ab_c

由正弦定理有.5兀.71.71

sin—sin-sin—

1234

从而”立业1.缶=在±1"=且.缶=^c,

4222

由三角形面积公式可知，VABC的面积可表示为

2

SABC=~absmC=--^-c-^c-^=^^-c,（分解分步，步骤得分）

■ABC222228

由已知VA5c的面积为3+豆，可得主口8c2=3+代，所以c=20.

8

【变式训练】

一、解答题

1.（24-25高三上・江苏•阶段练习）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,已知

b1=2S+abcosC

⑴求A；

⑵若BC边上的高为1且36cosc=ccos3,求VABC的面积S.

n+l

2.（2024•吉林•三模）已知数列｛4｝满足q=1,an+i=2an+2.

⑴证明：数列;墨｝为等差数列，并求通项％；

⑵求数列｛外｝的前"项和S”.

3.（24-25高三上・江苏•阶段练习）如图，在直四棱柱ABCD-AB|G2中，A4,，平面ABC。，ADJ.AB,

BC1CD,其中A2=AD=0，尸是4G的中点，。是。2的中点.

⑴求证：口尸〃平面CB©；

⑵若异面直线心“所成角的余弦值为*求二面角瓦-的余弦值.

4.（2024.陕西宝鸡.模拟预测）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表

为2020年—2024年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中2020年—2024年对应的代码依

次为1—5.

年份代码X12345

市场规模y3.984.565.045.866.36

_5

亍*5.16,屋1.68，±匕％。45.10,其中匕=6

i=l

参考公式：对于一组数据（巧,%）、（%，%）、L、（匕,%）,其经验回归直线丫=加+。的斜率和截距的最小

〃__

二乘估计公式分别为6=号---------，67«1.83.

i=l

⑴由上表数据可知，若用函数模型、=6后+。拟合〉与x的关系，请估计2028年我国在线直播生活购物用

户的规模（结果精确到Q01）;

（2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率P,现从我国在线直播购物用户中随

机抽取5人，记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X,若P（X=5）=尸（X=4）,求X的数学期

望和方差.

5.（2024高三.全国•专题练习）己知双曲线。:与-£=1伍＞0力＞0）的左、右焦点分别为耳耳，实轴长为

2,〃为C的右支上一点，且（|岬阊）1Tm=3.

（1）求C的方程；

⑵设C的左、右顶点分别为A,3,直线/与C交于尸，。两点，与X轴交于点，；,0，直线AP与8Q交于点G,

证明：点G在定直线上.

6.(24-25高三上•天津•阶段练习)设函数/(x)=lnx-«(^-l)el,其中aeR.

⑴若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)若0<tz<—,

e

(i)证明：函数/(x)恰有两个零点；

(ii)设/为函数,f(x)的极值点，%,为函数“X)的零点，且不>与，证明：3尤0-%>2

方法二跳步答题

解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以假定某些结论是正确的往后推，看能否得到

结论，或从结论出发，看使结论成立需要什么条件。如果方向正确，就回过头来，集中力量攻克这一卡壳

处。如果时间不允许，那么可以把前面的写下来，再写出证实某步之后，继续有一直做到底，这就是跳步

解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想

不出来，可把第一问作已知，先做第二问，这也是跳步解答。

【典型例题】

2.(2024.全国・高考真题)如图，平面四边形ABCZ)中，AB=8,CD=3,AD=573,NA£)C=90°,ZBAD=30°,

21

点、E,尸满足=AF=-AB,将△AEF沿EF翻折至！PE尸，使得PC=4g.

P

⑴证明：EF±PD；

⑵求平面PCD与平面尸2尸所成的二面角的正弦值.

【详解】(1)AB=8,AD=5^3,AE=^AD,AF=^AB,

得AE=2&,AF=4,又NBAT)=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=A/AE2+AF2-1AE-AFcosABAD=^16+12-2-4-2^-y^=2,

所以AE2+EF2=A尸2，则AE_L£F,即跖工AD,

所以EF，PE,EF_LDE,又PEDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以EF_L平面PDE,又PDu平面尸DE,

故EFL尸。；(可以将第一问证明当作条件应用于第二问)

(2)连接CE,由ZADC=90",ED=34,CD=3,贝|CE。=ED?+CD?=36,

在.PEC中，PC=4®PE=2&EC=6,MEC2+PE1=PC2,

所以PE_LEC,由(1)知尸E_LEF,又ECEF=E,EC、EFu平面ABCD,

所以PEJ_平面ABC。，又EDu平面ABCD,

所以尸E，£D,则PE,£F,£D两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-孙z,

则E(0,0,0),P(0,0,2我,0(0,3疯0),C(3,3后0),F(2,0,0),A(0,-273,0),

由尸是A3的中点，得B(4,2拓,0),

所以PC=(3,3区-2&PD=(0,36,-26),PB=(4,26,-26),PF=Q,0,-2®,

设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为〃=(%,％,2]),〃2=02，%,22),

则n-PC=3x)+36y「2A/3Z[=0m-PB=4x2+2百%-2gz?=0

n-PD=3如凶一2退Z]=0m-PF=2x2—2A/3Z2=0

令yt=2,马=粗,得X[=0,Z]=3,y2=—1,z2=1,

所以〃=(0,2,3),帆=(有,-1.1),

\m-n\1V65

所以卜OS〈次，砌

|m||»|>/5-A/13"65"

设平面PCD和平面依口所成角为6,则sinll一cos21=^^

65

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为红亘.

65

【变式训练】

一、解答题

3

1.(24-25高三上•河北•期中)已知数列｛%｝的前八项和为S.Sn-2an=-n-l.

(1)求证：数列卜*为等比数列；

(2)若6“=(2〃+1)(：一%

，求数列也｝的前几项和(.

2.(2024高三・全国・专题练习)记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知(a+6)sinB=csin(A-3).

⑴证明：a=2b；

(2)若。=2,点O在线段A3上，且5AO=3OB,ZACD=2ZBCD,求CD.

3.(24-25高三上•河北•期中)如图,在平面五边形PA3CZ)中，PA=BC=2,AB//CD,AB=CD=3,ABLBC,

将沿4)翻折，使点尸到达点，的位置，得到如图所示的四棱锥片-A8C。，且耳8=巫，E为PQ

的中点.

(2)若=20,求平面4近与平面BCE夹角的余弦值.

方法三分类讨论

解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去,

这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解,

这就是分类讨论。

引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图

形位置的不确定性，变化、不等式的求解等均可能引起分类讨论。在分类讨论解题时，要做到标准统一，

不重不漏。

【典型例题】

3.(2024.全国•高考真题)已知函数=-ax)ln(l+尤)-x.

⑴当。=-2时，求/(%)的极值；

(2)当尤N0时，/(x)>0,求。的取值范围.

【详角军】(1)当。=一2时，/(x)=(1+2x)ln(l+x)-x,

故/'(无)=2111(1+%)+上必-l=21n(l+x)-一—+1,

l+x1+x

因为、=21!1(1+幻广=-=；+1在(-1,+8)上为增函数,

故尸(X)在(-1,+8)上为增函数，而八。)=0,

故当一l<x<0时,故x)<0,当#>0时,r(x)>0,

故/(x)在尤=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

(2);(x)=-aIn(1+x)+-—--1=-aIn(1+x)-("+1)苫，尤>0,

1+X1+X

、1/、/、(a+\\x

设s(x)=-〃ln(l+x)-^———,x>0,

/、—a(。+1)。(％+1)+。+1ax+2a4-1

则S尤)=工一^—〜%—=--~~二，(注意利用范围端点的性质来确定如何分类)

当时，s'(x)>0,故s(x)在(0,+8)上为增函数，

故s(x)>s(O)=O,即/(力>0,

所以/⑺在［0,+动上为增函数，故/'(x""0)=0.

当一g<a<0时，当0Vx<_2〃+1时,丁(力<0,

故s(x)在(0,-三］上为减函数，故在，，-宁J上s(x)<s(O),

即在一宁上尸⑺<0即/⑺为减函数，

故在(。，-个］上〃司<〃0)=0,不合题意，舍.

当aN0,此时s'(x)<0在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+8)上〃x)</(0)=0恒成立，不合题意，舍；

综上，ci<――.

2

【变式训练】

一、解答题

1.(23-24图三上•山东威海•期末)已知函数/(x)=1x"+:x3+%Z，x2-a(awR).

(1)当。=一1时，求/'(*)的单调区间；

(2)设函数g(x)=(#+a)e一翌,若x=0是g(x)的极大值点，求。的值.

，、22〃

2.（23-24高二上•浙江宁波・期末）已知数列｛%｝的首项q=；,且满足。角=1古（neN,）.

⑴求证：数列为等比数列；

⑵若々=（6-冷（2"+1）,令CL也，求数列｛除|｝的前w项和S,.

2222

3.（2024高三,全国•专题练习）已知椭圆q：/+表~=>6]>0)与椭圆C?：/+方=1&＞打＞0）的离

心率相等，G的焦点恰好为G的顶点，圆尤2+/-（2+0）尤+20=0分别经过G，G的一个顶点.

⑴求G，G的标准方程.

⑵过C2上任意一点A作G的切线与G交于点跖N,点B是G上与跖N不重合的一点,且02=WM+"ON

（点。为坐标原点），判断点尸（4以）是否在定圆上.若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.

方法四数形结合

数形结合法：对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对

图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率

和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.

【典型例题】

4.（2024・上海松江•模拟预测）已知。为坐标原点，对于函数/（x）=asinx+6cos称向导OM=（a,b）为函

数〃元）的互生向量，同时称函数“X）为向量OM的互生函数.

⑴设函数/（x）=cosg+“+cos（-x）,试求了⑺的互生向量QW;

IT

⑵记向量ON=（A/3,-1）的互生函数为〃尤），求函数y=/（2x）在xe0,-上的严格增区间;

⑶记=（2,0）的互生函数为〃x）,若函数g⑺=/⑺+卜。M-左在［0,2可上有四个零点，求实数上的

取值范围.

【详解】（1）因为〃x）=cos+cos(-X)=-sinX+cosX,所以/(x)的互生向量OM=(-1,1).

1)

（2）由题意可得〃到=百5也x-cosx=2sin%——cosx=2sinfx-^-，所以〃2x)=2sin[2x_£),

2)

jrIT7T7T7L

令2kn—<2x—<2hi+—,kGZ,解得ku----<x<kTt+—,k^7,

26263J

TTJT

因为xe0,-,所以

TT7T

所以函数y=/(2x)在xe0,-上的严格增区间为0,-.

(3)由题/(x)=2sinx,贝!|g(x)=/(x)+2j^|cos%|-左=2sinx+261cos%|-左，(数形结合利用三角函数性

质作出函数图象，由图象即可得解)

若函数g⑺在［0,2可上有四个零点，则k=2sinx+2+|cosx|在［0,2可上有四个实数根，

则函数/2(力=25苗%+2白,0胡|与'=左在［0,2兀］上的图象有四个交点，

2sinx+2^3cosx,0<x<—^—<X<2TI

22

因为/z(x)=2sinx+2百|cosx|=<

2sinx-2yf3cosx,—<x<—

22

..(兀)小兀一P-37r_

4sinx+—,04x<一或——工入42兀

，/、I3j22

所以=(。

则由三角函数性质作其函数图象如图所示,

由三角函数图象及性质可知上的取值范围为(2,26)。(2也,4).

【变式训练】

一、解答题

1.(24-25高三上•江苏•阶段练习)已知函数/(耳=(X-1)3-/.

(1)求函数的单调区间；

⑵求的零点个数.

(3)g(x)=/(x)-m在区间上有两个零点，求机的范围？

2.(24-25高三上•上海松江•期中)在VABC中，角A,8,C对应边为。，6,c,满足sin(8-A)+夜sinA=sinC

⑴求8的大小；

⑵（力已知6=4,若。在AC上，且3。，AC,求3D的最大值；

TT

（»）延长3C至点使得28c=。/.若NC4W=：求4c的大小.

4

22

3.（24-25高三上•重庆・开学考试）已知椭圆：?+事=1的右焦点下与抛物线C:y2=2加（p>0）的焦点重

合.

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知P为抛物线C上一个动点，直线4：x+y+3=O,求点尸到直线的距离之和的最小值；

（3）若点。是抛物线C上一点（不同于坐标原点0）,/是D0F的内心，求,/6乎面积的取值范围.

方法五特殊值探路

对于一些定值、定点问题可以利用特殊的点去检验，然后通过方程一般性设值去化简，即使运算量有

些达不到，扣去合并运算的那一步，还是能拿到大部分的分值。特别是在解析几何的位置、距离、特殊点、

特殊值的判断中，不妨转换个角度，根据现有条件猜测和利用数值求出一个可行的答案，再反向论证即可。

还有在数列中求解整数存在可能性，有些题的取值有限，不妨取〃=1,2,3,4,5,6,…等值进行代入运算，如果

发现了几个满足题意的值，只需要再进行检验值的唯一性。

【典型例题】

22

5.（2024•北京通州・二模）已知椭圆E：二+2=1（a>6>0）的长轴长为4,离心率为

a2b2

⑴求椭圆E的方程;

⑵直线/过椭圆E的左焦点R且与E交于两点（不与左右顶点重合），点T（t,0）在x轴正半轴上，直

线7M交y轴于点P,直线刀V交，轴于点Q,问是否存在"使得TPTQ为定值？若存在，求出f的值及定

值；若不存在，请说明理由.

【详解】（1）因为椭圆E的长轴长为4,离心率为3，

所以2a=4,£=3.

a2

所以。=2,c=l.所以02=3.

所以椭圆E的方程为兰+上=1.

43

（2）当，=2时，若直线/斜率不存在，（斜率不存在，求出TPTQ为定值.）

3

不妨设

2

所以p（o』），e（o,-i）.

所以TP-TQ=3.

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=%（x+l）,k^O.

消去》，化简得(我2+3)x2+Sk2x+4/—12=0.

则A>0,即F+i>o,

设MOi，y】），W（x2,y2）,

-Sk24k2-12

所以%+%=

4k2+31-4S+3

所以直线梯的方程为、=£（X7）,直线TN的方程为yx-t).

%2—t

所以P0,，Q。,

所以7P=(T,二^，也卜含

7

a+i）（尤2+i）

=〃+f2k2.—+%+电+1

士-x2T(X]+x2)+r

4r-12-8/4r+3

W+34/+34《+3

=t2+t2k2=t2+t2k2

4左2_12-8k24t2k2+3t2(4/+8/+4*2+3/2_i2

-------------1---------------1--------------------

4后2+34左2+34左2+3

-9

=t2+t2

3/-12.

(4»+8%+4)+

k2

所以当3/-12=0时，TPTQ为定值,

即f=2（负值舍）时，7P-TQ有定值3.

综上，当7=2时，TPTQ有定值3.

【变式训练】

一、解答题

1.（2021•北京丰台•二模）已知椭圆C：；+y2=l,过点（T,。）的直线/交椭圆C于点A8.

⑴当直线/与x轴垂直时，求|AB|；

（2）在x轴上是否存在定点尸，使P4PB为定值？若存在，求点P的坐标及P4PB的值；若不存在，说明理

由.

2.（23-24高三下•云南昆明•阶段练习）平面上一动点P（x,云满足-2）2+>2一J（尤+2）2+y=2.

（1）求p点轨迹r的方程；

⑵已知力（一2,0）,8（1,0）,延长B4交r于点。，求实数机使得=恒成立，并证明：NPBQ为

定值

22

3.（24-25高三上•辽宁•阶段练习）已知椭圆E:j+当=1（。>6>0）的长轴长是4,。为右顶点，P,Q,

CLb

M,N是椭圆E上异于顶点的任意四个点，当直线P。经过原点。时，直线尸。和的斜率之积为

⑴求椭圆E的方程；

（2）当直线ME）和ND的斜率之积为定值-2时，直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若

不过定点，请说明理由.

方法六正难则反

一"如果题目正面求解比较困难，或者说推翻一个结论性的问题，都可以从反面出发，假设反证或是举反

例寻找矛盾都可以，这样可以简化题型思路。

【典型例题】

6.（2024.北京.高考真题）已知集合

M={亿）,左,3亦€{1,2}"€{3,4},左€{5,6},.©{7,8},且/+/+左+.为偶数}.给定数列A:%,生，，和序

列。:几3.&其中（=d，K，“）eM（r=l,2,,s）,对数列A进行如下变换：将A的第3九配“项均

加1,其余项不变，得到的数列记作4（A）;将1（A）的第％，人，&，叫项均加1,其余项不变，得到数列记作

玷⑷;……;以此类推,得到7；••也⑷，简记为。网.

⑴给定数列A：1,3,2,4,6,3,1,9和序列Q:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出。(⑷；

(2)是否存在序列。，使得皿A)为4+2,%+6,%+4,。4+2,%+8，。6+2,%+4,/+4,若存在，写出一个符合

条件的。；若不存在，请说明理由；

(3)若数列A的各项均为正整数，且弓+/+4+%为偶数，求证：“存在序列。，使得0(A)的各项都相等”

的充要条件为“«1+«2=«3+«4=«5+«6=«7+。8

【详解】(1)因为数列A：L3,2,4,6,3,1,9,

由序列4(1,3,5,7)可得7；(A):2,3,3,4,7,3,2,9；

由序列n(2,4,6,8)可得44(4):2,4,3,5,7,4,2,10；

由序列彳(1,3,5,7)可得④」丁(A):3,4,4,5,8,4,3,10；

所以。⑷:3,4,4,5,8,4,3,10.

(2)由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4,

假设存在符合条件的。，且0(A)：片也，…4，

2+6+4+2+8+2+4+4

因为=8,即序列。共有8项,

4

由题意可知:(氏_i+&)-(％〃-1+%)=&〃=1,2,3,4,

检验可知：当“=2,3时，上式不成立，

即假设不成立，所以不存在符合条件的O.

(3)解法一：我们设序列"工(A)为{程“}(14”<8),特别规定的,=a.(lW〃W8).

必要性：

若存在序列Ts,使得。(A)的各项都相等.

则as,l=as,2=4,3=4,4=as,5=4,6=4.7=4,8,所以4,1+4,2=4,3+4,4=4,5+4,6=4,7+4.8.

根据一工4人）的定义，显然有4,2-1+4,2/=as-l,2j-l+4T2/+1,这里j=l,2,3,4,5=1,2,....

所以不断使用该式就得到q+/=%+%=%+0=%+殁=41+,必要性得证.

充分性：

若%+%=+。4=〃5+。6=%+〃8•

由已知，苗+/+。5+%为偶数，而。1+。2=。3+。4=。5+。6=%+。8，所以

%+〃4+〃6+4=4（q+%）—（%+/+〃5+%）也是偶数.

我们设Z，工［(A)是通过合法的序列。的变换能得到的所有可能的数列。(A)中，使得

—a」+|4,3_4j+|%5—4j+|4,7一4/最小的一个•

上面已经说明as,2j-\+4,2/=as-\,2j-\+4.百+1,这里j=l,2,3,4,5=1,2,....

从而由弓+出="3+%=%+&=%+«8可得as.l+4,2=4,3+4,4=4,5+y.6=4.7+4,8=。|+&+5.

同时，由于％+/+《+吗总是偶数，所以%+%+%+47和42+，+4,6+4,8的奇偶性保持不变，从而

4J+4,3+4,5+4,7和4,2+4,4+4,6+4,8都是偶数.

下面证明不存在/=1,2,3,4使得L2H-4#2.

假设存在，根据对称性，不妨设）=1,4,2/7—4,2/“,即

情况1：若|。6,3—qj+|a.”5—a*/+|q,7—"s/=0，贝！1由风,1+4,3+%,5+as,7和4,2+4,4+整”6+4,8都是偶数，知

4J一，24.

对该数列连续作四次变换（2,3,5,8）,（2,4,6,8）,（2,3,6,7）,（2,4,5,7）后，新的

|"'+4,1—4+41+|4+4.3—4+4,/+|4+4,5—4+4.6|+|4+4,7—4+4B|相比原来的

—4,21+|《,3—4,41+|%5—4,6I+|。"7—4.81减少4,这与J-4,21+|43-4.41+|4,5—4.61+|4,7—4,8|的最小性

矛盾；

情况2：若|a,,3—qJ+M-4.6卜|%7>°，不妨设k.3-a」

情况2-1：如果%-J21,则对该数列连续作两次变换（2,4,5,7）,（2,4,6,8）后，新的

I4+2J—4+2,2|+|4+2,3—4+2,1+|4+2,5—4+2,6|+|4+2,7—4+2B|相比原来的

I&J-4,21+\as,3~4,41+I4.5—4,61+|4,7—4,81至少减少2,这与gj-4,21+|冤3-4,41+|%5—4,61+|。“7—4.81的最

小性矛盾；

情况2-2：如果4.4-%3,，则对该数列连续作两次变换（2,3,5,8）,（2,3,6,7）后，新的

|4+2,1—4+2,2|+|4+2,3—4+2,/+|4+2,5—4+2,6|+|4+2,7—4+2B|相比原来的

aaa

\s,l~4,21+\s,3~%/+|%5-4,61+\s,7~4,81至少减少2'这与|as,i-4,21+1%,3一%41+|%5—4,61+|4,7—4,81的最

小性矛盾.

这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j=1,2,3,4都有除2日_aSt