高考数学一轮复习考点总结-平面向量的数量积（含解析）

平面向量的数量积(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+

拓展冲刺练)

m【考试提醒】

1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.

2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题

ill【知识点】

1.向量的夹角

已知两个非零向量。，b,。是平面上的任意一点，作的="，OB=b,则N/Q8=0(0W6一)

叫做向量”与8的夹角.

2.平面向量的数量积

己知两个非零向量。与它们的夹角为仇我们把数量回糜韭乜叫做向量。与b的数量积，

记作ab.

3.平面向量数量积的几何意义

设a,b是两个非零向量，它们的夹角是仇e是与b方向相同的单位向量，AB=a,而=b,

过施的起点/和终点8,分别作丽所在直线的垂线，垂足分别为小，Bi,得到示京，我们

称上述变换为向量。向向量6投影,就总叫做向量。在向量6上的投影向量.t己为㈤cosde.

4.向量数量积的运算律

(l)ab=ba.

(2)(%〃)。=a(。力)=。•(4b).

(3)(a+b)'c=ac~\~bc.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量。=。1，y1)，b=(X2,歹2)，〃与8的夹角为夕

几何表示坐标表示

数量积a-b=\a\\b\cos3〃协=—+_VLV2

模\a\=\Ja'a\a\=y]x]+y^

zjab„X1x2+7172

夹角cos8=——COS“一/-----r----------

\a\\b\小什负\xl+yl

alb的充要条件ab=0X1X2+_V1.V2=O

依。|与同同的关系|a十|W|M回\xiX2+yiyi\+y?)(B+修)

【常用结论】

1.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(。+》)•(0-b)=a2—b2；

(2)(a±6)2=a2±2aZ>+Z>2.

2.有关向量夹角的两个结论

(1)若“与。的夹角为锐角，则。力>0；若“协>0,则。与6的夹角为锐角或0.

(2)若。与1的夹角为钝角,则a山<0；若a山<0,则a与力的夹角为钝角或兀

唱【核心题型】

题型一平面向量数量积的基本运算

计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义:«-6=|«||/)|cos(a,b).

(2)利用坐标运算，若a=(xi,J1),)=(X2,闻，则。力=》阳+%夕2.

(3)利用基底法求数量积.

(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义

【例题1】(2024•陕西西安•模拟预测)已知平行四边形48co中，

AB=4,AD^3,ABAD=60°,DP=2DC(2>0),AP-5?=9,则4的值为()

4321

A.-B.-C.-D.-

5432

【答案】B

【分析】用向量方，而表示向量而，再结合数量积的运算律计算即得.

【详解】平行四边形48co中，由AB=4,ND=3,4840=60。，得益=4x3x'=6,

2

由方=2皮(4>0),^AP=AD+DP=AAB+AD,BP=BC+CP=(A-1)AB+AD,

HlhLZP-5P=(228+l4Z)).[(2-l)Z8+15]=162(2-1)+6(22-1)+9=9,

3

整理得8万—24—3=0,即(24+1)(44—3)=0,所以4=二.

4

故选：B

【变式1］（2024.浙江金华•三模）己知同=4,问=3,卜+*卜-可，贝1］小,叫=（）

A.-16B.16C.-9D.9

【答案】B

【分析】由已知可得7+2兀£+片=/-2右£+片，可求得42=0,进而计算可求鼠,-可.

【详解】由「+囚=|"耳，两边平方可得/+2会+片=/-2会+片，

所以6・a=0，所以a-（a—加）=。—a*b=4-—0=16.

故选：B.

【变式2］（2024•陕西西安•模拟预测）已知向量力B的夹角为60°,若（43-3）3=-8,|初=1,

贝IJ|B|=.

【答案】4

【分析】对（碗-5）石=-8化简结合已知条件可得答案.

【详解】因为向量反不的夹角为的,|5|=1,

所以=|a|-|z）|cos60°=-^^1

所以由（41-役）.3=-8,得41.石-户=2,=-8

⑸2一2⑸-8=0,得历|=4,或⑸=-2（舍去），

故答案为：4

【变式3］（2024•辽宁丹东•一模）记》3C内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知“8c

面积为S,且力+尸一°?=4后.

⑴求C;

（2）若BA-BC=6，求S.

【答案】⑴丁

0

(2)百

【分析】(1)由余弦定理及面积公式可得结果.

(2)根据向量数量积的定义及余弦定理可得结果.

【详解】(1)因为/+/一c2=4屈，gpa2+ft2-c2-473x|ateinC,

2.72_2A

整理得------J=J5sinC,即cosC=6sinC,所以tanC=——，

lab3

又C«0,兀)，所以C=g

6

(2)因为°=26，BABC=\BA^-pc|cosfi=accosB=acx-----=——----=6,

即6=c,又/+/一，=4屈，所以S=G

题型二平面向量数量积的应用

(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用同=Ya5及(a±〃)2=|〃F±2®5+|"2；

②几何法：利用向量的几何意义.

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：cos9=0e；

\a\\b\

②坐标法.

(3)两个向量垂直的充要条件

〃_L〃台〃力=00|q—〃=|。+臼(其中aWO,bWO)

命题点1向量的模

【例题2】(2024•江苏扬州•模拟预测)已知向量3,*满足同=1,W=VL且口与*的夹

角为苧，贝山"同=()

611

A.yB.V13C.1D.13

【答案】B

【分析】根据|22—%“22—盯,结合数量积运算求解.

【详解】根据题意，73=1而|cos充=lx6x

T~~2,

7

贝U怩_可==小4J一41B+b2=\4+6+3=■

故选：B

【变式1］（2024•河北•三模）已知非零向量Z，B的夹角为1，a=bg4j，1-4=1，则

卜+3卜（）

A.1B."C.V2D.V3

2

【答案】D

【分析】分析可知同=1,向量0,"%的夹角为:，根据@+3=22-结合数量积的

运算求解.

【详解】因为匚，则同=1,

\7

且非零向量Z,石的夹角为三，归-4=1,可知向量£,々一君的夹角为

贝！R"3）=lxlxLL

\'22

所以B+q=忸_@1）|=设2—好々-B［卜工）2=’'

故选：D

【变式2］（2024•河南•三模）已知AASC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=60°,

c=7,若a-b=3,。为中点，则CQ=.

【答案】叵

2

【分析】根据余弦定理可得成=40,即可利用向量的模长求解CO='亘.

2

【详解】由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=（a-ft）2+ab,将。一6=3代入解得=40,

因为函=+•），所以函'=（""&山二竺,所以CD=，HI.

2、）4442

V129

故答案为:T~

【变式3］（2023•福建福州•模拟预测）在“3C中,角4B,C的对边分别是0,瓦c,且

24

asinC=csinB,C=----

3

⑴求3；

⑵若一5。面积为述，求3C边上中线的长.

4

【答案】（1）8=£

6

⑵理

【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角8；

（2）根据/=8,得a=6,结合三角形面积公式即可得到a=6=百，再由正弦定理得边c,

以及2通=卷+就，即可得到答案.

【详解】（1）iasinC=csin3,由正弦定理边化角得sin/sinC=sinCsin8,

sinCw0,/.sin4=sin5,

:.A=B^A+B=TI（舍）,

「2兀兀

C=—,A=—,：.a=b,

36

/sine，即孚f字解得0=6=5

a

由正弦定理~;1,

sinAsinC

得"竺牛=3,

smZ

设BC边的中点为。，连接AD,如下图:

2AD=AB+AC>即（275）2=（次+就了,

即44。2=。2+〃+2bccosA=9+3+2x「x30-,

2

皿=叵

解得2

命题点2向量的夹角

【例题3】（2024•北京•三模）若固=1,向=2则向量方与行的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根据。-5），万，得0-B）海=0,结合数量积的运算律求出"石，再根据向量的夹

角公式即可得解.

【详解】因为他-5）11,所以0-彼）海=0,

即/一屋5=0,所以0石=/=1，

一a-b1

所以仙，小r丽=5，

X00<5,ft<180°,

所以向量3与B的夹角为60。.

故选：B

【变式1］（2024•江苏南通•三模）已知三个单位向量23,2满足£=石+0则向量反之的夹角

为（）

7171仆2冗r5）

AA.—B.-C.-—D.—-

6336

【答案】C

【分析】对等式两边同时平方即可得到r人Cr=-：1,再利用向量数量积定义和向量夹角的范

2

围即可得到答案.

【详解】a2=b2+c2+2b-c，即1=1+1+2月工，

111

:.b-c=——,即lxlcos6,c=——,贝！Jcos6,3=——,

222

因为的夹角为g,

故选：C

1一

【变式2］（2024•江西•模拟预测）已知平面内非零向量值在向量B上的投影向量为-且

2

同=3问，则@与B夹角的余弦值为.

【答案】

6

【分析】利用投影向量公式计算即可.

【详解】设&与B的夹角为。,

a-bba-b-a\-\b\cos0一\a\cos0-1-

因为——―b=——b,

wr而⑸2W2

同COS。1I

即.“1,又同=3比

贝!j3cos6=--,即cos。=--

26

故答案为：6

【变式3］（2024•江西•模拟预测）如图，在正三棱柱A8C-44。中，尸是棱4片的中点，Q

是棱/C上一点，且坐=必，AB=2BB\=2.

AC3

（2）求平面尸与平面2尸4的夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

（2戍.

2

【分析】（1）取N8的中点。，连接OC,。尸，。耳，利用面面垂直证明OCLAP,再证明

AP,平面。4c即可；

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示求解面面角.

【详解】（1）证明：取A8的中点O,连接OC,OP,OBlt

正三棱柱OC±AB,OP1AB.

平面ABBXAX1平面ABC,平面4BB&Pl平面ABC=AB,OCc平面ABC,

所以OC，平面4844,

又BPu平面488/1，所以0C_L8P,

因为BB、=PBt=OB=1,55,±AB,BBX_LPBX,

所以四边形。8分尸为正方形，所以用，

又。用口0。=。，。4(=平面。4。，OCu平面08。，所以8尸，平面08。，

又3(u平面OB©，所以

(2)由(1)知ON,OP,OC两两垂直，故以。为坐标原点，以04,OP,OC所在直

则0(0,0,0),5(-1,0,0),P(0,l,0),(-1,1,0),“(1,0,0),c(o,o,6),

所以衣=(一1,0,6),率=(1,0,0),04=(1,0,0),

由超=立，得通=£就=[-,

AC3313J

所以—02=_0_/_+_/_。.=(1一¥V3，0』)，

、?

所以。,所以「。=1一1,T1,

V7<7

设平面PQB1的1个法向量元=(x,y,z),

B[P•元=x=0,

则’画向J1-近1X—+Z

=0,

令y=l,得x=0,z=l,所以历=（0,1,1）,

易知平面3P4的一个法向量为而=（o,o,i）,

设平面PQB,与平面5P4的夹角为。，

,,\n-m\1J2

所以cosOqcos亢，同=岛斗=方一T=/，

川•网J2xl2

旦

所以平面?。片与平面8P4的夹角的余弦值为2

命题点3向量的垂直

【例题4】（2024•江苏连云港•模拟预测）若向量应，为满足阿=1,同=2,且便-万）

则同_同=（）

A.1B.V3C.V?D.2

【答案】B

【分析】根据（而-办行=0求出cosd,根据忻-司="（而-为>即可求解.

【详解】因为（丽-万），而，所以（丽-元）•历=0,

所以|玩『矶刈cos8=0,所以cos6=；,其中。是应，力的夹角，

所以麻-司=7（m-«）2=^1+4-2X2X1X1=口

故选：B

【变式1］（2024•重庆•模拟预测）已知@=1,⑸=2,且G与B不共线，若向量2+汇与万-石

互相垂直，则实数上的值为（）

11,1

A.--B.?C.±-D.±2

【答案】C

【分析】依题意可得但+右>，-析）=0,根据数量积的运算律计算可得.

【详解】因为向量方+庙与而互相垂直，

所以（2+证届）=0,即一产庐=0,

BP12-A;2X22=0,解得左=±g.

故选：c

【变式2］（2024•宁夏银川三模）已知3是单位向量，且可与a+K垂直,♦与B的夹角为135。,

则在5上的投影数量为.

【答案】立~

2

【分析】由行与4+B垂直，结合3与3的夹角为135。，利用数量积的定义得到忖=血,再

利用方+B在B上的投影的定义求解.

【详解】解：因为&与&+B垂直，

所以小（1+B）=o,即12+展1=0,

解得五•b=—1，

又因为万与B的夹角为135。，

所以小B=|司・W-cosl35°=-l,解得问=也，

2-1_V2

所以万+万在B上的投影数量为

HH6-2

V2

故答案为：2

【变式3】（2023高三・全国•专题练习）四面体48c。中，AB2+CD2=AD2+BC2,求证:

AC1BD.

【答案】证明见解析

【分析】根据题目条件，利用向量运算法则即可求得就.而=0,即可证明/C工班.

【详解】证明：如下图所示：

由条件得方2一数2=NS'一而2,即

AB-BC

贝!|（万一网-就=%.（右+西,

^^,^AC-lAB-BC-AD-CD=0,

即％―2而=0，即％•丽=0,

所以

题型三平面向量的实际应用

用向量方法解决实际问题的步骤

【例题5】（2024•广东梅州•二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子N3上.已知物体

M的重力大小为20牛，且乙4（W=150。，在下列角度中，当角。取哪个值时，绳03承受

的拉力最小.（）

【答案】C

【分析】由题意作出图形，在△ON0中利用正弦定理列式，得至I」而|的表达式，结合正弦

函数的性质算出|诟|的最小值.

【详解】作出示意图，设与物体M平衡的力对应的向量为丽，贝IJ|丽|=20,

以CW为对角线作平行四边形。尸NQ,则丽=在+而，|丽|是绳OS承受的拉力大小,

由44(W=150°,得44QV=30°,所以NCWQ=N/CW=30P,

△°N°中,由正弦定理得sin/oQN=sinNON。'即sin(18O0-0=sin30°

可得国|=。。=20sin30°10

sin(18O°-0sin0

结合0。<6<180。，可知当6=90。时，|丽|达到最小值10.

综上所述，当角6=90。时，绳承受的拉力最小.

故选：C

【变式1］（2020•宁夏中卫•二模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某

学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每只胳膊的

拉力大小均为400N,则该学生的体重（单位：奴）约为（）

（参考数据：取重力加速度大小为g=l0m/S?,百，1.732）

A.63B.69C.75D.81

【答案】B

【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重=|用，利用余弦定理即可求出|尸I得解.

由余弦定理得\F'|2=4002+4002-2x400x400xcos（羊）=3x4002,F,|=40073.

所以|G|=4006269像.

故选：B

【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平

【变式2］（2024•全国•模拟预测）如图，某物体作用于同一点。的三个力耳，F2,月使物体

处于平衡状态，已知耳=1N,6=2N,片与区的夹角为120。，则片的大小为.（牛

顿N是物理的力学单位）

【答案】V3N

【分析】根据三力平衡得到耳+耳=-瓦，然后通过平方将向量式数量化得到

园?+2园•同cosl20°+Ej=用,代入数据即可得到答案.

【详解】由题意知三力平衡得用+瓦=0,化简得耳+耳=-耳，

两边同平方得尸+2耳瓦+耳2=瓦2,即同+2同同COS12（F+Ej=同，

即『+2xlx2xH+22=3=|&,解得同=瓜

故答案为：瓜

【变式3］（2022•内蒙古赤峰•三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30。的斜面上，物

体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力不，垂直斜面向上的弹力耳，沿着斜面向

上的摩擦力E•已知：同=8。尿，同=160N,则瓦的大小为.

【答案】80N

【分析】物体处于平衡状态，则重力不沿斜面上的分量与瓦方向相反，大小相同，即可求

值.

——1

【详解】由题设，书|=2|«）$60。=160*5=80比

故答案为：80N.

□【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2024•山西太原•模拟预测）已知单位向量限B满足但一孙建;,则N-与B的夹角

为（）

【答案】D

【分析】根据题意结合数量积的运算律可得a3=；，进而可得B-2®=追，0-24）=-g,

结合夹角公式分析求解.

【详解】由题意可知：向=|4=1，

/rI*、一J

因为(q-b)・Q=q2-a-b=1-a-b=—,解得，=—,

(XrX2r2rrr2

贝“Q-26)=a-Aa-b+Ab=3,即归_2%。,

rrrr3

ar-2bx\b=ar-b-2b2=,

)2

/r'「3

("2"-5

_/rJ-J-

可得cos(a-2b,b~r

1V,rr、

且k-2仇少［0,兀］,所以万—2彼与B的夹角为，

故选：D.

2.（2024・四川眉山•三模）已知向量口友己满足同=问=1,同=百，S.a+b+c=Q＞则

cos(a-c,b-c)=()

133733G13

A.—D.

14ITIT14

【答案】A

【分析】根据数量积的运算律求出鼠E、ae、Be，即可求出伍-曰卡-。、B-回、收-己|，

再根据夹角公式计算可得.

【详解】由题意得点+1-1则(万十斤=/2有「+2方方+12=(6)2,解得小3=；,

3

又由2+1=与，则()+万)2=必有P+2方1+(括y=i2,解得小了=—5

同理可得心云=-3

2

所以他-/•^b-c^=a-b-a-c-b-C+c2=

\b-c\=^b2-2b-c+c2=V7,

13

（5—?）-^6—cj

所以cos(方一己3—司=T13

方-中忸-W-V7xV714

故选：A

3.（2024•安徽合肥•模拟预测）记“BC的内角4,B,。的对边分别为a,b,c,若6=2,

日/、

COS5=-C-O-S-^-4-+--C-O-S-C-，2——AM►=——MC►，则EH即可—r能w是（）

ba+c11

A.vB.IC.1D.2

23

【答案】C

【分析】利用余弦定理对?=您且上8汇整理得到3=f，即可得到动点B的轨迹，然

ba+c3

后利用正弦定理和平面向量得到05,OM即可得到卸/是关于。的函数，最后根据函数求

|两|的范围即可.

【详解】

B

A

C

b2+c2-a2a+b2-c2

由余弦定理得a2+/=?bc+2ab

2acba+c

整理得（〃+。乂。2-QC+o2）=（q+c）〃，

因为Q+cW0,所以/-QC+°2=〃，即“2+o2一/=QC,

所以COS2=4+C--*=）

2ac2

因为8e（O,兀），所以3=。,

又6=2,则设ABC的外接圆圆心为。，则动点8的轨迹为优弧ZC（不包括A、点。）.

八口1226

OB——x------------------

设/M05=e（o<ew»）,在aOB河中,2.n3

sin—

3

2

212c

X—X-cos——

333

由余弦定理得8"=。82+。河2_2.。8.0m.（；05。，则8M是关于。的函数，且是增函数,

当。=%，即3,O,M三点共线时，BM最大,此时BM=OM+OB=2+邛

3

当3—4时，BMfAM,即Wfg,所以|嬴|的取值范围为’22+273

1丁

故选：C.

4.（2024•重庆•模拟预测）如图，圆。内接边长为1的正方形/3CD,尸是弧8C（包括端点）

上一点，则存.在的取值范围是（）

D.

【答案】C

【分析】法一：以/为坐标原点，/8/。所在直线分别为x轴、〉轴，建立平面直角坐标

TT

系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接/C,CP,设=贝I]

4

ZPAC=^-0,AP-AB=\AP\\AB\cos0=\AB\\AC\cosZPAC,即可求解.

【详解】方法一：如图1,以N为坐标原点，/民/。所在直线分别为x轴、y轴，建立平面

直角坐标系，则有(0,0),8(1,0)).

设尸(xj),则万=(x,y).因为刀=(1,0),所以不.益=x.

由题意知，圆。的半径r=Y2.因为点尸在弧3C(包括端点)上,

2

所以IVxvL巫，所以万.刀的取值范围是1,丑或

717T

设NPAB=e,owe4—,贝i]/p/c=——e.

44

由已知可得I刀1=1,1/\=y[2,ZAPC=p所以I於1=1%IcosAPAC=0cos]：-。

所以万•益=|万||Z§|cos6=V^cos[a-。卜。$。二拒—cos^+—sin^cos。

1+cos20sin2。1V2

=(cos0+sin6)cos0=cos2e+sinOcos。=--------1------—H-----sm26+；

2222

因为0V6V工，所以工V20+'所以"Vsin(2e+P〕Vl,

4444214)

所以14+qin(28+/匕g,即万.刀的取值范围是1,匕g

22I4J22

故选：C.

二、多选题

5.(2024•江西宜春•模拟预测)已知向量〃=(-1,2),6=(6,-2),则()

A.(2a+b)±aB.\a-b\=>/65

TT1一

c."与否的夹角为:D."在B上的投影向量为一;6

44

【答案】ABD

【分析】A选项，根据(2°+加).°=0得到垂直关系；B选项，求出a-各=(-7,4),根据模长

公式求出答案；C选项，根据cos〈丽=-变得到答案；D选项，利用0COS6,办且=-与

2\b\4

得到D正确.

【详解】A选项，因为£=(-1,2),6=(6,-2).

所以江+刃=(4,2).贝|(2Z+1)i=Tx4+2x2=0.所以(2Z+5)_LZ.故A正确:

B选项，因为a-3=(-7,4).所以卜—目=J(―7)-+4-=.故B正确;

——n•A—10yFy一

C选项，因为3〈。，6〉=荷西=7TB=-7—且〈。力〉近0,小

——371

所以姐：.故C错误;

Z在3上的投影向量为I«Icos(a,^-4-=V5xx*=T—故。正确•

2

1^1J

故选：ABD.

6.(2024•浙江温州•模拟预测)已知单位向量£石总共面，则下列说法中正确的是()

A.若卜+可=1-则a//BB.若卜+同=卜_同,则

C.^a+b+c=0,则(词D.若£+B+"=0,则标)=与

【答案】BD

【分析】根据题意，结合向量的运算法则，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.

【详解】由1+/=口一回，可得G+B)2=Q-B)2,即7+7+2°石=/+必_2°3，

可得7B=0，所以所以A不正确，B正确；

因为向量为单位向量，可得W=W=H=I,

又由Z+B+"=O，可得B=—（Q+C）,则32=/+片+2限"，即W=卜|+口+乐・。，

—1£

可得。所以

2

因为@。且0,兀］,所以G，p=与，所以c错误；

由Q+B+C=O'可得4=一（5+。）,贝！］问2=词4-|c|+2&-CJ可得B，C=-5’

所以cos«Q=j|I，因为GQe［O,兀］,所以师）=与，所以D正确.

故选：BD.

三、填空题

7.（2024•辽宁丹东二模）设向量£,石的夹角为60。，且忖=1，忖=2,则仅+2否"=.

【答案】9

【分析】法1：由数量积的几何意义可知3在向量々上的投影的数量为1,可得〉5=1，即

可求解；

法2：根据数量积的定义即可求解；

法3：根据题意设£,g的坐标，利用坐标运算即可求解.

【详解】法1：由向量数量积的几何意义得，

石在向量让的投影的数量为问cos60。=1,

所以73=1，所以（@+2日）石=9；

法2：根据数量积定义有1石=同Wcos60。=1,

所以("ZB).』；

法3：设)=(1,0),=(1,73),»+2*=(3,26),

所以,+2孙*=3+6=9.

故答案为：9.

8.（2021•云南昆明•三模）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则£与巴大

小之比为

Fi

F2

【分析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为o,然后可算出答案.

【详解】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为o

_2

所以同8545。=同cos30。，所以［j•=="

11

「IF2cos45°V22

故答案为：逅

2

9.（2024・重庆•模拟预测）已知非零向量方、5满足同=2同行+5）,3,则向量3与B的夹

角为•

2兀

【答案】y

【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可.

【详解】因为但+3）/，

设向量3与B的夹角为。（。«0,可），

:.^a+b^-b=a-b+b2=|a||/?|cos0+|/>|=0

又因为同=2问，

I-|2|-|21?71

二.2网cos9+同=0,.*.cos0=,

所以向量3与B的夹角为芋27c.

2兀

故答案为：y.

四、解答题

10.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)记的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,

向量"=仅,sirU+sinC),v=(sin4+sin5,a-c)且"_L/.

(1)求角。的大小；

R3

(2)若“3C的面积为。，cos/cos2=—,求c.

44

兀

【答案】⑴92

⑵百

【分析】(1)利用向量垂直的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；

(2)利用三角形面积公式得到打，利用三角函数的和差公式得到siMsinS,再利用正弦定

理即可得解.

【详解】(1)因为*=(仇siM+sinC),v=(sin4+sinS,6z-c),fi-Lv,

(siib4+sin5)+(sirU+sinC)(a-=0,

由正弦定理得b(Q+b)+(Q+c*—c)=0,化简得/+/_/=一",

a2+b2-c2-ab_1

所以cos。=

2ablab2

2兀

又0<C<7T,所以。=彳.

(2)由题意得L^sin@=也，则成=1,

234

由一cosC=cos(兀一C)=cos［A+B)=cos4cosS-sin4sin8,

131

得一二——siMsinB,则sirUsinS=—,

244

因为［上］=——=4,所以*=2,

(sinC)siiL4sinBsinC

所以c=2sinC=VJ.

IL(2024•江苏南通•模拟预测)在中，角A,B,。所对的边分别为。，Z),。，已

知。=2,c2=BA-BC-2y/3S,其中S为“3c的面积.

⑴求角A的大小；

(2)设。是边3C的中点，若4B14。,求4。的长.

【答案】(1)/=3兀

(2)巫

13

【分析】(1)由向量的数量积和三角形的面积公式以及正弦定理化简已知等式可得

smC=sinAcosB-^sinAsinB,再由两角和的正弦展开式结合特殊角的三角函数化简整理即

可；

(2)法一：结合已知由正弦定理可得.℃一=名，代入数据化简后可得

sinfi=*sin］聿-再由两角差的正弦展开式和同角三角函数关系求出sin8=*，即

可得到结果；

法二：由三角形的面积公式结合已知可得c=^6,再在。中，据余弦定理得

2

b2+c2+43bc=4,解出瓦c,然后在RtZUBD中，据勾股定理解出结果即可；

法三：延长8/到点〃，使得由三角形中位线的性质结合勾股定理和三角函数定

义关系求出即可；

法四：延长/。到£,使4D=DE,连结E8,EC,由已知结合三角函数的定义和勾股定理

解出即可；

【详解】(1)据02=而•数一2后，可得=c.a.cosB—2V^xgqcsin5,

BPc=acosB-y/3asinB，

结合正弦定理可得sin。=siib4cosA^iiL4sin5.

在^ABC中,sinC=sin［兀一(4+8)］=sin(/+8)=siib4cos8+cosZsinS,

所以sin4cos5+cosz4sin5=siir4cos5—

整理得cosZsinB=-AAsiib4sirL5.

c

因为BE(0,兀)，sin5>0,故cos4=-J§siih4,BPtanA=----，

3

又/e(O,7i),所以/兀.

(2)

法一：因为。是边3C的中点，a=2,所以8O=CD=L

在/\ABD中，AB1AD,贝!JAD=BDsinB=siriS.

在“8中，=C=兀-*3=钎人0)=1,

1AD

CDAD口口----

据正弦定理可得,,Bp•兀

sinZCADsinCsin§

所以AD=*sin仁-8；

所以sin5=-7=sin|--5^1,即^~sinB=—cos5--^-sinjB，

V316J222

所以cos5=26sinB，

Xsin25+cos25=1»BG(0,7r),

=1，解得sinB=也3

所以sin25+Q^sinB)

13

所以/。=巫.

13

法二：因为。是边3C的中点，故S”四二

所以;。•/。=；力40©11/0/0,即；。/。=36-4。”也］兀一7

整理得°=苴6①

2

在中，据余弦定理得，Q?=〃+°2_26ccos/B/C,

即从+。2+取。=4②

联立①②，可得b=点,c=沼.

一、~V13J13

1

在Rt△血。中，据勾股定理得，AD'=BD2-AB2=1-