高等数学（第三版）课件：空间解几

第一部分向量代数第二部分空间解析几何

空间解析几何与向量代数

第一节机动目录上页下页返回结束空间直角坐标系、向量的坐标

ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰ2.点的直角坐标坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束坐标面:机动目录上页下页返回结束例1.指明点在何卦限内，并作出该点。解：第三卦限xyzo3.空间两点距离点与点例2.在z轴上求与两点解:设该点为解得故所求点为及等距离的点.二、向量的坐标表示式机动目录上页下页返回结束为与u轴同方向的单位向量，u轴上则有注意1.设点P的坐标为uP注意2分别表示与三坐标轴同方向的单位向量.例1.设点M的坐标为证明：机动目录上页下页返回结束1.向量的坐标表示式uP向量

的坐标表示式

简记为证：称为向量定义1.

对于向量a,如果存在数ax,ay,az,使得那么依次称为向量（2）表示式的x,y,z坐标;的坐标（1）数表示式.注:设则则有设有点与机动目录上页下页返回结束定理1oxyz由Th1可得则有设有点与机动目录上页下页返回结束定理1证明(由例1得)例2.设A，B，求向量的坐标表示式.解：2、线性运算设则机动目录上页下页返回结束l为实数,定理2.平行向量对应坐标成比例.当时例3.已知两点在线段AB上求一点

M,使解:

设M的坐标为则有及实数即机动目录上页下页返回结束因此定比分点公式:三、向量的模、方向余弦的坐标表示式1.向量的模则有定理1知，机动目录上页下页返回结束点M的坐标为设即机动目录上页下页返回结束例4.已知两点和解:求12.方向角与方向余弦与三坐标轴的夹角

,

,

称为方向角的余弦称为机动目录上页下页返回结束定义非零向量的方向角.oxyz的方向余弦.

设则a的方向余弦的坐标a表示式为性质:的单位向量：

向量和的模、方向余弦和方向角.解:计算机动目录上页下页返回结束例5.已知两点向量过四、向量在轴上的投影的终点M交u轴于点则这向量在u轴上的投影定义uuo作与u轴垂直的平面，该平面投影亦可记为定理3（投影定理）设a与u轴的夹角为j,则求向量三条坐标轴上的投影.解：在向量在三坐标轴上的投影就是它的坐标。ABPrjABx=|AB||AB|例6.设点ABPrjAByPrjABz同理∴AB习题P124:AC,5:AC,8,11,12,13,16,181.设求以向量行四边形的对角线的长度.解：为边的平机动目录上页下页返回结束ABCD备用题2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得机动目录上页下页返回结束3.设点A位于第一卦限,解:的夹角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴第二节目录上页下页返回结束第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积机动目录上页下页返回结束数量积向量积

一、两向量的数量积数量积(点积)

=其中1.定义注:定理3（投影定理）设a与u轴的夹角为j,则=∵机动目录上页下页返回结束2.性质为两个非零向量,则有

3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律(l,m为实数)分配律证明当时,显然成立;当时,例1.设解为单位向量，且4.数量积的坐标表示设则定理机动目录上页下页返回结束

例2.

已知三点

AMB.解:则求故机动目录上页下页返回结束例3解,即二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束1.定义定义向量方向:且符合右手规则

模:(叉积)记作向量积,称思考:右图三角形面积S＝ABCD2.性质为非零向量,则∥证明:机动目录上页下页返回结束∥3.运算律(2)分配律机动目录上页下页返回结束(3)结合律(证明略)4.向量积的坐标表示式机动目录上页下页返回结束设则解

例4.设求例5.已知三点求三角形ABC的面积.机动目录上页下页返回结束解:

ABAC内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束2.向量关系:机动目录上页下页返回结束习题P191.(2)(3)23.(2)567第三节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程机动目录上页下页返回结束平面及其方程

三、平面的截距式方程四、特殊的平面方程且垂直于非零一、平面的点法式方程设一平面通过已知点求该平面的方程.向量则有任取①称①式为平面

的点法式方程,从而为平面P的法向量.称n例1.求过三点解:的平面

的方程.机动目录上页下页返回结束取该平面

的法向量为即得平面

的方程二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.平面的一般式方程:注：该平面的法向量为

例2.一平面通过两点且垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:和AB=(-1,0,-2),法向量所求平面即n=(1,1,1)A•法向量在平面上取一点,则P0

到平面的距离为证点),,(0000zyxP到平面ByAx+0=++DCz的距离

定理点),,(0000zyxP,平面ByAx+0=++DCz例3求点到平面的距离解设则例4

研究以下各组平面的位置关系：解∥故两平面斜交.故两平面平行.∴三、平面的截距式方程此平面过点P(a,0,0),注1Q(0,b,0),R(0,0,c).注2a、b、c称为平面在x、y、z

轴上的截距.例5

求平行于平面6x+y+6z+5=0且与z轴的截距为1的平面方程.设所求平面方程为解即由题设,得于是所求平面:1四、特殊平面的方程机动目录上页下页返回结束平面1.平行于坐标轴的平面∥z轴的平面nk(C=0):Ax+By+D=0C=0同理:By+Cz+D=0Ax+Cz+D=0

∥x轴的平面(A=0):∥y轴的平面(B=0):问：过三条坐标轴的平面方程分别是？

Cz+D=0机动目录上页下页返回结束2.垂直于坐标轴的平面垂直于z轴的平面:垂直于x轴的平面:Ax+D=0垂直于y轴的平面:By+D=0特别地：yoz面:x=0xoy面:z=0xoz面:y=0例6.

求通过x轴和点M(4,–3,–1)的平面方程.解法一设所求平面方程为代入上式,得化简,得所求平面方程法二：nixyzo法向量故所求平面:即因平面通过

x轴,五、两平面的夹角两平面法向量的夹角θ(为锐角)，称为两平面的夹角设则特别地,例7

求平面的夹角.解故两平面夹角为小结一、平面方程2.一般式1.点法式3.截距式二、几种特殊的平面1.垂直于xoy面的平面Ax+By+D

=02.垂直于z

轴的平面z=D四、点到平面的距离公式三、平面与平面之间的位置关系平面平面习题P251,2,3,8(1)(3),9.例1.求平行于y轴且经过点A(1,2,3)解法向量可取为故所求平面方程为即nABj与B(2,0,-1)的平面方程.备用题第四节一、空间直线方程二、线和面间的位置关系机动目录上页下页返回结束空间直线及其方程

三、平面束四、综合例子1.对称式方程则有上式称为直线的对称式方程,过点方向向量为一、空间直线方程与直线平行的任意非零向量称为直线的方向向量.(或点向式方程)s注:过点方向向量为的直线L的方程为某些分母为零时,其分子也理解为零.直线L方程为例如,时，当2.参数式方程设直线L:机动目录上页下页返回结束则L的参数式方程为:为直线的方向向量.注：Π1Π23.一般式方程机动目录上页下页返回结束sL•P(x,y,z)直线的方向向量注方向向量为解：直线方程为例1求通过两点A(2,-3,4),B(3,-3,2)

直线方程的例2.求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的解:直线方程为交线平行,且过点M(–3,2,5)的直线方程.机动目录上页下页返回结束sLΠ1Π2交线的方向向量为如何求过点M且垂直于两已知平面的平面方程?设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则二、直线与平面间的位置关系

例3.判断直线与平面的位置关系（1）直线L：平面Π：解：直线L平面Π又因为直线L上点在平面上，所以直线L在平面Π内。（2）直线L：平面Π：解：直线L平面Π三、平面束

过直线的平面束（任一平面）方程为机动目录上页下页返回结束其中为任意常数（1）（2）注意：平面（2）不包含平面（1）例4.求过直线平面的方程.解：设所求平面方程为①即①的法向量且垂直于已知平面由题意于是∴由①式,得所求平面为例5.

求直线与平面的交点.解:代入平面方程得交点为（1，2，2）.机动目录上页下页返回结束四、综合例子从而直线的参数方程为例6.求过点解:的平面

的方程.且过在直线上取点P(0,2,1),PM=s法向量即平面

的方程:例7.过直线求该平面方程.垂直.解：作平面，使此平面与ns法向量为在直线上故所求平面为:n1取点(1,0,-1),习题P312,3,4,6,8,9,10,141.空间直线方程一般式对称式参数式

内容小结

机动目录上页下页返回结束平面

:L⊥

L//

2.面与线间的关系直线L:机动目录上页下页返回结束直线与平面间的夹角;

设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直线︿二、直线与平面间的位置关系

^^所夹锐角

称为设直线

L的平面

的则直线与平面夹角

的计算公式为特别地,

^第五节一、曲面方程的概念二、旋转曲面

三、柱面机动目录上页下页返回结束曲面及其方程

一、曲面方程的概念平面的方程:机动目录上页下页返回结束故所求方程为例1.

求球心在当M0在原点时,球面方程为解:即依题意半径为

R

的球面方程机动目录上页下页返回结束设球面上任一点为表示上(下)半球面.机动目录上页下页返回结束定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,定义1.曲面

S:两个基本问题(不记):(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).F(x,y,z)=0例2.研究方程解:配方得此方程表示:说明:三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是怎样的曲面.表示半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.机动目录上页下页返回结束二、旋转曲面

机动目录上页下页返回结束定义一条平面曲线

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如旋转曲面(图不画):设yoz面上曲线C的方程为结论C绕z轴旋转时，则旋转曲面的方程为C绕y

轴旋转时，机动目录上页下页返回结束有什么规律?故旋转曲面方程为设点M(x,y,z)是曲面上任一点,给定yoz面上曲线C:

过点M作与z轴则有圆心N的坐标为（0,0,z）垂直的平面,此平面交z轴于点N,求曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程.•与曲线C的交点为•N•推导(不记):说明:(1)旋转曲面方程的求法:（2）

旋转曲面方程的特点:方程中有两个变量以平方和形式出现.平方和开方的正负代替另一变量.与旋转轴同名的变量不变,用其它两个变量的例3.求yoz面上直线L:

z=ay(a≠0为常数)绕z轴解:直线L:绕z

轴旋转时,两边平方机动目录上页下页返回结束圆锥面的方程为旋转一周所生成的圆锥面方程.

oxyz例4.求坐标面xoz

上的椭圆绕

x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴,这种曲面叫做旋转椭球面.旋转曲面方程为机动目录上页下页返回结束a-ccxzo-aa-ccxyzo-a例5.指出旋转曲面是由那个坐标面上的什么曲线绕那个坐标轴旋转一周所生成.解:绕z轴旋转所成.yoz面曲线机动目录上页下页返回结束oxy或绕z轴旋转所成.xoz面曲线1••1•1-1•三、柱面引例(不记)分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,当平行于z轴直线L沿曲线C移动一周，便得该曲面形状。在空间过此点作曲面对任意

z,平行z

轴的直线

L,表示圆柱面(记笔记)在圆C上任取一点机动目录上页下页返回结束所以直线L位于该曲面上定义2.平行定直线L并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l

叫做母线.机动目录上页下页返回结束L一般地,在三维空间平行于

z

轴;柱面,准线为xoy

面上的曲线F(x,y)=0母线母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线表示抛物柱面,例如:xyzo柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;准线xoz

面上的曲线H(z,x)=0母线准线yoz面上的曲线G(y,z)=0.母线机动目录上页下页返回结束例6.

画出曲面的图形。（2）x+z=1（1）z=y2oxyoxyoxy(3)椭圆柱面平面抛物柱面柱面举例:抛物柱面柱面,平行于

y

轴;准线xoz

面上的曲线H(z,x)=0母线o斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面例7.（认识）指出下列方程的图形:机动目录上页下页返回结束习题P362,3,4,5,7(1)(2),8,9.内容小结空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动目录上页下页返回结束

一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第六节机动目录上页下页返回结束空间曲线及其方程一、空间曲线一般式的方程曲线C的方程:•(x,y,z)空间曲线可视为两曲面的交线例1

方程组表示怎样的曲线？解方程组表示:平面圆柱面与平面的交线,是一个圆,图形见上。表示：圆柱面表示：3•oxyz例2

方程组机动目录上页下页返回结束在第一卦限内表示怎样的曲线？解:为柱面为柱面表示两圆柱面的交线二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t

的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为机动目录上页下页返回结束例3.将下列曲线化为参数方程表示:解:

根据第一方程引入参数,得所求为机动目录上页下页返回结束三、空间曲线在坐标面上的投影定义以曲线C为准线,母线垂直于坐标面的柱面称为曲线C关于该坐标面的投影柱面.曲线C关于坐标面的投影柱面与该坐标面的交线称为曲线C在该坐标面上的投影(曲线).:投影(曲线).投影柱面o曲线C关于面的投影柱面

投影曲线方程的求法曲线C:消去z曲线C在xoy面上的投影(曲线)为说明：类似地，可求出曲线C关于其它坐标面的投影曲线方程机动目录上页下页返回结束例4.的交线在xoy

面上的投影求球面和锥面解两曲面的交线为机动目录上页下页返回结束C:∴交线C的投影为消去z得投影柱面解由消去x

得,

例5.求抛物面与平面的交线在yoz坐标面上的投影曲线方程.故交线在面上的投影曲线方程为机动目录上页下页返回结束习题P412,3(1),5,8.内容小结

空间曲线三元方程组或参数方程

求投影曲线(如,圆柱螺线)机动目录上页下页返回结束思考与练习备用题求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的机动目录上页下页返回结束第七节机动