高考数学复习第二章函数导数及其应用第14讲函数模型及其应用配套理

第14讲函数模型及其应用1/34考纲要求考点分布考情风向标1.了解指数函数、对数函数以及幂函数增加特征，知道直线上升、指数增加、对数增加等不一样函数类型增加含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用函数模型)广泛应用上海春季考查相同三角形与二次函数型；陕西考查相同三角形与二次函数型；湖南考查指数函数型；北京考查二次函数型；上海考查二次函数型；北京考查平均改变率；四川考查指数函数型；四川考查指数函数型及对数运算因为概率统计应用题及线性规划应用题存在，函数模型应用题极少在全国卷中出现，但在其它省份屡见不鲜．复习时应重点关注：(1)考查二次函数模型建立及最值问题．(2)考查分段函数模型建立及最值问题．(3)考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型建立及最值问题2/34常见函数模型一次函数模型y＝ax＋b(a≠0)反百分比函数模型二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)指数函数模型y＝N(1＋p)x(x＞0，p≠1)(增加率问题)对数函数模型y＝blogax(x＞0，a＞0，且a≠1)幂函数模型y＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)对勾函数模型分段函数模型略1.常见几个函数模型3/34函数y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上单调性单调_________单调递增单调递增增加速度越来越快越来越______相对平稳图象改变随x值增大，图象与y轴靠近平行随x值增大，图象与_______轴靠近平行随n值改变而不一样2.三种函数模型性质比较递增慢x4/341.某一个商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价()A.10%B.9%C.11%D.100 9%D5/34加油时间加油量/升加油时累计里程/千米年5月1日1235000年5月15日4835600

2.(年北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时情况.

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶旅程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A.6升C.10升B.8升D.12升6/34

解析：因为第一次油箱加满，所以第二次加油量即为该段时间内耗油量，故耗油量V＝48升.而这段时间内行驶里程数s＝35600－35000＝600(千米).所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为

48600×100＝8(升).故选B.答案：B7/34＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，3.若用长度为24材料围一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙长度为()AA.3B.4C.6D.12解析：设隔墙长为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，y＝x×24－4x

2∴当x＝3时，y最大.8/34

4.某市出租车收费标准以下：起步价为8元，起步里程为3km(不超出3km按起步价收费)；超出3km但不超出8km时，超出部分按2.15元/km收费；超出8km时，超出部分按2.85元/km收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_________km.9/34解析：设出租车行驶了xkm，付费y元，由题意，得当x＝8时，y＝19.75＜22.6，所以由8＋2.15×5＋2.85×(x－8)＋1＝22.6，得x＝9.答案：910/34

考点1正百分比、反百分比和一次函数类实际问题 例1：(1)某电信企业推出两种手机收费方式：A

种方式是月租20元，B

种方式是月租0元.一个月当地网内打出电话时间t(单位：分钟)与打出电话费s(单位：元)函数关系如图)2-14-1，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差(

图2-14-1A.10元B.20元C.30元D.40元11/34答案：A12/34

(2)(年湖北荆州沙市中学统测)成城市某物流企业为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每个月占用费y1

与仓库到车站距离成反比，而每个月车载货物运费y2

与仓库到车站距离成正比.据测算，假如在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2

分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最)小，仓库应建在离车站( A.5千米处

C.3千米处B.4千米处D.2千米处13/3414/34∴两项费用之和：

∴仓库应建在离车站5千米处，可使这两项费用之和最小，最小为8万元.

答案：A15/34函数综合题型，处理这类问题首先考虑基本不等式，当基本不等式中等号不成立时要利用函数单调性求最值，当然也可以利用导数求最值.16/34考点2二次函数类实际问题

例2：某企业生产A，B

两种产品，依据市场调查与预测，A产品利润与投资成正比，其关系如图2-14-2(1)；B

产品利润与投资算术平方根成正比，其关系如图2-14-2(2).(注：利润和投资单位：万元)(1)(2)图2-14-217/34(1)分别将A，B

两种产品利润表示为投资函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品生产.①若平均投入生产两种产品，可取得多少利润？②问：假如你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业取得最大利润？其最大利润约为多少万元？18/3419/34此时x＝16,18－x＝2.所以当A，B

两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业取得最大利润，为8.5万元.20/34

【规律方法】二次函数是我们比较熟悉函数模型，建立二次函数模型能够求出函数值域或最值.处理实际中优化问题时，一定要分析自变量取值范围.利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间关系：若对称轴在给定区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远端点处取另一最值；若对称轴不在给定区间内，最值在区间端点处取得.另外，在实际问题中，还要考虑自变量为整数问题.21/34

【互动探究】

1.某厂有许多形状为直角梯形铁皮边角料，如图2-14-3，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A.x＝15，y＝12B.x＝12，y＝15C.x＝14，y＝10D.x＝10，y＝14图2-14-322/34答案：A23/34考点3分段函数类实际问题

例3：国家要求个人稿费纳税方法为：不超出800元不纳税；超出800元而不超出4000元按超出部分14%纳税；超出4000元按全稿酬11.2%纳税，若某人共纳税420元，)则这个人稿费为( A.3000元

C.3818元B.3800元D.5600元24/34解析：由题意可建立纳税额y关于稿费x函数解析式为显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.故选B.答案：B25/34

【规律方法】分段函数主要是每一段自变量改变所遵照规律不一样，能够先将其看成几个问题，将各段改变规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量范围，尤其是端点值取舍，结构分段函数时，要力争准确、简练，做到分段合理、不重不漏.26/34月份用气量/m3煤气费/元一月份44二月份2514三月份3519【互动探究】2.(年北京西城区二模)某市家庭煤气使用量x(单位：已知某家庭

年前三个月煤气费以下表：若四月份该家庭使用了20m3

煤气，则其煤气费为()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元27/34解析：依据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，答案：A28/34

难点突破 ⊙指数函数、对数函数模型 例题：某企业为了实现

年1000万元利润目标，准备制订一个激励销售人员奖励方案：销售利润到达10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)增加而增加，但奖金数额不超出5万元，同时奖金数额不超出利润25%，现有三个奖励模型：y＝0.025x，问其中是否有模型能完全符合企业要求？说明理由. (参考数据：1.003600≈6，e＝2.71828…，e8≈2981)29/34解：由题意，符合企业要求模型只需满足：当x∈[10,1000]时，①函数为增函数；②函数最大值不超出5；③y≤x·25%.对于y＝0.025x，易知满足①；但当x>200，y>5；不满足公司要求；对于y＝1.003x，易知满足①；但当x>600时，y>6,不满足企业要求；30/3431/34

【互动探究】

3.(年四川)某食品保鲜时间y(单位：小时)与储备温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数底数，k，b为常数).若该食品在0℃保鲜时间是