高等数学（第三版）课件：不定积分

微分法:积分法:互逆运算不定积分二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节机动目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度机动目录上页下页返回结束根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

I

上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族机动目录上页下页返回结束即定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P183)若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,记作机动目录上页下页返回结束不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动目录上页下页返回结束的积分曲线.例1.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为机动目录上页下页返回结束例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t

质点所在位置为则(运动速度)(加速度)机动目录上页下页返回结束垂直上抛,不计阻先由此求再由此求先求由知再求于是所求运动规律为由知机动目录上页下页返回结束故二、基本积分表(P186)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k为常数)机动目录上页下页返回结束或或机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例3.求解:原式=例4.求解:原式=机动目录上页下页返回结束三、不定积分的性质推论:若则机动目录上页下页返回结束例5.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例6.求解:原式=例7.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例8.求解:原式=机动目录上页下页返回结束内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束思考与练习1.证明2.若(P191题4)提示:机动目录上页下页返回结束提示:3.若是的原函数,则提示:已知机动目录上页下页返回结束4.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为机动目录上页下页返回结束5.求下列积分:提示:机动目录上页下页返回结束6.求不定积分解：机动目录上页下页返回结束7.已知求A,B.解:等式两边对x求导,得机动目录上页下页返回结束作业第二节目录上页下页返回结束二、第二类换元法第二节一、第一类换元法机动目录上页下页返回结束换元积分法

第二类换元法第一类换元法基本思路机动目录上页下页返回结束设可导,则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束例1.

求解:令则故原式=注:当时机动目录上页下页返回结束例2.

求解:令则想到公式机动目录上页下页返回结束例3.

求想到解:(直接配元)机动目录上页下页返回结束例4.

求解:机动目录上页下页返回结束类似例5.

求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束常用的几种配元形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束例6.

求解:原式=机动目录上页下页返回结束例7.

求解:原式=例8.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例9.

求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束例10.求解法1机动目录上页下页返回结束解法2同样可证或(P196例16)机动目录上页下页返回结束例11.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例12.

求解:机动目录上页下页返回结束例13.求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束例14.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束分析:

例15.

求解:原式机动目录上页下页返回结束小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结束2.

求提示:法1法2法3作业目录上页下页返回结束二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式例16.

求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束例17.

求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束例18.

求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束令于是机动目录上页下页返回结束说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.(参考书上P201-P202)或或机动目录上页下页返回结束三角代换外,还可利用公式原式例19.

求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.机动目录上页下页返回结束小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动目录上页下页返回结束第四节讲机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(P203)(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令机动目录上页下页返回结束解:原式(P203公式(20))机动目录上页下页返回结束例20.求例21.

求解:(P203公式(23))例22.

求解:原式=(P203公式(22))机动目录上页下页返回结束例23.

求解:原式(P203公式(22))例24.

求解:令得原式机动目录上页下页返回结束例25.

求解:原式令例16例16目录上页下页返回结束思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动目录上页下页返回结束2.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)

机动目录上页下页返回结束作业第三节目录上页下页返回结束备用题1.求下列积分:机动目录上页下页返回结束2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得机动目录上页下页返回结束分子分母同除以3.求不定积分解:令原式机动目录上页下页返回结束第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.机动目录上页下页返回结束分部积分法

例1.

求解:令则∴原式思考:如何求提示:令则原式机动目录上页下页返回结束例2.

求解:令则原式=机动目录上页下页返回结束例3.

求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束例4.

求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.机动目录上页下页返回结束解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5.求解:令,则原式=机动目录上页下页返回结束反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例6.

求解:令,则原式=机动目录上页下页返回结束例7.

求解:令则原式机动目录上页下页返回结束令例8.

求解:令则∴原式=机动目录上页下页返回结束例9.

求解:令则得递推公式机动目录上页下页返回结束说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,机动目录上页下页返回结束例10.

证明递推公式证:注:或机动目录上页下页返回结束说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加

C)例43)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.例4目录上页下页返回结束例11.

已知的一个原函数是求解:说明:此题若先求出再求积分反而复杂.机动目录上页下页返回结束例12.

求解法1先换元后分部令即则故机动目录上页下页返回结束解法2用分部积分法机动目录上页下页返回结束内容小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:机动目录上页下页返回结束例13.求解:令则可用表格法求多次分部积分机动目录上页下页返回结束例14.求解:令则原式原式=机动目录上页下页返回结束思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.机动目录上页下页返回结束2.

求对比P354公式(128),(129)提示:机动目录上页下页返回结束作业第四节目录上页下页返回结束备用题.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则机动目录上页下页返回结束方法2(先换元,再分部)令则故机动目录上页下页返回结束第四节基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分机动目录上页下页返回结束一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:

一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动目录上页下页返回结束例1.

将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动目录上页下页返回结束(2)用赋值法故机动目录上页下页返回结束(3)混合法机动目录上页下页返回结束原式=四种典型部分分式的积分:

机动目录上页下页返回结束变分子为再分项积分例2.

求解:已知例1(3)目录上页下页返回结束例3.

求解:原式思考:如何求机动目录上页下页返回结束提示:变形方法同例3,并利用P209例9.例4.求解:机动目录上页下页返回结束说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例5.求解:原式机动目录上页下页返回结束常规目录上页下页返回结束例6.求解:

原式(见P348公式21)注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!机动目录上页下页返回结束二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分机动目录上页下页返回结束1.三角函数有理式的积分则例7.求解:令则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例8.求解:

说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动目录上页下页返回结束例9.求解法1令原式机动目录上页下页返回结束例9.求解法2令原式机动目录上页下页返回结束例10.求解:因被积函数关于cosx

为奇函数,可令原式机动目录上页下页返回结束2.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:机动目录上页下页返回结束令例11.

求解:令则原式机动目录上页下页返回结束例12.

求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令机动目录上页下页返回结束例13.

求解:令则原式机动目录上页下页返回结束内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动目录上页下页返回结束简便,思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式机动目录上页下页返回结束作业第五节目录上页下页返回结束备用题1.求不定积分解：令则,故机动目录上页下页返回结束分母次数较高,宜使用倒代换.2.求不定积分解：原式=前式令;后式配元机动目录上页下页返回结束第五节积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分已把常用积分公式汇集成表,以备查用.如P347附录Ⅲ.积分表的结构:按被积函数类型排列积分表的使用:1)注意公式的条件2)注意简单变形的技巧机动目录上页下页返回结束注:很多不定积分也可通过Mathematica,Maple等数学软件的符号演算功能求得.的效率,积分表的使用

例1.求解:应使用P352公式105.机动目录上页下页返回结束例2.

求解法1

令则原式(P349公式37)机动目录上页下页返回结束例2.

求解法2

令则原式(P348公式21)机动目录上页下页返回结束例3.

求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束(P348公式21)(P348公式19)习题课目录上页下页返回结束习题课目录上页下页返回结束作业习题课一、求不定积分的基本方法机动目录上页下页返回结束二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法

一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法第一类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)机动目录上页下页返回结束3.分部积分法使用原则:1)由易求出v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为计算格式:列表计算机动目录上页下页返回结束多次分部积分的规律机动目录上页下页返回结束快速计算表格:特别:当

u为n

次多项式时,计算大为简便.例1.

求解:原式机动目录上页下页返回结束例2.