2025年重庆市九年级中考数学复习综合试卷（卷后带解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年重庆市九年级中考数学复习综合试卷（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个数中，最大的数为（

）A． B． C． D．2．下列图形中既是中心对称又是轴对称图形是（

）A． B． C． D．3．若两个三角形相似比为，则这两个三角形的周长比为（

）A． B． C． D．4．若反比例函数的图像经过二，四象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．如图，，，为圆上三点，交于点，，若，则为（

）．A． B． C． D．6．估计的值在（

）A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间7．如图，二次函数的大致图像如图所示，其中对称轴为，且交轴于点，则以下结论中错误的是（

）A． B．C． D．8．如图，直角中，，，，以为圆心为半径画弧交于点，以为圆心为半径画弧交于点，则阴影面积为（

）A． B． C． D．9．如图，正方形，连接，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的值为（

）A． B． C． D．110．对于等式（其中，均为正整数），下列说法正确的个数为（

）①无论，为何值，；②当，时，的值为；③当，，且为整数时，则所有满足条件整数的值的和为；④若，则的最大值与最小值之差为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．求值：．12．若一个正多边形的内角和比另一个多边形的外角和多，则这个正多边形的边数为．13．若，为一元二次方程的两个根，则的值为．14．小麦同学在本次考试中，第7题和第10题均无法把握，这两个题目他均排除了两个错误选项，每道题剩下的两个选项无法作出判断，则小麦同学两个题目均蒙对的概率为．15．如图，中，，，平分，，过作于点，则长为．16．若关于的一元一次不等式组至少有三个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则符合题意的整数的个数是．17．如图，等边三角形，以为直径画圆，过作交圆于点，连接分别交圆，于点，，连接并延长交于点，若，则长为；长为．18．一个四位数，数位上数字均不为0，若千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和是7的倍数，则称为“7柒数”．将“7柒数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数交换位置得到，记，例如：对于3425，∵，，则3425是“7柒数”，∴；对于1648，∵而不是整数，∴1648不是“7柒数”，若为最大的“7柒数”，则；一个四位数是“7柒数”，且A能被3整除，也能被7整除，则满足条件的最大值与最小值之和为．三、解答题19．计算：(1)；(2)．20．在学习了内切圆相关知识后，小麦同学进行了更深入的研究，他发现三角形的内切圆半径与这个三角形周长，面积之间有一定的数量关系，他的思路是利用面积法探索这三者之间的联系，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空．(1)如图，中，平分交于点，用尺规作图作的角平分线分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的基础上，过分别作于点，于点，于点，连接，根据题意完善图形，求证：．平分，，，（填写依据：①_______），又平分，，，，∴②________，∵，，．对此，请你根据上述数量关系解决问题：当，，时，则内切圆半径为③_______．21．“中国非遗”代表人物李子柒停更三年，今日回归依旧“顶流”，粉丝对其喜爱程度更是不减当初，回归的三个视频在各大平台更是占据榜首．小穆是某校初三年级的学生，更是李子柒的忠实粉丝，为此他针对同学们对李子柒的喜爱情况对初三和班各随机抽取了位同学展开问卷调查（问卷调查满分为分），并对调查数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，其中为不喜欢，为比较喜欢，为喜欢，为非常喜欢），下面给出了部分信息抽取初三班的评分数据：，，，，，，，，，，抽取初三班评分数据中“喜欢”包含的所有数据：，，，图1初三，班评分统计表班级平均数中位数众数满分率初三班87初三班图2

初三班评分扇形统计图根据以上信息，解决下列问题：(1)填空：______；_______；_______．(2)根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢李子柒，请说明理由（写出一条理由即可）(3)该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数？22．“豆干苕皮”作为重庆特色烧烤，深受重庆市民的喜爱．(1)甲同学用45元购买了5串豆干和6串苕皮，乙同学用36元购买了7串豆干和3串苕皮，求豆干和苕皮的单价分别为多少元？(2)“豆干苕皮”深受喜爱的主要原因为配料中有香菜和折耳根，某烧烤店在蔬菜批发部用90元购买香菜比用同样金额购买折耳根的数量多3千克，且折耳根单价比香菜的单价多50%，求折耳根的单价为多少元？23．如图1，在四边形中，，，连接．点从出发，沿运动，到点停止运动．点在上运动速度为每秒1个单位长度，在上运动速度为每秒个单位长度，设的运动时间为的面积为．(1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；(2)在图2的平面直角坐标系中画出的函数图象；并写出函数的一条性质；(3)若直线与函数的图象有2个交点，请结合函数图象直接写出的取值范围．24．如图为某公园平面图，在的正东方向，且在的东北方向，在的正东方向，且在北偏东方向，在正北方向，且在的西偏南方向，米．（参考数据：，）(1)求的长度．（结果保留整数）(2)某天，小麦与爸爸同时从出发，小麦选择路线，爸爸选择路线，但当爸爸到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是爸爸选择的小路继续到，若在整个过程中，小麦与爸爸的速度均相同且保持不变，请通过计算小麦与爸爸谁先到达处？25．如图，二次函数与轴交于，，与轴交于点，连接．(1)求二次函数的解析式；(2)如图，点为下方抛物线上一动点，过作交轴于点，过作交轴于点，求的最大值以及对应点的坐标；(3)在问（2）的条件下，将二次函数沿射线平移使得平移后的抛物线恰好经过点点为平移后抛物线对称轴上一动点，且满足，请直接写出所有符合题意点的坐标．26．如图，等边三角形，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交直线于点．(1)如图1，若，，求的长度；(2)如图2，当，，三点共线时，连接，点为中点，连接，过点作于点，请猜想，的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，连接，点在边上运动时，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，且，当以及均最小时，连接，若，直接写出当以及均最小时对应的面积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年重庆市九年级中考数学复习综合试卷（1）》参考答案题号12345678910答案CAABBBDCAC1．C【难度】0.85【知识点】实数的大小比较【分析】本题考查了实数的大小比较，根据0大于一切负数；正数大于0解答即可．【详解】解：则四个数中，最大的数为故选：C．2．A【难度】0.94【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别【分析】本题目考查了轴对称图形和中心对称图形的知识，解题的关键是掌握相关知识．一个图形绕着中心点旋转后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此求解即可．【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：A．3．A【难度】0.85【知识点】利用相似三角形的性质求解【分析】本题考查相似三角形性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解，即可解题．【详解】解：两个三角形相似比为，这两个三角形的周长比为，故选：A．4．B【难度】0.85【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键．根据反比例函数的性质列出关于k的不等式求解即可．【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，∴，解得：．故选B．5．B【难度】0.85【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点的解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：．6．B【难度】0.65【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可．【详解】解：；∵，∴，∴，即4到5之间．故选B．7．D【难度】0.65【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键．根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，函数图像上点的坐标特点逐一分析判断即可．【详解】解：选项A：因为开口向上，所以，对称轴在轴右侧，根据“左同右异”，所以，与轴交于负半轴，所以，所以，正确；选项B：根据对称轴得，正确；选项C：二次函数过点根据对称性可得与轴的另一交点为，所以正确；选项D：令，所以，由图像可得，当时函数图像在轴的下方，所以应该小于0，故选项D错误．故选：D8．C【难度】0.65【知识点】求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查扇形面积的计算、解直角三角形，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．先解得到，，再由，结合扇形面积公式即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∴由图可得，故选：C．9．A【难度】0.15【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识为解题的关键．如图，过点作于点，根据旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质可得；设，由勾股定理可得、，再证明易得、，再根据正方形的性质可得，进而求得，最后代入计算即可．【详解】解∶如图，过点作于点，∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，∴，∵，∴，∴，设，，∵，∴，∴，即，，正方形中，，，．故选A．10．C【难度】0.65【知识点】数字类规律探索【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的乘法法则计算逐项判断即可．【详解】解：结论①：对于，当为偶数时，；当为奇数时，，故结论①错误；结论②：当，时，原等式，令等式中时，；再令等式中时，，将上述两个等式相加得到，故结论②正确；结论③：当，时原等式为，，若为整数，则只需要为整数，或者1，解得：或，，故结论③正确；结论④：，且，均为正整数，或或或或，设，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；，故结论④正确，综上正确的结论有个，故选：C.11．/0.5【难度】0.85【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算【分析】分别利用特殊角三角函数代入值后，计算乘法，再相减即可，本题考查特殊角三角函数的混合运算．熟记特殊角三角函数值是解题关键．【详解】解：，故答案为：．12．8【难度】0.85【知识点】多边形内角和与外角和综合【分析】本题主要考查正多边形的内角和和外角的问题，熟练掌握正多边形的性质及多边形内角和是解题的关键；设这个正多边形的边数为n，由题意易得，然后进行求解即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得：，解得：；故答案为：8．13．【难度】0.85【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系【分析】根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出，，由此即可得出结论．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴．故答案为：．14．/0.25【难度】0.85【知识点】列表法或树状图法求概率【分析】本题考查了列表法求概率，解题的关键是明确所有可能的结果并计算符合条件的情况数．通过列表法列举所有可能的选择组合，再统计符合条件的组合数，即可求出概率．【详解】设定题目选项：第7题的两个选项设为（假设正确答案为）；第10题的两个选项设为（假设正确答案为），列出所有可能的选择组合：总共有4种等可能的选择组合．只有1种情况满足两题均蒙对，两个题目均蒙对的概率为，故答案为：．15．/【难度】0.85【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．延长交于点，过点作交于点，得到为等腰三角形，由可证明，得到，求出，根据得到，即可得到答案．【详解】如图，延长交于点，过点作交于点，平分，为等腰三角形，点为中点，，，，，，，，故答案为：．16．4【难度】0.65【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数【分析】本题主要考查分式方程与一元一次不等式组的解法，熟练掌握各个解法是解题的关键；由不等式组可得，则有，由分式方程可得，然后根据整数解可进行求解．【详解】解：由不等式组可得：，∵该不等式组至少有三个奇数解，∴，由分式方程可得：，∵该分式方程有整数解，∴9是的倍数，∴或1或或5或11或，∵，∴，∴符合题意整数a的值有4个；故答案为4．17．【难度】0.4【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关知识点是解题的关键．如图，连接，，过点作于点，根据题意得到，，得到，证明，得到，，再证明，即可得到；得到点，分别为，三分点，继而设，则，，得到，求出，，求出，得到．【详解】解：如图，连接，，过点作于点，等边三角形，，，，为直径，，，，，得：，，，，，，，，∴，；∵，，，，，点，分别为，三分点，，，，设，则，，，，，，，，，，，．18．7854【难度】0.4【知识点】新定义下的实数运算、列代数式【分析】本题考查了数的表示法、整除的意义、列代数式等知识点，理解“7柒数”的定义是解题的关键．设N的千位数为m，百位为n，十位为g，个位为h，则(k为正整数)，根据“7柒数”的定义确定N的值，然后根据的定义求解即可；由题意可得、为7的倍数，再结合A能被3整除可得是3的倍数，即，进而得到，即为整数，再求出A的最大值和最小值，然后求和即可．【详解】解：设N的千位数为m，百位为n，十位为g，个位为h，则(k为正整数)，要使N值最大，则m最大，即，，∴N的最大值为6195，；，为7的倍数又能被3整除是3的倍数为整数不妨令，则（此处枚举最大的A应该从最大的开始，找出对应符合题意的）不妨令，（此处枚举最大的A应该从最小的开始，找出对应符合题意的）符合题意的A之和为：．故答案为：，7854．19．(1)(2)【难度】0.65【知识点】整式的混合运算、分式加减乘除混合运算【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．（1）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，即可求解；（2）根据分式的混合运算法则求解即可．【详解】（1）解：（2）20．(1)见解析；(2)①角平分线上的点到角两边距离相等；②；③．【难度】0.65【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理、三角形内切圆的定义等知识点，掌握角平分线的性质成为解题的关键．（1）根据角平分线的尺规作图的作法即可解答；（2）根据角平分线的性质定理、三角形的面积公式、周长公式即可完成证明；如图：，，，过A作，垂足为D，设，，则，运用勾股定理可求得，易求的的面积，然后代入证明的结论即可解答．【详解】（1）解：如图：即为所求．（2）解：平分，，，（填写依据：角平分线上的点到角两边距离相等），又平分，，，，∴，∵，，．如图：，，，过A作，垂足为D，设，，则，∵，∴，解得：，即，∴，设内切圆半径为，∵，∴，即内切圆半径为．故答案为：角平分线上的点到角两边距离相等；；．21．(1)；；；(2)我认为初三（1）班的同学更喜欢李子柒，理由见解析；(3)人．【难度】0.65【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数【分析】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计总体．解决本题的关键是根据扇形统计图的数据求出非常喜欢的人数占抽查人数的百分比．根据初三班评分数据中“喜欢”包含的数据的个数求出数据中“喜欢”的人数占抽查人数的百分比，根据“比较喜欢”所占的圆心角的度数求出“比较喜欢”的人数，再根据中位数的定义求出的值；利用单位减去“喜欢”占的百分比再减去“比较喜欢”占的百分比，就得到“非常喜欢”占的百分比；初三班中得分的有人，众数是，所以初三中得分的人数应为人，所以满分率应为；初三班和初三班的平均数相同，但是初三班的中位数较高，说明初三班学生一半以上同学喜欢李子柒；初三班非常喜欢李子柒的人数有人，初三班非常喜欢李子柒的人数有人，被抽查的人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为，利用样本估计总体，可得该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为人．【详解】（1）解：初三班评分数据中“喜欢”占抽查人数的百分比为：，“比较喜欢”占抽查人数的百分比为：，“非常喜欢”占抽查人数的百分比为：，初三班“比较喜欢”的人数为：(人)，“非常喜欢”的人数为：(人)，这个数据的中位数应是第个和第个的平均数，个数据中按照从小到大排列第个和第个数据分别为：、，；初三班中得分的有人，众数是，初三中得分的人数应为人，满分率为：(人)，故答案为：，，；（2）解：我认为初三班更喜欢李子柒，理由如下：初三班和初三班的平均数相同，但是初三班的中位数较高，说明初三班学生一半以上同学喜欢李子柒；（3）解：初三班非常喜欢李子柒的人数有人，初三班非常喜欢李子柒的人数有人，被抽查的人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为：，该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为：(人)，答：该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为人．22．(1)豆干的单价为3元，苕皮的单价为5元；(2)折耳根的单价为15元．【难度】0.65【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用．（1）设豆干的单价为元，苕皮的单价为元，根据甲同学用45元购买了5串豆干和6串苕皮，乙同学用36元购买了7串豆干和3串苕皮列方程组求解即可；（2）设香菜的单价为元，则析耳根的单价为，根据用90元购买香菜比用同样金额购买折耳根的数量多3千克列方程求解即可．【详解】（1）解：设豆干的单价为元，苕皮的单价为元，则解得：答：豆干的单价为3元，苕皮的单价为5元；（2）解：设香菜的单价为元，则析耳根的单价为，则解得：经检验：是原方程的根，且符合题意折耳根的单价为（元）答：折耳根的单价为15元．23．(1)(2)作图见详解，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）(3)【难度】0.65【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长【分析】（1）如图所示，过点作于点，可得四边形是矩形，有勾股定理可得，当点在上时，如图所示，过点作于点，连接，可得，求出，结合图形，三角形面积的计算公式即可求解；（2）运用描点，连线的方法作图即可，由图示信息即可得到函数图形的性质；（3）根据题意，直线过，当点在直线时，联立方程组求解，是否满足2个交点即可．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，∵，，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，，在中，，当点在上时，如图所示，过点作于点，连接，∵，∴，∴，∵点在上运动速度为每秒1个单位长度，设的运动时间为，∴，∴，，∴，∵，∴，即；当点在上时，如图所示，∵在上运动速度为每秒个单位长度，∴点在上运动时间为，∴，∴，∴与的函数关系式为；（2）解：如图所示，根据图示可得，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）；（3）解：根据（2）中的图形及解析式可得，在中，当时，，当时，；在中，当时，，当时，；直线中，当时，，当时，，∴直线过，如图所示，当时，，则直线于函数的图象有一个交点，∴；当直线过点时，，则直线，∴，解得，，即直线于函数有两个交点，交点为，符合题意；当直线过点时，，此时直线于函数只有一个交点，不符合题意；综上所述，直线与函数的图象有2个交点时，．【点睛】本题主要考查动点与函数图象，勾股定理，矩形的判定和性质，一次函数图象的性质，一次函数交点与二元一次方程组的运用，理解动点与函数的关系，一次函数图形的性质是解题的关键．24．(1)的长度为564米；(2)小麦先到处，理由见解析．【难度】0.65【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查的是与方向角相关的解直角三角形的应用；（1）过点作于点，延长交于点，结合：，，米，再逐步利用三角函数求解即可；

（2）结合（1）的信息逐步求解两人的路线长度，即可得到答案．【详解】（1）解：过点作于点，延长交于点由题意得：，，米，

在中，，，，四边形为矩形，，在中，，，在中，，（米）；答：的长度为564米；（2）解：小麦先到处，理由如下：由（1）得：，，在中，，小麦路线：，爸爸路线：，小麦与爸爸速度相同，而，小麦先到达处答：小麦先到达处．25．(1)；(2)9，；(3)，，，．【难度】0.15【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形问题(二次函数综合)【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）过点P作轴于点R，轴，交于点Q，过点B作轴，交于点H，根据相似三角形的判定与性质，分别证明，，然后证明，即得，设，进一步求得，最后根据二次函数的性质求解即可；（3）分两种情况讨论：平移后抛物线得对称轴右侧部分经过点F和左侧部分经过点F．通过构造全等三角形的方法及用勾股定理列方程得方法，可分别求得答案．【详解】（1）解：把，代入，得，解得，二次函数的解析式；（2）解：过点P作轴于点R，轴，交于点Q，过点B作轴，交于点H，令，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，轴，轴，，，四边形是平行四边形，，，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，直线的解析式为，设，则，，，，，当时，的最大值为9，，此时点的坐标为；（3）解：分两种情况讨论：①如图，当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点F时，平移的距离为线段的长，相当于抛物线先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，抛物线的对称轴为直线，所以平移后抛物线的对称轴为直线，设与平移后的对称轴交于点M，过点P作轴，与平移后的抛物线交于点S，过点M作交于点N，过点N