2025年中考数学几何模型综合训练专题02三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型解读与提分精练（学生版）

专题02三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风

筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.飞镖模型（燕尾）模型......................................................................................................................1

模型2.风筝（鹰爪）模型..............................................................................................................................5

模型3.角内（外）翻模型..............................................................................................................................7

...................................................................................................................................................9

模型1.飞镖模型（燕尾）模型

飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞

镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。

图1图2图3

基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①BCDABD；②ABADBCCD。

证明：连接AC并延长至点P；在ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；

又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BC△D=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B△+∠D=∠BCD。

延长BC交AD于点P；在ABQ中，ABAQBCCQ；在CDQ中，CQQDCD。

即：ABAQCQQD△BCCQCD，故ABADBCC△D。

拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；结论：∠O=1（∠A+∠C）。

2

证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=1∠ABC；∠ADO=1∠ADC；

22

根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=1∠ABC+1∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；

22

∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=1（∠A+∠C）。

2

拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD；结论：∠O=1（∠D-∠B）。

2

证明：根据飞镖模型：DCB=D+B+DAB，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，

11

∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB，

22

11

∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B），

22

∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，

11

∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B）

22

例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．

如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边

形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角

“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．

（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：

方法一：如图2，连结AB，则在ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，

即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，△

又：在ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，

∴∠AD△B=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．

方法二：如图3，连结CD并延长至F，

∵∠1和∠3分别是ACD和BCD的一个外角，．．．．．．．．．．

大家在探究的过程中△，还发现△有很多方法可以证明这一结论．

任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________；

(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．

例2．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果

A52,B25，C30,D35,E72，那么F的度数是（）．

A．72B．70C．65D．60

例3．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样

图形叫做“箭头四角形”．

探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究BDC与A、B、C之间的关系，并说明理由；

应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若

A60，则ABXACX；②如图o3，ABE、ACE的2等分线（即角平分线）BF、

CF相交于点F，若BAC60，BEC130，求BFC的度数；

拓展：（3）如图4，BOi，COi分别是ABO、ACO的2020等分线（i1，2，3，，2018，2019），它们的交点

从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2019．已知BOCm，BACn，则BO1000C度．

例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，ABACBC，为三角形内任意一点，连结AP，

并延长交BC于点D.求证：（1）ABACADBC；（2）ABACAPBPCP.

模型2.风筝（鹰爪）模型

图1图2

1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；

证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠CAO+∠COA；

∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。

2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。

证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠DAO+∠DOA；

∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）

=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。

例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，1、2、3分别为A、B、C

的外角．判断下列大小关系何者正确？（）

A．1+3=ABC+DB．1+3ABCDC．123360D．123360

例2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】已知A，在A的两边上分别取点B、C，在

A的内部取一点O，连接OB、OC．设OBA1，ÐOCA=Ð2，探索BOC与A、1、2之间

的数量关系．

【初步感知】如图1，当点O在ABC的边BC上时，BOC180，此时A12180，则BOC与

A、1、2之间的数量关系是BOCA12．

【问题再探】（1）如图2，当点O在ABC的内部时，请写出BOC与A、1、2之间的数量关系并

说明理由；（2）如图3，当点O在ABC的外部时，BOC与A、1、2之间的数量关系是________；

【拓展延伸】（1）如图4，1、2的外角平分线相交于点P．

①若A50，BOC100，则P________°；②若ÐBOC=4ÐA且P30，则A________°；

③直接写出BOC与A、P之间的数量关系；

（2）如图5，1的平分线与2的外角平分线相交于点Q，则Q________（用BOC、A表示）．

例3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在ABC中，A80，点D、E是ABC边AC、AB上的

点，点P是平面内一动点．令PDC1，PEB2，DPE．

(1)若点P在线段BC上，如图1所示，50，求12的值；

(2)若点P在边BC上运动，如图2所示，则、1、2之间的关系________；

(3)若点P运动到边CB的延长线上，如图3所示，则、1、2之间有何关系？猜想并说明理由；

(4)若点P运动到ABC外，如图4所示，则请表示、1、2之间的关系，并说明理由．

模型3.角内（外）翻模型

图3图4

条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，

结论：2∠C=∠1+∠2；

证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；

∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。

条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，

结论：2∠C=∠2-∠1。

证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；

∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）

=∠EC’F+∠FCE=2∠C。

例1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张VABC的纸片，点D，E分

别在边，AC上，将VABC沿着折叠压平，A与A重合，若12130，则A．

𝐴𝐷

例2．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把VABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的

外面时，此时测得1112，A40，则2的度数为（）

A．32B．33C．34D．36

例3．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE

内点A的位置．则A、ADC、AEB之间的数量关系为：_______；

（2）如图2，若将（1）中“点A落在四边形BCDE内点A的位置”变为“点A落在四边形BCDE外点A的位

置”，则此时A,ADC、AEB之间的数量关系为：_________；

（3）如图3，将四边形纸片ABCD（C90，AB与CD不平行）沿EF折叠成图3的形状，若DEC115，

AFB45，求ABC的度数；

（4）在图3中作出DEC、AFB的平分线EG、FH，试判断射线EG、FH的位置关系，当点E在DC边上

向点C移动时（不与点C重合），DEC、AFB的大小随之改变（其它条件不变），上述EG，FH的位置

关系改变吗？为什么？

1．（2024.山东七年级期中）如图，把ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+

∠2之间有始终不变的关系是（）△

A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）

2．（2023·河南·八年级假期作业）如图，在ABC中，A20，ABC与ACB的角平分线交于D1，ABD1

与ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，ABD4与ACD4的角平分线交于点D5，则BD5C的度数是（）

A．24B．25C．30D．36

3．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（）

A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠3

4．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30的角后得到一个六边形

BCDEMN，则12的度数为（）

A．100B．105C．200D．210

5．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在四边形CDMN外点A的位

置，点B落在四边形CDMN内点B的位置，若ÐD=90°，2136，则C等于（）

A．36B．54C．60D．72

6．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度

数是度．△

7．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）在ABC中，B40，C75，将B、C按照如图所示折

叠，若ADB35，则123°

8．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠

A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD

（填“增大”或“减小”）°．

9．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交

于G，若BDC140，BGC110，则A．

10．（2023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形．

求证：ABACBPPQQC．

11．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形ABCD形似圆规，这样的四边形称为“规形”，

(1)如图①，在规形ABCD中，若A80，BDC130，ACD30，则ABD______°；

(2)如图②，将ABC沿DE，EF翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若CDOCFO72，则C______°；

(3)如图③，在规形ABCD中，BAC、BDC的角平分线AE、DE交于点E，且B＞C，试探究B，

C，E之间的数量关系，并说明理由．

12．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质．

定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边

形（如图1）．

（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）；

①②③

定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．

特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．

小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.

下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性

质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，

∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．

13．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形ABCD形似圆规，这样的四边形称为“规形”，

(1)如图①，在规形ABCD中，若A80，BDC130，ACD30，则ABD______°；

(2)如图②，将ABC沿DE，EF翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若CDOCFO72，则C______°；

(3)如图③，在规形ABCD中，BAC、BDC的角平分线AE、DE交于点E，且B＞C，试探究B，

C，E之间的数量关系，并说明理由．

14．（2023·河北·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞

镖模型”．

（1）求证：ADCDABDCBABC；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点

D，若EDF120，求ABCGEF的度数．

15．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180”．在三

角形纸片中，点D，E分别在边AC,BC上，将C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．

(1)如图1，当点C落在边BC上时，若ADC58，则C＝，可以发现ADC与C的数量关系

是；(2)如图2，当点C落在ABC内部时，且BEC42，ADC20，求C的度数；(3)如图

3，当点C落在ABC外部时，若设BEC的度数为x，ADC的度数为y，请求出C与x，y之间的数量

关系．

16．（2024·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点

A的位置，通过计算我们知道：2A12.请你继续探索：

(1)如果把ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A的位置，如图②，此时A与1、2

之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形ABCD沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A、D的

位置，如图③，你能求出A、D、1与2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）

17．（2024·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于180且小于360的角称为优角，如果

两个角相加等于360，那么称这两个角互为组角，简称互组．

（1）若1、2互为组角，且1135，则2________；

【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于180的四边形俗称为镖形．

（2）如图①，在镖形ABCD中，优角BCD与钝角