《数学（上册）》课件-第四章

第四章三角函数4.1任意角的三角函数4.2两角和与差的三角函数4.3三角函数的图象和性质4.1任意角的三角函数4.1.1角的概念的推广4.1.2弧度制4.1.3任意角的三角函数4.1.4同角三角函数的基本关系式4.1.5诱导公式4.1.6已知三角函数值求角4.1.1角的概念的推广任意角的大小射线绕端点旋转可以有两种相反的方向．如图，互相啮合的两个齿轮，他们旋转的方向就是相反的．我们把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫作正角，射线按顺时针方向旋转而得到的角叫作负角．特别地，当一条射线没有作任何旋转时，就把它看成零角．如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=-660°．4.1.1角的概念的推广平面直角坐标系中的角把一个角这样放置在直角坐标系中，就叫作放置在标准位置．一个放置在标准位置的角的终边落在第几象限，就把它叫作第几象限的角，或者说这个角属于第几象限；如果终边落在坐标轴上，就把它叫作坐标轴上的角．如图（1）中的30°、390°及-330°的角都属于第一象限；图（2）中585°的角属于第三象限，-60°及300°的角都属于第四象限．4.1.2弧度制弧度的概念用度作单位来度量角的制度叫作角度制．在数学和其他许多科学研究中，经常用到另一种度量角的制度——弧度制，它的单位符号为rad，读作弧度．我们把等于半径长的弧所对的圆心角（即所对弧长与半径的比等于1的圆心角）叫作1弧度的角．4.1.2弧度制弧度制与角度制的换算由于圆的周长等于半径的2π倍，即圆的周长与半径的比为2π，而整个圆周所对的圆心角为360°，所以360°=2π弧度或180°=π弧度．由此可得角度制与弧度制的换算公式：4.1.2弧度制弧度制下的弧长公式在角度制中弧长公式为，其中的n表示弧所对圆心角的度数．当角用弧度为单位表示时，由前面的公式，可以得到

这就是说，弧的长等于弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积．4.1.3任意角的三角函数任意角的三角函数的定义设α是任意一个角，在角α的终边上任取一点P，它的坐标是（x,y），它到原点的距离是那么角的正弦、余弦、正切和余切分别定义为：4.1.3任意角的三角函数三角函数值的符号根据三角函数定义和各个象限里点的坐标的符号可知：1.正弦函数的值（）和余割函数的值（）对于第一、第二象限的角是正数，而对于第三、第四象限的角是负数(y＜0，r＞0)．2.余弦函数的值和正割函数的值对于第一、第四象限的角是正数而对于第二、第三象限的角是负数（x＜0，r＞0）．3.正切函数的值和余切函数的值对于第一、第三象限的角是正数（x,y同号），而对于第二、第四象限的角是负数（x,y异号）．各三角函数值的符号的情况，可用下图表示如下：4.1.3任意角的三角函数终边相同的角的三角函数从任意角的三角函数的定义知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此可得：(k∈Z)4.1.4同角三角函数的基本关系式倒数关系就是4.1.4同角三角函数的基本关系式商数关系就是4.1.4同角三角函数的基本关系式平方关系4.1.5诱导公式180°—α与α的三角函数间的关系运用三角函数的定义可以证明，当是属于各三角函数定义域的任意角时，下列关系式成立：4.1.5诱导公式—α与α的三角函数间的关系运用三角函数的定义可以证明，当是属于各三角函数定义域的任意角时，下列关系式成立：4.1.5诱导公式180°+α与α的三角函数间的关系利用公式二和公式三，我们可以分别证明α与180°+α的正弦、余弦值间的关系如下：

于是，我们又可以得到一组公式如下：4.1.5诱导公式360°-α与α的三角函数间的关系利用公式一和公式三，可以证明和三角函数间的关系如下：4.2两角和与差的三角函数4.2.1两角和与差的三角函数4.2.2二倍角的正弦．余弦和正切4.2.3半角的正弦．余弦和正切4.2.1两角和与差的三角函数两角和与差的正弦、余弦关于，我们有下面的公式：在上面公式中用-β代替β，就得到诱导公式两角和与差的正切4.2.2二倍角的正弦．余弦和正切二倍角的三角函数公式4.2.3半角的正弦．余弦和正切半角三角函数的公式本章小结本章的主要内容包括任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质．根据生产实际和进一步学习数学的需要，我们引入了任意角的概念（包括正角、负角和零角），并得出一个重要的结论：任意一个角都能表示成一个周内角与周角的整数倍的和，这样一来，有关任意角的问题就可转化为有关周内角的问题来处理．弧度制与角度制是度量角的不同单位制，采用弧度制，使角的度量与计算更加简捷，使与弧长有关的一些公式变得比较简单．三角函数的概念是本章最核心的内容，是本章中所有三角函数的性质和公式的基础．同角三角函数的八个基本关系式反映了六个三角函数之间的内在联系，是进行三角恒等变换的基础，在化简三角函数式、求值和证明三角恒等式等问题中有重要作用．掌握了五组诱导公式，可以把任意角的三角函数化为0～90度的角的三角函数，从而解决了求任意角的三角函数值的问题.两角和与差的三角函数的公式，倍角和半角的三角函数的公式等主要用于三角函数式的计算和变形，它们在高等数学、电工学、力学、机械设计与制造等方面都有广泛的应用，要熟练地掌握它们并掌握它们之间的逻辑关系.利用三角函数的图像可以研究三角函数的性质，反过来，运用三角函数的性质可以更正确、更快地做出三角函数的图像，在长度为一个周期的闭区间上，有五个点（即函数值最大和最小的点以及函数值为零的点）在确定正弦函数、余弦函数图像的形状时起着关键的作用，因此，在精确度要求不太高时，可找出这五个点来做正弦、余弦函数及与它们类似的一些函数的简图．练习题角的概念为什么要进一步推广？自你学习数学以来共遇到过哪些概念的扩充？它们是怎样补充的？第二象限的角一定是钝角吗？轴正半轴上的角一定是直角吗？同角三角函数的基本关系式有哪些？它们的主要作用是什么？角α的正弦、余弦、正切和余切是怎样定义的？这个定义与初中学过的定义有什么不同？有什么关系？怎样画正弦函数和余弦函数在一个周期内的简图？结合函数和的图象，说出它们的定义域和值域，研究他们的单调性、奇偶性和周期性，并指出它们在什么时候取得最大值和最小值．已知＜α＜270，求角的其他三角函数值．已知sinθ+cosθ=2/3，求sin2θ．如图，三个相同的正方形相接，求证：α+β=45°．求下列函数的最大值和最小值，并且求函数取得最大值和最小值时x的集合：（1）y=2+sinx； （2）y=3-2cosx．已知0≤x≤2π，当x属于哪个区间时，（1