专题6.11 平面向量中的最值与范围必考八类问题（人教A版2019必修第二册）

专题6.11平面向量中的最值与范围必考八类问题【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【类型1定义法求最值与范围问题】 3【类型2基底法求最值与范围问题】 3【类型3坐标法求最值与范围问题】 5【类型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 5【类型5与数量积有关的最值（范围）问题】 6【类型6与模有关的最值（范围）问题】 8【类型7平面向量中参数的最值（范围）问题】 8【类型8极化恒等式】 9【知识点1平面向量中的最值与范围问题及其解题策略】1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：(1)定义法①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.(2)坐标法①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.(3)基底法①适当选取一组基底，利用基底转化向量；②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论.【知识点2极化恒等式】1．极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【类型1定义法求最值与范围问题】1．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，点F为线段AC上任一点（不含端点），若BF=3xBA+yBC，则3x+1y的最小值为（

）A．1 B．4 C．9 D．162．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量a,b不共线，AB=λa+b,AC=A．5 B．4 C．3 D．23．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧AB上的一动点，则PA+PB+A．60−637 B．300−3037 C．300−15374．（23-24高一下·广东广州·期中）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点（含边界），且AP=AB+λA．△PCD的面积为定值 B．∃λ使得|C．∠CPD的取值范围是π6,π3 5．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，点F为线段BD（含端点）上一动点，点E满足DE=3EC，则AF⋅【类型2基底法求最值与范围问题】6．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，P为线段CD上一个动点（含端点），AC=mDB+nA．0,1 B．2,3 C．1,2 D．2,47．（2024·宁夏银川·模拟预测）在△ABC中，BD=2DC，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且AE=mAB,AF=nAC，其中A．2 B．2 C．3 D．88．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形ABCD中，已知E,F分别是BC,CD上的点，且满足BE=EC,CF=2FD．若点P在线段BD上运动，且A．−15,75 B．359．（23-24高一下·福建漳州·期中）在△ABC中，点P满足BP=2PC，过点P的直线与AB､AC所在的直线分别交于点M､N，A．AP=23AB+C．AP=13λAM+10．（23-24高一下·广东江门·期中）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，且AC//EF，则PE⋅PF的取值范围是【类型3坐标法求最值与范围问题】11．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则PA+3PB的最小值为（A．3 B．5 C．4 D．512．（24-25高三上·北京·阶段练习）在△ABC中，AB=AC=42，当λ∈R时，AB+λBC的最小值为4．若AM=MB,APA．2 B．4 C．25 D．13．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，点E在边CD上运动（包含端点），则AE⋅A．22,72 B．[22,4]14．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形ABCD的边长为2,E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点；AP=λAE+μA．λ最大值为1 B．μ最大值为1C．AP⋅AD最大值是2 D．AP15．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E满足AE=14AB+34AC，P为平面【类型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】16．（2024·河南许昌·三模）在△ABC中，点D在BC上，且满足BD=14BC，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=xA．22 B．43 C．4+2317．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知点P在△ABC所在的平面内，且2PA+PB+PC=0.过点P的直线与直线AB,AC分别交于M,NA．74 B．3+224 C．918．（23-24高一下·湖南·期中）△ABC的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若BE=−xAB，BF=yBC（x,y>0），则A．23 B．29 C．419．（24-25高三上·江西·期中）已知点P是△ABC的中线BD上一点（不包含端点），且AP=xAB+yA．x+2y=1 B．xy的最大值为1C．x2+y2的最小值为120．（24-25高一下·山东·阶段练习）在△ABC中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，（x>0，y>0），则x+2y的最小值是【类型5与数量积有关的最值（范围）问题】21．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，AB=AC，则AB⋅AC的最小值为（A．0 B．−14 C．−122．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2AB=2BC=2，点P为梯形ABCD四条边上的一个动点，则PA⋅A．−12,4 B．−12,223．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFDH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP⋅AB的最大值为（A．2 B．4+22 C．2+2 24．（23-24高一下·江苏南通·期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形，CD=4CK=4JK=4，CK⊥JK，△HIJ为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（

）

A．CI=1+3 B．C．若FP=λFA+μFE，则λ＋μ的最大值为9+325．（2024高三·全国·专题练习）在直角△ABC中，斜边AB=2，P为△ABC所在平面内一点，AP=12①AB⋅AC②点P经过△ABC的外心③点P所在轨迹的长度为2④PC⋅PA则以上结论正确的是．（填写序号）【类型6与模有关的最值（范围）问题】26．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量OA=4,OB=3,OC=1,A．1 B．2 C．32 27．（2024·湖北·模拟预测）四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足AP+BP+CP+A．1+2 B．2−1 C．2228．（23-24高一下·浙江·阶段练习）正方形ABCD边长为1，平面内一点P满足AP=λAB+μAD，满足λ+μ=74的P点的轨迹分别与CB，CD交于M，N两点，令e1，e2分别为AB和AD方向上的单位向量，A．3 B．724 C．5229．（23-24高三上·安徽·开学考试）已知P2,0，Acosα,sinα，Bcosβ,A．PA−B．PA+C．若PA=λPB，PAD．若PA=λPB，30．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=4，BC=CD=2，P是腰AD上的动点，则2PB−PC的最小值为【类型7平面向量中参数的最值（范围）问题】31．（2024·全国·模拟预测）已知△ABC中，AO=λAB+(1−λ)AC，且O为△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量为μBC，且cosA．23,56 B．15,32．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=π3，I是∠BAC的平分线上一点，且AI=3，若△ABC内（不包含边界）的一点D满足ID=xABA．−16,524 B．−133．（23-24高二上·上海黄浦·期中）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=2，若CP=λ①λ+μ的最小值为−45；

②PA⋅③λ+μ的最大值为34；

④PA其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．434．（24-25高一下·全国·课后作业）△ABC中，D为AB上一点且满足AD=3DB．若P为线段CD上一点，且AP=λAB+μA．CD=14C．λμ的最大值为112 D．135．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足AP=xAB+yAD，当点P在线段BD上时，则x2【类型8极化恒等式】36．（2025高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2，M为线段AB上的动点（包含端点），D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME⋅

A．−2 B．−C．−1 D．−37．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点，且PB+PC=PM，则A．2 B．4 C．5 D．63