方程与不等式（组）有关的含参问题-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

第二章方程与不等式

重难点02方程与不等式（组）有关的含参问题

（2种命题预测+17种题型汇总+专题训练）

【题型汇总】

已知方程的解求参数

已知方程的解求代工的值

同解方程

■方百满足的情况共

方的雌问题

方程有解、无解问题

.已知分式方程的增根求参数

利用方程解的范围求参数的取值范围

曝根的情况确定一历程中字母的m/s;值范围

不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值

根的判别式与韦达定理综合

与含参方程有关的新定义问题

已知解集求物的值范围

已知螃解的情况求参数的值或取值范围

已知不等式有/无解求参数的取值范围

不等式（组）含参问题（5种）

不等式与方稗s合求参数的取值范围

与含参（组）有关的新定义问题

类型一方程含参问题

【命题预测】

1）.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，

解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法,

先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题;二是利用整体思想,

求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化

思想加以解决

2）.分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问

题的关键是化分式方程为整式方程，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程

中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的

解.

3）.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解一元二次方程的解的情况、一

元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时

注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程有两个根分别为xi、X2,

则Xl+X2=-2,石工,=工注意运用根与系数关系的前提条件是△»（）,知一元二次方程，求关于方

aa

程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有%+%,石々的式子，再运用根与系数的关

系求解.

题型01已知方程的解求参数

1.（2021•重庆・中考真题）若关于x的方程瞪+a=4的解是尤=2,则a的值为.

2

2.（2024・四川凉山・中考真题）若关于x的一元二次方程（a+2）/+x+a-4=0的一个根是％=0,则a的

值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.|

3.（2021.浙江金华•中考真题）已知?是方程3x+2y=10的一个解，则根的值是

4.（2024•江西九江•模拟预测）已知x=2是分式方程区=工的解，则根的值为______.

x-6x

5.（2023•河北・中考真题）根据下表中的数据，写出。的值为.b的值为.

6.（2024.湖北.模拟预测）若关于了的一元二次方程%2+/7%一4=0有一个根是％=2,求b的值及方程的另

一个根.

题型02已知方程的解求代数式的值

7.（2024•云南怒江•一模）已知根是方程%2—3%+1=0的根，求代数式m3—8m+4的值（）

A.1B.3C.4D.7

8.（2022・四川雅安・中考真题）已知｛：［；是方程ax+by^3的解，则代数式2a+46-5的值为—.

9.（2024•广东中山•模拟预测）已知片;2是方程组［/丁by=1的解，求代数式（a+b）（a-b）的值.

10.（2022・广西・中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a-b=2,求代数式6a-

2b-1的值.”可以这样解：6a-2b-1=2（3a-6）—1=2x2—1=3.根据阅读材料，解决问题：若尤=2

是关于x的一元一次方程＜2久+b=3的解，贝!|代数式4a2+4ab+人2+4a+2b-1的值是.

H.（2024・湖北十堰•三模）若九是一元二次方程式2-％—3=0的两个实数根，多项式24一机九十2m的

值是.

题型03同解方程

12.（2024凉州区三模）已知关于x的方程三%=%+；与3%--1）=5的解相同，则m=.

13.（20241安顺市模拟）关于x的两个方程第2一久-6=0与二一=义有一个解相同，则m=.

14.（2020•河北邢台•二模）已知关于x的方程5x-2=3%+16的解与方程4a+1=4（%+a）-5a的解相同，

则。=；若［m|表示不大于小的最大整数，那么g-1］=.

15.（2024•贵州毕节三模）已知关于x,y的二元一次方程组二字=笠的解也是方程3x-y=26的解，

则k的值为（）

A.-4B.-2C.2D.无法计算

题型04根据方程解满足的情况求解

16.（2023•河北沧州•模拟预测）对于a、b定义a团6=义，已知分式方程比团（-1）=/的解满足不等式

a—3—3x

（2-a）x-3>0,则a的取值范围是（）

A.a<1B.a>1C.a<3D.a>3

17.（2023・江苏无锡・二模）若关于久，y的二元一次方程组［二；5）2的解满足x+y>0,则小的取值

范围.

18.（2023金乡县一模）已知X］、&是方程——kx+-k（k+4）=。的两个根,且满足（勺—1）（%—1）=登，

424

则k=.

19.（2023・四川眉山・中考真题）已知关于的二元一次方程组｛?：；［（；广；的解满足x-y=4,则m

的值为（）

A.0B.1C.2D.3

20.（2024・广东汕头•一模）若关于x,y的方程组的解满足％+y=—%则4皿+2"的值为

（）

A.8B.-C.6D.-6

8

题型05方程的整数解问题

21.（2022・广东揭阳•模拟预测）如果关于工,y的方程组=黑的解是整数,那么整数zn的值为（）

J（6x+my—26

A.4,-4,-5,13B.4,-4,-5,-13

C.4,-4,5,13D.-4,5,-5,13

22.（19-20八年级上.重庆沙坪坝•期末）若二次根式7^二泥有意义，且关于无的分式方程2有正

1-xX-1

数解，则符合条件的整数机的和是（）

A.-7B.-6C.-5D.-4

23.（2024.河北保定.一模）若关于尤的方程7nx+x=4的解是整数,写出一个满足条件的正整数m的值:

24.（2024•辽宁・模拟预测）若关于x的一元二次方程（k-2）x2-2x+2=0无实数根，则整数k的最小值

为.

题型06方程有解、无解问题

25.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）已知关于x的分式方程生-2无解，则上的值为（）

X-33-X

A.k=2或k=-1B.k=-2C.々=2或k=1D.k=-1

26.（2024•辽宁丹东•模拟预测）已知关于x的分式方程型i=a有解，则a的取值范围是

X+1

27.（2024.四川绵阳.二模）若关于x的分式方程巳=1有解，且关于y的方程丫2一2丫+血=0有实数根，

则TH的范围是.

28,（2021•上海・中考真题）若一元二次方程2%2一3%+。=0无解，则c的取值范围为.

29.（2024・安徽六安・模拟预测）已知关于％的一元二次方程％2-kx+k2=3有解.

（1）当左=0时，方程的解为；

（2）若根是该一元二次方程的一个根，令y=-瓶2+々7n+忆2,则y的最大值和最小值的和为.

30.（2024九年级下•全国•专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：—+3=

X-2

1

2-x'

（1）她把这个数“？”猜成5,请你帮小华解这个分式方程；

（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2,原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”

代表的数是多少？

题型07已知分式方程的增根求参数

31.（2023•山东德州•模拟预测）已知关于x的分式方程二yt八=工时出现增根，则根的值可能是

A.-6B.-3C.-2D.1

32.（2023・四川巴中・中考真题）关于％的分式方程把;+m=3有增根，则租=.

X-22-X---------

33.（2023・四川乐山•模拟预测）已知关于无的分式方程上;+三=1.

x+2x2-4

（1）当ni=4时，解这个分式方程；

（2）若方程有增根，求机的值.

题型08利用方程解的范围求参数的取值范围

34.（2022・四川德阳・中考真题）如果关于久的方程号=1的解是正数，那么根的取值范围是（）

X-1

A.m>—1B.m<—1且m—2C.m<—1D.m>—1且mH0

35.（2023•江苏苏州•三模）关于工的一元二次方程％2+（q+4）x+3a+3=0有一个大于一2的非正数根，那

么实数a的取值范围是.

36.（2023•浙江杭州•一模）己知关于久的分式方程/+2=1的解是非负数,则m的取值范围是,m=4

x-11-x

时，分式方程的解为.

37.（2023九年级•全国•专题练习）当初取何值时，关于x的方程|x—1=6m+5（x—爪）的解是非负数？

38.（2023•陕西西安•三模）已知关于x、y的二元一次方程组「：1j3七，它的解是正数.

（1）求相的取值范围；

（2）化简：|/n-2|—（Vm+I）2——1）2.

39.（22-23九年级上•北京东城•期末）已知关于x的一元二次方程/+（1—2小江+瓶2-7n=o.

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的两个实数根都是正数，求小的取值范围.

题型09根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围

40.（2024•山东泰安・中考真题）关于x的一元二次方程2/—3x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是（）

999Q

A.fc<—B.kW-C./c之一D./c<—

8888

41.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）关于％的一元二次方程（血-2）%2+4%+2=0有两个实数根，则

用的取值范围是（）

A.m<4B.m>4C.m之一4且7nH2D.m44且znH2

42.（2024.吉林长春・中考真题）若抛物线y=%2-%+c（c是常数）与久轴没有交点，贝k的取值范围是.

43.（2024・四川遂宁•中考真题）已知关于x的一元二次方程/一（巾+2）x+m-1=0.

（1）求证：无论加取何值，方程都有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两个实数根为X1,久2，且以+以-久1久2=9,求m的值.

题型10不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值

44.（2024・四川乐山•中考真题）若关于x的一元二次方程/+2%+2=0两根为/、%且已+2=3,则

p的值为（）

22

A.--B.-C.-6D.6

33

45.（2023・湖北黄冈・中考真题）已知一元二次方程——3x+k=0的两个实数根为万］,久2，若/久2+2/+

2X2=1,则实数k=.

46.（2023•湖北・中考真题）已知关于尤的一元二次方程产一（2m+l）x+机？+7n=0.

（1）求证：无论相取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

⑵设该方程的两个实数根为a,b,若（2a+6）（a+2b）=20,求相的值.

题型11根的判别式与韦达定理综合

47.（2024・四川眉山•二模）已知关于光的一元二次方程/-3x=1-3nl有实数根.

（1）求7?1的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为修、久2,且满足“12+与2-久1久2W15,求小的取值范围.

48.（2024・湖北随州•一模）已知关于尤的一元二次方程/+a久+a—1=0.

（1）求证：该方程总有实数根；

（2）设该方程的两个实数根分别为%,x2,若均>0,x2<0,求。的取值范围.

49.（2024•山东潍坊•二模）小亮和小刚对关于x的一元二次方程a/+版一a一工=0进行了如下分析：

a

小亮：“对于任意实数a,b,该方程总有两个不相等的实数根.”

小刚：“该方程的两个实数根的符号不相同.”

请判断小亮和小刚的说法是否正确并说明理由.

题型12与含参方程有关的新定义问题

50.（2023・广东江门•一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程

为该不等式组的相伴方程.若方程8-x=x、7+x=3（x+J都是关于尤的不等式组的相伴

方程，则相的取值范围为.

51.（2024•江苏连云港•二模）定义新运算“a*b”：对于任意实数a,b,都有a*b=ab+l,其中等式右边是

通常的加法和乘法运算.例如：3*4=3x4+1=13.若关于x的方程x*（kx+1）=0有两个实数根，则

实数k的取值范围是—.

52.（2024・四川泸州二模）对于a、b定义a*公六,己知分式方程x*（-1）=&的解满足不等式

（2-a）x-3>0,则a的取值范围为.

类型二不等式（组）含参问题

【命题预测】

1）.不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解

决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围，已知不等式

（组）的解售情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，

反推出含字母的方程，最后求出字母的值.

题型01已知解集求参数的值或取值范围

53.（2024.浙江•中考真题）关于x的一元一次不等式组｛［二的解为x>2,则根的取值范围为.

X>a

X+11々丫的解集为X>-1,贝b的取值范围____.

｛~~1<X

55.（2024・湖北恩施•一模）关于x的一元一次不等式组｛个二：/；的两个不等式的解集在数轴上表示如图，

则a-b的值为.

—।——J।1―।A

-2-102

rx+2_x

56.（2023・湖北黄石•模拟预测）若数a使关于久的不等式组32）］的解集为刀<一2,则符合条件的数

12（%—a）<0

a的取值范围为.

题型02已知整数解的情况求参数的值或取值范围

57.（2024・四川达州•模拟预测）若关于尤的不等式组的整数解共有三个,则a的取值范围是（）

A.-3Va<-2B.2<a<3C.-3<aV—2D.54a46

58.（2022•江苏南通•一模）若关于尤的不等式组｛?1：：：的最大整数解是2,则实数a的取值范围是（）

A.1<a<2B.1<a<2C.2<a<3D.2<a<3

「4-2,xN0

59.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）关于x的不等式组卜丁恰有3个整数解，则。的取值范围

\~x—a>u

12

是.

x—2x—1

丁（亍有且只有三个整数解，则机的取值范

｛2x—m<2—x

围是.

题型03已知不等式有/无解求参数的取值范围

61.（2023•山东泰安・二模）若关于x的不等式组。言，工1有解，贝必的取值范围为.

62.（2024・江苏宿迁•一模）若不等式组成;有解，则a的取值范围是.

（x-a<0

63.（2024•江苏南通•一模）若关于x的不等式组1丁无解，则。的取值范围为

l3X-2-6

P+1v'_1

64.（2023•黑龙江绥化•模拟预测）若不等式组亍-2-1无解，则m的取值范围为______.

Ix<4m

题型04不等式与方程综合求参数的取值范围

65.（2022•云南昆明•三模）若整数a使关于x的方程x+2a=1的解为负数，且使关于的不等式组

（----（%—CL）>0

22x+i无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

（"TN丁

A.6B.7C.9D.10

5汽23（x+2）

（—x+3=a有且只有2个整数解，且关于y的方程5+即=

2y-7的解是负整数，则符合条件的所有整数a的和是（）

A.33B.28C.27D.22

67.（2023•广东广州•二模）定义：不大于实数尤的最大整数称为x的整数部分，记作[灯，例如[3.6]=3,

[-V3]=-2,按此规定,若1,则x的取值范围为