二次根式的运算的四种类型-2024-2025学年人教版八年级数学下册（含答案）

专题01二次根式的运算的四种类型

类型一：利用基础法则进行计算

类型二：运用乘法公式进行计算

类型三：运用等式规律进行计算

类型四：与二次根式有关的化简求值运算

类型一：利用基础法则进行计算

1.计算：

(1)2712+V48-V27；

V45.

⑺病x网一毕

(10)718-V24-V3；

类型二：运用乘法公式进行计算

2.计算：

2

(l)(V2-l)+2>/8-(V5-2)(V5+2):

试卷第1页，共6页

(2)(2+可一(3-2础3+2回；

(6)(2V3-1)(2V3+1)-(1-2V3)2；

⑺仅行一392一卜+3⑹(4-3后卜

(8)(V3+V2)2-(V7+V2)(V7-V2).

类型三：运用等式规律进行计算

3.阅读下列材料，然后解答下列问题：

1ix(G)

出+「(0；

1W一科万亚

方丁(6+可氏0广y；

11、町-2)

Er(/+2)心一2)；

以上这种化简的方法叫分母有理化.

1

(1)7T7?6=——■

⑵丁T—r(〃为正整数)=______.

V/7+1+V/7

⑶化简：7^I+7F77I+7CT+-+Vi5ot^=——

(4)化简下列式子的值：看+寻存+正匕+...+而出访.

4.【阅读材料】

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可

3_3x7522x(百-1)

以将其进一步化简:

V5-75x75V3+1(V3+1X73-1)

试卷第2页，共6页

2(V3-1)

=G-1.以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

(V3)2-l2

【解决问题】

（1）仿照上面的解题过程，化简：将\

(2)计算：|—j=---H-/=---f=+—---j=H---H/—---,-|x(J2025+1).

(企+1V3+V2V4+V3J2025+J2024J

⑶已知"耳匕,6=37r求/+〃的值.

5.材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如白.耳，的计算，需要运用分式

1_V2_y/2

的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”,例如：忑=国二3

22x(73+72)2V3+2V2=迫=2=2百+2近.类似地，将分子

痒0=(百一+@=(可

转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：立=立=6@=2；

1V2V2

百-1_(石T)X(6+1)_(旬_3-1_2

.根据上述知识，请你完成下列问

6百x(百+1)(省『+03+^33+^3

题:

⑴比较大小：/7-7TT3J（填“>”，或“=”）；

⑵计算：1772+72773+V3W4+"，+V2024+V2025；

2

⑶若"E求5/-10°+15的值.

6.有这样一类题目：将八土2酎化简,如果你能找到两个数仅、"，使病+〃2=.且

mn--Jba土2需将变成力/+〃2±2"?〃，即变成（加土〃）？，从而使J（Z±2〃'得以化简.

⑴例如，5+2#=3+2+2#=(V3)2+(V2)2+20x0=(6+72)2,

•••75+276=J(V3+V2)2=，请完成填空.

(2)仿照上面的例子，请化简”-2g;

(3)利用上面的方法，设/=46+4后,5=73-75,求N+5的值.

试卷第3页，共6页

7.小明在解决问题：已知--石，求2q2—8q+l的值.

2+0

他是这样分析与解的：

.一，一一2_6

.•2+6一(2+司(2一码",

「•a-2=—y/3，

••.(。-2)2=3,4―4。+4=3,

•'­a2-4a=-1

・・・2Q2—8Q+1=2(Q2—4a)+l=2x(-1)+1=-1,

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

1]

⑴6+后——,右+Q------

⑵化简：舟而+而:而+…+后:9•

(3)若a=，请按照小明的方法求出4/一8a+1的值.

8.阅读材料：

材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代

数式互为有理化因式.

例如：V3X73=3,(V6-V2)(V6+V2)=6-2=4,我们称百的一个有理化因式是

V3，V6-V2的一个有理化因式是n+VL

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因

式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.

例如.-L-6-叵0+1.(0+i『一3127y

2V3273x736'V2-1(72-1)(72+1)

解答下列问题：

(1)根据以上概念直接在横线上写出2g-君的一个有理化因式」

(2)右若a。=2-一-7百=，,-求/_3a。+1l的町值且；

⑶请在以下问题①和②任选一个题作答:

试卷第4页，共6页

①设实数X,。满足(x+G+2024)卜+抄+2024)=2024,求x+y+2024的值.

②化简：

3+73—A/O

类型四：与二次根式有关的化简求值运算

9.计算：已知，x=2-C,y=2+V3,求/+丁2-中的值.

10.已知：x=A/3+2,y=-V3+2.计算:

⑴孙；

(2)x2+y2-xy.

1L若"A?1

尸/国，求代数式/+3盯+廿的值.

1

12-已知y=13^9求下列各式的值:

(l)x2+xy+y2；

yx

⑵

O

13.我们已经知道(屈+3)(屈-3)=4,因此将而与分子、分母同时乘“、/行+3"，分母就

88(713+3)8"+3)=2屈+6,从而可以达到对根式化简的

变成了4.例如:

VB-3-(VB-3)(VB+3)-

目的.根据上述阅读材料解决下列问题:

J474

已知.二百？6二工？

(1)化简a,b；

(2)求代数式2a2+ab+2b2的值.

14.先阅读下列的解答过程，然后再解答:

形如土2«的化简,只要我们找到两个正数。、6,使。+6=加，ab=n，使得

(yfa)2+(4b)2=m,y[a-y/b=y[n,那么便有：ylm±2y/n=y](y/~a±4b)2=y[a±4b(Q>b)

例如：化简J7+4百

解：首先把g+4G化为『7+2万，这里加=7,〃=12,由于4+3=7,4x3=12

即(CP+诉2=7,V3XV4=V12

•••g+4百=V7+2V12=7(7?+V3)2=2+73

试卷第5页，共6页

⑴填空："-26=，也+46=

(2)化简：J19-4而.

11

⑸已知=丁的.

⑴化简X,歹；

(2)求代数式/一5盯+/的值；

(3)若x的小数部分为a,求J(a-1)2的值.

a-b+〃一+4b

16.先化简，后求值:其中a=—,b=2.

y/a+y[by[a-2y[b2

试卷第6页，共6页

1.(1)573

(2)6+g

(3)2

(4)-；

⑸3-几

(6)4

⑺17

(8)5-5A/2

19

⑼三

o

(10)-亚

【分析】本题考查了二次根式的混合、零次幕的性质、绝对值的性质.

(1)先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；

(2)先根据算术平方根、立方根、零指数嘉、绝对值的运算法则计算，再合并即可；

(3)先算括号里面的，再算二次根式的除法即可；

(4)先分母有理化，再根据二次根式的性质计算，然后合并即可；

(5)先根据二次根式的乘除法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，最后合并同

类二次根式即可；

(6)先根据二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算；

(7)先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；

(8)先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；

(9)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式后进行二次根式的除法运

算；

(10)先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可.

［详解］(1)解：2V12+V48-V27

=2x273+4V3-3V3

=46+46-36

=5^/3;

答案第1页，共16页

（2）解:

=3--+l+V3-l

2

=V3+|；

(3)解：2V27+1V108-12j1UV12

3

=(6石+26-46/2月

=4凤2班

=2；

「i、）2

(4)解:

712x3-3731

+V3-2

33

=2-V3--+V3-2

3

]_

3

；H-V3+V24-

（5）解:

7

=V48^3-3^|^3+276-gx45

=4-3X-+2>/6-3V6

3

=4—1--\/6

=3—5/6;

(6)解：(-V6)2-V25+^(-3)2

=6—5+3

=4；

⑺解：屈x后陪

答案第2页，共16页

=A/400-V9

=20-3

=2+3-(2拒+3收)

=5-572;

(10)解：V18-4^1-724^^3

=3亚-2亚-J24+3

=3夜-2后-2及

=­V2•

2.⑴20+2

(2)6+473

(3)275-3

(4)1+276

(5)66-43

(6)4A/3-2

答案第3页，共16页

(7)49-12715

(8)276

【分析】此题考查二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式的运用.

(1)先根据完全平方公式、二次根式的性质与化简、平方差公式计算，再合并即可;

(2)先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可；

(3)先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可.

(4)根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行加减运算即可得到答案.

(5)根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可.

(6)利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便.

(7)利用完全平方公式和平方差公式展开，再算加减即可；

(8)根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可.

【详解】(1)解：(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2)

=2+1-2亚+4a-(5-4)

=3+272-1

=272+2;

(2)解：(2+6)2一(3-2后)(3+2近)

=4+473+3-(9-8)

=4+46+3-1

=6+4百；

(3)解：(V5-V2)(V5+V2)-(V5-1)2

=5-2-(5-2>/5+1)

=5-2-6+275

=2A/5-3;

(4)解：(3V2-2A/3)(3V2+2A/3)-(V2-V3)2

=@⑹。为网2_(2+3一2伺

答案第4页，共16页

=18-12-5+2逐

=1+2y/6；

(5)解：(2A/5-7)(2V5+7)-(V5-3)2

=20-49-(5+9-675)

=20-49-14+6指

=675-43；

(6)解：(2A/3-1)(2A/3+1)-(1-2V3)2

=12-1-(1+12-473)

=12-1-13+4>/3

=4A/3-2；

(7)解：(275-373)2-(4+372)(4-372)

=20+27-12715-(16-18)

=20+27-12715+2

=49-12715；

(8)解：(石+夜『_(行+后)(后一行)

=3+2+276-(7-2)

=3+2+276-5

=25/6.

3.(1)V7-V6

(2)yjn+1-4n

(3)9

W

2

【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算:

答案第5页，共16页

(1)利用分母有理化进行计算即可；

(2)利用分母有理数，进行计算即可；

(3)先进行分母有理化，再进行计算即可；

(4)先进行分母有理化，再进行计算即可.

【详解】⑴解：万]而二(同两(凤网"舵

1_J"+1-~fn_I------7

⑵+1+G+1+(J/7+1-而)

]]]]

⑶V2+l+V3+V2+V4+V3+'''+V100+V99

=V2-l+V3-V2+---+Vi00-V99

=Vioo-i

=10-1

=9；

⑷V3+l+V5+V3+V7+V5+'"+V99+V97

=|(V3-l+V5-V3+V7-V5+...+V99-V97)

=1(V99-1)

3V1T-1

一2'

4.(1)V7+V6

(2)2024

⑶10

【分析】本题考查分母有理化.二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握以上知识是解

题的关键.

(1)分子分母分别乘(S+即可；

(2)每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并，再利用平方差公式计算即可.；

(3)由条件可得：a=43-y/2,6=石+也，可得：a+b=26,ab=l,再利用平方差公

答案第6页，共16页

式计算即可.

A

【详解】⑴解：E1T产y闻jl+齐/6函"G+亚r:

⑵解：］卷+京匕+号用+…+痂乙3＞（亚石+1）

舁6**_______

0T+1202572024________x(72025+1)

(l+V2)(V2-lj(72+V3)(A/3-V2)(J2025+J2O24)(J2025々2024)

=(应-1+石-应+…+j2025-j2024)x(j2025+l)

=(72025-1)x(72025+1)

=2025-1

=2024.

(3)解：•­a=厂1厂=厂噂，_厂=43-42,

<3+V2(V3+V2)(V3-V2)

,_1_y/3+42_/TH

7T7F(舁3)(用血尸+g，

cib—,ab—I,

，/+/=g+32_2M=（2石f-2=10.

5.（1）＜

（2）44

⑶25

【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关

键.

（1）先分母有理化得到一方=当也，——=，『，然后比较大小即可；

3-V72VH-32

（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式；

（3）先利用分母有理化得到a=。+1,则移项得到fl-l=V3,再两边平方可得到/-2a=2,

然后把5/_10a+15变形位5（/_2a）+15,最后利用整体代入的方法计算.

答案第7页，共16页

3+773+43+V7

【详解】（1）解：厂「（3一⑺（3+S厂百

]_而+3_而+3_Vn+3

VTT-3-(7TT-3)(VIT+3)~11-9-2,

3+V7VTT+3

••・-----<------,

22

]]

"3-V7<VTT-3；

故答案为：<;

]]]]

⑵轧1+V2+V2+V3+V3+V4++J2024+J2025

=V2-l+V3-V2+V4->^+……+J2025-J2024

=72025-1

(3)解：•.•4=

V3-1(V3-1)(V3+1)

a-1=V3，

a?—2〃+1=3,

•**/—2a—2，

.，.5〃—10(2+15=5(/-2Q)+15=5x2+15—25.

6.(1)V3+V2

⑵6-1

(3)2+-V10+—

22

Q(Q>0)

【分析】（1）根据二次根式的性质：必=14=0（。=0）,即可得出相应结果.

-a（a<0）

（2）根据（1）中“5+2指=3+2+2指=（6）2+（血『+2后xg=（G+0）2”，将代数式

转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果.

答案第8页，共16页

(3)根据题意，首先把/式和8式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式

的性质把工式和B式的结果分别算出，最后把/式和B式再代入N+2中，求出A+B的值.

【详解】(1)••-5+2V6=2+3+2A/6=(V2)2+(V3)2+2x^2XV3=(V2+A/3)2

•••75+276=7(73+V2)2=V3+V2

故答案为：V3+V2

(2)•.-4-2A/3=3+1-2A/3=(73)2+1-273=(V3-1)2

•••74-2V3=7(V3-1)2=V3-1.

(3)•.•/=6+4近=4+2+4亚=("『+(亚『+2、"*拒=(2+伪2

•',/=-76+4^2=2+V2

6-2行_5+1-2逐_的+『-2x1x7^_（逐—ip

,B=3—Vs=

22

B=73-V5

・・・把/式和5式的值代入中，得：

^+5=2+72+-710--72=2+-710+—

2222

【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式.解本题的关键在熟练掌握二次

>0)

根式的性质："=14=，o(a=o)和熟练运用完全平方公式g±4=/±2仍+/.

-a(a<0)

7.⑴百-血',—(V5—V3j

⑵4

(3)5

【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化.

(1)根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差

公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；

(2)将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；

(3)根据小明的分析过程，°-1=也得02-2a=l,可求出代数式的值.

答案第9页，共16页

1也-6c也rz_r

【详解】(1)

1Vs-7345-y[3_\(f-75-73

TTT^r(逐+础回石厂小7片「一，

故答案为：V3-V2,卡一网;

2

111

VTT+V9VB+VTTV12T+VT19

拒-邪VB-VTTVm-Vn?

(而+例(而-W)(Vi3+VTTj(Vi3-VTT)(7121+7119)(7121-7119)

VTT-V9Vil-ViTV12T-VTT9

=--------1----------1---1-----------

222

=1[(VTT-79)+(Vi3-Vn)+-••+(V12T-VTT9)]

=1[71!-79+713-711+---+7121-7119)

=1(-V9+Vn-VH+VB----VTT9+V12T)

=4；

1

(3)

•••“=行=(0.1)(行+1)

•'•a—1=V2，

**•a—2。=1,

；.4。~-8a+1=4(。~—2a)+1=5.

8.(1)273+75

(2)21+1273

⑶选①，2024；选②，V2+V3

【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确

分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式.

答案第1。页，共16页

（1）根据题目中的材料，可以求出26-6的有理化因式;

(2)先求出°=~~忑=2+6,a-2=G，得到/=4°一1,再代入/_30+1求解即可;

(3)选①，将原子化成x++2024=+2024—、和y+J廿+2024=+2024—x,

两式相加，进一步计算即可求解；

选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可.

【详解】（1）W：（273-V5）（2V3+V5）=（2V3）2-（V5）2=12-5=7,

•••2c-A/5的有理化因式为273+75,

故答案为：2艮#＞；

（2）解:

a—2=V3，

二(a-2y=3,即/-40+4=3,

•••a2=4a-1,

•*,a3—3a+1=QXQ2—3a+1

—a(4a—1)—3a+1

=4a2—a—3。+1

=(2a-I)?

=(3+2何

=21+1273;

(3)解:选①，

(x+&+2024)(y+7/+2024)=2024,

.x+&+2024=------:="+2024-y

"y+J-+2024、-

答案第11页，共16页

同理y+77+2024=6+2024-x,

两式得x+y=0,

：.x+y+2024=2024；

3+6+&3+（百+«）

选②‘.3+6-指一3--百j

（3+0+炯（3+卡-封

9-（V6-V3）2

（3+76）2-3

672

=V2+\/3.

9.13

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计

算是解题的关键.

利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答.

【详解】解：x2+y2-xj

=（x-y）2+xy

=（2-V3-2-V3）2+（2-V3）（2+V3）

=12+1

=13.

10.（1）1

⑵13

【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，代数式求值.

（1）利用平方差公式计算孙的值；

（2）先计算出x+y的值，再利用完全平方公式得到/+/-孙=（x+y『-3xy,然后利用

整体代入的方法计算.

【详解】（1）解：x=-\/3+2,y=-V3+2,

xy=（V3+2）［-V3+2）=4-3=1；

答案第12页，共16页

(2)解：•.•X=6+2,y=-G+2,

・•・x+y=4,

・•・x2+y2-xy

=42-3x1

=16-3

=13.

11.17

1尸七化

【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，先把x

2-5

简，再根据完全平方公式把龙2+3盯+/变形后代入计算即可.

12+V3/T

【详解】解：••“二羽=（2一司（2+百广+5

1_2-6瓜

y=E=a=273,

・•・x2+3xy+y2=（x+歹『+xy

=（2+V3+2-V3）2+（2+V3）（2-V3）

=16+1

=17.

12.（1）11

⑵10

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化:

（1）先利用分母有理化法则求出x=G+VI丫=拒-也,进而得到x+y=2VL砂=1,

再根据完全平方公式的变形求解即可;

（2）根据上+一2中进行求解即可.

xyxy

11

【详解】（1）解：?”

V3-V2?丫一出w

答案第13页，共16页

__r/T_V3-V2nrnr

可否可/「一(6+码回

:.x+y=4i+6+6-6=2百，xy=(6+后)x(g-拒)=3-2=1,

•••x2+xy+y2=(x+y)2-xy=12-1=11；

yx

(2)解：-+-

xy

_x2+y2

xy

(x+y)2-2xy

xy

_12-2

1

=10.

13.(l)a=V5-l,/)=V5+l

(2)28

【分析】本题主要考查实数的混合运算及乘法公式，熟练掌握实数的混合运算及乘法公式是

解题的关键；

(1)根据题中所给方法进行求解即可；

(2)由(1)可得。+6=2右，砧=4,然后对所求代数式进行化简，进而代值求解即可.

【详解】(1)解：由题意得:

(g)

44x4x

a==^5—1,

4

(6+1)

44x4x

b==^5+1；

V5—1