二次函数图像与几何变换（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题09二次函数图像与几何变换

1.（2021•苏州中考）已知抛物线＞=/+依-庐的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再

向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则左的值是（）

A.-5或2B.-5C.2D.-2

解：：抛物线y=x1+kx-庐的对称轴在y轴右侧，

,,.x=--＞0,

2

：.k＜0.

2

..,抛物线夕=/+依-庐=（x+K）2-至X

24

...将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y=（x+X-

2

3）2-

4

2

...将（0,0）代入，得0=（0+A.-3）2-aL_+1,

24

解得左1=2（舍去），k2=-5.

答案：B.

2.（2020•陕西中考）在同一平面直角坐标系中，若抛物线〉=加/+2工-n与＞=-6x2-2x+m-n关于x轴对称，则

m,n的值为（）

A.m=-6,n=-3B.m=-6,n=3C.m=6,n=-3D.加=6,n=3

解：:抛物线-几与y=-6/-2x+m-n关于x轴对称，

-y=-mx2-2x+〃,

.*.y=-mx2-2x+n与y=-6x2-2x+m相同,

-m=-6,n=m-n,

解得加=6,n=3,

答案：D.

3.（2021•资阳模拟）如图是函数＞=N-2X-3（0WXW4）的图象，直线/〃'轴且过点（0,m）,将该函数在直线

/上方的图象沿直线/向下翻折，在直线/下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大

值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是（）

A.机三1B.%W0C.OWmWlD.加21或机WO

解：如图1所示，当加等于0时，

•.>=（X-1）2-4,

，顶点坐标为（1,-4）,

当x—O时，y--3,

：.A（0,-3）,

当x=4时，y=5,

：.C（4,5）,

当m—0时，

D（4,-5）,

此时最大值为0,最小值为-5；

如图2所示，当加=1时，

此时最小值为-4,最大值为1,

当时，最大值与最小值之差大于5,不合题意;

综上所述：OW/MWI,

答案：C.

4.（2021•茂名模拟）如图，把抛物线>=/与直线》=1围成的图形0/3C绕原点。顺时针旋转90°后，再沿x轴

向右平移1个单位得到图形O1481Q,则下列结论错误的是（）

A.点Q的坐标是(1,0)

B.点Q的坐标是(2,-1)

C.四边形。氏4bBi是矩形

D.若连接OC,则梯形0c4/1的面积是3

解：根据图形可知：点。的坐标是(0,0),点C的坐标是(1,1).

因为把抛物线y=N与直线y=l围成的图形O/3C绕原点。顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得

到图形Q431C1，所以点。，C绕原点。顺时针旋转90°后,再沿x轴向右平移1个单位得到点Q的坐标是

(1,0),点Q的坐标是(2,-1),所以选项/,8正确.

根据点。(0,0),B(0,1),4(2,1),Bi(2,0)的坐标可得：四边形02小约是矩形，选项C正确.

根据点O(0,0),C(1,1),小(2,1),Bx(2,0)的坐标可得：梯形0c山5的面积等于■1(1+2)义1=旦

22

W3,所以选项。错误.

答案：D.

22

5.(2020•贵港中考)如图，对于抛物线为=-x2+x+l,y2=-x+2x+\,y3=-x+3x+l,给出下列结论：

①这三条抛物线都经过点C0,1)；②抛物线为的对称轴可由抛物线为的对称轴向右平移1个单位而得到③

这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线y=l的交点中，相邻两点之间的距离相等.其中

正确结论的序号是①②⑷.

解：①当X=0时，分别代入抛物线为，＞2，为，即可得为=刃=丁3=1；①正确;

②为=--+x+l,,3=-/+3尤+1的对称轴分别为直线X=LX——,

22

由X=上向右平移1个单位得到X=3,②正确；

22

③为=-x2+x+l=-(x--)2+—,顶点坐标(工—),

2424

歹2=-N+2x+l=-(x-1)2+2,顶点坐标为(1,2)；

为=-/+3工+1=-(%-旦)顶点坐标为(3,-1^-),

2424

・・・顶点不在同一条直线上，③错误；

④当y=1时，贝！J-/+%+1=1,

・\x=0或x=l；

-N+2X+1=1,

.,.x=0或x=2；

-/+3工+1=1,

.*.x=0或x=3；

,相邻两点之间的距离都是1,④正确；

答案：①②④.

6.(2021•徐州模拟)已知二次函数的图象经过点尸(2,2),顶点为。(0,0)将该图象向右平移，当它再次经过

点P时，所得抛物线的函数表达式为"=L(X-4)2.

2

解：设原来的抛物线解析式为：了=办2(aNO).

把尸(2,2)代入，得2=4°,

解得a.

2

故原来的抛物线解析式是：、=L2.

2

设平移后的抛物线解析式为：y=L(x-b)2.

2

把P(2,2)代入，得2=工(2-6)2.

2

解得6=0(舍去)或6=4.

所以平移后抛物线的解析式是：了=工(x-4)2.

2

答案：产工(X-4)2.

2

7.(2021•泸州模拟)如图，抛物线的顶点为尸(-2,2),与y轴交于点/(0,3).若平移该抛物线使其顶点尸沿

直线移动到点P(2,-2),点N的对应点为N',则抛物线上尸/段扫过的区域(阴影部分)的面积为

12

由题意可得出：AP//A'P',AP=A'P',

四边形ZPPA1是平行四边形,

•••抛物线的顶点为尸（-2,2）,与夕轴交于点N（0,3）,平移该抛物线使其顶点尸沿直线移动到点P（2,-

2）,

.1.PO=^22+22=272-ZAOP=45°,

又

/\ADO是等腰直角三角形，

J.PP'=2如X2=4正

.*./D=OO=sin45°•ON=Y^X3=^Z1,

22_

抛物线上尸/段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4&xW返=12.

8.（2021•大连模拟）如图，抛物线y=x2+6x+9与y轴相交于点）,与过点/平行于x轴的直线相交于点8（点8

2

在第一象限）.抛物线的顶点C在直线上，对称轴与X轴相交于点D.平移抛物线，使其经过点N、D,则平

移后的抛物线的解析式为y=x2-9x+9.

2-2一

...抛物线的对称轴为了=-2，直线0B的解析式为y=-Ax

22b

•.•抛物线的顶点C在直线0B上，

.,.〉=旦

4

，顶点c的纵坐标为工x9=9,

224

4X14

解得仇=3,b?=-3,

由图可知，＞0,

2X1

:.b=-3,

对称轴为直线x=--3=3,

2X12

...点。的坐标为（3,o）,

2

设平移后的抛物线的解析式为了=/+心无+〃,

n=y

则4CC,

93c

42

f9

解得1，

所以，y=N-3+9.

22

答案：＞=/--x+.iL.

22

9.（2021•荷泽模拟）如图，一段抛物线：y=-x（x-2）（0W尤W2）记为Q,它与x轴交于两点。，小；将Ci绕

4旋转180°得到。2，交x轴于42；将。2绕42旋转180°得到。3，交x轴于小；…如此进行下去，直至得到

...配方可得y=-（X-1）2+1（0WxW2）,

，顶点坐标为（1,1）,

.•.41坐标为（2,0）

VC2由Ci旋转得到，

.,.04=4/2，即。2顶点坐标为（3,-1）,A2（4,0）；

照此类推可得，C3顶点坐标为（5,1）,A3（6,0）；

。4顶点坐标为（7,-1）,A4（8,0）；

C5顶点坐标为（9,1）,A5（10,0）；

。6顶点坐标为⑴，7），4（⑵0）；

••rn~~~1.

答案：-1.

2

10.（2021•湖州模拟）如图，已知抛物线Cl：y=aix+blx+cl®C2：［=偿—+如+该都经过原点，顶点分别为4

B,与x轴的另一交点分别为M,N,如果点/与点2,点〃与点N都关于原点。成中心对称，则称抛物线。

和。2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线Q和。2,使四边形/冲“恰好是矩形，你所写的一对抛物线解

析式是反2+2、反和丫=、后2+2心（答案不唯一）.

解：连接

根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是

零，

设抛物线C1的解析式为>="2+8，

根据四边形Mvaw恰好是矩形可得：OA^OM,

'：OA=MA,

是等边三角形，

设（W=2,则点/的坐标是（1,、/5）,

则[后a+b,

[0=4a+2b

解得:

（b=2V3

则抛物线Q的解析式为y=-«?+2/不，

抛物线C2的解析式为〉=《市2+2小，

答案：y--、石：2+2<§1,y=（答案不唯一）.

11.（2021•荆州中考）小爱同学学习二次函数后，对函数y=-（|x|-1）2进行了探究.在经历列表、描点、连线

步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题:

(1)观察探究：

①写出该函数的一条性质：函数图象关于V轴对称；

②方程-(|x|-1)2=-I的解为：x=-2或无=0或x=2；

③若方程-(恸-1)2=。有四个实数根，则a的取值范围是-K0.

(2)延伸思考：

将函数y=-(凶-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数为=-1)2+3的图象？写出平移过程，并

直接写出当2<yiW3时，自变量x的取值范围.

解：(1)观察探究：

①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；

②方程-(|x|-1)2=-1的解为：x=-2或x=0或x=2；

③若方程-(|x|-1)2=°有四个实数根，则0的取值范围是-

答案：函数图象关于y轴对称；x=-2或x=0或x=2；-l<a<0.

(2)将函数y=-(|x|-1)2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数为=-(|x-2|-1)2+3

的图象，

当2<勿・3时，自变量x的取值范围是0<x<4且xW2.

-O-

5

/、

1\

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i；-Z1•)

/r\

//-2\

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1-4

-j

12.(2020•安徽中考)在平面直角坐标系中，已知点/(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+机经过点力,抛

物线y=ax2+bx+l恰好经过/,B,C三点中的两点.

(1)判断点2是否在直线y=x+%上，并说明理由；

(2)求a,b的值；

(3)平移抛物线〉=。/+/+1,使其顶点仍在直线y=x+机上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大

值.

解：(1)点3是在直线y=x+/w上，理由如下：

•.•直线y=x+机经过点/(1,2),

解得加=1,

直线为y=x+l,

把x=2代入y=x+l得y=3,

:.点、B(2,3)在直线y=x+/M上；

(2)..,直线y=x+l经过点2(2,3),直线y=x+l与抛物线了=0%2+公+1都经过点(0,1),点(0,1),A

(1,2),B(2,3)