二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）（解析版）

清单07二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）

考曼［*单

一般式

开口方向

对称轴

顶点坐标

【清单01】次函数的概念

一般地，形如严办2+乐+。（Q,b,。是常数，。加）的函数，叫做二次函数

【清单02】二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：y=ax1-irbx+c（a,b,c为常数，〃加）.

（2）顶点式：y=a（x-A）2+k（a,h,左为常数，。加），顶点坐标是（h,左）.

（3）交点式：y=a（x-xi）（%-%2）,其中不，％2是二次函数与工轴的交点的横坐标，＜#0.

【清单03】二次函数的图象及性质

解析式二次函数产aN+bx+c（q,b,c是常数，存0）

b

对称轴x=---

2a

,b4ac-b2、

顶点

2a4a

。的符号a>0。<0

yh

图象

/,-TfV

开口方向开口向上开口向下

*b4ac-b2%b4ac-b2

最值当X一时，＞最小值一当厂时，丁最大值一

2a4。2a4a

最点抛物线有最低点抛物线有最高点

1

当XV-2时，y随X的增大而减小；当了＜-2时，y随x的增大而增大；

2a2a

增减性

当x＞-2时，y随x的增大而增大

当时，夕随X的增大而减小

2。2。

【清单04】抛物线的平移

二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化

后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式.

向乎＞。）［或下依。）】平移㈤个单位

向右仇＞0）向右（力＞0）

【或左（加0）］［或左仇＜0）］

平移同个单位平移网个单位

回任起向上go）［或下依0）】平移岗个单位》炉业训斗后

【清单05】二次函数与一元二次方程的关系

1）二次函数产ad+^x+c（分0）,当y=0时，就变成了,一■元二次方程ax2+6x+c=0（存0）.

2）ax2+bx+c=0（存0）的解是抛物线y=ax2+6x+c（存0）的图象与x轴交点的横坐标.

3）（1）炉_4℃＞00方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

（2）〃-4ac=0Q方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

（3）方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.

【清单06】用二次函数的性质解决实际问题

利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围

（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值

【清单07】用二次函数图象解决几何问题

二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相

似、最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的

等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就

是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题

目的

2

盛型需单

【考点题型一】二次函数的概念

【典例1-1】下列函数中属于二次函数的是（）

A.y—3x—1B.y—ax2+bx+cC.y—2x2—1D.y—x2+-

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义.根据形如丫=a/+法+

c（a丰0）的函数叫作二次函数可得答案.

【详解】解：A、y=3x-l是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B、y=ax?+bx+c当a=0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；

C、y=2久2-1是二次函数，故此选项符合题意；

D、y=/+工分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意.

X

故选：C.

【典例1-2】关于x的函数y=（m—l）xm2+1+5是二次函数，则小的值是.

【答案】-1

【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为y=a/+b%+c（aA0）,

a、b、。是常数；根据概念得1力0,m2+1=2,求解即可.

【详解】解：由题意得：m-10,m2+1=2,

解得：m――1：

故答案为：-L

【变式1-1】下列属于二次函数的是（）

A.y=-2x2+3B.y=2xC.y=§D.y=-x+1

【答案】A

【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般地，把形如丫=。/+人+°9M0）其中0,b,c是常数

的函数叫做二次函数.根据二次函数定义逐项判断即可.

【详解】解：A、y=—2/+3,是二次函数，故本选项符合题意；

B、y=2x,是一次函数，故本选项不符合题意；

C、y=L是反比例函数，故本选项不符合题意；

X

3

D、y=-x+1,是一次函数，故本选项不符合题意；

故选：A.

【变式1・2］若y=(m-4)/_5%+3表示歹是x的二次函数，则m的取值范围为.

【答案】mH4

【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于血的不等式是解题的关键.

根据形如、=。%2+5%+4见瓦。为常数，。。0)的函数，叫做二次函数，可得答案.

【详解】解：由题意得，m-4^0,

解得THH4,

故答案为：血。4.

【变式1-3］若y=(m-2)%/一2+3%是关于%的二次函数，则m的值为.

【答案】-2

【分析】本题主要考查了二次函数定义，掌握形如丫=。%2+次+。(服b、。是常数，QW0)的函数叫

做二次函数是解题的关键.

利用二次函数定义可得加2一2=2,且加一2。0,计算出冽的值即可.

【详解】解：:y=(血一2)%7n2-2+3%是关于%的二次函数，

/.m2—2=2,且zn—2W0,解得：m=—2.

故答案为：-2.

【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质

【典例2】对于抛物线y=-2(%—1)2+3,下列判断正确的是()

A.函数最小值是3B.当久＞1时，y随x的增大而增大

C.抛物线的顶点坐标是(-1,3)D.对称轴为直线％=1

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次函数y=a(x-fl?+k的图像和性质，由抛物线y=-2(%-I)2+3可得出

抛物线开口向下，对称轴直线为x=l,顶点坐标为：(1,3),进而可得出函数的最大值为3,且当x〉l

时，y随x的增大而减小，即可判断.

【详解】解：：抛物线丫=一2。—1)2+3,a=—2＜0,

二抛物线开口向下，对称轴直线为％=1,顶点坐标为：(1,3),

・••函数的最大值为3,且当久＞1时，歹随x的增大而减小，

故选：D.

4

【变式2-1］若二次函数y=/+3的图象经过点(―1,%)，(3,m)，则为与力的大小关系为()

A.yt=y2B.>y2C.<y2D.无法确定

【答案】C

【分析】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数丫=d+3的对称轴为y轴，以及开口向上可

知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可.

【详解】解：•••二次函数解析式为：y=/+3,

.。.对称轴为y轴，

，点(T,yD到对称轴的距离小于点(3,%)到对称轴的距离，

=1>0,

yi<y2>故C正确•

故选：C.

【变式2-2］抛物线y=(x-I)2-2的顶点坐标是()

A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)

【答案】B

【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式y=。(>-/1)2+卜9力。)，顶

点坐标为(无水)，即可解答.

【详解】解：抛物线y=0—1)2—2的顶点坐标是(1,—2),

故选：B.

【变式2-3］设4(一5,%)，B(l,y2),。(2,乃)是抛物线V=-G+3上的三点，贝|乃，y2,乃的大

小关系为()

A.y2>73>yiB.yi>y3>y-iC.y3>y2>yiD.y3>yi>y2

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了

二次函数的性质.根据二次函数的性质得到抛物线y=-(x+1)2+3的开口向下，对称轴为直线X=-1,

然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.

【详解】解：••・抛物线y=—(久+1)2+3的开口向下，对称轴为直线％=-1,

'''|—5—(―1)|-6,11—(―1)|=2,|2—(—1)|=3,即6>3>2,

力(-5,月)离直线久=-1的距离最远，点离直线*=-1最近，

•1•y2>y3>yi-

故选：A.

5

【变式2-4】已知关于x的二次函数y=—(x-5)2+1,当2<x<6时，y的取值范围为

【答案】一8<yW1

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质.求得抛物线的对称轴，根据图象

即可得出当％=5,函数有最大值1；当x=2时函数有最小值-8,进而求得它们的范围.

【详解】解：•••抛物线开口向下，对称轴为直线久=5,抛物线顶点坐标为(5,1),

.•.在2<x<6范围内，当x=5,函数有最大值为1；当％=2时函数有最小值：y=-9+1=-8,

故答案为：一8<yW1.

【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识

【典例3】如图，抛物线Ci：y=/—轨的对称轴为直线x=a,将抛物线的向上平移5个单位长度得到

抛物线C2,则图中的两条抛物线、直线x=a与y轴所围成的图形(阴影部分)的面积为.

【答案】10

【分析】本题考查了二次函数的平移，平移的性质，理解图中阴影部分为平行四边形OEFG是解题的关

键.先求出11的顶点坐标，再根据平移的性质求出的的顶点坐标，G的坐标，求出平行四边形OEFG的面

积即可.

【详解】解：•.•抛物线的:y=x2-4x=(x-2,一4,

...对称轴为x=2,顶点为(2,—4)

..•抛物线的向上平移5个单位长度得到抛物线C2，

点坐标为(5,0),F点坐标为(2,1).

故两条抛物线、直线x=a与y轴所围成的图形(阴影部分)的面积为5x2=10.

故答案为：10.

【变式3-1］如图，已知抛物线为=—1必+4,-2<x<2,将为向下平移2个单位长度后得抛物线为，

6

则图中阴影部分的面积s=

【答案】8

【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换.根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积.

【详解】解：根据题意知，图中阴影部分的面积可以转化成平行四边形的面积，故阴影部分面积为：2x

4=8.

故答案为：8.

【变式3-2】如图，抛物线y=1%2—3与久轴交于力，8两点，尸是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的

动点，。是线段AF的中点，连接OD,BF则线段。。的最大值是.

【答案】3

【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运

用三角形中位线定理是本题的关键和难点.

连接PB,根据函数解析式，求B坐标，然后求出BC=5,。是线段AF的中点，。是线段的中点，故BF

是△力BF的中位线，当B、C、F三点共线，且点C在BF之间时，BF最大,即可求解.

【详解】解：连接BC,CF,

7

•・•抛物线y=1%2—3与%轴交于z、B两点,

令y=0即0=1%2—3,

解得%1=-3或%2=3,

.••力(-3,0),8(3,0),

0A=0B=3,

,"(0,4),

0C=4,

BC=V42+32=5,

。是线段4F的中点，。是线段的中点，

故。。是△4BP的中位线，

OD—BF,

2

。。最大，即BF最大，

即B、C、F三点共线，且点C在BF之间时，BF最大,

BFmax-BC+CF=6,

1

ODmax=-BFmax=3,

故答案为：3.

【变式3-3】将抛物线丫=-久2向右平移后，所得新抛物线的顶点是8,新抛物线与原抛物线交于点/(如

图所示)，联接。力、如果△AOB是等边三角形，那么点3的坐标是.

8

【答案】B(2V3,0)

【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，

根据题意得到关于m的方程是解题的关键.由题意设4点坐标为(犯一爪2),根据等边三角形的性质得到

F(2m,0),解出小的值即可得到答案.

【详解】解：•点/在抛物线y=—/上，

二设4点坐标为(叫-m2),

•・•△49B是等边三角形，

二B(2m,0),m=

m=百或m=0(舍)，

.­.B(2V3,0).

故答案为：B(2V3,0).

【变式3-4］如图，在平面直角坐标系中，正方形力BCD的顶点/、8、C的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4).若

抛物线y=ad的图象与正方形48CD有公共点，则a的取值范围是.

【答案】^<a<4

16

【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经

过两个特殊点时的a的值即可解决问题.

【详解】解：：正方形A8CD的顶点/、B、C的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4).

/.£)(4,1),

当抛物线经过点8(1,4)时，贝必=4,

当抛物线经过D(4,l)时,a=2,

16

观察图象可知，抛物线y=a/的图象与正方形ABCD有公共点，则。的取值范围是2WaW4,

故答案为：a<4.

16

9

【考点题型四】二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

【典例4］已知二次函数y=一支+1,则下列关于该函数的结论正确的是()

A.顶点坐标为B.函数的最大值为高

C.当xWl时，y随x的增大而减小D.若1<久1<%2，则为<了2

【答案】D

【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质.先利用配

方法得到y=2(x-i)2+p可根据二次函数的性质进行判断.

【详解】解：y=2/-比+1=2(x-?+看，

••・抛物线顶点坐标为G3),

••・抛物线的开口向上，顶点坐标为Gi),函数的最小值为(抛物线的对称轴为直线x=1,

二当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，

二若1</<冷，则当<九，

二选项A,B,C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意，

故选：D

【变式4-1】下列关于二次函数y=—3(x+l)(x—2)的图象和性质的叙述中，正确的是()

A.点(0,2)在函数图象上B.开口方向向上

C.对称轴是直线x=1D.与直线y=3x有两个交点

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.求出x=0

时，y的值即可判断选项A；根据-3<0即可判断选项B；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选

项C；联立二次函数与直线y=3x可得一个关于x的一元二次方程，由此即可判断选项D.

【详解】解：当％=0时，y=-3x1x(-2)=6,

则点(0,2)不在函数图象上，选项A错误；

V-3<0,

抛物线的开口方向向下，选项B错误；

y=-30+1)(久-2)=—3卜一丁+9，

则对称轴是直线％=号选项c错误；

10

联立/=—3（%+?（%—2）,得d_2=o,

（.y=3x

解得x=±VX

则与直线y=3x有两个交点，选项D正确；

故选：D.

【变式4-2】已知二次函数y=-+27nx+4（m>0）经过点力（一2/1）,点B（l,y2），点。（3,丫3），那么

yi，y2»乃的大小关系为（）

A.yi<y2<y3B.yi<y3<y-iC.y2<ys<7iD.乃<乃<为

【答案】B

【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小

等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌

握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键.

【详解】解：由二次函数y=-m久2+2小久+4（m>0）可知抛物线开口向下，对称轴为*=-二詈=1,

—2m.

••・抛物线上点到对称轴距离越近，函数值y越大，

•.•二次函数y=-机久2+27nx+4（巾>0）经过点力（-2,丫1）,点2（1,乃），点C（3,y3），

三个点4、B、C到对称轴的距离为3、0、2,

为<为<为，

故选：B.

【变式4-3】二次函数丫=。d+支一6的图象与x轴交于4（-3,0）、3两点，下列说法正确的是（）

A.它的对称轴为直线x=lB.顶点坐标为（-最-6）

C.点8的坐标为（2,0）D.当尤<一1时，y随x的增大而增大

【答案】C

【分析】

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点.待定系数法求得

二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：•・,二次函数y=a/+%一6的图象与x轴交于4（一3,0）,

A9a-3-6=0,解得：a=1,

・,.二次函数解析式为y=%2+%-6,

*.*y=%2+x—6=+0—F，

11

二次函数图象的对称轴为直线％=-9,顶点坐标为(-3-号)，

故A,B选项不正确，不符合题意；

•：a=1>0,

抛物线开口向上,

.,.当X<-1时，y随x的增大而减小,

故D选项不正确，不符合题意；

当y=0时，x2+x-6=0,

解得：久1=-3,乂2=2,

.•.点8的坐标为(2,0),

故C选项正确，符合题意；

故选：C.

【变式4-4］抛物线y=a/+bx+c(a40),y与X的部分对应值如表所示，下列说法错误是()

A.开口向下

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性、增减性以及二次函数的顶点坐标.

根据图表信息判断出抛物线的开口向下对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4),再根据抛物线的对称性

解答.

【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4),

•.•久=1时，y=4最大，

抛物线开口向下，当x<l时，y随支的增大而增大，

当x=3与％=-1时，y值相等，

•­,x――2时，y—5,

；.%=爪=4时，y=—5.

故选项A、B、D正确，选项C错误，

故选：C.

【考点题型五】二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题

12

【典例5］已知二次函数y=/—2ax+a2—1,当—1WxW2时，函数的最大值与最小值的差为3,则

a的值为()

A.1或0B.1或2-百C.2-百或百一1D.0或百一1

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性

质解答.

根据二次函数y=/—2ax+a2-1,可以得到该函数的对称轴，再根据当—时，函数的最大

值与最小值的差为3和二次函数的性质，分类讨论列出方程，然后求解即可.

【详解】解：二次函数y-x2-2ax+a2-1-(<x-a)2-1,

该函数的对称轴为直线刀=a,函数的最小值为-1,

•••函数的最大值与最小值的差为3,

...函数的最大值为2,

•.•当—1WxW2时，函数的最大值与最小值的差为3,

=ici—(-1)>2—a,即a>［时，x=-1时，y=2,

(-1)?+2a+a?-1=2,

解得的=百—1,a2――V3—1(舍去)，

当a—(—1)<2—a,即(1<断寸，x=2时，y=2,

22—4a+a2—1=2,

解得的=2+b(舍去)，a2—2—V3,

故选：C.

【变式5-1】已知二次函数y=/-b久+1,当一gw比W决寸，函数y有最小值1，则6的值为()

A.一/或日B.一日或|C.±V2D.一/或一日

【答案】A

【分析】本题考查二次函数的性质.熟练掌握根据二次函数的最值求系数值是解题的关键.

分三种情况：当时，即一3<b<l时，当时，函数有最小值/当拉断寸，即b>l时,

当x/时，函数有最小值?；当*一瓶寸，即6<-3时，当％=-|时，函数有最小值去分别求解即可.

【详解】解：=久2一6久+1=(X一§+1-\

13

又・・,当一日三%时，函数y有最小值也

.•.当W.时，即一3<匕<1时，当％=-割寸，函数有最小值g

2

.1b1

解得：b=土近,

•7

:D--

-

b1

当V2

>叱

---

22即b>l时，当x=g时，函数有最小值去

"(I)-1h+1=P

解得：力=|；

当?《一日时，即人4―3时，当、=—|时，函数有最小值%

•••(一丁+|6+]=$

解得：b=~(舍去)，

综上，当—|<xW现寸，函数y有最小值提6的值为—鱼或1.

故选：A.

【变式5-1]已知二次函数y=一4m%+1,其中租>0.若当04%44时，对应的y的整数值有6

个，则加的取值范围为()

1355353

A.-<m<-B.1<m<-C.-<m<-D.-<m<-

2444242

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟

练掌握二次函数的性质是解题的关键；

由y=m(x2—4x+4)—4m+1=m(x—2)2—4m+1,可知函数的最小值为1—4m,当0W久W4时,

最大值为1，对应的y的整数值有6个，则一5<1-4,解得即可.

【详解】丫y=mx2—4mx+1

•t•y=m(x2—4%+4)—4m+1,

2

y=m(x—2)—4m+1,

・•・抛物线的顶点坐标为(2,1-4m),

・,•当％=0或%=4时，y=1,

14

・・・当％=2时，y有最小值为1-4m,

m>0,

...当。《尤W4时，y的最大值为1,

•••m>0,当0WxW4时，对应的y的整数值有6个，

;这6个整数值为：1、0、一1、一2、一3、-4,

•••—5<1—4m<—4

解得：1<m<|

4Z

故选：D

【变式5-2】已知抛物线y=Y+(2a—l)x-3,若当一时，函数的最大值为1,则。的值

为.

［答案］-1或-或-1

【分析】本题考查了二次函数的最值问题，解题关键是根据二次函数的性质，分类讨论.先求出二次函

数的对称轴为直线久=-号，然后根据二次函数的增减性并结合-1W久W3,分类讨论解答即可.

【详解】解：•.•二次函数y=d+(2a—l)x—3,

...二次函数的对称轴为直线万=-等，

①当一笥1>3,即,时，此时二次函数在-1WxW3上y随x的增大而减小，在x=—l取最大值,

即1一(2a—1)—3=1,解得a=—1,与a<—|'不符；

②匚y—<—V—3即—gWa<—那寸，此时久—1离二次函数对称轴更远，

二次函数在x=-1取最大值，即1—(2a-1)一3=1,解得a=-1；

③当—1<—1<-1!|〕—<<2<瓶寸,此时X=3曷二次函数对称轴更远，

二次函数在x=3取最大值，即9+3(2a—l)—3=1,解得a=—1；

④当—等〈—1即。>|时，此时二次函数在—1<x<3上了随x的增大而增大，在乂=3取最大值，9+

3(2a—l)—3=l,解得a=-：与a2弓不符.

综上，a的值为—1或—

故答案：—1或—

15

【考点题型六】根据二次函数y=ax?+bx+c的图像判断有关的信息

【典例6】二次函数y=a/+6%+以。70）的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；

③加为任意实数，则a+bWm（即1+b）；@a—b+c>0；⑤若a蜉+bx1=ax；+bx2，且勺力盯，则

%1+x2=2.其中正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系.根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进

行判断，是解题的关键.

①根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判

断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断.

【详解】解：•••抛物线开口向上，则a>0，

:对称轴为直线％=-?=1,则6=-2a<0,

2a

/.2a+/）=0,故②正确

抛物线与y轴交于负半轴，则cvo,

：.abc>0,故①错误；

・・・当第=1时，取得小值，

a+6+c<am2+bm+c,

当冽为任意实数，则a+b<7n（aTH+b）,故③正确，

④・・•抛物线关于1=1对称，

/.%=-1和％=3的函数值相同，

即：a—b+c=9a2+3/）+c,

由图象知，当％=3时，函数值大于0,

・，.a—b+c>0,故④正确；

16

⑤当第1，%2关于X=1对称时：即：+%2=2%=2时，

%1，第2对应的函数值相同，

222

即：ax^+bxr+c=ax2+bx+c,

222

axr+bxr=ax2+bx2

2212，+%2=

+bxr=ax2+bx,且%。％则小2；故⑤正确；

综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，

故选：C.

【变式6-1］在平面直角坐标系中，二次函数丫=a%2+b%+c（aW0）的图象如图所示，现给以下结论：

①abcVO；②c+2a<0；③9。-3b+c=0；@4ac—b2>0；⑤a—b>mQam+b）（m为任意实数）.其

中错误结论的个数有（）

X=-\

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可.由抛物线的开口方向判

断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行

推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①由抛物线可知：a>0,c<0

对称轴久=一?<0,

2a

b>0,

•••abc<0,故①正确；

②由对称轴可知：一?=一1,

2a

•••b—2a,

••・y=ax2+2ax+c,

17

・・・抛物线过点（1,0）,

••・a+2。+c=0,

•<-c+2a=-a<0,故②正确；

③（1,0）关于％=-1的对称点为（一3,0）,

.•.%=-3时，y=9a-3b+c=0,故③正确;

④抛物线与久轴有两个交点，

A>0,

即提—4ac>0,

4ac-b2<0,故④错误；

⑤当久=-1时，y的最小值为a-b+c,

/.%=TH时，y=am2+bm+c,

/.am2+bm+c>a—b+c,

即a-b<m（am+b）,故⑤错误；

故错误的有：④⑤.

故选：B.

【变式6-2］如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线丫=。必+匕％+c过（-1,一4）,则下列结论：①abcVO；

②对于任意的K，均有曲浓+力6+。+6>0；@—5a+c=—4；④若a/++。之一4,则无之一1；

⑤a〈/其中正确的个数为（）

A.2B.3

【答案】B

【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解

题的关键.根据开口方向，对称轴，与y轴的交点，即可判断a,瓦c的符号，即可判断①，根据顶点坐标

求得最值，即可判断②，把（一1,一4）代入y=ax2+bx+c,得a—h+c=a—6a+c=—5a+c=-4,

故③正确，由（―1,—4）关于直线第=—3对称的点为（—5,—4）,进而得若a/+b%+。>—4,则%>—1

或久<-5,故④错误；由抛物线y=ax2+b%+c的顶点为（一3,-6）,b=6a,得c=9a-6,再由一5a+

18

c=-4,得a=1vg，故⑤正确.

【详解】解：♦・・抛物线开口向上，

a>0,

•对称轴为直线第=—3=—?<0,

2a

/.b>0,b=6a,

•・,抛物线与y轴交于负半轴，

c<0,

abc<0,故①正确；

•・,抛物线的顶点坐标为（-3,-6）,即％=-3时，函数有最小值，

•••ax2+fax+c>—6,

・••对于任意的第，均有曲*+万7n+。+6之0,故②错误；

:抛物线y=ax2+b%+c过（一1,一4）,

•*.CL-b+c=CL—6a+c——5a+c——4,故③正确；

・・•抛物线y=ax2+b%+c过（-1,一4）,（―1,一4）关于直线X=-3对称的点为（-5,-4）,

・••若a/+b%+。之一%则久之一1或工工一5,故④错误；

:抛物线y=ax2+b%+c的顶点为（一3,-6）,b=6a,

,4ac—b24ac—36a2八,

・・-----=-----------=c—9a=-6,

4a4a

c=9a—6,

,•*—5a+c=-4,

・'・-5a+9a—6=-4,

解得a=[</故⑤正确.

正确的个数为3.

故选：B.

【变式6-3]如图，已知二次函数y=a/+6%+c（a40）的图象与%轴交于点4（一1,0）,与y轴的交点在

（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点）,对称轴为直线x=1,下列结论:①4a+2b+c>0；@4ac-b2<

8a；<a<I；@b>c；其中正确结论的个数有（）

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A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax?+bx+c(a丰0)系数符号由抛物线

开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定.利用数形结合的思想是解题的关键.根据对称轴及

抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①：图象与x轴交于点4(—1,0),对称轴为直线久=1,

图象与x轴的另一个交点为(3,0),

/.当x=2时，y<0,

.,.4a+2b+c<0,故①错误；

②；函数开口方向向上，

a>0,

:抛物线与y轴交点在(0,-2)和(0,-1)之间，对称轴为直线％=1,

顶点纵坐标要小于-1,

二竺*<-1,且a>0,

4a

/.4ac—b2<—4a<8a,故②正确；

③：图象与y轴的交点在(0,-2)和(0,—1)之间，

—2VcV—1,

,/图象与X轴交于点4(—1,0)和(3,0),

ax2+bx+c=0的两根为一1和3,

由韦达定理可知：£=—1x3,

a

••c—3a,

—2V—3aV—1,

.*.i<a<-|,故③正确；

④・・,对称轴为直线为％=-?=1，

2a

20

・・b=—2a,

•CL>0,c=3a,

：.b>c,故④正确.

综上所述，正确的有②③④，

故选：C.

【变式6-4】如图，二次函数丫=a/+6%+c的图象与〉轴正半轴相交，其顶点坐标为(fl),下列结论:

①abc<0；②抉—4ac>0；③a+b+c<0；@a+b=0；⑤4ac—b2=4a.其中正确的个数是()

斗

lr—

O\1\x

2\

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键.根据二次函

数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性.

【详解】解：・・•抛物线开口向下，

a<0,

•.•抛物线的对称轴为直线X="=：,

2a2

/.b=—a>0,

:抛物线与y轴的交点在x轴上方，

c>0,

abc<0,所以①正确；

•・•抛物线与K轴有2个交点，

=b2-4ac>0,所以②正确；

:抛物线的对称轴为x=g,

/.X=0和X=1对应的函数值相等，

.,・久=1时，y>0,即a+b+c>0,所以③错误

*.*b=­a,

21

a+fa=0,所以④正确；

•・•顶点坐标纵坐标为1,

・4ac-b2_1

••=_L,

4a

.'.4ac-b2-4a,所以⑤正确.

故选：D.

【考点题型七】二次函数的平移变换

【典例7】将抛物线y=d向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后，得到的抛物线的解析

式为()

A.y=(%+5)2+2B.y—(x-5)2+2

C.y=(x+5)2-2D.y=(%-5)2-2

【答案】A

【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律.根

据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；

【详解】解：将抛物线y=d向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后可得：y=(久+5)2+2,

故选：A.

【变式7-1】将抛物线y=3/先向右平移2个单位长度，再向上平移I个单位长度，所得抛物线的解析

式是()

A.y=3(x+l)2+2B.y=3(x—l)2+2

C.y=3Q—2/+1D.y=3(x-2)2-1

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键.

根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可.

【详解】将抛物线y=3/先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是

y=3(%—2)2+1.

故选C.

【变式7-2】要得到二次函数y=-(x-2)2+1的图象，需将y=-久2的图象()

A.向左平移2个单位，再向下平移1个单位

B.向右平移2个单位，再向上平移1个单位

22

C.向左平移1个单位，再向上平移2个单位

D.向右平移1个单位，再向下平移2个单位

【答案】B

【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键.

根据函数图象平移的法则解答即可.

【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律：

二次函数y=-好的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y=-(%-2)2+1

的图象.

故选：B.

【变式7-3］在平面直角坐标系中，将抛物线y=/+i先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位

长度，得到的新的抛物线的函数解析式为()

A.y=(x-3)2—1B.y=(x+3)2+3

C.y=(x+3)2-1D.y=Q-3)2+3

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律

求函数解析式.根据图象的平移规律，可得答案.

【详解】解：将抛物线y=壮+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛

物线的函数解析式为y=(久一3