二次函数的图像与性质-2025年中考数学一轮复习（解析版）

第三章函数

第13讲二次函数的图像与性质

（思维导图+4考点+3命题点19种题型（含3种解题技巧））

01考情透视•目标导航•►题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围

02知识导图•思维引航•►题型09二次函数的最值问题

03考点突破•考法探究＞题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围

考点一二次函数的相关概念＞题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范

考点二二次函数的图像与性质围

考点三二次函数与各项系数之间的关系＞题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围

考点四二次函数与方程,不等式求函数值/自变量的取值范围

04题型精研•考向洞悉命题点二二次函数的图像与各项系数之间

命题点一二次函数的图像与性质的关系

•►题型01根据二次函数解析式判断其性质»题型01二次函数的图像与各项系数符号

•►题型02根据二次函数的图像与性质求解＞题型02根据二次函数的图像判断式子符号

»题型03求二次函数解析式＞题型03函数图像综合

»题型04画二次函数v=ax1+bx+c的图像命题点三二次函数与方程、不等式

•►题型05以开放性试题的形式考直二次函数的图•►题型01已知一元二次方程根的分布情况求参数

像与性质»题型02二次函数与坐标系交点问题

＞题型06二次函数的平移变换问题•►题型03二次函数与方程、不等式

＞题型07二次函数的对称变换问题＞题型04二次函数与三角形相结合的应用方法

考情透视•目标导航

中考考点考老频率新课标要求

二次函数的图像对称性与增减性★★

二次函数图像的有关判断★★能画二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质，

知道二次函数系数与图像形状和对称轴的关系；

二次函数的图像变换★★

会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量

二次函数的图像与系数★★★的值

二次函数解析式的确定★★★

二次函数与方程结合★

知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次

函数的图像求一元二次方程的近似解.

二次函数与不等式结合★

【考情分析1］二次函数是初中阶段的重点内容、难点内容，也是中考的必考内容，对于二次函数图像和性

质的简单考查常以非解答题的形式出现，经常考查二次函数的对称性、增减性与其解析式中的二次项系数、

一次项系数及常数项之间的关系.

【考情分析2］二次函数与方程，不等式主要考查二次函数与一次函数结合，考查图像交点个数与函数各项

系数间的关系，试题形式多样，难度一般，单独命题较少，一般都是问题中的某一部分，，其中函数图像与

X轴的交点个数与对应的一元二次方程有关，相应不等式也可依靠函数图像求解.

【备考建议】二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数

学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.出题形式多样，考

生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.

知识导图•思维引航

二^项系数

强形如y=ax-+bx+c一次项系数

砺顶点式y=a(x-/Q/方顶点坐标(h,k)

理解问题，确定变量与常量

交点式片。(xl)(x・c)b,c是抛物线与港交点的横颊

用缄关系式表示它们之间的关系

强方法

利用二次函数的性质进行求弊

检验结果的合理性应用

利润最值问题

最值问题

图形最值问题开口向上

解决卖乐问题

对称轴左侧随的大而减小

抛物线型问题二a>0yxig

增减性

次对称轴右侧y随x的增大而增大

b=ab函最值有最小值

匕跳，开口迪人

［左同右异中间0b>02a数

在斓右侧ab<0的

学海§导

图

平移前后的解析式，a的值不变

-----------------------------------------1图像特征像开口向下

平移前后的图像，其形状大4曲同，只是位置不同|------------

图像平移

与a<0对称轴左侧y随x的增大而增大

百口右减目涯，tb口下减常蜩平移后弼式的版增减性-----------------------------

性对称轴右侧y随x的增大而减下

质

最值有最大值

遗漏“二次项系数不为0"这个隐含条件

易将y=a(x-〃),左1|历的付号弄错

学习误区待定系数法

举的对称轴左、右两侧的增减性相反求函数解折式।

----------------------1步骤设、列、解、代、写

b~~4ac

友1忌写成一—

表。产公+bx+c

函数-有两个交点\与魂相交

与崛交点』二°有一佗点与崛相切

函数与方程

考点突破•考法探究

考点一二次函数的相关概念

二次函数的定义：一般地，形如)=加+法+。(aWO,其中a,b,c是常数)的函数叫做二次函数.其中,

X是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

二次函数的一般式：y^ax2+bx+c(a=0,其中a,b,c是常数).

二次函数的3种特殊形式：1)当b=0时，y=cuC+c(a^Q)

2)当c=0时，y=cuC+/?x(a^O)

3)当b=0且c=0时，y=ax2(a0)

二次函数的常见表达式:

名称解析式前提条件相互联系

一般y=ax1+Zzx+c（aw0）当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标1)以上三种表达式是二

式时,常用一般式求其表达式.次函数的常见表达式，

它们之间可以互相转

顶点y=+左当已知抛物线的顶点坐标(h,k)或对称轴

化.

式或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达

（awO,a,h,女为常数）一般式化为顶点式，

式.2)

交点式，主要运用配方

交点当已知抛物线与X轴的两个交点坐标

y=w。）法，因式分解等方法.

式(%,0),(42,0)时，常用交点式求其表达式.

针对训练

1.(2024・上海宝山•三模)下列函数中是二次函数的是()

A.y—B.y—(x+3)2—x2

C.y—Vx2+2x—1D.y=x(x—1)

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握.整理后根据二次函数的

定义和条件判断即可.

【详解】A.y=2是反比例函数，不符合题意；

JX2

B.y=(%+3)2-%2=6%+9,是一次函数，不符合题意；

C.y=Vx2+2x-l,右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；

D.y=%(%-1)=x2-%是二次函数，符合题意

故选：D.

2.(2023•北京•模拟预测)线段力B=5,动点尸以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至

点B,以线段4P为边作正方形2PCD,线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为3正方形4PCD周长为y,

OB的面积为S,则y与3S与/满足的函数关系分别是()

A.正比例函数关系，反比例函数关系B.一次函数关系，二次函数关系

C.正比例函数关系，二次函数关系D.一次函数关系，反比例函数关系

【答案】C

【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型.

【详解】解：由题意，得

y=4t,属于正比例函数关系，

S=?r(5-t)2,属于二次函数关系，

故选：C.

【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

3.(2024•山东荷泽・一模)若二次函数y=(m+2)/—my+爪2-27n—8经过原点，则m的值为()

A.-2B.4C.一2或4D.无法确定

【答案】B

【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0,

这是容易出错的地方.

由题意二次函数的解析式为：y=(m+2)x2—mx+m2—2m-8知m+2彳0,则m丰—2,再根据二次函

数y=(m+2)/一Tn%+爪2-27n一8的图象经过原点，把(0,0)代入二次函数，解出m的值.

22

【详解】解：T二次函数的解析式为：y=(m+2)x-mx+m-2m-8,

■•■m+2力0,

771H—2,

・•,二次函数y—(jn+2)x2—mx+m2—2m—8的图象经过原点,

m2—2m—8=0,

m-4或-2,

■■m丰—2,

.・.m=4.

故选：B.

4.(2023・四川南充•一模)点P(a,9)在函数y=4x2-3的图象上，则代数式(2a+3)(2a-3)的值等于.

【答案】3

【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出4a2=12,将其代入(2a+3)(2a—3)=4a2-9中即可

求出结论.

【详解】解：：点P(a,9)在函数y=4x2-3的图象上,

9=4a2-3,

4a2=12,

则代数式(2a+3)(2a-3)=4a2-9=12-9=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题

的关键.

考点二二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质

二次函娄i的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对

图像特征

称轴与规1物线的交点叫做抛物线的顶点.

222

基本形式二axy=ax+ky=a^x-h^y=a^x-hf+ky=ax+bx+c

y二

丫/

/h>0,k>0

a>0z

L——

AI——h<0,k<0x

图

像y

\h<0,k>0

___>oX

h>

a<0/I7h</\0/^\hX),k<0

b

对称轴y轴y轴x=hx=hx----

2a

2

顶点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)(b4ac-b^

2a4a

a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；

最

a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.

值

【小结】二次函数最小值（或最大值）为。（k或.厂）.

a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.

增

a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.

减

性抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是

易错

不对的，必须附加一定的自变量X取值范围.

二、二次函数的图象变换

1）二次函数的平移变换

平移方式（n>0）一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀

左加

向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减

向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n个单位y=ax2+bx+c~ny=a(x-h)2+k-n下减

补充：

①二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，

且与平移方向有关.

②根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.

③涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x-/?）2+Z的形式，因为二次函数平移遵循“上

加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.

④求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.

⑤对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.

2）二次函数图象的对称变换

变换方式变换后口诀

关于X轴对称-y=ax2+/zx+cny=-ax2-bx-cx不变，y变-y

关于y轴对称y=a[—x^+b(-x)+cny=ax2-bx+cy不变，x变-x

关于原点对称2x变-x,y变-y

=a(-x)2+._%)+0=>y__ax

针对训练

1.（2024.广东.中考真题）若点（0,yJ（1,乃），（2,乃）都在二次函数y的图象上，贝U（）

A.y3>y2>7iB.y2>yr>y3C.yi>y3>y2D.y3>yi>y2

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解

析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线久=0）,图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，

再比较即可.

【详解】解：二次函数丫=/的对称轴为y轴，开口向上，

.•.当x>0时，y随x的增大而增大，

•••点（0,%）,（1,及）,（2,。3）都在二次函数丫='的图象上,且0<1<2,

；.乃>y2>yi>

故选:A.

2.（2024.内蒙古包头.中考真题）将抛物线y=/+2%向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）

A.y=（%+I）2—3B.y=（x+I）2—2C.y—[x—l）2—3D.y=（x—l）2—2

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减.左加右减”可得出平移后

的抛物线为y=x2+2%-2,再把y=%2+2x-2化为顶点式即可.

【详解】解：抛物线y=/+2x向下平移2个单位后，

则抛物线变为y=%2+2%-2,

■■-y-x2+2x-2化成顶点式则为y-（x+I）2-3,

故选：A.

3.(2024・四川乐山・中考真题)己知二次函数y=%?一2%(一1w%wt-1),当％=-1时，函数取得最大值；

当％=1时，函数取得最小值，贝心的取值范围是()

A.0<t<2B.0<t<4C.2<t<4D.t>2

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识.熟练掌握二次函数的图象与性质是

解题的关键.

由y=M-2x=(x-1尸一1,可知图象开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-1),当x=-1

时，y=3,即(一1,3)关于对称轴对称的点坐标为(3,3),由当x=-l时，函数取得最大值；当x=l时,

函数取得最小值，可得lWt-lW3,计算求解，然后作答即可.

【详解】解：0=x2-2x=(%-I)2-1,

图象开口向上，对称轴为直线x=L顶点坐标为(1,-1),

当x=-1时，y=3,

・••(-1,3)关于对称轴对称的点坐标为(3,3),

・••当x=-1时，函数取得最大值；当％=1时，函数取得最小值，

•••1<t-1<3,

解得，2WtW4,

故选：C.

4.(2023・湖南娄底•中考真题)如图，抛物线y=a/+6x+c与x轴相交于点4(1,0)、点B(3,0),与y轴相

交于点C,点。在抛物线上，当CD||x轴时，CD=.

【分析】与抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点4(1,0)、点8(3,0),可得抛物线的对称轴为直线x=詈=2,

由CDIIx轴，可得C,D关于直线x=2对称，可得。(4,c),从而可得答案.

【详解】解：1抛物线丫=。%2+匕％+(7与冗轴相交于点/(1,0)、点8(3,0),

・•・抛物线的对称轴为直线式=詈=2,

•・•当％=0时，y=c,即C(0,c),

'-'CD||%轴，

•••C,。关于直线％=2对称，

•必4,c),

工CD=4-0=4；

故答案为：4

【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键.

6.(2024・辽宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6%+3与x与相交于点4,B,点B的

坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上，则力B的长为.

【答案】4

【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是

解题的关键.先利用待定系数法求得抛物线y=-x2+2x+3,再令y=0,得0=-/+2x+3,解得x=-1

或x=3,从而即可得解.

【详解】解：把点B(3,0),点C(2,3)代入抛物线y=ax2+bx+3得，

r0=9a+3b+3

(3=4。+2b+3'

解得c,

.•・抛物线y=-x2+2%+3,

令y=0,得0=—x2+2%+3,

解得％=—1或%=3,

.'.AB=3-(-1)=4；

故答案为：4.

考点三二次函数与各项系数之间的关系

①二次函数y=依?+Z?x+c（a/0）的图像与a,b,c的关系

字母字母的符号图像特征备注

aa>0开口向上a的正负决定开口方向，

a的大小决定开口的大小（|a|越

a<0开口向下

大，开口越小）.

b=0对称轴是y轴，即—餐二0

2a

b左同右异中间0

a,b同号对称轴在y轴左侧，即

2a

a,b异号对称轴在y轴右侧，即-2>0

2a

c二0图像过原点

cc>0与y轴正半轴相交c决定了抛物线与y轴交点的位

置.

c<0与y轴负半轴相交

b2-4ac>0与X轴有两个交点

b1-4acb1—4ac的正负决定抛物线与x

b1-4〃c=0与尤轴有唯一交点

轴交点个数

1与X轴没有交点

b-4QC<0

【补充】

1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；

2）由a的符号与对称轴x=-?的位置共同确定b的符号；

【小技巧】通过给X赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.

针对训练

1.（2024•内蒙古・中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=a久一6（a40）和y=?（c40）的图象大致

如图所示，则函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象大致为（）

【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键.先

根据一次函数与反比例函数的图象可得Q<0,bVO,O0,再根据二次函数的图象特点即可得.

【详解】解：,:一次函数y=ax-b（aH0）的图象经过第一、二、四象限,

•''a<0,—b>0,即a<0,b<0,

・••反比例函数y=?（c丰0）的图象位于第二、四象限,

•••—c<0,即c>0,

・,・函数y=a/+bx+c（a。0）的开口向下，与y轴的交点位于y轴的正半轴，对称轴为直线％V0,

故选：D.

2.（2024.山东东营.中考真题）已知抛物线、=。%2+61+。（。。0）的图像如图所示，则下列结论正确的是

()

B.a-b=0

C.3a—c=0D.am2+bm<a—为任意实数)

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的

关键；

由图象可知：a<0,O0,根据抛物线的与工轴的交点可求对称轴，根据对称轴及〃与b的符号关系可得

h=2a<0,则可判断选项A、B、C,由当％=-1时，函数有最大值，可判断选项D.

【详解】解：A、•・・抛物线开口往下，

•••a<0,

••,抛物线与y轴交于正半轴，

•••c>0

•・・抛物线的与x轴的交点是：（一3,0）和（1,0）

・•・对称轴为久=-1,

b4

——1,

2a

6=2a<0,

・•.abc>0,故选项A错误.

'­'b=2a,

・・.2a—b=0,故选项B错误（否则可得a=0,不合题意）.

a<0,c>0,

.•-3a-c<0,故选项C错误.

•・・抛物线的对称轴为直线%=-1,且开口向下，

.•・当％=-1时，函数值最大为y=a-h+c,

•••当％=zn时，y=am2+bm+c,

••・am2+bm+c<a—b+c,

・•.am2+bm<a—b,故选项D正确.

故选：D.

3.（2024.四川遂宁.中考真题）如图，已知抛物线y=a/+人工+c（〃、仄。为常数，且的对称轴

为直线X=-1,且该抛物线与久轴交于点4（1,0）,与y轴的交点B在（0,-2）,（0,-3）之间（不含端点），则下

列结论正确的有多少个（）斗

@abc>0；\v=_|；/

②9a—36+c20；\!）1/r

④若方程a/+匕％+c=%+1两根为m,几（771<n）,则—3<4乂♦m<1<n.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得a>0,b=2a〉0,-3<c<-2,即

可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为(-3,0),即可判断②错误；将c和6用。表示，

即可得到一3<-3。<-2,即可判断③正确；结合抛物线丫=。/+法+。和直线37=乂+1与％轴得交点,

即可判断④正确.

【详解】解：由图可知a>0,

,•・抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线%=-1,且该抛物线与x轴交于点4(1,0),

・•・%=——=—1,a+b+c=0,

2a

则b=2a>0,

••・抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点B在(0,-2),(0,—3)之间，

—3VcV—2,

则就c<0,故①错误；

设抛物线与久轴另一个交点(%,0),

•・•对称轴为直线第=-1,且该抛物线与％轴交于点4(1,0),

•'•1—(-1)=-1-%,解得％=—3,

贝119a—3b+c=0,故②)错误；

,•,—3<c<-2,a+b+c=0,6=2a>0,

3V—3ciV—2,解得三VaV1,故③)正确；

根据抛物线y=ax2+bx+c与％轴交于点4(1,0)和(一3,0),直线y=%+1过点(一1,0)和(0,1),如图，

方程a/++。=%+1两根为加几满足—3<m<1<n,故④正确;

故选：B.

4.(2023・四川•中考真题)已知抛物线y=a/++。(a,4c是常数且aVO)过(-1,0)和(m,0)两点,

且3Vzn<4,下列四个结论：@abc>0；@3a+c>0；③若抛物线过点(1,4),则一1<。<一|；④关

于％的方程以％+1)(%-m)=3有实数根，则其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】由抛物线过(—1,0)和(皿0)两点得到对称轴为直线X=—2="匚，且3(爪<4,a<0所以得到

2a2

1<一2<进而判断abc的符号，得到abcVO,3a+c>0；抛物线过点(一1,0)和(1,4),代入可得a-b+