第3章 圆 单元检测能力提升卷（含解析）

第3章圆单元检测能力提升卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.如图，△ABC的顶点A、B、C均在。。上，若/ABC=25°,则/AOC的大小是（）

A.25°B.50°C.65°D.75°

2.下列说法中正确的是（）

A.所对圆心角相等的两条弧是等弧

B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

3.如图，A、B、C、。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心，若,则这个正多边形

的边数为（）

A

A.10B.11C.12D.13

4.如图，△ABC中，ZA=50°,以AB为直径的（DO分别与8C,AC交于点。，E,且BD=C。，连接

BE,DE,则/BE。的大小为（）

A.25°B.30°C.35°D.50°

5.如图，点A在O。上，。。_1弦3c于点。.若/54C=45°,OD=1,则BC=（）

A.V2B.2V2C.2D.M

6.如图，AB.CD是OO的两条直径，点E是弧2。的中点,连接AC、BE,若NACD=20°,JUilZABE

C.50°D.55°

7.如图，在。。中，弦A8〃CQ,OPLCD,OM=MN,AB=20,CD=16,则。。的半径为（）

A.4aB.4A/7C.475D.8A/2

8.如图，AABC内接于O。,AC为直径，半径OO〃BC,连接OB,AD.若NA08=a,则/BA。的度

数为（）

A.B.900C.90。——D.1800

9.如图，四边形ABC。内接于oo,AE_LC8交CB的延长线于点E,若8A平分AD=6,CE=4,

则AE的长为（）

A

E

c.2V3D.2V5

10.如图在给定的O。中，弦AB的弦心距。H=6,CD^16,点E在弦CD上，且OE=E£>=5,当△EA8

面积的为最大时，0H的长为（）

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为.

12.在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,8c=8,则这个三角形的外接圆的直径是

13.如图，在半径为10。根的。。中，AB=16cm,0C_LA8于点C,则0c等于cm.

14.半径为3的正六边形内接于OO,则正六边形的边长为.

15.如图，等腰△ABC内接于O。，A3=AC,点。为劣弧上一点，NADC=60°,若CD=2BD=4,

则四边形ABDC的面积为.

16.如图，在半圆。中，直径AB=8,C,。是半圆上两点，尸是直径上一点，若NAOC=48°,ZA0D

=72°,则PC+P。的最小值为

18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第

23、24题每题12分，共72分)

17.如图，。。的弦AB,CD相交于点E,且AB=CD,求证：EB=ED.

18.如图，在平面直角坐标系中，ZVIBC的三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-3,0),C(-1,0),

把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△421C.(每个方格的边长均为1个单位)

(1)画出△481C并直接写出:

Ai的坐标为

Bi的坐标为

(2)判断直线与直线481的位置关系为

19.如图，△ABC是。。的内接三角形，是O。的直径，ZABC=60°.

(1)求/CA。的度数;

(2)若。。的半径为1,求图中阴影部分的面积.

D

C

20.如图，。。的直径A8垂直于弦CD,垂足为E,AE=2,CD=8.

(1)求O。的半径长；

(2)连接BC,作OP_L8C于点八求。尸的长.

21.如图，四边形A3C。内接于一圆，连结AC、BD.

(1)若/D48=60。，ZACB=70°,求/A3。的度数.

(2)若AC为直径，C为俞的中点，请探究ND4B与/ACB之间的关系.

D

22.如图，在半圆。中，直径AB=6,点C在篇上，连接8C,弦8。平分/ABC,连接。Z).

(1)求证：OD〃BC；

(2)连接。C,AD.OC//AD,求8。的长.

23.在△ABC中，AB^AC,以AB为直径作O。，交BC于点D,交直线AC于点E,连结BE.

小明：根据题意，我画出了如图1的情况；

小丽：小明，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若NB4C为钝角，我发现圆与直线AC的交

点在线段CA的延长线上；

小明：哦…我明白了！

(1)在图1中求证：点。是边8C的中点；

(2)记NABE的度数为a.求出NC的度数(用a表示).

AE

E

D

图1图2

24.已知AB是。。的直径，点C在。。上，。为弧的中点.

(1)如图①，连接AC,AD,0D.求证：OD〃AC；

(2)如图②，过点。作。ELAB交。。于点E,直径£尸交AC于点G,若G为AC中点,

①求证：/BOD=45°；

②若。。的半径为2,求AC的长.

答案与解析

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.如图，△ABC的顶点A、B、C均在。。上，若/ABC=25°,则/AOC的大小是（）

A.25°B.50°C.65°D.75°

【点拨】利用圆周角定理解决问题即可.

【解析】解：VZAOC^2ZABC,ZABC=25°,

：.ZAOC=50°,

故选：B.

【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

2.下列说法中正确的是（）

A.所对圆心角相等的两条弧是等弧

B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

【点拨】根据等弧的定义垂径定理，圆周角定理一一判断即可.

【解析】解：A.在同圆或等圆中，所对圆心角相等的两条弧是等弧，故A错误，本选项不符合题意；

B.平分弦的直径垂直于弦，此弦不能是直径，故3错误，本选项不符合题意；

C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误，本选项不符合题意；

D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故。正确，本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

3.如图，A、B、C、。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心，若,则这个正多边形

的边数为（)

\D

o.

//C

A

A.10B.11C.12D.13

【点拨】连接04OB,根据圆周角定理得到NA03=2NAO3=36°,于是得到结论.

【解析】解：连接。4,OB,

TA、B、。、。为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，

・••点A、B、C、。在以点。为圆心，OA为半径的同一个圆上，

VZADB=18°,

ZAOB=2ZADB=36°,

・•・这个正多边形的边数=毡2二=10,

【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键.

4.如图，ZkABC中，ZA=50°,以AB为直径的。。分别与5C,AC交于点。，E,且5。=。。，连接

【点拨】连接AD,证明A5=AC,利用三线合一的性质求出NE4O即可解决问题.

【解析】解：连接AD,

£

BDC

,：AB是直径，

ZADB=90°,BPAD±BC,

,:BD=DC,

：.AB^AC,

：.ZBAD=^ZBAC=25°,

2

：.ZBED=ZBAD=25°.

故选：A.

【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属

于中考常考题型.

5.如图，点A在。。上，弦于点D若/BAC=45°,OD=1,则8C=()

A.V2B.2V2C.2D.V3

【点拨】利用圆周角定理得到乙BOC=90°,利用等腰三角形的性质得/OBC=/OCB=45°,再根据

垂径定理得到8。=。，根据等腰三角形的判定与性质求出从而得到BC的长.

【解析】解：•••/JBAC=45°,

NBOC=22X45°=90°,

\'OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=45a,

\'OD±BC,

:.BD=CD,ZBOD=180o-90°-45°=45°=NOBD,

：.BD=OD=2,

：.BC=2BD=2.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.也考查了垂径定理.

6.如图，AB,C。是O。的两条直径，点E是弧3。的中点，连接AC、BE,若NAC£>=20°,贝U/ABE

的度数()

c

A.40°B.44°C.50°D.55°

【点拨】连接05利用圆周角定理求得NAOD=40°,再求得NDOE=/BOE=70°,根据等边对等

角即可求解.

【解析】解：连接OE如图所示:

VZACD=20°,

ZAOD=2ZACD=40°,

•••点E是弧3。的中点，

•'•ZDOE=ZBOE-1(180°-ZA0D)=70O，

•：OE=OB,

•'•ZABE=ZOEB=y(1800-/BOE)=55°，

故选：D.

【点睛】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的判定和性质,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

7.如图，在。。中，弦AB〃C。，OPLCD,OM=MN,AB=20,CD=16,则。。的半径为（)

A.4A/6B.4A/7c.4泥D.872

【点拨】如图，连接。4,OC.设。4=OC=r,OM=MNa,构建方程组求出7•即可.

【解析】解：如图，连接OA,OC.

p

VOPLCDfCD//AB,

：.OPLAB,

:・CN=DN=8,AM=MB=10,

设OA=OC=r,OM=MN=a,

(2_ic212

则有，r-1°a,

r2=82+(2a)2

解得厂=44，

故选：B.

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.

8.如图，4ABC内接于O。，AC为直径，半径OD〃BC,连接。2,AD.若NAOB=a,则NBA。的度

数为()

A.B.9Q°—5-C.go。—D.180°—

【点拨】由AC为O。的直径，ZAOB^a,得NC=W,ZBOC=180°-a,由0D〃2C,/DOC=

2

ZC=—,则NBODMNBOC+NDOCMigO。--,所以NA4Z)=工/8。£>=90°--,于是得到

2224

问题的答案.

【解析】解：：AC为。。的直径，ZAOB=a,

：.ZC=^ZAOB^—,ZBOC=180°-ZAOB=18Q°-a,

22

•：OD//BC,

：.ZDOC=ZC=—,

ZBOD=ZBOC+ZDOC=180°-a+-£-=180°-

22

：.ZBAD=^ZBOD=1.(180°-W)=90°-

2224

故选：c.

【点睛】此题重点考查平行线的性质、圆周角定理等知识，证明NDOC=NC=Q_是解题的关键.

2

9.如图，四边形ABC。内接于o。，AELC2交CB的延长线于点E,若A4平分NOBE,AD=6,CE=4,

则AE的长为()

C.273D.2V5

【点拨】连接AC,根据圆内接四边形对角互补得到/A8E=NAOC,根据前=标得到/A8r>=NAC£)

结合角平分线得到即可得到：ZADC=ZACD,从而得到AC=A£>,结合勾股定理即

可得到答案;

【解析】解：连接AC,

C、---

:四边形ABC。内接于。。,

ZA£)C+ZABC=180°,

VZABE+ZABC=18Q°,

：.ZABE=ZADC,

AD=AD，

NABD=/ACD,

平分NZJ8E,

ZABE=ZABD,

：.ZADC=ZACD,

J.AC^AD,

VAEXCB,AD=6,CE=4,

：.AC=6

•••AEWAC2-CE2=W^，

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌

握这些知识是解题的关键.

10.如图在给定的O。中，弦的弦心距。H=6,8=16,点E在弦CD上，且。E=E£>=5,当△EA8

面积的为最大时，OH的长为（）

2753C.6A/6D.2屈

【点拨】过点E作ENLA8于点N,则点E轨迹为以点。为圆心，5为半径的圆，由EO+OH

NEN,则当点E,O,H三点共线时，EN最大,则面积最大，过点。作X。延长线的垂线，垂

足为点M,过点。作OGLCO于点G,由垂径定理得DG*；D=8，则GE=GO-ED=3,由勾股定理

得0G=4,显然△MEQg/XGE。，则MZ)=OG=4,ME=GE=3,故MH=14,在中，由勾

股定理即可求解.

【解析】解：过点E作EN_LAB于点N,如图,

.•.点E轨迹为以点。为圆心，5为半径的圆,

■:EO+OH与EN,OH±AB,

如图：当点E,O,H三点共线时，EN最大,则△EA8面积最大,

过点。作OGLCO于点G,过点。作HO延长线的垂线，垂足为点

・1

・・DG《CD=8，

：.GE=GD-ED=3,

OG=V52-32=4'

"JDMLEM,OGLCD,

：.ZM=ZOGE=90°,

;EO=ED,ZMED=ZGEO,

：.△MED”AGE0,

：.MD=OG=4,ME=GE=3,

：.MH^ME+OE+OH^3+5+6=14,

...在RtZYDMH中，由勾股定理得：DH=JFj再石^qN=K厢，

故选：B.

【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，难度

较大，解题的关键在于确定点E的轨迹以及当点£,O,H三点共线时，EN最大，则△EAB面积最大.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为2TT.

【点拨】直接利用弧长公式计算即可.

【解析】解：/=n-r=60兀X6=21T.

180180

故答案为：2TT.

【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是牢记弧长的计算公式，难度不大.

12.在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,8C=8,则这个三角形的外接圆的直径是10.

【点拨】首先根据勾股定理，得其斜边是5,即可得到答案.

【解析】解：•••/C=90°,AC=6,8C=8,

-,-BA=VAC2+BC2=10,

.♦.这个三角形的外接圆的直径为10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是

外接圆的直径.

13.如图，在半径为10c机的。。中，AB^16cm,0C_LA2于点C,则0c等于6cm.

【点拨】连接如图，先利用垂径定理得到ACuBCuLgug,然后根据勾股定理计算OC的长.

2

【解析】解：连接04如图，

VOCXAB,

.'.AC=BC=JLAB=8cm,

2

在RtZ\OAC中，OC=。三嬴^=五正币=6(cm).

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股

定理.

14.半径为3的正六边形内接于OO,则正六边形的边长为3.

【点拨】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，同时也

是正六边形ABCDEF的边长.

【解析】解：：正六边形ABCOEF内接于。。，。。的半径为3,

而正六边形可以分成六个边长的正三角形，

正多边形的半径即为正三角形的边长，

正三角形的边长为3,

/.正六边形ABCDEF的边长为3,

故答案为：3.

oE------

【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题关键是根据正六边形可以分成六个边长

的正三角形解答.

15.如图，等腰△ABC内接于。0,AB=AC,点O为劣弧8c上一点，ZADC=60°,若CQ=2BO=4,

则四边形ABDC的面积为9M.

【点拨】过点B作8ELC。的延长线于点E,先证明△ABC为等边三角形，再证明/QBE=30°,根

据C£)=28D=4,可得8。=2,所以DE=^BD=1，BE=V3DE=V3>然后根据四边形ABDC的面积=

△BDC的面积+等边三角形A2C的面积，即可解决问题.

【解析】解：如图，过点3作BE,CO的延长线于点E,

VZABC=ZA£)C=60°,

又AB=AC,

.,.△ABC为等边三角形，

/.ZACB=ZABC=60°,

：.ZADB=ZACB=ZADC=60°,

：.ZBDC=120°,

:./BDE=60°,

:.NDBE=3Q°,

•:CD=2BD=4,

:.BD=2,

.1

••DE-yBD=l'

BE=V3DE=V3>

•••ABDC的面积=/xCDBE卷X4X«=2V^，

在Rtz\BEC中，BE=V3>CE=CD+DE=4+1=5,

根据勾股定理得：BC2=BEr+C^=3+25=28,

等边三角形ABC的面积=®BC2=7«，

4

四边形ABDC的面积=的面积+等边三角形A8C的面积=2^3+7^3=973.

四边形ABDC的面积为973.

故答案为：973.

A

©

--"ED

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，解决

本题的关键是熟练运用圆周角定理，垂径定理.

16.如图，在半圆。中，直径AB=8,C,。是半圆上两点，尸是直径上一点，若NAOC=48°,ZAOD

【点拨】将半圆。补充成一个整圆，过点C作AB的垂线交AB。。于点C',连接C'D交于点P,

连接PC、OC,连接OD,延长。。交。。于点E,连接C'E.根据垂径定理可知是CC'的垂直

两平分线，从而可得PC+PD最小值为C'。的长度；根据圆周角定理求得NCC'。=12°,从而求得

NAPC=78°,由对顶角的性质可知/£>PO=78°,再根据三角形内角和定理求得/PDO=30°,由

三角函数求出C。即可.

【解析】解：将半圆。补充成一个整圆，过点C作的垂线交A8。。于点C',连接C'D交AB

于点尸，连接PC、0C,连接0D,延长。。交O。于点E,连接C'E.

...A2是CC'的垂直两平分线，

：.PC=PC,

：.PC'+PD=PC+PD=C'D,

.•.PC+PZ)最小值为c，。的长度，

:NAOC=48°,NAOO=72°,

：.ZCOD=ZAOD-ZAOC=72a-48°=24°,

：.ZCC'Z)=AZCO£>=AX24°=12°,

22

ZAPC=90°-ZCC£>=90°-12°=78°,

：.ZDPO=ZAPC'=78°,

：.ZPDO^180°-ZDPO-ZAOD=180°-78°-72°=30°,

为直径,

ZDCE=90°,DE=AB=8,

：.CD=DE-cosZPDO=8X近二4我,

2

：.PC+PD的最小值为4日.

故答案为：473-

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、轴对称-最短路线问题，作点C的对称点并将PC+PO的最

小值转化为线段，掌握圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理、特殊角的三角函数是解题的关键.

三.解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第

23、24题每题12分，共72分）

17.如图，的弦AB,CD相交于点E,且AB=CD,求证：EB=ED.

【点拨】连接AC,利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出/A=/C；

利用等腰三角形的判定定理得到EA=EC,利用等式的性质即可得出结论.

【解析】证明：连接AC,如图，

.1•AB=CD.

AB+BD=CD+BD.

BPAD=BC.

ZA=ZC.

：.EA=EC.

：.AB-EA=CD-EC.即EB=ED.

【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定，等式的性

质，连接AC,利用等弧所对的圆周角相等得出NA=/C是解题的关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-3,0),C(-1,0),

把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C.(每个方格的边长均为1个单位)

(1)画出△481C并直接写出：

Ai的坐标为(2,0),

Bi的坐标为(-1,2)；

(2)判断直线AB与直线AiBi的位置关系为垂直

yjk

【点拨】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、2的对应点4、Bi,然后写出点4、21的坐标;

(2)根据旋转的性质判断.

【解析】解：(1)如图，△4B1C为所作，4的坐标为(2,0),21的坐标为(-1,2)；

故答案为：(2,0)；(T,2)；

(2)因为△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△ALBC,

所以A3绕点C按顺时针方向旋转90°后得到481,

即直线与直线4囱垂直.

故答案为：垂直.

【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也

相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转

后的图形.

19.如图，△ABC是。。的内接三角形，是O。的直径，ZABC=60°.

(1)求/CA。的度数；

(2)若。。的半径为1,求图中阴影部分的面积.

D

C

【点拨】(1)根据圆周角定理得到/ACO=90°,/AOC=/4BC=60°,根据直角三角形的性质计

算即可；

(2)连接OC,过。作OQLAC于Q,根据勾股定理求出A。，再根据垂径定理求出AC,根据圆周角

定理求出NAOC,根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案.

【解析】解：(1)是。。的直径，

AZACD=90°,

VZADC=ZABC=60°,

：.ZCAD^90°-/A£)C=30°；

(2)连接。C,过。作OQJ_AC于Q,

VZCAD=30°,o。的半径为1,

OQ=—OA=~,

22

由勾股定理得：42=加2_0122={]2得)2=有,

,?OQYAC,

：.AC=2AQ=y/3,

由圆周角定理得：ZAOC=2ZABC=120°,

:・S阴影部分=S扇形A。。-SAAOC

2

=120nxi

36022

=兀_F

----.

34

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键.

20.如图，O。的直径A8垂直于弦C£),垂足为E,AE=2,CD=8.

(1)求。。的半径长；

(2)连接BC,作OFLBC于点R求。尸的长.

c

【点拨】（1）连接。。，如图，设OO的半径长为r,先根据垂径定理得到OE=CE=4,再利用勾股

定理得到（r-2）2+42=^,然后解方程即可；

（2）先利用勾股定理计算出8C=4泥，再根据垂径定理得到8F=Cr=2遥，然后利用勾股定理可计

算出。尸的长.

【解析】解：（1）连接OD,如图，设。。的半径长为r,

'：ABLCD,

：.ZOED=9G°,DE=CE=lcD=AX8=4,

22

在RtZ\O£>E中，'：OE=r-2,OD=r,OE=4,

（r-2）2+42=/,

解得r=5,

即O。的半径长为5；

（2）在RtZXBCE中，"CE=4,BE=AB-AE=8,

BC=^42+g2=4V5>

'：OF±BC,

:.BF=CF=LBC=2相,NOF2=90°,

2

在RtAOBF中，0F=JoB2-BF2=V52-（2V5）2=遥，

即。尸的长为质.

A

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股

定理.

21.如图，四边形A3C。内接于一圆，连结AC、BD.

(1)若ND4B=60°,ZACB=70°,求N4B。的度数.

（2）若AC为直径，C为俞的中点，请探究NZMB与/ACB之间的关系.

D

【点拨】（1）根据圆周角定理求出再根据三角形内角和定理求出NAB。；

（2）根据圆周角定理得到ZABC=90°,根据直角三角形的两锐角互余解答即可.

2

【解析】解：（1）VZACB=70°,

；.NADB=NACB=70°,

ZDAB=60°,

：.ZABD=180°-70°-60°=50°；

（2）：C为面的中点，

：.ZCAB=ZCAD=^ZDAB,

2

：AC为直径，

AZABC=90°,

：.ZCAB+ZACB=90°,

：.^ZDAB+ZACB=90°.

2

【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周

角相等是解题的关键.

22.如图，在半圆。中，直径AB=6,点C在篇上，连接8C,弦8。平分/A8C,连接OD

（2）连接。C,AD.OC//AD,求8。的长.

【点拨】（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质和判定即可得证;

(2)先证明△AOO是等边三角形，再利用圆周角定理和勾股定理即可求解.

【解析】(1)证明：•・,弦50平分NA3C,

・•・/ABD=NCBD,

•：OB=OD,

：.ZABD=ZODBf

：.ZODB=ZCBD,

：.OD//BC；

(2)解：VOC//AD,

：.ZBAD=ZBOC,

■:NBOD=2NBAD,

:・/BOD=2/BOC,

：.ZBOC=ZCODf

•・・/ABD=NCBD,

：.ZAOD=ZCOD.

：.ZBOC=ZAOD=ZCOD=60°,

\'OA=ODfAB=6,

：.AAOD是等边三角形，

・1

••AD=0A=yAB=3^

TAB是半圆的直径，

ZADB=90°,

AB£>=7AB2-AD2=V62-32=3^3-

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟知以上知识是解题的关键.

23.在△A3C中，AB=AC,以A3为直径作。0,交8C于点。，交直线AC于点连结3E.

小明：根据题意，我画出了如图1的情况；

小丽：小明，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若N8AC为钝角，我发现圆与直线AC的交

点在线段CA的延长线上；

小明：哦…我明白了！

(1)在图1中求证：点。是边3c的中点；

(2)记NA8E的度数为a.求出NC的度数(用a表示).

图1图2

【点拨】(1)连接A。，根据直径所对的圆周角是直角得AOL8C,再根据等腰三角形的性质可得出结

论；

(2)当△ABC是锐角三角形时，点E在边AC上，根据NAEB=90°得/8AC=90°-a,再根据AB

=AC可得出NC的度数；当△ABC是钝角三角形时，点E在C4的延长线上，根据NAEB=90°得/

84c=90°+