第8章 认识概率知识梳理+热考题型（学生版）-2023-2024学年苏科版八年级数学下册

第8章•认识概率

本章知识综合运用

内容预览

f、

四个概念

••1、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件.

••2、不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件.

♦确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件.

♦判断方法：判断一个事件是不是不可能事件或必然事件，关键在于这个事情的结果事先能否确定，与这个

事情是否进行无关.

••3、随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.

♦判断方法：判断一个事件是不是随机事件，主要看事先能否确定这个事件会不会发生，如果确定一定发生

或一定不发生，那么这个事件就是确定事件，如果可能发生的情况不唯一，即有可能发生，也有可能不发

生，那么这个事件就是随机事件.

♦注意：有些随机事件发生的机会很大，但不是必然事件；有些随机事件发生的机会很小，但依然有可能发

生，并非不可能事件

••4、概率：随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率.如

果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.

♦事件的概率：通常规定，必然事件A发生的概率是1,记作P(A)=1；不可能事件A发生的概率为0,记

作P(A)=0；随机事件A发生的概率是0和1之间的一个数，即gP(A)Wl.

用线段图表示如下：

不可能事件随机事件必然事件

II

°可能性越来越大*1

一个结论

可能性的大小：一般地，随机事件发生的可能性有大有小，它是由发生事件的条件决定的.

♦注意：1.事件发生的可能性的大小常用以下几种语言描述：一定、很可能、可能、不太可能、

不可能.用线段图描述事件发生的可能性的大小如下:

不可能不太可能可能很可能一定

II

°可能性越来越大*1

2.必然事件一定发生，发生的可能性通常用1(100%)表示；不可能事件一定不会发生，发生的可能性用0

表示；随机事件发生的可能性的大小介于0和1之间(不含0与1).

一个方法

••用频率估计概率：一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个

常数附近摆动.在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值.

♦频率试验的特点：①每一次试验的结果都是有限个；②事件发生的结果数越多，这个事件发生的概率就越大.

♦频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于

稳定，这个性质称为频率的稳定性.

♦概率的估计值：一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附

近摆动.在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值.

♦频率与概率的联系与区另IJ:

系

名称^\频率概率

试验值或使用时的统计值，是随机的，

事件发生可能性大小的理论值，是客观存在的，

在试验前不能确定，是试验中事件发生

是随机事件自身的属性

区别的次数与总次数的比

频率值可随着试验人、时间、地点以及与试验的时间、地点、次数等因素无关，是一个

试验次数等因素的变化而有所改变固定不变的常数

频率是概率的近似值.随着试验次数越多，频率越来越稳定在概率值附近.它们都是反映随机事

联系

件发生的可能性大小的特征量

♦注意：一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，我们既可以用过列举法得

出概率，也可以利用频率估计概率；当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不

相等时，常常是通过统计频率来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率

的稳定值来估计这个事件发生的概率.

题型归纳

rvX大一判断事件的类型

题型一

【例题】①任意买一张电影票，所买到票的座位号恰好是偶数；

②任意三角形的内角和为180。；

③抛出的篮球会下落；

④掷1枚硬币，有国徽的一面朝上.

在这些事件中，属于随机事件的有；属于必然事件的有.（只填序号）

【变式1】下列事件中属于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.瓮中捉鳖C水中捞月D.百步穿杨

【变式2】下列事件中发生的可能性为100%的是（）

A.经过路口，恰好遇到红灯

B.四个人分成三组，这三组中有一组必有2人

C.任意抛一枚图钉，钉尖着地

D.抛一枚硬币，正面朝上

【变式3】下列事件:

(1)两个正数的和仍是正数；

(2)明天太阳从西边升起；

(3)小明在下届科技节的航模比赛中一定能得一等奖；

(4)掷一枚硬币，落地后正面朝上；

⑸打开电视，正在播放体育节目.其中是确定事件的有个.

【变式4］已知，有六个面分别标有1,2,3,4,5,6的普通的正方体骰子两个，随机任意抛掷这两个骰

子，把这两个骰子朝上的点数相加,对于事件①：和为1;事件②：和为5；事件③：和为12；事件④：和

为15；事件⑤：和小于13；事件⑥：和为奇数或偶数：

请问：以上哪些事件是必然事件？哪些事件是不可能事件？哪些事件是随机事件？

,一设计符合要求的方案

题型二

【例题】在一个不透明的口袋中，装有大小、形状一模一样的9个红球、58个白球和7个黑球，它们已在口

袋中充分搅匀.请结合上述条件，设计满足下列条件的事件：(本题具有开放性，只要设计出一种符合要求

的事件即可)

(1)可能发生的事件；(2)必然发生的事件；(3)不可能发生的事件.

【变式1】盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请

你设计下面几种情况的摸球方案.

(1)摸到红球是不可能的；

(2)摸到红球是必然的；

(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能.

【变式2】现有甲、乙两个完全相同的空纸盒，还有除颜色外完全相同的10个白色乒乓球和10个黄色乒乓

球，设计操作使之满足下列条件：

(1)从甲盒中拿到黄球为必然事件；

(2)从乙盒中拿到白球为随机事件；

(3)20个球均要用到，但每个盒中乒乓球的数量可以不等.

看谁设计得又快又对，并写出一件不可能事件.

E―;一比较事件发生的可能性大小

A题型三

【例题】抛掷一枚质地均匀的骰子(各面上的点数分别为1〜6)一次，落地后：

(1)朝上的点数有哪几种不同的结果？它们发生的可能性一样吗？

(2)朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数，这两个事件发生的可能性一样吗？

(3)朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4,这两个事件发生的可能性一样吗？如果不一样，那么哪一个可

能性大一些？

【变式1】从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：

①抽到“K”；

②抽到“黑桃”；

③抽到“大王”；

④抽到“黑色的”.

将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是()

A.④①③②B.④②①③C.①②③④D.③①②④

【变式2】在下列事件中，发生的可能性最小的是()

A.用长为10cm,10cm,20cm三根木棒做成一个三角形

B.射击运动员射击一次，命中10环

C.东台五一节当天的最高温度为3()0C

D.在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下

【变式3】抽奖啦！现有3个不透明箱子，箱子内放有若干小球(除颜色外其余均相同).规定：每次只能

摸一个小球，摸出红球奖励一杯奶茶，摸出黄球奖励一支雪糕，若小丽想得到一杯奶茶，应选择从

号箱子里摸球，如愿的可能性最大.

①②③

【变式4】用一副扑克牌中的10张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件;

(1)翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；

(2)翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；

(3)翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小；

解：我设计的方案如下：

“红桃”一张，“黑桃”一张，“方块”一张，“梅花”一张

B赢丁比较转盘中的可能性大小

【例题】有一个转盘(如图所示)，被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定,

转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，重新

转动).下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色.

思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：

(1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？(用序号表示)

(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列.

【变式1】转动如图所示的这些可以自由转动的转盘，当转盘停止转动后，估计“指针落在白色区域内”

的可能性的大小，并将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列.

米余第

(I)(2)P)

【变式2】如图，一个转盘被平均分成12份，每份写上不同的数，游戏方法如下：先猜数，后转动转盘,

转盘停止转动后，若指针指向的数与所猜的数一致，则猜数者获胜(指针指向分界线时重转).

现提供三种猜数方法：

①猜"是奇数？或“是偶数”；

②猜”是大于10的数”或“是不大于10的数”；

③猜”是3的倍数”或“不是3的倍数”.

如果你是猜数者，为使获胜的可能性最大，你会选择哪一种猜数方法？怎样猜？并说明理由.

B题型五比较几何图形中的可能性大小

【例题】如图，一张正方形纸片被分成了4B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域

(填/”、“5”或“C，)的可能性最小.

C

【变式1】如图，为测量平地上一块不规则区域（阴影部分）的面积，画一个边长为2爪的正方形，使不规则

区域落在正方形内.现向正方形内任意投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大

量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域内的频率稳定在。25附近，由此可估计不规则区域的面积为

m2.

【变式2】分别向下列四个区域内随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的可能性最小的是.

【变式3］［概率中的方案设计］小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同

心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未

掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷.

（1）你认为游戏公平吗?为什么？

（2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个

方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式）

口^题型六蠡专爵嘉备

【例题】下列说法正确的是()

A.不可能事件发生的概率为0

B.随机事件发生的概率为2

C.概率很小的事件不可能发生

D.抛掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500

【变式1】下列说法正确的是.()

A.“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨

B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为会表示每抛2次就有一次正面朝上

C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖

D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为:”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事

件发生的频率稳定在细近

O

【变式2】事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：

江阴市的夏天下雪.3个事件的概率分别记为P(A)、P(B)、P(C),则事件概率的大小关系正确的是()

A.P(C)<P(A)=P(B)B,P(C)<P(A)<P(B)

C.P(C)<P(B)=P(A)D.P(A)<P(B)=P(C)

【变式3】掷一枚质地均匀的硬币，前9次都是反面朝上，则掷第10次时反面朝上的概率是.

【变式4】从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃9张，黑桃10张，方块11张，现将这些牌洗匀背面朝上

放桌面上.

(1)求从中抽出一张是红桃的概率；

(2)现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随

机抽一张是红桃的概率不小于|,问至少抽掉了多少张黑桃？

（3）若先从桌面上抽掉9张红桃和m（m>6）张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当m为何值时，事件“再抽

出的这张牌是方块”为必然事件？当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个

事件的概率的最小值.

,--------须率与概率的关系

a题型七

【例题】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为了,该事件的概率为p下列说法

正确的是（）

A.试验次数越多，/越大B./与尸都可能发生变化

C.试验次数越多，/越接近于尸D.当试验次数很大时，/在尸附近摆动，并趋于稳定

【变式1】掷一枚质地均匀的硬币加次，正面向上〃次，则3的值（）

A.一■定是,B.一定不是！

C.随着加的增大，越来越接近JD.随着加的增大，在9附近摆动，呈现一定的稳定性

【变式2】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随

机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于?；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值,

而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中

正确的是（填序号）.

【变式3］农科院新培育出/、8两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，

每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：

种子数量10020050010002000

出芽种子数961654919841965

A

发芽率0.960.830.980.980.98

出芽种子数961924869771946

B

发芽率0.960.960.970.980.97

下面有三个推断：

①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96,所以他们发芽的概率一样;

②随着实验种子数量的增加，/种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计/种子出芽

的概率是0.98；

③在同样的地质环境下播种，/种子的出芽率可能会高于8种子.其中合理的是（只填序号）.

…用频率估计概率________________________________

【例题】如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.（注：频率=钉黑手数）

下面有四个推断：

①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400,所以“钉尖向上”的概率是0.667；

②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向

上”的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620；

④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次.

其中合理的是（）

A.①B.@C.（3）D.（4）

【变式1】某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的

试验可能是（）

A.抛一枚硬币，出现正面朝上

B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上

C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

场至

A

01002838次数

【变式2】在一个不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球.小明做摸球试验时，将球搅匀

后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是实验进行中的一组统计数据：

摸球的次数n10015020050080012002000

摸到白球的次数小54991162854887081200

摸到白球的频率;0.540.660.580.570.610.590.60

则摸到白球的概率为—.（结果精确到0.1）

【变式3】一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的.将它从定高度下掷,

落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上

的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：

试验次数20406080100120140160

“帅”字面朝上频数a18384752667888

相应频率0.70.450.630.590.520.550.56b

（1）表中数据。=;b=

（2）画出“帅”字面朝上的频率分布折线图;

（3）如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这

个概率是多少？

炳数

0.7八--

0.70——

0.65——

0.60

0.55---

0.50---

0.45——

0.40---

0.35一.

0.30——.............................................春蛤次数

0―

20406080100120140160

B题型九用频率估计概率的实际应用

【例题】小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如

下表所示:

移植棵数(n)成活数(m)成活率(m/n)移植棵数(n)成活数(m)成活率(m/n)

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.923700063350.905

7506620.88314000126280.902

下面有四个推断：

①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335,所以这种树苗成活的概率是0.890；

②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的

概率是0.900；

③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；

④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵.

其中合理的是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

【变式11某水果销售网络平台以2.6元/kg的成本价购进20000kg沃柑.如下表是平台销售部通过随机取

样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时(精确到

0.1),可获得13000元利润.(销售总金额一损耗总金额=销售总利润)

沃柑总质量损坏沃柑质量

沃柑损坏的频率三(精确到0.001)

n/kgm/kg

.....................

10010.440.104

20019.630.098

30030.620.102

40039.540.099

50050.670.101

【变式2】某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如下表:

每批粒数n1001502005008001000

发芽的粒数加65111136345560700

发芽的频率0.650.740.680.69ab

(1)a=_,6=_；

(2)这种油菜籽发芽的概率估计值是多少？请简要说明理由;

(3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%,则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少

棵？

【变式3】某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率

统计，并把获得的数据记录在下表中.

柑橘总质量nlkg300350400450500

损坏柑橘质量m/kg30.9335.3240.3645.0251.05

柑橘损坏的频率m(精确到0.001)0.1030.101a0.100b

⑴填空：a-,b~

(2)柑橘完好的概率约为—(精确到0.1)；

(3)柑橘的总重量为10000彷，成本价是1.8元/起，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑

橘(去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适？

---------用频率确定试验对象的个数

0题型十

【例题】一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同.通

过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在10%、15%,则估计箱子里蓝球有个.

【变式1】在一个不透明的口袋中装有除颜色外其他完全相同的4个白球和n个黄球，摇匀后，从袋中任意

摸出1个球.记录摸球的次数与摸到白球的次数如下表：

摸球的次数1002005001000

摸到白球的次数2139102199

由此可以估计n的值为.

【变式2】社团课上，同学们进行了“摸球游戏”在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相

同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上

述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里

黑球与白球的个数比为.

八摸出黑球的频率

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

A

50100150200250300350400450500

0摸出球的总次数

【变式3】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记

下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：

次数12345678910

黑棋数1302342113

根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为()

A.60枚B.50枚C.40枚D.30枚

【变式4】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共60个，它们除颜色不同外完全相同，小颖进

行摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重

复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于025.

(1)估计摸一次，摸到白球的概率为;

(2)估计盒子里白球、黑球分别有多少个；

(3)如果要使摸到白球的概率为季那么需要往盒子里再放入多少个白球?

M——等可能事件与非等可能事件

B题型十一

【例题】当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，求（估计）概率可

以（）

A.用列举法B.用列表法

C.用树形图法D.通过统计频率估计

【变式1】下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（）

A.某种幼苗在一定条件下的移植成活率

B.某种柑橘在某运输过程中的损坏率

C.某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率

D.投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率

【变式2】在“抛一枚均匀硬币”的试验中，如果没有硬币，下列试验一种不能作为替代试验（）

A.2张扑克.“黑桃”代表“正面”，“红桃”代表“反面”

B.掷1枚图钉

C.2个形状大小完全相同，但1红1白的两个乒乓球

D.人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取1人

【变式3】某商场为促销，凡在商场购物的顾客均可从下列两个游戏中选择一个参加：

①抽签游戏：有10个号签，上面分别写着数字1,2,……，10,抽到数字是3的倍数的号签，则可获奖；

②转盘游戏：如图，转盘被等分成6个区域，抽奖者随机转动转盘，指针最终指向“红”所在区域，则可获

奖.

请问哪个游戏获奖的机会更大？请用概率知识说明理由.

统计与概率的综合应用

0题型十二

【例题】某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现

将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）

最高气温（单位：摄氏度）需求量（单位：杯）

T<25250

25<T<30300

T>30400

数

9

6

3

2

0^^

152025303540最高温度

（单位:十）

（1）求去年六月份最高气温不高于3（rc的天数.

（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求

量不超过250杯的概率.

（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为5元，售价为10元，未售出的这种鲜奶厂家

以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T