2024-2025学年高中数学课时分层作业5三角函数的诱导公式一～四含解析苏教版必修4

PAGE1-课时分层作业(五)三角函数的诱导公式(一～四)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．sin600°＋tan240°的值是()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)D[sin600°＋tan240°＝sin(360°＋180°＋60°)＋tan(180°＋60°)＝－sin60°＋tan60°＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2).]2．已知α为其次象限角，且sinα＝eq\f(3,5)，则tan(π＋α)＝()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)A[因为α为其次象限角，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5)，所以tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).]3．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan(π－α)＝－eq\f(3,4)，则sinα＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,5)D[由于tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(3,4)，则tanα＝eq\f(3,4)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝\f(3,4)，,sin2α＋cos2α＝1，))得sinα＝±eq\f(3,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＞0，所以sinα＝eq\f(3,5).]4．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－α))＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)C[sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).]5．tan300°＋sin450°＝()A．－1－eq\r(3)B．1－eq\r(3)C．－1＋eq\r(3) D．1＋eq\r(3)B[tan300°＋sin450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin90°＝－tan60°＋sin90°＝1－eq\r(3).]二、填空题6.eq\r(1－2sinπ＋2cosπ－2)＝________.sin2－cos2[eq\r(1－2sinπ＋2cosπ－2)＝eq\r(1－2sin2cos2)＝|sin2－cos2|，又∵eq\f(π,2)<2<π，∴sin2>0，cos2<0，∴原式＝sin2－cos2.]7．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2009)＝5，则f(2010)等于________．－5[∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝－asinα－bcosβ＝5，∴asinα＋bcosβ＝－5.∴f(2010)＝asinα＋bcosβ＝－5.]8．若cos100°＝k，则tan80°的值为________．－eq\f(\r(1－k2),k)[cos80°＝－cos100°＝－k，且k＜0.于是sin80°＝eq\r(1－cos280°)＝eq\r(1－k2)，从而tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).]三、解答题9．若cos(α－π)＝－eq\f(2,3)，求eq\f(sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π,cosπ－α－cos－π－αcosα－4π)的值．[解]原式＝eq\f(－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α,－cosα－－cosαcosα)＝eq\f(sinα－sinαcosα,－cosα＋cos2α)＝eq\f(sinα1－cosα,－cosα1－cosα)＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(2,3)，∴cosα＝eq\f(2,3)，∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(5),2)，∴原式＝－eq\f(\r(5),2).当α为第四象限角时，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(5),2)，∴原式＝eq\f(\r(5),2).综上，原式＝±eq\f(\r(5),2).10．已知eq\f(1＋tanθ＋720°,1－tanθ－360°)＝3＋2eq\r(2)，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·eq\f(1,cos2－θ－2π)的值．[解]由eq\f(1＋tanθ＋720°,1－tanθ－360°)＝3＋2eq\r(2)，得(4＋2eq\r(2))tanθ＝2＋2eq\r(2)，所以tanθ＝eq\f(2＋2\r(2),4＋2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·eq\f(1,cos2－θ－2π)＝(cos2θ＋sinθcosθ＋2sin2θ)·eq\f(1,cos2θ)＝1＋tanθ＋2tan2θ＝1＋eq\f(\r(2),2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝2＋eq\f(\r(2),2).[等级过关练]1．已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sinαcosα的值为()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,10) D．－eq\f(3,10)C[∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即sinα－3cosα＝0，∴tanα＝3，∴sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(3,10).]2．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，x<0，,fx－1－1，x>0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))的值为()A．－2B．2A[因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))－2＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－2＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2).所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝－2.]3．化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝________.sin2α[原式＝(－sinα)·(－cosα)·tanα＝sin2α.]4．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－eq\f(1,5)，则tanα＝________.－eq\f(3,4)[cos(－α)－sin(－α)＝cosα＋sinα＝－eq\f(1,5)，①∴(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)<0，又∵sinα>0，∴cosα<0，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(49,25)，∴sinα－cosα＝eq\f(7,5)，②由①②得sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4).]5．已知tanα，eq\f(1,tanα)是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜eq\f(7π,2)，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．[解]因为tanα，eq\f(1,tanα)是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，所以tanα·eq\f(1,tanα)＝eq\f(1,3)×(3k2－13)＝1，可得k2＝eq\f(16,3).因为3π＜α＜eq\f(7π,2)，所以tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，又tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(－3k,3)＝k，所以k＞0，故k＝eq\f(4\r(3),3)，所以tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα