导数中的切线问题（5大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练（学生版）

热点题型•选填题攻略

专题05导数中的切线问题

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目

题型01在某一点的切线.........................................................................1

题型02过某一点的切线.........................................................................2

题型03切线中平行、垂直、重合问题............................................................3

题型04求公切线（两个切点）...................................................................4

题型05切线的条数问题.........................................................................5

-----------题型探析・明规律-----------o

题型01在某一点的切线

【解题规律•提分快招】

在窠二点的函•方程

切线方程歹-/（%）=/'（工0）（%-%0）的计算：函数歹=/（x）在点4（%,/（%））处的切线方程为

了-/（X。）=/（X。）a-X。），抓住关键］:.

〔左=/（修）

彳丽加练i

一、单选题

1.（2025高三・全国•专题练习）函数〃x）=e，T+xhu的图象在点（1,/■⑴）处的切线方程是（）

A.2x—y—1=0B.2x+y-3=0C.2x—y—3=0D.x+y—2=0

2.（2025高三・全国•专题练习）曲线〃x）=gx3+x在点［111处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

1212

A.-B.-C.-D.一

9333

3.（24-25高三上•河北保定•期末）已知点力在抛物线C:/=2分（p>0）的准线上，过点A的直线与

抛物线在第一象限相切于点B,记抛物线的焦点为尸，则忸3=（）

11C,215

AB.一D.

-122~2

二、填空题

4.（24-25高三上•湖南•期中）曲线〃x）=ln（2x-l）在点（1）（1））处的切线方程为.

5.（24-25高三上•山东潍坊•期中）已知点在函数〃x）=sinox-曰（0＜。＜3）的图象上，则曲线

J=/（x）在点P处的切线方程为.

题型02过某一点的切线

【解题规律•提分快招】

底三丽菠旗

设切点为尸（X。，%）,则斜率左=/（x。），过切点的切线方程为：y-%=/'（Xo）（x-x0）,

又因为切线方程过点/（加，"），所以〃-%=/'（%）（加-X。）然后解出X。的值.（X。有几个值，就有几条切线）

彳丽诃练]

一、单选题

1.（2024高三•全国・专题练习）设曲线＞=x+lnx的一条切线过点（0,1）,则此切线与坐标轴围成的三角形面

积为（）

2

eeee2

B

A.2（l+e）-用C-2（e2+l）D-7TT

2.（24-25高三上・贵州遵义・阶段练习）若函数/（x）=alnx+2x的图象在点（1,2）处的切线不经过第二象限,

且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为3,则“=（）

6

22

A.—1B.—C.—D.1

33

3.（24-25高三上•天津武清•阶段练习）若直线＞=6与曲线y=lnx+]相切，则上=（）

2x

11

A.In2H—B.—C.-D.4

424

二、填空题

4.（2024•天津和平•二模）过点（0,0）作曲线V=2、（xeR）的切线，则切点的坐标为.

5.（2024高三•全国•专题练习）写出曲线y=过坐标原点的切线方程：,.

fxr＜0

6.（24-25高三上•广东・开学考试）已知函数〃x）=e'一：过原点。（0,0）作曲线y=〃x）的切线，其切

＞0,

线方程为.

题型03切线中平行、垂直、重合问题

【典例训练】

一、单选题

1.（24-25高三上•湖北•期末）函数/■（x）=@ln（2x）在x处的切线与直线y=3x+5垂直，贝1］。=（）

x2

1111

A.——B.——C.-D.—

612612

2.（2024•山西•模拟预测）已知函数/（%）=（。-3）/+（4一2）%2+（4_1）%+4若对任意与£R,曲线）=/（%）

在点（%，/（%））和（-/，/（-％））处的切线互相平行或重合，则实数”（）

A.0B.1C.2D.3

3.（23-24高二下•河北石家庄•期中）设曲线/（'）=温+6和曲线g（x）=cos0+c在它们的公共点P（0,2）处

有相同的切线，则〃+c的值为（）

A.0B.兀C.2D.3

4.（2024高三•全国•专题练习）已知f（x）=x3+nx-52,g（x）=x2-31nx,若直线工+歹+加=0是曲线歹=/（%）

与曲线＞=g（x）的公切线，则加-〃=（）

A.-30B.-25C.26D.28

5.（2024・湖南长沙•三模）斜率为1的直线/与曲线尸ln（x+o）和圆/+/=；都相切，则实数。的值为

（）

A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或1

6.（23-24高三上•四川内江•阶段练习）若曲线歹二lnx在点（%,1!1%）处的切线也是＞=炉的切线，则/一定

是下列函数()的零点.

〃/、1%—1/*/、1x+1

A.j(x)—Inx--------B.j(X)=Inx--------

x+1X-1

_“、1x+1-〃/、ix+2

c./(x)=lnx--------D./(x)=lnx--------

x+2x+1

二、填空题

7.(2024高三・全国•专题练习)已知曲线y=(x2+x)lnx+2在点(1,2)处的切线为/,若直线优〃/,则直线加

的方程可能是.（写出一个正确答案即可）

8.（24-25高三上•湖南永州•期末）已知直线/：◎-m+3=0是曲线q：y=3石和。2号=小的一条公切线，

则〃+左=

题型04求公切线（两个切点）

【解题规律•提分快招】

求公切线方程

已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，

则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.

具体做法为：设公切线在夕=/）上的切点尸1（X1，f（xi））,在y=g（x）上的切点尸2（M，g（X2）），

则/'（xj=g'（x2）=/aj_gaj

再-x2

*典砒加综i

一、单选题

3

1.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）设函数/（无卜/+彳/+办.若函数V=/（x）在x=%和、=毛+1的切

线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（）

A.-B.-C.YD.-

6323

2.（24-25高三上•广东广州•阶段练习）若直线广七+6是曲线/⑺=广一与g（x）=/2。24一2025的公切

线，贝|左=（）

1202320252

A.B.C.D.

2025202440474047

3.（2025高三•全国・专题练习）己知直线了=履+6是曲线y=e*的切线,也是曲线＞=-6-，的切线，则上+6=

1

A.-B.1C.eD.1+e

e

二、填空题

4.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）若曲线V=ln（2x+2）在处的切线也是曲线y=e，+x+a的切

线，贝！I".

5.（24-25高三上・江苏•阶段练习）若曲线C］：y=x2与曲线C2：y=ae"存在公切线，则。的最大值

6.（24-25高三上•福建福州•阶段练习）若曲线V=lnx在点P（xi，%）处的切线与曲线＞=^相切于点Q

2

（刀2,/2），贝U-—7+%=

-1

7.（24-25高三上•山东聊城•阶段练习）一条直线与函数y=lnx和y=e*的图象分别相切于点尸（再,弘）和点

。02,%）,贝IJ（玉-1）（乙+1）的值为

题型05切线的条数问题

【解题规律•提分快招】

曲线的案薮向施一

切线条数判断，一般转化为关于切点横坐标的函数零点个数判断问题.

i典柯加维i

一、单选题

1.（2023•四川凉山一模）函数〃x）=；x2+ainx在区间（1,2）的图象上存在两条相互垂直的切线，则”的

取值范围为（）

A.（-2,1）B.（-2,-1）C.（-2,0）D.（-3,-2）

2.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）过点（3,1）作曲线y=ln（x-l）的切线，则这样的切线共有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

3.（23-24高二下•浙江衢州•期末）若曲线y=（ax+l）lnx有两条过坐标原点的切线，贝段的取值范围是

（）

A.„B,（0,e2）0141D.（J，/）

4.（2024•四川内江•模拟预测）若过点（加,"）（加>0）可以作两条直线与曲线y=相切，则下列选项正确

的是（）

A.In<InmB.2n>\nm

C.2m>inn>0D.2m<Inn<0

5.（2024•山东•模拟预测）若过点（1,⑼可以作y=（x+l）e，的三条切线，则实数加的取值范围是（）

A.（-41,0）B.（-6/，0）C.（-6e，2e）D.（e,2e）

6.（2024•福建泉州•模拟预测）若曲线丁=/与丁=酒恰有两条公切线，贝心的取值范围为（）

A.（仇/]B.C.D.（-<»,0）u1—j

二、多选题

7.（24-25高三上•河北邢台•期末）若过点尸（。,0）恰好可作曲线>=十的两条切线，则。的值可以为（）

A.eB.e2C.-eD.-e2

8.（24-25高三上•四川成都•阶段练习）对于函数/（"=山-1,则下列判断正确的是（）

A.直线丁=目是/（x）过原点的一条切线

e

B.关于了=尤对称的函数是了=/1

C.过一点6）可以有3条直线与/（X）相切

D./（x）<x-2

三、填空题

9.（24-25高三上•江苏南通•开学考试）已知曲线〃x）=/与g（x）=a+lnx有公共切线，则实数。的最大值

为.

10.（2024・云南昆明•三模）过点（1,加）可以向曲线〃龙）=xe、作"条切线，写出满足条件的一组有序实数对

（m,n）________

11.（24-25高三上•湖北•阶段练习）已知函数/（》）=优，g（x）=：log,（x+l）,其中。>1,当两函数图象对

应曲线存在2条公切线时则”的取值范围是.

♦>----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

1.（24-25高三上•天津•期中）已知函数〃x）=，2+c°sx,则曲线y=/（x）在点伍,/（引处切线的斜率

为（）

兀7171兀，

A.—F1B.1C.-D.—F1

4442

2.（24-25高三上•甘肃天水•阶段练习）/（x）=x（2021+lnx）,若/''（x。）=2022,则演等于（）

A.e2B.1C.In2D.e

3.（24-25高三上•安徽•阶段练习）己知曲线/（x）=e"-l-ln（x+l）,在点（OJ（O））处的切线与直

线x+2y+5=0垂直，则a的值为（）

A.1B.-1C.3D.-3

4.（24-25高三上•江苏淮安•阶段练习）已知尸是曲线C:y=e2*上一点，直线/：x+2y+c=0经过点P,且

与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为（）

ln2

A.—4—ln2B.-4-------C.—2D.—1

2

5.（24-25高三上•福建•期中）若直线V=G与曲线歹=«2%相切，贝lja=（）

A.2B.eC.2eD.e2

6.（2024・四川眉山・一模）曲线y=（l-x）e2"在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）

7.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知曲线歹=。、在x=l处的切线/恰好与曲线y=a+lnx相切，则实

数〃的值为（）

A.1B.2C.3D.4

1p

8.(24-25高三上•四川成都•阶段练习)已知曲线G：y='e，在点尸处的切线与曲线Q:y=-五(x＞0)在点0

处的切线平行，且直线尸。垂直于x轴，则归。|=()

A.eB.2eC.3eD.e或3e

9.(24-25高三上•河南•阶段练习)若直线＞=x-〃是函数〃x)=ln(x+7w)的一条切线，则疗+/的最小值

为()

A.1B.2C.vD.

24

10.(24-25高三上•山西•阶段练习)曲线/(%)=lnx-l与g(x)=ln(x-1)的公切线的斜率为()

A.1B.-1C.eD.-e

k

11.(2024•江苏徐州・模拟预测)若曲线＞=£(左＜0)与＞=ex,恰有2条公切线，则左=()

X

111

A.『B.—C.—TD.—1

Veee

12.(24-25高三上•云南昆明•期中)已知函数/(x)=lnx和两点4(1,0),设曲线V=/(无)过原点的

切线为/,且/〃则加所在的大致区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

二、多选题

13.(2024・全国•模拟预测)已知函数〃司=/+工，点/(凡2。)(。*0),则下列说法正确的是()

A.过点A与/(x)的图象相切的切线的斜率恒不为1

B.若。＞1,则过点A可作3条直线与/(X)的图象相切

C.若过点A且斜率为4的直线与/(x)的图象有2个交点，则。=1

D.若图象上任意两点连线所在直线的斜率恒大于点A