第三课时 解三角形的综合应用

第三课时解三角形的综合应用考点一多边形中的解三角形问题例1(2024·青岛质检)如图，在四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，BD＝BC，∠DBC＝eq\f(π,2)，∠DAB＝θ，sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(7),4).(1)求△ABD的面积；(2)求线段AC的长度．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．训练1如图，在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，AC＝eq\r(2)，CD平分∠ACB交AB于点D，CD＝eq\r(3).(1)求∠ADC的值；(2)求△BCD的面积．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二三角形中的最值(范围)例2(12分)(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B).(1)若C＝eq\f(2π,3)，求B；(2)求eq\f(a2＋b2,c2)的最小值．[思路分析](1)化简条件式，利用C＝eq\f(2π,3)消去角A得到角B的三角方程，即可求解．(2)利用条件式得到A，B的关系式，利用正弦定理把eq\f(a2＋b2,c2)转化为B的三角函数式，利用基本不等式求其最小值．[规范解答]解(1)因为eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B)，所以eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(2sinBcosB,1＋2cos2B－1)，→eq\a\vs4\al(化倍角为单角以利于计算)所以eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sinB,cosB)，(2分)所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，eq\x(所以cos（A＋B）＝sinB②)，(4分)→由cos(A＋B)＝－cosC，C＝eq\f(2π,3)，进而求B所以sinB＝－cosC＝－coseq\f(2π,3)＝eq\f(1,2).因为B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))eq\s\up12(①)，所以B＝eq\f(π,6).(5分)→eq\a\vs4\al(利用B的范围求B)(2)eq\x(由（1）得cos（A＋B）＝sinB，)→eq\a\vs4\al(利用（1）题的结论)所以sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（A＋B）))＝sinB，且0<A＋B<eq\f(π,2)，所以0<B<eq\f(π,2)，0<eq\f(π,2)－(A＋B)<eq\f(π,2)①，→eq\a\vs4\al(根据B与\f(π,2)－（A＋B）的范围确定其关系)所以eq\f(π,2)－(A＋B)＝B，解得A＝eq\f(π,2)－2B，(8分)由正弦定理得eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(sin2A＋sin2B,sin2C)→eq\a\vs4\al(利用正弦定理实现边角互化)＝eq\f(sin2A＋sin2B,1－cos2C)＝eq\f(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2B))＋sin2B,1－sin2B)②→eq\a\vs4\al(消去角A以利求解)＝eq\f(cos22B＋sin2B,cos2B)＝eq\f(（2cos2B－1）2＋1－cos2B,cos2B)＝eq\f(4cos4B－5cos2B＋2,cos2B)＝4cos2B＋eq\f(2,cos2B)－5③→eq\a\vs4\al(化为基本不等式的形式)(10分)≥2eq\r(4cos2B·\f(2,cos2B))－5＝4eq\r(2)－5③，当且仅当cos2B＝eq\f(\r(2),2)时取等号，→eq\a\vs4\al(验证取等号的条件)所以eq\f(a2＋b2,c2)的最小值为4eq\r(2)－5.(12分)[满分规则]❶得步骤分①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分．❷得关键分②处消去角A是本题得解的关键所在．❸得计算分③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式．训练2(2024·皖北协作区联考)在下面的三个条件中任选一个补充到问题中，并给出解答．①2a－b＝2ccosB，②sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))＝cosC＋eq\f(1,2)，③m＝(a－c，b－a)，n＝(a＋c，b)，m⊥n.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．(1)求角C；(2)若c＝eq\r(3)，求△ABC周长的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三三角形中的证明问题例3(2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程．训练3(2024·开封调研)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(B－C)·tanA＝sinBsinC.(1)若A＝B，求sin2A的值；(2)证明eq\f(a2＋b2,c2)为定值．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________