导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟练）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

专题15导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01函数极值的辨析

♦题型02求已知函数的极值

♦题型03根据极值求参数

♦题型04函数（导函数）图像与极值的关系

♦题型05由导数求函数的最值

♦题型06已知函数最值求参数

♦题型07根据极值点求参数

♦题型08由导数求函数的最大值（含参）

♦题型09恒成立问题

♦题型10零点问题

♦题型11导数的综合应用

♦题型01函数极值的辨析

1.（2024高三・全国・专题练习）下列函数中，存在极值的函数为（）

,2,

A.y=eB.y=lnxC.y=—D.y=x~-2x

x

【答案】D

【分析】根据极值的定义进行求解即可.

【解析】A：因为函数〉=产是实数集上的增函数，所以函数＞="没有极值；

B：因为函数＞=lnx是正实数集上的增函数，所以函数＞=lnx没有极值;

22

c：因为函数V=—在区间(0,+s)、(-8,0)上是减函数，所以函数了=—没有极值；

xx

D：因为y=/-2x=(x-l)2-l,所以该函数在(1,+s)上是增函数，在(-*1)上是减函数，因此x=l是函数

的极小值点，符合题意，

故选：D

2.(2024高三・全国•专题练习)下列结论中，正确的是()

A.若一(X)在［。,目上有极大值，则极大值一定是6］上的最大值.

B.若/(x)在团句上有极小值，则极小值一定是卜力］上的最小值.

C.若“X)在［见句上有极大值，则极大值一定是在x=a和x=b处取得.

D.若〃x)在用上连续，则〃无)在用上存在最大值和最小值.

【答案】D

【分析】根据极值和最值的定义逐一分析判断即可.

【解析】函数在［生闿上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误；

函数/(x)在目上的极值一定不会在端点处取得，故C错误；

若/(%)在［a,6］上连续，则/(x)在［a,6］上存在最大值和最小值，故D正确.

故选：D.

3.(2024高三•全国•专题练习)如图是危)的导函数/(x)的图象，则於)的极小值点的个数为()

【答案】A

【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.

【解析】由导函数/(x)的图象知

在尤=—2处八-2)=0,且其两侧导数符号为左正右负，x=-2是极大值;

在x=—1处八一1)=0,且其两侧导数符号为左负右正，x=—1是极小值;

在X=-3处/(2)=0,且其两侧导数符号为左正右负，x=2是极大值；

所以於)的极小值点的个数为1,

故选：A

【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.

4.(22-23高二上•河南许昌•期末)函数/(x)的导函数/(X)的图象如图所示，则()

A.%=1为函数/(到的零点

B.〃-3)是函数〃x)的最小值

C.函数〃x)在(1,3)上单调递减

D.x=3为函数的极大值点

【答案】C

【分析】根据r(x)的图象，得到函数/(x)的单调区间，结合函数的单调性，极值点和极值，以及零点的

概念，逐项判定，即可求解.

【解析】由/'(x)的图象，可得：

当xe(-8,-3)时，r(x)<0,单调递减；

当xe(-3,l)时，((x)>0,〃x)单调递增;

当xe(l,3)时，/'(x)<0,单调递减；

当xe(3,+s)时,r(x)>0,〃x)单调递增，

A中，x=l是函数/(x)的一个极大值点，不一定是函数的零点，所以A不正确；

B中，〃-3)是函数/(x)一个极小值，不一定是函数/(x)的最小值，所以B错误;

C中，函数/(X)在(1,3)上单调递减，所以C正确；

D中，x=3为函数〃无)的极小值点，所以D错误.

故选：C.

♦题型02求已知函数的极值

5.(2024•黑龙江•模拟预测)已知函数=e^(aeR).

⑴当a=3时，求“X)在点(2,〃2))处的切线方程；

(2)讨论/(x)的单调性，并求出/(x)的极小值.

【答案】⑴尸。

⑵在引单调递减，在小，得心］和仁，单调递增；0.

【分析】(1)欲求曲线在点(2,7(2))处的切线方程，只需求出斜率左=/'(2)和42)的值，利用直线的点斜

式方程求解切线的方程；

(2)利用函数/(x)的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.

【解析】(1)当°=3时，/(X)=QX-3^e\

则小)=生2一■!》，，

所以斤=/(2)=0,

又知"2)=0,

所以〃x)在点(2/(2))处的切线方程为y=0.

「9/9、~|1

(2)因为/'(%)=-x2+\—-3a\x+a2-3aex=—(3x-26z)(3x-26z+6)ex,

令/'(x)=0,

2a2a-6

W\x=—^x=--一,

33

所以当时，r(x)<0,

当或x>苛时,rw>o.

综上，/(x)在(出1，子［上单调递减，在18,，^和上单调递增;

所以〃X)极小值

6.(23-24高二下•湖南•期中)已知函数/(x)=(x+a)ln|x|(aeR)为奇函数.

⑴求。的值；

(2)当x>0时，求/(x)的单调区间和极值.

【答案】(1)。=。

(2)答案见解析

【分析】(1)由已知结合奇函数的定义即可求解；

(2)先化简/(无)的解析式，对其求导，结合导函数与单调性及极值的关系即可求解.

【解析】⑴定义域：S，O)U(O,+⑼.

由己知：函数/(x)为奇函数，所以知(一x)=—/(x),

gp(-x+(2)ln|-x|=一(x+Q)ln国，解得a=0.

⑵由⑴得：/(x)=xln|x|=]，(。：<0,

xlwc,x>0

当x>0时，因为/(x)=xlnx,所以/[x)=lnx+l.

令广(x)=0,解得x=L

e

/'(x)J(X)变化情况如下表：

£

X

e

/'(X)-0+

“X)单调递减极小值-,单调递增

e

所以/(X)在［o，：］上单调递减，在上单调递增.

因此/(X)的单调递增区间为1：,，单调递减区间为(0，：]，

当尤=L时，/(X)有极小值，并且极小值为/口)=-』，无极大值.

ekeye

♦题型03根据极值求参数

7.(22-23高二下•北京•期中)若函数/(幻="3_3/+、+1恰好有两个极值，则实数。的取值范围是

()

A.(-<»,3)B.(-<»,3]C.(-oo,0)u(0,3]D.(-℃,0)U(0,3)

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，利用函数/(x)恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零点，从而求出。

的取值范围.

【解析】因为，(无)=ax3-3/+无+1,所以/''(X)=Bax?-6x+1,

由函数/(x)恰好有两个极值，得/'(x)=3a?_6x+l有两个不相等的零点，

故方程Sax?-6x+l=0有两个不相等的实根，

贝！Ja*0,JELA=(―6)2—4x3ax1=36—12a>0,解得。<0或0<a<3,

所以实数a的取值范围是(-8,0)U(0,3).

故选：D.

InY

8.(2023•贵州遵义・三模)已知函数〃无)=依+丁+1在无=1处取得极值0,贝|a+b=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根据极值点的意义，列式求解.

【解析】尸(x)=a+3，

bx

/⑴=a+l=0

有1八，得。=T,6=1,

所以a+b=0.

故选：B

9.(21-22高三下•广西•阶段练习)已知函数/")=达詈在其定义域的一个子区间(e,e?)上有极值，则实

数a的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

【答案】A

【分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由已知建立不等式，求解即可.

【解析】解：-(x)=lT?-a,令尸(x)=0,即l-lnx-a=O,解得x=e1,且0<x<e~,/'(x)>0；

x>e~,/'(x)<0,

(x)在(0,e)上单调递增，在(e〜,+s)上单调递减，

."(x)有极大值/(/")=%+丁齐,

•••e<e1-a<e2，

-1<«<0,

故选：A.

♦题型04函数(导函数)图像与极值的关系

10.(23-24高二下•江西赣州•阶段练习)已知函数/(x)的导函数/''(X)的图象如图所示，则下列说法错误的

是()

斗

A.函数/''(x)在(6,c)上单调递增B.函数/(x)至少有2个极值点

C.函数〃x)在(a,e)上单调递减D.函数〃x)在x=c处取得极大值

【答案】D

【分析】根据/'(X)的图象判断其符号，进而可知/(x)的单调性和极值，结合选项分析判断即可.

【解析】由/''(X)的图象可知：当无<。或x>e时，r(x)>0；当a<x<e时，/(%)<0;

可知/(x)在(-8,。)，3+功上单调递增，在(a,e)上单调递减，

则函数/(x)有且仅有两个极值点a,e,

结合选项可知：ABC正确；D错误；

故选：D.

11.(23-24高二下•四川广元•期中)函数J=/(x)(xN-3)的导函数/'(X)的图象如图所示，则下列判断中正

确的是()

A.在(-3,0)上单调递减B./⑴在(-U)上单调递减

C./(x)在(2,4)上存在极小值点D.，(x)在［-3,+co)上有最大值

【答案】B

【分析】结合导数的符号与函数单调性、极值的关系，以及题图即可得解.

【解析】xe(-3,-1)时，r(x)>0,xe(-l,0)时，/'(x)<0,故/⑴在(-3,0)上不单调，A选项错误；

xe(T,l)时，r(x)<0,故f(x)在上单调递减,B选项正确;

xe(2,4)时，/,(x)<0,故/⑴在(2,4)上单调递减，无极值点，C选项不正确；

xe(4,+s)时，r(x)>0,/(尤)在(4,+功上单调递增,虽然确定了的单调性，但没有/(x)的解析式,

故无法确定/'(x)在［-3,+s)上是否有最大值，D选项不正确.

故选：B.

♦题型05由导数求函数的最值

12.(23-24高二下•四川成都・期中)己知函数=g(x)=x+l,若/(xj=g(x?),则占-29

的最小值为()

A.5-2ln2B.3+21n2C.e+1D.e2-4

【答案】A

【分析】由题意，设/'3)=g(X2)=/，则玉-2%=1-2"3=砧)，利用导数讨论函数设t)的性质求出距温

即可.

【解析】设/(X］)=g(x2)=t,贝1］玉=3+1,%=-1,

以&—2%2=e'+1—2/+2=e'—2/+3,

令牝)=e'-2t+3,则〃⑺=e'-2,

令”0)<0n/<ln2,函数以。单调递减，

令"⑺>0nf>ln2,函数以。单调递增，

所以〃。）而"=如n2）=eln2-21n2+3=5-21n2,

即无i-2无2的最小值为5-2In2.

故选：A

13.（2024•江西鹰潭・二模）已知函数〃x）=/,xe（0,+oo）,则下列命题不正确的是（）

A.有且只有一个极值点B.在上单调递增

11

C.存在实数ae（0,+co）,使得〃a）=—D.有最小值工

eee

【答案】C

【分析】由条件可得函数z=xlnx可以看作为函数z=lny与函数>=的复合函数，然后求导判断其单调

性与极值，即可得到结果.

【解析】由〉=X，得lny=xlnx,令z=xlnx,

则函数z=xln尤可以看作为函数z=lny与函数了=/的复合函数，

因为z=lny为增函数，所以2=兄!^与了=工，单调性、图象变换等基本一致，z'=hu+l,

由，=0得x=L,列表如下：

j_2

X

e

zr—0+

Ze

由表知，z=xlnx在上单调递减，在上单调递增，

在x=，时，取得极小值（最小值）」，

ee

所以/（x）=x“在］上单调递增，即B正确；

111

在工=-时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）ee>-,即A、D都正确，C错误.

ee

故选：C

14.（23-24高二下•北京海淀•期中）关于函数/（x）=（2x-Me，，下列结论错误的是（）

A.〃x)>0的解集是{x[0<x<2}B.〃-亚）是极小值，/（行）是极大值

C.7(x)没有最小值，也没有最大值D./(X)有最大值，没有最小值

【答案】C

【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数/(幻的极值、最值判断BCD.

【解析】函数/。)=(2》-龙2河的定义域为R,

对于A,/(x)>0o2x-x2>0,解得0<x<2,即>0的解集是{x10<x<2},A正确；

对于BCD,/'(x)=(2-x2)e\当无<一行或x>a时，/'(x)<0,当一行<x<应时，f'(x)>0,

则函数f(x)在(-oo,-V2),(&,+8)上单调递减，在(-V2,收)上单调递增,

因此/•(-行)是极小值，〃也)是极大值，B正确；

显然当x<0时，/(x)<0恒成立，当x>3时，2x-/<-3,(2x-x2)eJ<-3e\

而当x>3时，函数y=-3e"的值域为(-oo,-3e3),而八及)=2(&-1卜返>0,因此/(x)有最大值/■(亚卜

没有最小值，C错误，D正确.

故选：C

♦题型06已知函数最值求参数

15.(23-24高二下・四川内江•阶段练习)已知/(x)=；x3-x在区间(加,6一加2)上有最小值，则实数加的取值

范围是()

A.^—oo，V5jB.V5,ljC.[-2，V^)D.卜2,1)

【答案】D

YYI<]<6—加2

【分析】求得/'(x)=/-l,得出函数/(X)的单调性，结合题意，得到、、，/八，即可求解.

【解析】由函数〃x)=$3-x,可得r(x)=f-l=(x+l)(x-D，

当尤<T时,r(x)>o,/(X)单调递增；

当T<X<1时,/，(x)<0,〃x)单调递减；

当x>l时，r(x)>0,单调递增，

要使得函数J=/(x)在区间(机,6-加)上有最小值,

—y/5<m<1

m<\<6-m2

则满足＜即《132>

/(»7)>/(l)—m—m>——

133

12

因为§加,—加2—］，PJW/w3-3m+2>0,HP(m—I)2(x+2)>0,解得机2,

所以-2W加＜1,即实数机的取值为『2,1）.

故选：D.

16.（23-24高二下・四川遂宁•阶段练习）若函数〃村=（》-3道+；--2彳+1在区间（2加-2,3+加）上存在最

值，则加的取值范围是（）

A.m<-\B.m>2C.-1<m<2D.掰＜一1或加＞2

【答案】c

【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.

【解析】/'(x)=(x-2)e，+x-2=(x-2乂e，+l),

贝U当x＞2时，r（x）＞0,当x＜2时，r（x）＜o,

即在（-吗2）上单调递减，在（2,+“）上单调递增,

即/（无）在x=2处取得最值，则有2加-2＜2＜3+"，

解得一1＜加＜2.

故选：C.

/、\x-2a,x＜0/、/、/、

17.（23-24高二下•湖北武汉•阶段练习）设函数〃无）=,若/（%）=/伉）（玉＜切，且29-西

Ilux,x＞U

的最小值为ln2,则。的值为（）

A.卜B,山:亚）c出（出后）D.£

2222

【答案】B

【分析】作出/（x）的大致图象，令/（xj=/（x2）=f,结合图象得到f的范围，再将所求转化为关于/的表

达式，构造函数g（t）=2e'T-2a,利用导数即可得解.

.,c/、\x-2a,x＜0/、

【解析】因为〃X）=刷;＞0，作出〃X）的大致图象，如图,

令，（演）=/（々）=/,由图象可得te（—oo,-2a],

因为王<X2，所以再一2a=/,lnx2=/,即%=f+2。,々=e'，

l

则2X2-x1=2e-t-2a,

令g（%）=2e'-f-2a,t<-2a,

则g'«）=2e'-l,令g'«）=0,解得t=-ln2,

当-2aV-ln2,即殍时，Z<-ln2,贝|g'（f）40,g（。单调递减，

则g⑺疝n=g（-2"）=2e-2"=ln2,解得。=_上®0,符合；

，2

1c

当-2a>-In2,即a<——时，

2

当t<-ln2时，g'（f）<0；当一1112Vt<-2a时，g'«）>0；

故g（。在（-叫-ln2）单调递减，在（Tn2,-2a）单调递增，

则g（/L=g（Tn2）=l+ln2_2a=ln2,解得a=g,不符合；

综上，

2

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变

量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.

♦题型07根据极值点求参数

18.（23-24高二上•江苏盐城•期末）已知函数外力的导函数/'（。=（*-。（》+函1。）,若x=l是函数

的极大值点，则实数。的取值范围是（）

A.(-8,1)B.(1,+(»)

C.(-05,1］D.［l,+oo)

【答案】B

【分析】分析得导函数必有2个零点，并且1必为小的零点，据此列不等式求解.

［解析］令r(x)=(xT)(x+lnx_a)=0,则x=］或x+ltu-a=0,

明显函数>=x+lnx在(0,+s)上单调递增，且值域为R,

所以方程x+lnx-a=0必有根，设为：J>0,

即/'(x)=(x-l)(x+lnx-a)=O的木艮为x=l或x=f,

又x=l是函数/(x)的极大值点，

则函数/(x)在(0,1)上单调递增，(1,上单调递减，(,+8)上单调递增,

即方>1,所以l+lnl-a<0,得a〉l.

故选：B.

19.(23-24高三上•河南南阳•期末)若函数/(x)=e，-ox?一x有两个不同的极值点，则实数0的取值范围为

()

A.(-<»,0)U(0,+oo)B.(0,+oo)

C.mg+jD.(0,l)U(l+co)

【答案】c

【分析】转化为/'("=砂一2"-1有两个变号零点，令力(x)=e*-2ax-l,求导，分aW0和。>0两种情况，

得到其单调性，极值和最值情况，从而得到不等式2a-2aln2叱l<0,再构造函数g(a)=2a-2aln2a-1,

求导得到其单调性，极值最值情况，求出答案.

【解析】由题意得/'(耳=二-2办-1有两个变号零点，

令"x)=e，-2ax-1,定义域为R,

贝lj=ex-2a,

当a«0时，％'("〉0恒成立，“X)在R上单调递增，不会有两个零点，舍去，

当〃〉0时，令/(%)〉。得，x>\n2af令〃'(x)<0得，x<\n2af

所以MH在(-8,In2a)上单调递减，在(In22+8)上单调递增,

故〃(X)在％=In2a处取得极小值，也是最小值，

贝|J<0,BP2(7-2(2In2tz-1<0,

令g(Q)=2a-2aln2a-l,Q〉0,贝！Jg'(〃)=2-21n2〃-2=-21n2〃，

令g1a)>0得令g<a)<0得a>；,

g(a)在(0,£|上单调递增，在单调递减，

故g(a)=2a-2aIn2a-1在。=；处取得极大值，也是最大值，

又g［；］=0,故2a-2011120—1<0的解集为10,；111(；,+<»1，

此时当无趋向于负无穷时，〃(必趋向于正无穷，

当x趋向于正无穷时，〃(可趋向于正无穷，

满足Mx)=e*-2ax-l有2个变号零点.

故选：C

【点睛】结论点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征(包括单调性，特殊位置的函数值

符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等)，需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注

意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零

点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，

都是需要思考的地方

20.(22-23高三下•江西赣州•阶段练习)已知函数〃x)=2e工-"2+2存在两个极值点玉玉<%),则以

下结论正确的为()

A.0<Q<eB.0<^1<x2<1

C.若马=2再，则a=21n2D.1叫+马〉。

【答案】D

【分析】由题可得方程a=J有两个不相等的实数根再,马(再<£),构造函数g(x)=三，利用导数研究函数

XX

的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.

【解析】函数/(x)的定义域为R,求导得r(x)=2e-2G,由r(x)=O,得/-◎=(),显然x*0,

由函数/(x)=2e，-办2+2存在两个极值点再,3(再<%),得方程e-ax=0,即a=1两个不相等的实数根

X

于是函数g(x)=《的图象与直线V=a有两个交点，且横坐标分别为和％(再<工2)，

X

求导得g'(x)=《F，由g'(x)<0得xe(-叫O)U(O,l),由g'(x)>0得xe(l,+co),

因此函数g(x)在(一叼0),(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，且当x<0时，g(x)<0,当x>0时，

g(x)>0,

对于A,要使函数〃力=2/-0?+2存在两个极值点为玉,血(西<工2),贝I]a>g6=e,A错误;

对于B,当a>e时，由函数g(x)的图象知，0<%,<l<x2,B错误;

e^2

对于C,若％=2X],贝！]a=—=—=——,得X]=ln2,则ci-----—,c错误;

X]x22xlIn2In2

e皆eg

X2X1

对于D,由一=—，XXQ=x2e,又0＜玉＜1,则e*'＞l,x2＞l,有＞1,即石户＞1,因此

X]x2

liUj+x2＞0,D正确.

故选：D

【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从/(x)

中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式,

再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为

结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的

参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

♦题型08由导数求函数的最大值(含参)

21.(23-24高二下•海南省直辖县级单位•阶段练习)已知函数〃x)="2-g+2)x+lnx,其中aeR.

(1)当a=-l时，求/(x)的单调区间;

⑵当。>0时,函数y=/(x)在区间［l,e］上的最小值〃(冷.

【答案】(1)单调递增区间为(0,；),单调递减区间为+8

~2,Q21

I1111

(2"(。)=,-Ina------l,—<a<l

ae

1+etc2-(〃+2)e,0<aW-

【分析】(l)当a=-l时，求尸(x),令((x)>0,r(x)<0,求解即可；

(2)先求/'(x),令/'(x)=0,在定义域［l,e］内解得x=L讨论。的取值范围，通过判断函数〃x)在［l,e］

a

的单调性，即可求得最小值.

【解析】(I)当a=-l时，f(x)=-x2-x+lnx,xe(0,+oo),

((x)—+L2fx+l=(2x+l)(x+l),

XXX

因为x>0,x+l>0,

所以当/'(x)>0时，解得0<x<g,

当/'(x)<0时，解得x>),

所以函数/(x)的单调递增区间为单调递减区间为13,+8)

(2)函数y=/(x)的定义域为

f(x)=2ax-(a+2)+-=2办2-("+2)x+l=(")(2xf,0《(0,十孙

令/V)=0,得％=工或x(舍)，

a2

当0<—Wl,即时，

a

当x«l,e］时，r(x)>0,则〃x)在［l,e］上单调递增，

所以函数7=4X)在区间［l,e］上的最小值为/⑴=-2,

当l<』<e,即1<a<l时，

ae

当xe1,£|时，则〃x)在1,：)上单调递减，

当xe\,e时，r(x)>0,/(x)在H，e上单调递增，

所以函数7=/(x)在区间［旧上的最小值为=

当即0<aV』时，

ae

当xe［l,e］时，r(x)<0,则/(x)在［l,e］上单调递减，

所以函数J=/(x)在区间［l,e］上的最小值为〃e)=l+ae2-(a+2)e,

—2,aN1

综上人(。)=，Tn”------

ae

1+UQ2-(〃+2)e,0<aW-

2

22.(2024•山西吕梁•二模)已知函数/(x)=a1wc-2x-—^a0).

⑴当。=1时，求“X)的单调区间和极值;

⑵求〃x)在区间(0,1］上的最大值.

【答案】(1)单调递增区间是(0』，单调递减区间是(1,+8),极大值为-3,没有极小值;

-2-a2,Q>1

—2—q2,Q<—2

⑵小)皿=<a]na-3a,0<a<1

aln+3a,-2<q<0

【分析】(1)求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值；

(2)求出函数的导函数,(同=-("-")(产十"),再分。21、0<“<1、-2<。<0、。<-2四种情况讨论,

得到函数“X)在区间(0,1］上的单调性，即可求出函数〃X)在区间(0,1］上的最大值.

【解析】(1)当°=1时，/(x)=lnx-2x--,xe(0,+oo),

-(2x+l)(x-l)

贝U/\x)=--2+4=~2%2tX+1

当0<x<l时，/'(x)>0,函数单调递增,

当x>l时，/，(%)<0,函数/(x)单调递减,

故函数“X)的单调递增区间是(0』，单调递减区间是(1,+8),

函数/(x)的极大值为〃1)=-3,没有极小值.

(2)由题意得子2+£=一2/?一片

若当xe(O,l］时，r(x)>0,〃x)在区间(0,1］上单调递增，

此时的最大值为/(1)=-2-/；

若0<°<1,当xw(O,a)时，/'(x)>0,单调递增,

当时,r(x)<0,/(x)单调递减,

此时/(x)的最大值为/(a)="lna-3a；

若一2<a<0,贝当-时，/'(x)>0,单调递增，

当时，r(x)<0,单调递减，

此时/(X)的最大值为/'［•||=aln1|^+3a；

若aW-2,贝卜蓝21,当xe(O,l］时，f\x)>0,/(x)在区间(0,1］上单调递增,

此时/(x)的最大值为〃1)=-2-.

-2-/，。21

-2-/,Qv—2

综上可得，“x/xa\na-3a,0<a<1

aln+3。,一2<Q<0

♦题型09恒成立问题

23.(2024•山东烟台•一模)已如曲线〃x)=ox2+x-21nx+b(a,6eR)在x=2处的切线与直线x+2y+1=0

垂直.

⑴求。的值；

⑵若/卜”0恒成立，求6的取值范围.

【答案】(1)。=；

3

(2)62-5

【分析】(1)根据斜率关系，即可求导求解，

(2)求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.

【解析】(1)由于x+2y+l=0的斜率为-/所以(⑵=2,

2?1

X/,(x)=2ax+l--,^/,(2)=4a+l--=2,解得

(2)由(1)知。=；,所以/，(x)=x+l-2=/+X-2=(X+2)(X-1),

故当X>1时，/'(x)>o,/(x)单调递增，

当0<x<l时，/'(x)<0J(x)单调递减，

故当x=l时，/(x)取最小值/(1)=；+1+6,

13

要使/(x)ZO恒成立，故/⑴=5+1+620,解得62-天

故6的取值范围为62-；

24.(2024・湖北•模拟预测)已知函数/(x)=lnx,g(x)=2-l其中。为常数.

(1)过原点作/'(x)图象的切线/,求直线/的方程；

(2)若丑€(0,+8),使〃X)4g⑺成立，求。的最小值.

【答案】(l)x-ey=0

【分析】(1)设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程;

(2)由题意，将其等价转化为aNx(lnx+l)在(0,+(»)有解，即只需求7z(x)=x(hu+l)在(0,+s)上的最小值,

利用导数分析推理即得。的最小值.

【解析】(1)r(x)=1,

设切点坐标为a1皿)，则切线方程为=,

因为切线经过原点0,所以-lnf=l(v),解得f=e,

所以切线的斜率为工，所以/的方程为x-ey=0.

e

(2)3xe(O,+a?),/(x)<g(x),即Inxwq-l成立,

贝□得。2x(lnx+1)在(0,+8)有解，

故有xw(0,+8)时，a>\_x(\nx+-

令/z(x)=x(lnx+l),%>0,h'^x)=lnx+2,

令/z'(x)〉0得X£(―,+oo);令〃'(x)<0得X£(0,/),

故〃(x)在单调递减，［：,+，!单调递增，

所以，"„=4|=一：，

则--T,故。的最小值为--y.

ee

♦题型10零点问题

25.(23-24高三下•安徽芜湖•阶段练习)已知函数/(x)=e"-2x-cosx.

(1)讨论函数8(%)=/(%)+85工的单调性；

⑵求函数在上的零点个数.

【答案】(1)答案见解析

(2)2

【分析】(1)求导得到g'(x)=e*-2(xeR),令gG)<O,g，(x)>。即可求解函数的单调区间;

(2)求导得到/'(x)=e，+sinx-2,因无法轻易求得/'(x)=0的解，故根据导函数的性质将x的取值范围分

为(一宗0)、[0,自、(多+动三段分别讨论，结合零点的存在性定理即可求解零点个数.

【解析】(1)"gW=/(^)+cosx=e':-2x,故无)=e=2(xeR),

令g'(x)<0=>x<In2,g'(x)>0=>x>ln2,

所以g(x)在(-叫In2)上单调递减，在(ln2,+对上单调递增；

(2)因为/(x)=e*—2x—cosx,xe1—5,+ao],

则f\x)=ex+sinx-2.

①当xe15。,寸，因为/''(x)=(e*-l)+(sinx-l)<0,

所以/(x)在上单调递减.所以〃x)>〃0)=0.

所以/(x)在(go)上无零点.

②当xe0微时，因为/‘(X)单调递增，且/'⑼=-1<0,/(3=出-1>0,

所以存在/©。，，使/'伉)=0.

当xe[O,x())时，f\x)<0；当时，f\x)>0.

所以/(x)在[0,*上单调递减，在卜仁上单调递增，且/(O)=O.

■JT

所以设，(x)=e，-2x,xe0,-,

由(1)知”x)在(0,In2)上单调递减，在(in2,j上单调递增.

所以〃(力皿小理地尸？一21n2>0.

所以=0一万>0，得/|^)=一一兀>0.

所以所以〃x)在卜,胃上存在一个零点.

所以在有2个零点.

(兀、—

③当x£,+8J时，=e"+sinx-2>-—3>0,

所以〃X)在上单调递增.因为/(3>0,所以/(X)在上无零点.

综上所述，〃x)在，上的零点个数为2.

【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有:

(1)分段处理：利用三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；

(2)高阶导数的应用：讨论端点(特殊点)与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区

间的单调性是关键；

(3)关注三角函数的有界性与常用不等式放缩.

26.(22-23高二下•内蒙古呼和浩特•期中)已知函数="

⑴函数/(x)在(2,〃2))处的切线与x轴平行，求a的值；

(2)若函数V=/(x)有两个零点，求a的取值范围.

【答案】⑴。=1

(2)0<Q<—

【分析】(1)求出导数代入得/''(2)=0即可求出。值;

(2)首先排除的情况，在。>0时，根据/(x)max=lnL-l>0,解出范围，再利用零点存在性定理证明

a

此时有两个零点.

aX+a+}

【解析】(1)f\x)=^--a=~,则由题意得广(2)=4T-a=0,

x—1x—12—1

解得a=1.

(2)〃x)定义域为(1,+s),f(x)=~aX+a+1,

X—1

令/'(x)=0,解得：X=—=1+-,

aa

当"。时，/'(x)>0在(1,+8)上恒成立，在(1,+8)上单调递增；

则至多有一个零点，不符合题意；

当a>0时，若时，/'(x)>0；若时，/，(x)<0；

在卜上单调递增，在1—，+"］上单调递减；

若有两个零点，则/(x)1mx=/11+」=111工-1>0,解得0<a<L

yaJae

因为/(2)=-"0,且2€1,1+十)，由零点存在定理可知，

存在玉+使得〃再)=0,

又因为/l+4]=-21na-L设8(°)=-21110」,(0<0<与，

Va)aa\eJ

因为g'(a)=g>0,所以g(。)在[0,：)单调递增，

故g⑷<g]]=2-e<0,即/，+*[<(),

因为1+1>1+L由零点存在定理可知，存在超/1+匕1+4],使得/仁)=0.

aayaaJ

综上可得〃的取值范围是,,：[

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用/(Omax〉。，解出。的范围，再利用零点存在性定义证明此

时满足题意即可.

♦题型11导数的综合应用

27.(2024・江苏•二模)已知函数/'(x)=^——-+aInx(aGR).

⑴当a=0时,证明：/«>1；

(2)若/(x)在区间(1,+◎上有且只有一个极值点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵ST)

【分析】(1)因为函数的定义域为(0,+8),当。=0时，f(x)=—,将问题转化为当X>O时，e*>x+l,

X

构造函数p{x}=e-x-\,利用导数研究o(x)的值域即可证明；

(2)求导八幻」.《-1把'+1+0,令g(x)=(xT)e'+l+a(x>i),再求导父㈤，利用放缩可知

XXX

g'(x)>0,得到g(x)在(1,+s)单调递增，g(x)>g⑴=1+。，分类讨论和。<-1时g(x)的正负，从而

确定是否有极值点以及极值点的个数.

【解析】(1)因为函数的定义域为(0,+8),当。=0时，/(x)=1.

X

要证只需证：当x>0时，e%>x+1.

令P(x)=-x-1,贝!Jp\x)=ex-1>0,

则p(x)在X£(0,+8)单调递增，

所以。(%)＞。(0)=0,即e、＞x+L

XXXX

令g(x)=('T)e+1+a(x>1)，

x

则g，(x)J，—：+1)T〉，-X：1)T=二〉0.

XXX

所以g(x)在(1,+s)单调递增，g(x)>g⑴=1+。，

①a2-1时，g(x)>g(l)=l+a'>0,f'(x)>0.

则/(X)在(l,+8)为增函数，/(X)在(1,+8)上无极值点，矛盾.

②当时，g(D=l+a<0.由(1)知，ex>x+l>x>

8(幻=史上上+“>止里+〃>巨二如+〃=工_1+〃，则g(l一0)>0,则大。e(1,1-a)使g(x。)=0.

XXX

当xe(l,x。)时，g(x)<0,r(x)<0,则/(x)在(1,%)上单调递减;

当xe(xo，+a>)时，g(x)>0,f\x)>0,则/(x)在(%,+oo)上单调递增.

因此，/(x)在区间(1,+◎上恰有一个极值点，

所以。的取值范围为

【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：

1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数的取值范围

2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；

3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.

28.(2024•黑龙江齐齐哈尔・三模)已知函数"X)="sm":6cosx(0)xw初°>o,x=♦为/⑴的极值点.

(1)求a-ln6的最小值；

(2)若关于x的方程〃x)=l有且仅有两个实数解，求。的取值范围.

【答案】(1)1

⑵e，<a4e"

【分析】(1)求出导函数，根据极值点的定义可得。-6=0,代入a-ln6,构造函数，利用导函数判断单调

性，然后利用函数的单调性求出最值即可

(2)由〃x)=l,然后分离参数得sm”;c°sx=L,设g)=sm二cosx,求出单调区间以外和极值即可

eae

【俄析】(1)