导数大题专练-2025届高三数学二轮复习

高考数学专题：导数大题专练附答案

一、解答题

1.

已知函数/(x)=o+21nx-ot(a＞。)

⑴求〃龙)的最大值

⑵若〃x)WO恒成立，求“的值

2.已知函数〃%)=依-1-山巧aeR.

⑴讨论函数〃x)在区间(l，e)的极值；

⑵若函数在x=l处取得极值，对Vxe(O,y),/(x)之法-2恒成立，求实数

6的取值范围.

3.已知函数/(x)=2x+'-lnx.

X

⑴求函数的单调区间和极值；

(2)若芯且〃%)=/伉)，求证：X1X2＜1.

4.已知aeR,函数/(x)=e"+三--而x.

⑴求曲线y=〃x)在x=o处的切线方程

(2)若函数4%)有两个极值点,，马,且。＜不＜三＜1,

(i)求a的取值范围；

(ii)当a＜-9时，证明：＜“+6-＞.

aa+4

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

5.设函数/(x)=ln(x+l)+a(x2-x),其中aeR.

⑴。=1时，求曲线y=/(x)在点(1，/。))处的切线方程；

⑵讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；

⑶若Vx＞O,/(x)..O成立，求。的取值范围.

6.求下列函数的导数：

(2)=ex(1+cosx)-2X；

(3)y=log3(5x-l).

7.已知函数/(x)=e*-履，g(x)=2x---81n%(ae7?).

⑴当％=1时，求函数/(x)在区间［-L1］的最大值和最小值;

⑵当〃x)=0在有解，求实数k的取值范围；

⑶当函数g(x)有两个极值点网，.(与＜々)，且玉时，是否存在实数m,总有

普＞,“(5%-考)成立，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明

理由.

8.已知函数/。)=夕\。(；＜：+1)(0€11).

⑴当”=1时，求函数y=/(元)的极值；

⑵若函数g(x)="f)+lnx-e在U,y)有唯一的零点，求实数。的取值范围.

9.已知函数〃x)=x(l+lnx)

⑴求函数的单调区间和极值；

(2)若机eZ,机(xT)＜/(x)对任意的xe(l,+co)恒成立，求m的最大值.

10.已知函数/(x)=e*(ax2-x+l).

⑴求曲线y=Ax)在点(0J(。))处的切线的方程；

⑵若函数/⑴在x=0处取得极大值，求。的取值范围；

⑶若函数Ax)存在最小值，直接写出。的取值范围.

【参考答案】

一、解答题

1.⑴a-2-21na+21n2

(2)a=2

【解析】

【分析】

(1)求导求解单调性即可求出最值；

(2)要使〃x)W。成立必须姒a)=a—2—21na+21n2W0,求单调性求解即可.

⑴

O_"x

因为/(%)=〃+21nx-依(♦＞。),所以/'(尤)=----(tz＞0),

97

由外力＞0得八力＜()得X〉?

所以“X)在(0,£|上单调递增，在《，+’!上单调递减，

故/(x)max==a-2-2\na+2\n2,gp0(〃)=〃-2—21n〃+21n2(〃>0),

(2)

要使/(x)W。成立必须0(〃)=〃—2—21n〃+21n2W。,

ZV-O

因为"a)=----,所以当0<a<2,(p'(a)<0.当。>2时，<p'(a)>0.

所以姒a)在(0,2)上单调递减，在(2,+s)上单调递增.

所以姒叽“—⑵=0,所以满足条件的“只有2,即a=2.

【点睛】

用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

⑴在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

⑵不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；

⑶利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问

题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

2.(1)答案见解析

e

【解析】

【分析】

(1)先讨论“X)的单调性再确定“X)在(l,e)上的极值(2)利用极值点处的导

数为求出。=1,代入恒成立的不等式中，用分离参数法求6的取值范围

⑴

在区间(0,+8)上，:(无)=。-2_=竺匚，

XX

当aVO时，/'(力<0恒成立，“X)在区间(l,e)上单调递减，

则了(力在区间(Le)上无极值;

当a>0时，令—(无)=。得无=’,

a

在区间(0,£|上，/(力<0,函数单调递减，

在区间(!+.上，/'(力>0,函数单调递增.

若，<a<l,gp1<-<e,则在区间(l,e)上极小值/Q]=lna

ea

iii

若aZl或0<。4-，即-41或-Ne,则在区间(l,e)上无极值

Qaa

(2)

因为函数“X)在X=1处取得极值，

所以(⑴=0,解得。=1,经检验可知满足题意

由已知f(x^>bx-2,即x-l-h\x>bx-2,

即1+工-昼泊对Vxe(O,y)恒成立，

令g(尤)=1+工_岭，贝！一粤=七，

XXXXX

当无«0,e2)时，g<x)<0；当xe(e2,+co)时，g[x)>0

所以g(x)在(Od)上单调递减，在6,+对上单调递增，

所以gOOxg。**，

即b<1--.

e

3.(1)减区间(0,1),增区间(L+⑹，极小值3,

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

(1)依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可;

(2)构造新函数利用函数单调性去证明百々<1即可.

⑴

/(无)=2尤+，_lnx(x>0),贝ljf\x)=2)_'=(2x+l.x。食>0)

x尤~xx

由广(x)>0得x>l,由广(x)<0得0<彳<1,

即〃x)减区间为(0,1),增区间为(1,+<»),

在x=1时/⑴取得极小值/⑴=2+1-0=3,无极大值.

(2)

不妨设士气且/(%)=/(%)=。，则。<%<1,x2>l,a>3,0<—<1

X2

h(x)=f(x)-a=2x+--\nx-a(x>0),贝［J/i(xJ=/z(X2)=0

…—二2”

XXX

则当x>l时为'(x)>。，*龙)单调递增；当0<x<l时"(x)<0,6(无)单调递减

/z(x2)=2X2+--lnx2-tz=0?得。=2々+，-ln%2

贝Uh|—|=Fx?+In%2一2%2~i----Inx?|=----x?+2In/

\X2)X2\X2)X2一

t=—IJId%+2In/=t----2In£(0<Z<1)

9x?t

令加(。=，一；一2山《0<，<1),贝U加")=1+"—,="；)>0

即加(。=/-；-2111/(0<，<1)为增函数，

又加⑴=1一1一0=0,则根⑺=[-；-21nf<0在(0,1)上恒成立.

贝—>1=-•一/+21”2<。恒成立，则"，-]<"(%),

)X?\X2J

又O<X<1时/7(%)单调递减，0<玉<1,o<—<1

X2

贝!]一>3,故项W<1

X2

4.(l)y=(2-C)x+\

(2)(i)(拆-2e。,-4&)；(ii)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由导数的几何意义即可求解；

(2)(i)原问题等价于为,三是方程空~m=_q的两根，且0cxi<三<1,从而

X

构造函数g(X)=2/一品(X>0),将问题转化为直线y=-。与函数g(x)的图象有两

个交点，且交点的横坐标大于0小于I即可求解；

(ii)由尤+14e*,利用放缩法可得2(2m+1)+叫-五wy'(xj=o,即

在二2,又由(i)知:<々<1,从而可证<£±止逅；先证明

a+44«+4

e^<l±£(0<x<l),然后利用放缩法可得2•产上+0-五>/(无,)=0(i=1,2),

即--2+(。+2+血)匹+2-公>0(，=1,2),最后构造二次函数

=-ax2+^a+2+4e^x+2-y[e,禾I]用根的分布即可证明％>-©WE,从

而得证原不等式.

⑴

解：因为尸(x)=2e2*+6»-人

所以/(0)=2-暴,又以0)=1,

所以曲线y=/(x)在x=o处的切线方程为y=(2-6卜+i；

(2)

解：(i)因为函数/'(x)有两个极值点％,三，

所以小三是关于x的方程1(x)=2e"+"-而=0的两根，也是关于x的方程

至B=-a的两正根，

X

设8(元)=至1">0),则g，⑺=4xy+G,

令h(x)=4xe"-2e2x+Ve(x>0),则(x)=8xe2A,

当x>0时，h'(x)>0,所以/z(x)在(。,+8)上单调递增，又彳1=0,

所以，当0<x<；时，〃(x)<0,g'(x)<0；当无>；时，〃(x)>0,g'(x)>0,

所以函数8⑺在]o,£|上单调递减，在&,+：)上单调递增，

又因为。"<三<1,所以ggj<-a<g(l),即<—a<2e2—-\/e,

所以a的取值范围是(6-2e\-4五)；

(ii)证明：结合(i)可矢口正一2e2<a<-9,

因为x+14e”,所以2(2占+1)+%-五W/(%)=0,

所以(a+4)X]W&'一2,所以,又由(i)知：<尤2<1，

。+44

所以X2-<>逅匚1+6-血

〃+4a+4

下面先证明不等式e"<乎(0<x<1),

1—X

22x

1_2xe

设r(x)=-^--e2%(0<尤<1),贝lj/(x)=------7T,

l+x(1+x)

所以，当0<x<l时,/(x)<0,/(尤)在(0,1)上单调递减，

所以，r(x)<r(O)=l,所以不等式6功<产(0<尤<1)成立，

因为士，三，(0<益<々<1)是((x)=2e2£+ax-&'=0的两个根，所以

/仁)=0(i=1,2),又e?,<产(0<x<1),

1—X

所以2-口+叫一小>尸(无,)=。［=1,2),即

1—Xj

-ax；++2+A/C%z-+2-,\/e>0(i=1,2),

设函数根(%)=—依2+(1+2+％+2—五，对称轴％二/。+2+

2a

2

因为△=(〃+2+Vej+4〃（2_孤）=（a+6-m）+16（孤-2）>0,且加⑼>0,

m(l)>0,()<£<；,

所以函数制%)有两个不同的零点,记为。，"a<B),且°vavrv「vl，

〃+6-+16-2）

因为广（，）=2©2,-屈•土」-血=

+at<2at2（"2_册）〈O，且

1—t

r(o)>o,r⑴>o,

所以<九2<I,

因为加(x)在(0/)上单调递减,且加(%)>0=制。),所以0Vxi<a<£；

因为巩力在«』)上单调递增,且为%2)>。=加(分)，所以，</<尤2<1;

所以。<玉所以％2-石〉尸一。，

«+2+Ve（2-A/B）_H2+Ve）^i2-2Ve

因为尸_々=i+t+1，

aaaa

又_]<^2£<og<-9),所以6一

aa

所以马一占>一2±立，

a

AP?r2+^/eQ+6-A/C

,------<工2-X]<----------------•

a〃+4

【点睛】

关键点点睛：本题(2)问(ii)小题证明的关键是，利用x+lWe，，进行放缩可

得网》逅二,从而可证v-%<"+6一/;再利用e2'<1±^(O<x<l),进行放

a+4a+41-X

缩可得2.口+叫-逐>广&)=0(/=1,2),从而构造二次函数

1一七

根(%)=-办2+(。+2+八)％+2-五，利用根的分布即可证明x2-xl>_2+」

5.⑴3x-2y+21n2-3=0

(2)当。<0时,函数〃尤)有一个极值点;

当0Vaw|时，函数〃x)无极值点；

当时，函数“X)有两个极值点.

⑶[。，1]

【解析】

【分析】

(1)将。=1代入函数"X)中，得出函数/(X)的解析式，进而可以求出切点坐

标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；

(2)根据已知条件，对。进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数

极值的定义即可求解；

(3)根据Vx>O,/(x)..O成立，转化为以>。,〃耳，..。即可，再利用第(2)的

结论即可求解.

⑴

当a=l时，/(x)=ln(x+l)+x2-JC

/(l)=ln(l+l)+l2-l=ln2,所以切点为(l,ln2),

113

广(X)=Q+2X-1,.・"=7")=币+2x1-1=],

所以曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线的斜率为%"'⑴=]

所以曲线y=/(x)在点(I,也2)处的切线的斜率切线方程为

y_ln2=5(尤一1),ip3x-2_y+21n2-3=0

(2)

由题意知函数“X)的定义域为(T+8),

lax2+ax-a+1

f'(x)=-^—[+a(2x-\)=

x+1

令g(x)=2加+冰一a+l,x£(-l,+oo),

(i)当。=0时,Z(x)=l>0,函数/(%)在(T+oo)单调递增,无极值点

(ii)当a>0时，A=a(9«-8),

Q

①当时，AVO,g(x)NO，r(x)NO,

所以函数A”在(T+8)单调递增，无极值点；

Q

②当八5时，△>(),

一a—，9矿—8a—ci+19cr—8a

设方程2改2+以_々+1=0两木艮%,马,西=

7a'无z4。

此时<X2

，

xI+x2-~2'''>-W，8(—1)=1>—1<占<一^

.,.xe(-l,%),(W，+o0)时，g(x)>0,/(x)>0,函数单调递增;

xe(占,々)时，g(x)<0,f'(x)<0,函数〃x)单调递减.

二函数有两个极值点;

③）当°<0时，△=a（9a-8）>0,

一a—J%/—-8a—ci+-8a

设方程2aF+or-a+l=0两根X”尤2，玉=

4。

止匕时玉

,.,g(-l)=l>0,.\x2<-1<^

，xe(T,不)时，g(x)>0,fr(x)>0,函数〃尤)单调递增；

彳武小口)时，g(x)<O，r(x)<。，函数/'(x)单调递减.

二函数有一个极值点；

综上所述：

当"。时，函数〃尤)有一个极值点；

Q

当时，函数无极值点；

Q

当时，函数〃尤)有两个极值点.

⑶

由\/x>O,/(x)..O成立等价于\/工>0,/(4/0即可.

①当OWa«|时，函数〃尤)在(。,+⑹上单调递增，

,."(O)=O,.”e(O,E)时，〃x)〉0,符合题意；

②当|<a41时，由g(O)>。，得马<。，

函数/'(x)在(0,+8)上单调递增，

又"0)=0,.”«0,笆)时，又x)>0,符合题意；

③当a>l时，由g(0)<0,得马>0

.,.彳«0,尤2)时，“X)单调递减，

•."(0)=0,.・.x«0,切时,〃x)<0时，不合题意；

④当°<0时，设/i(x)=x-ln(x+l),

•.•XG(0,-K»),时,〃(%)=1-£^=/?0,：.无(左)在(0,+°0)上单调递增.

当xw(0,+e)时，//(%)>/z(0)=0,即ln(x+l)<x,

2

可得/(%)<%+〃(炉-x^=ax+(1-Q)X,

当X>1-工时，ax2+(l-a)x<0,此时/(x)<0,不合题意.

综上，a的取值范围是

【点睛】

解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对

参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要

将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解.

_….x(l-sinx)-2cosx

6.(l)y=-^---------f----------;

(2)y=ex(l+cosx-sinx)-2xln2；

⑶y=(5x-l)-ln3-

【解析】

【分析】

根据导数的运算法则，对(1)(2)(3)逐个求导，即可求得结果.

⑴

因为y_cosx-x故.(-sinx-l)x2-2x(cosx-x)尤(1-sin尤)-2cosx

X2'X4X3

⑵

因为y=e*(l+cosx)-2",故y'=e*(l+cosx-sinx)—2*ln2.

⑶

因为y=l°g3(5xT)，故y=(5」)ln3x5=(5x.；”n3；

7.⑴最大值为e-1,最小值为1；

⑵卜W；

⑶2-1].

【解析】

【分析】

(1)求得f(x),利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最

值即可；

(2)分离参数并构造函数4x)=F，求其在区间上的值域即可求得参数的范

围；

(3)根据占是g(x)的极值点，求得当，与。的等量关系以及取值范围，等价转

化目标不等式，且构造函数Mx)=21nx+M/T),0<x<2,对参数进行分类讨

论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围.

⑴

当左=1时，/(x)=e*-x,f1(x)=eA-l,令/G)=0,解得x=0,

当x«—l,,O)时,单调递减，当xe(O,l)时，单调递增;

X/(-l)=|+l，/(O)=l,/(l)=e-l,且/⑴

故/⑴在[-1』上的最大值为e-l,最小值为1.

(2)

]0X

令/(%)=e*—Ax=0,因为工£—,2,则1w0,故左=—，

_2」x

令=；,2,则“(无)=e(:T),

x|_2」%2

故当xe[；/],/z(x)单调递减，当xe(l,2),/z(x)单调递增，

又〃⑴=e,=24,"2)=,且〃⑵〉h[^,

故网力的值域为eAe2,则要满足题意，只需0ei2.

即Mx)的取值范围为：ele2.

⑶

r-f-t、r'/\c〃82x2—8x+Cl

因为g(%)=2x------81nx,g(x)=2+——=---------------,

xxxx

因为g(x)有两个极值点国,尤2,故可得64-8a>0,%+无2=4,卒2="|>0，

也即0<〃<8,且%+%=4,玉%2・

因为占片1,占<々，故石e(O,l)u(l,2),

则普“包一君)，艮产(;二)一‘小(”占)一(4一%)［,

因为4-%>0,故上式等价于斗竽>利。+%)，即421呻+小二1>0,

［一百］一玉

又当xe(O,l)时，-^->0,当xe(l,2)时，白<。，

22

A/、m(x-1)舟［，mx+2x+m

令机(x)=21nx+—------^,0<%<2，贝！］机(%)=---------，

当机20时，m,(x)>0,故M%)在(0,2)单调递增,又制1)=0,

故当元40,1)时，m(x)<0,当x«l,2)时，m(x)>0,故不满足题意;

当〃z<0时，令”(尤)=如2+2x+〃？，

若方程〃(x)=0对应的.=4-4相wo时，即加W-1时，m,(x)<0,加(x)单调递减，

又加⑴=0,故当xe(O,l)时,又x)>0,当xe(l,2)时，〃?(x)<0,满足题意；

若*=4-4〃/>o,即-1〈加<0时，又y=〃(x)的对称轴尤=―->1,且开口向下，

又〃⑴=2m+2>0,不妨取b=min1-■-,21,

故当xe(l,Z?),加(x)>0,加⑴单调递增,又二⑴=0,

故此时机(x)>0,不满足题意，舍去；

综上所述：加的取值范围为(YO,-1].

【点睛】

本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；

其中第三问中，合理的处理和起,a以及m多变量问题，以及构造函数，是解决

本题的关键，属综合困难题.

8.(1)/3的极小值为2,无极大值；

(2)(-oo,e+l]

【解析】

【分析】

(1)当。=1时，求导分析,⑴的单调性，即可得出答案.

(2)由题意可得g(x)=/(-x)+lnx-e=eX-ax+a+ln尤-e。.」)，求导得g'(M,从而

可推出g'3在(1,+8)单调递增，g")=e+l-a,分两种情况讨论：①当

e+l-«..O,②当e+1-a<0,分析g(x)的单调性，即可得出答案.

⑴

当a=l时，/(x)=^+(x+l),fXx)=-e-x+l=^^,

ex

令-l+e”〉0,得%>0,

令-l+e尤<0,得x<0,

则fM单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(-8,0),

・・・,。)存在极小值为/(。)=2,无极大值；

(2)

g(x)-/(-x)+lnx-e=ex+«(-%+1)+Inx-e=ex-ax+a+]nx-e(x..r),

贝!Jg'(%)=e*-〃+,,

x

x

^h(x)=e-a+-,则/(%)=XjT，

由x>l得,X2>1,x2ex-l>0,则1(x)>0,故g'(x)在(1,位)单调递增，

gQ=e+l-a,

当e+1-a..0,即％e+1时,即xe(l,+oo)时，g'(尤)>0,

g(x)在(l,+°o)上单调递增,又g(l)=0,

.•.当X>1时，函数g(x)没有零点,

②当e+l-a<0,即a>e+l时，

由y=e"-ex(x>l),得y'=e*-e>0,

•・e,>ex,

・，/、x11。ee„

..g(x)=ed-----a>exd------a,g—>e—i-----«=—>0,

xx(ejeaa

又,••4>£=1,

ee

存在使得((不)=0,

当》€(1,与)时，g\x)<0,g(x)单调递减，

又•:g⑴=0,

.•.当xe(l,x。]时，g(x)<0,在(l,x0)内，函数g(x)没有零点，

又：xe(%o，+oo)时，又x)>0,

g(x)单调递增,

又g(Q)=e"+1口〃一〃2+〃-e>e"一4+1,

令k{x}=cx-x2+l(x>l),

s(x)=k\x)=ex—2x,s'(x)=ex-2>e-2>0,

/.〃(X)在(l,+8)上单调递增，

又・.・r(1)>0,

・,.x〉l时，k\x)>0,—%)在(L+oo)上单调递增，

k(a)>k(y)>0,

/.g(Q)>0,

3^丁a>—>XQ,

e

由零点的存在定理可知存在玉«%，a)，ga)=。，

.•.在(不⑷内，函数g(x)有且只有1个零点，

综上所述，实数”的取值范围是(-叫e+1].

9.⑴递增区间为(e』+8),递减区间为(0,J)，极小值为一尸，没有极大值

(2)3

【解析】

【分析】

(1)由导数分析单调性后求解

(2)参变分离后，转化为最值问题求解

⑴

函数/(x)=x(l+lnx)的定义域为(。,+8),

由八x)=lnx+2,令八力=0可得尤=片2,

当xe(0,e-2)时,f'(x)<Q,函数/(x)=x(l+lnx)在(0,e")上单调递减,

当xe(e-2,+co)时,r(x)>0,函数/(x)=Ml+lnx)在(e",+oo)上单调递增,

函数/(x)=x(l+lnx)的递增区间为(尸,+(»),递减区间为(0,『)，

函数/(%)=%(1+M%)在％=-2时取极小值,极小值为-e<,函数/(x)=x(l+lnx)没

有极大值

⑵

当xe(1,+8)时，不等式〃心-1)</(%)可化为m