北师大版七年级数学下册同步训练：平方差公式和完全平方公式（10类热点题型）（原卷版）

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)

学习目标

1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用;

2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算;

3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.

思维导图

平方差公式:两个数的和与这两个

数的差的积,等于这两个数的平方

差.

平方差公式和完全平方完全平方公式:两数和(差)的平方,

公式等于它们的平方和加(减)它们积

的2倍.

平方差和完全平方差区别

知识清单

知识点01平方差公式

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

即(a+b)(a-b)="-b2

公式的几种变化：

①位置变化：(6+。)(-6+。)=(a+b)(a-Z?)=a2~b2；

(-a-b)(a-b)=(rb-a)(V+a)=(~b+a)(-b-a)=(­£>)2-a1=b2~a2

②系数变化：(2a+36)(2a-36)=(2a)2-(36)2=4〃-9〃

③指数变化：(〃+〃)("_")=(〃)2_g2=a4-b4

④增项变化：Q-b-c)(a-b+c)=(a~b)2

44

⑤连用公式变化：(a+b)(a-b)(〃+〃)=—(/+〃)=(")2_g^a-b

⑥公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b)

知识点02完全平方公式

完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.

22

即完全平方和(〃+/?)2=/+2ab+b完全平方差(。-引之二/-2ab+b

(1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍

(2)公式的变化：

222222

①。2+b=(a+b)-2ab；②。?+〃=(a-b)+2ab；③(〃+/?)?=(«-/?)+4ab；(4)(a-b)=(a+b)-4ab

⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab

知识点03平方差和完全平方差区别

平方差公式：(〃+。)一加

完全平方差公式：(a~b)2=a2-2ab+b2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍

题型精讲

题型01判断是否可用平方差公式运算.

【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是()

1

A.—a+2b\\—a-2bB.(-2x+3y)(-3y-2x)

22

C.(-2x+y)(-2x-y)D.(x—

【变式训练】

1.下列能使用平方差公式的是()

A.(x+3)(3+x)B.(-x+y)(x-y)C.(577i+n)(—5/TI—M)D.(3m+n)(3m—n)

2.下列各式中，不能用平方差公式计算的是(

A.(2x-j)(2x+y)B.(T+y)(x-y)

C.[b-a)(b+a)D.(x-y)(-y-x)

题型02运用平方差公式进行运算.

【例题】(2023上•全国•八年级专题练习)计算：

⑴(〃+/?)(〃—2)；⑵卜J］卜+；］：

(3)(m+n)(m—n)；

(4)(0.1-x)(0.1+x)；⑸(x+y)(—y+x).

【变式训练】

1.（2023上•八年级课时练习）计算:

⑴（5加一3九）（5根+36；(2)(-2«2+5Z?)(-2<72-5ZJ)；

⑶卜+力1-++力；

(4)(-3y-4x)(3y-4x).

2.（2023・上海•七年级假期作业）计算：

（l）（2a-3）（2«+3）（4a2+9）；⑵（ga++方。

题型03利用平方差公式进行简便运算.

【例题】（2023上•吉林长春•八年级校考阶段练习）用简便方法计算:

⑴498x502（2）20222-2023x2021

【变式训练】

1.（2023上•八年级课时练习）计算：

（1）10.3x9.7；⑵2020x2022—20212.

2.(2023上•八年级课时练习)计算:

13

(l)100-x99-.

44

(2)198x202.

(3)________________

20222-2023x2021,

题型04平方差公式与几何图形.

【例题】（2023上•江苏泰州•七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成.

⑴图1中图形的面积为/-62,图2中图形的面积为（a-6）x_.（用含有a、b的代数式表示）

⑵由（1）可以得到等式：

⑶根据你得到的等式解决下列问题：

①计算：68.52-31.52.

②若用+4〃=2,求（m+l）2-m2+（2n+l）2-（2n-l）2的值.

【变式训练】

1.（2023上•陕西安康•八年级校联考阶段练习）【实践操作】

（1）如图1,在边长为。的大正方形中剪去一个边长为6的小正方形（。＞6）,把图1中L形的纸片按图②剪

拼，改造成了一个大长方形如图③，用含。、6的式子表示图③中大长方形的面积为；

（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：

【应用探究】

（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499x501+1；

2.（2023上,山东济南•七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）实战与探究，如图1,边长为a的大正方

形有一个边长为。的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.

aa

⑴上述操作能验证的公式是.（请选择正确的一个）.

A.a2+ab=a^a+b）B.a2—b"—(^a—b^a+bjC.a'-2ab+=(a-b)

⑵请应用上面的公式完成下列各题：

①已知4a2-/=24,2。+〃=6,贝!]2。-6=

②计算:1002-992+982-972+……+42-32+22-12；

③计算:(2/1)2-(2〃-丁+(2〃-2)2-(2〃-3)2+......+42-32+22-12(M>1)

题型05运用完全平方公式进行运算

【例题】（2023上•河南信阳•八年级校考阶段练习）用乘法公式计算

（l）（x+y+z）2

（2）（2x-3+y）（2x-y+3）

【变式训练】

1.(2023上•八年级课时练习)计算:

⑴(x+7»;

⑵(Ta+5Z?)2；

(3)(—2777—tlj；

⑷(2x+3y)(-2x-3y).

2.(2023上,八年级课时练习)计算:

⑴(龙+2y-z)(尤-2y+z)；

⑵(5a+26-3c)2；

(3)(5o+3Z7-2c)(5a-3Z?+6c).

题型06利用完全平方公式进行简便运算

【例题】用简便方法计算：^X3.72-3.7X2.7+^X2.72.

【变式训练】

1.用简便算法计算

⑴20172—2016x2018(2)2022+202x196+982

题型07通过对完全平方公式变形求值

【例题】(2023上•四川宜宾•八年级校考阶段练习)已知：a+b^-3,ab=2,求下列各式的值:

⑴二+〃；

(2)(。一刀，

【变式训练】

1.已知7W-〃=T,mn=2,求下列代数式的值.

⑴加之+“2

(2)(m+l)(n-l)

3

2.已知”+b=5,ab=-,求下列式子的值:

2

(i)a2-ab+b2;

⑵(

题型08求完全平方式中的字母系数

【例题】已知关于％的式子4d+4+1是某个多项式的完全平方，那么A是.

【变式训练】

1.若V+(。一1卜+25是一个完全平方式，则〃=.

2.若整式4/+/+。是完全平方式，请写出所有满足条件的。是—.

题型09完全平方式在几何图形中的应用

【例题】(2023上•江苏•九年级专题练习)我们已经学习了乘法公式(4±勾2=/±2仍+62的多种运用，可

以运用所学知识解答：求代数式尤2+M+5的最小值.解答如下：

解：尤2+4x+5=+4x+4+1=(x+2)+1,

(x+2)2>0,回当x=-2时，(x+2)2的值最小,最小值是0,

0(X+2)2+1>1,团当(x+2『=0时，(尤+2丫+1的值最小，最小值是1,

Elf+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题.

⑴知识再现：当了=时，代数式/一4x+15的最小值是；

(2)知识运用：若，=-炉+6115,当工=时，y有最______值(填"大"或"小")，这个值是；

(3)知识拓展：^-x2+5x+y+10=Q,求，+x的最小值.

【变式训练】

1.例:求代数式炉+4彳-5的最小值.

解：•尤2+4X-5=X2+4X+4—4—5=(X+2)2-9,

(X+2)2>0,A(x+2)2-9>-9,

.,.当x=-2时，代数式f+4.X-5有最小值-9,

仿照以上方法，完成下列问题：

(1)求代数式x?-3x+2023的最小值;

(2)求代数式+x+3的最大值.

2.我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2,观察下列式子：

•?+4%+2=(尤2+4%+4)—2=(元+2)2—2,

(x+2)2>0,/+4x+2=(x+2产-22-2,原式有最小值是-2；

—x2+2元―3=_(尤2_2x+l)_2=_(无一1)一一2,

,J-(x—I)-<0,—X2+2x—3=—(x—I)"—2<—2,原式有最大值是—2；

并完成下列问题：

围墙(大于100米)

x

⑴代数式炉-4尤+1有最(填大或小)值，这个值=.

⑵解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设

计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务.

①用含x的式子表示花圃的面积；

②请说明当无取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？

题型10完全平方公式在几何图形中的应用

【例题】现有长与宽分别为。、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个

相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：

⑴根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于4、b的关系式：(用。、6的代数式表示出来)；

图1表示：；图2表不：；

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(2)若x+y=8,x2+y2=40,贝无一,/=；肛=；

(3)如图3,点C是线段A3上的一点，以AC,8C为边向两边作正方形，设AB=7,两正方形的面积和

H+Sz=16,求图中阴影部分面积.

【变式训练】

1.将完全平方公式(。±6)2="±2乃+62进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若。+6=3,

ab-1,求1+匕?的值.

解：因为。+方=3,所以(a+b)2=9,BPa2+2ab+b2=9.

又因为防=1,所以/+〃=7.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

⑴若x+y=8,x2+y2=40,贝!］冲=_；

(2)若x-y=6,孙=5,求9+y2的值；

⑶两个正方形ABCD、AEFG如图摆放，面积和为34,BG=8,则图中阴影部分面积和为.

2.如图①，正方形ABCD是由两个长为0、宽为6的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的.

图①图②

⑴利用正方形45co面积的不同表示方法,直接写出(。+6)2、1+〃、必之间的关系式,这个关系式是

(2)若满足(2024—机了+(机一2023)2=4047,请利用中的数量关系，求(2024一切)(《7-2023)的值；

(3)若将正方形EFG”的边尸G、G”分别与图①中的尸G、MG重叠，如图②所示，已知Pb=8,NH=32,

求图中阴影部分的面积(结果必须是一个具体数值).

强化训练

一、单选题

1.(2023上•河南驻马店•八年级统考阶段练习)下列算式能用平方差公式计算的是()

A.(x+y)(y+x)B.(-x-y)(-x+y)

C.(x-y)(-x+y)D.(x-y)(y-x)

2.(2023上•河南南阳•八年级统考期中)下列式子：®(x+y)2=(-%-y)2；②=(y-尤)？；③

(-%-y)(-x+y)=x2-y2,其中正确的是()

A.①②③B.只有①②C.只有②D.只有①

3.(2023上•四川宜宾•八年级校考阶段练习)若。+6=-3,ab=—10,则的值是()

A.27B.28C.29D.30

4.(2023上•山东济南,七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习)若a=2023°,8=2021x2023-20222,

(3?022

C=-1X|，则4,b,C的大小关系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

5.(2023上•山东青岛•八年级统考期中)我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可

以得到一个数学等式.例如由图1可以得到/+3仍+2〃=(a+2b)(a+b).若已知

a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=38,由图2所表示的数学等式，贝1Ja+b+c的值为()

A.12B.11C.10D.9

二、填空题

6.（2023上,上海杨浦•七年级统考期末）计算：（-x-2y）（-x+2y）=.

7.（2023上•重庆开州•八年级校联考阶段练习）若尤2-（0+i）x+4是一个完全平方式，那么。=

8.（2023上•河南新乡,八年级校考阶段练习）如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形

（a>5）,把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式.

9.（2023上,黑龙江牡丹江•八年级统考阶段练习）设。泊是实数，定义一种新运算；a*6=（a-6）2.下面有

四个推断：（1）a*b-b*a；②（a*/?）?="折；③（-a）*b=a*（-6）；（4）a*+c）=a*b+a*c.其中正确推断

的序号是.

10.（2023上•甘肃兰州•七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式a,b,c,d,我们规

(%-y)2x

定一种新运算:=ad—be.根据这一规定，计算

d-3y(x+y)

三、解答题

11.（2023上•江苏南通•八年级校联考期中）计算:

(l)(4%-3y)2；

(2)(x+y+l)(x+y-l)；

(3)(2x+3y『-(2x+j)(2x-y)；

⑷(-/力.(孙丫.

12.（2023上•河南南阳•八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题

（l）（-2m-zz）（2m-^）

⑵（-x+3y『

（3）1032+972

⑷（a+b）2（a—_（4一0）（〃+勾（〃2+/）

13.（2023上,四川宜宾•八年级校考阶段练习）⑴已知3〃-4〃-7=0,求代数式⑶-丁+

的值.

(2)若X2-----=5,求/H----

ab

14.（2023上•吉林白城•八年级校联考期末）符号〃/〃称为二阶行列式，规定它的运算法规为

ca

ab

=ad—bc.

cd

24

⑴计算：35=;

a+2b0.5a-b

⑵化简二阶行列式〃的值.

4。a—2b

15.（2023上•吉林长春•八年级统考期末）下面是小明同学化简求值的过程，请你认真阅读并完成相应的任

务.

2

先化简，再求值：2（x+l）9-x（x-l）-（x+l）（x-l）,其中工=一1.

角华：原式=2（/+2兀+1）—+%—（%2_］）第_,步

=2%2+4x+2-%2+x-x2-1第二步

=5x+l......第三步

当了=一|时，原式=5x1-gj+l=T........第四步

⑴小明同学第