导函数与原函数的七种混合构造-2024年高考数学一轮复习突破卷（新高考）

专题突破卷06导函数与原函数的七种混合构造

■题型陨览f___________________________________________________________

I1

利用x〃/(x)构造型

/利用冬构造型

/利用―/(一构造型

导函翻与原函翻用/"构造型

的混合构造c

利用sinx与/(x)构造型

利用cosx与/(x)构造型

\/与勾"(x)+6g(x)构造型

C题型突破£_______________________________

II

1.利用x"/(x)构造型

1.设函数/(X)是定义在(-8,0)上的可导函数，其导函数为尸(X),且有2〃h+才(》)>0,则不等式

(x+2023)2f(x+2023)-4f(-2)<0的解集为()

A.(-2023,-2021)B.(-2025,0)

C.(-2025,-2021)D.(-2025,-2023)

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=/〃x),求导可知其在(-a,。)上单调递减，进而整理所求不等式为

g(x+2023)<g(-2),由函数单调性构建不等式，解得答案.

【详解】由2〃x)+犷G)>0,(x<0),得2V'(x)+x2/(x)<0,即卜2〃乃］'<0，

令g(x)=//(x),则当x<0时,得g'(x)<0,即g(x)在(-8,0)上是减函数，

/.g(x+2023)=(x+2023)2/(x+2023),g(-2)=4/(-2),

即不等式等价为g(x+2023)-g(-2)<0,

g(x+2023)<g(-2),得X+2023>-2,即x>-2025,

又无+2023<0,解得x<-2023,故-2025<x<-2023.

故选：D.

2.已知奇函数〃x)是定义在R上的可导函数，其导函数为/'(X),当x>0时，有2/(x)+矿(x)>x2,则

(尤+2023>/(x+2023)+/(-1)<0的解集为.

【答案】(-叫-2022)

【分析】当x>0时，由2〃尤)+#0)>尤2,得［无2〃x)J>o,故g(x)=x2/(x)在(0,+◎上为增函数，再根

据奇偶性得g(x)在R上为增函数，将不等式(x+2023)7(x+2023)+/(-1)<0化为g(x+2023)<g(l),利用

单调性可求出结果.

【详解】当x>0时，因为2/(x)+#，(x)>x2>0,所以对(x)+x2〃x)>0,

所以>0，所以g(x)=x2/(x)在(0,+co)上为增函数,

因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以/Xf)=-/(x),

=(-x)2/(-^)=-x2f(x)=-g(x),且g(x)的定义域为R,关于原点对称，

所以g(x)也是定义在R上的奇函数，且g(0)=/(0)=。，

又因为g(x)=x2/(x)在(0,+oo)上为增函数，所以g(x)在R上为增函数，

由(x+2023)2/(x+2023)+/(-1)<0,得(无+2023)2/(x+2023)<-/(-1)=/(I)=g(l),

所以g(x+2023)<g(l),因为g(x)在R上为增函数，

所以x+2023<l,即x<-2022.

所以(x+2023)2/(x+2023)+〃-1)<0的解集为(-s,-2022).

故答案为：(F,-2022)

3.已知定义在(O,+s)上的函数〃x)满足2叶(x)+x?〃尤)<0,〃2)=:,则关于x的不等式〃无)>5的解

集为.

【答案】(。，2)

【分析】构造函数g(x)=//(x),xe(O,+8),由题意可得g(x)在(0,+功上单调递减,不等式转化为

g(x)〉g(2),利用g(x)单调性,即可得出答案.

【详解】令g(x)=x2/(x),xe(O,+8),则g，(x)=2V(x)+x2/，(x),

所以当x>0时，2V(x)+x2/〈x)<0,即当x>0时，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,+动上单调递减，

a

又〃2)=：,所以g(2)=4/(2)=3,

因为/(x)>7，即g(x)=/(x)x2>3,所以g(x)>g⑵，

所以原不等式的解集为(。，2).

故答案为：(0,2).

4.已知定义在R上的偶函数7=/(x)的导函数为y=/(x),当x>0时，/(x)+一<0,且/'(2)=-3,则

不等式的解集为

2x-l

13

【答案】(-»,-)U(-,+»)

【分析】由八刈+犯<0变形得(叭切’<0,即可构造8(力=叭刈，结合/(X)的奇偶性可得g(x)是R上的

XX

奇函数且在R上单调递减，则可对2x-1的符号分类讨论，可将/(2x-1)<化为关于g(2x-1)的不等式,

2x-\

最后结合g(x)单调性求解即可

【详解】当x>0时，/，(x)+3=矿(X)+/(x)=(xf(X))’<0,.•.卬(切'<0,

XXX

令g(x)=M\x),g(x)在(0,+8)上单调递减，

又歹=/(x)是定义在R上的偶函数，...g(x)是R上的奇函数，即g(x)在R上单调递减，

♦."(2)=-3,，g(2)=-6,

1—63

当2x—1>0,即x>—时，f(2x—1)<----n(2x—1)/(2x—1)<—6=>g(2x—1)<—6,2x—1>2=>x>—；

22x—12

1_A3

当2x-l<0,即x<—时，/(2x-l)<----=(2x-l)/(2x-l)>-6=g(2x-l)>-6,，2x-l<2=>x<—,

22x—12

则X<；.

故不等式f(2x-1)<U的解集为(-*]

故答案为：(-00，g]u('1，+Q0]

5.7(x)是定义在(0,+s)上的非负可导函数，且满足#'(x)+/(x)W0,对任意正数。，b,若a<b,则必有

()

A.af0Wf(b)B.好㈤</⑷C.bf^<af(a)D.af(a)<bf(b)

【答案】C

【分析】由各选项的特征构造函数g(x)=^(x)(x>0),再讨论函数g(x)性质即可作答.

【详解】因/⑴是定义在(0,+e)上的非负可导函数，则谈(x)+/(x)40,

令函数g(x)=^(x)(x>0),贝!|8'(尤)=才(无)+/(尤”0,即g(x)在(0,+co)是减函数或常数函数，

当0<。<万时,g(a)>g(6)或g(a)=g(6),

即g(a)>g(b)oaf(a)>"(6),C正确.

故选：C

f⑴

6.若定义域为(0,+功的函数/(x)满足”(x)+矿(x)>0,则不等式〃x+1)〈4=的解集为.

【答案】(-1,0)

f⑴

【分析】设“x)=x2〃x),根据题意得到“X)在(0,+8)上单调递增，把〃尤+1)<府而转化为

/J(X+1)</J(1),结合函数“X)的单调性，即可求解.

【详解】由xe(0,+co)时，函数〃尤)满足"(x)+/(尤)>0,可得2必'⑺+/以x)>0,

设Mx)=x2/(x),x>0,则用(x)=2切卜)+》2。(力>0,故Mx)在(0,+8)上单调递增,

由+即(x+l)2/(x+l)</0),即以x+l)</z(l),

f(\\

所以0<x+l<l,解得一l<x<0,所以〃x+l)〈与专的解集为(TO).

故答案为：(-1,0).

2.利用幺2构造型

xn

7.定义在(o,+8)上的函数“X)的导函数为k(x),若/(x)-/(x)<0,且*2)=0,则不等式(*-1)%)>。

的解集为()

A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(2,+8)

【答案】B

【分析】设g(x)=W，由已知得出g(x)在(0,+。)上单调递减，结合〃2)=0进一步计算得到结果.

【详解】设g(x)=*h则g，(x)=才？;/⑺,因为矿(x)-/(x)<0,所以g(x)在(0,+功上单调递

减.

因为/⑵=0,所以g(2)=0,所以当0<x<2时，/(x)>0,当x>2时，/(x)<0,故不等式(x-i)〃x)>o

的解集为(1,2).

故选：B.

8.(多选)己知函数〃无)的定义域为(0,+8),导函数为了'(X),满足#'(x)-〃尤)=。-1户(e为自然对

数的底数)，且/⑴=0,则()

7(2)/(3)

A.

23

B.〃x)在(0,1)上单调递增

C.“X)在X=1处取得极小值

D./(x)无最大值

【答案】ACD

【分析】根据条件构造函数g(x),由题意可得g(x),/⑺的解析式，利用导数分析g(x),〃尤)单调性,

进而可得答案.

【详解】设g(x)=W(x>0),

因为/(1)=0,所以g(i)=/(D=o,

因为g，(x)=,切,(x)-/(x)=(x-l)e',

则g，(x)=#'(x)，(x)」二W

故可设g(x)=9+c，由g(D=O,

则g6=e+c=0,解得c=-e

故g(x)=J-e,即/(x)=e*-ex,

因为g，(x)=e'(;T),

令g[x)>0,则x>l,故g(x)在(l,+oo)上单调递增,

所以g(2)<g⑶，即?<华1,故A正确；

因为/'(x)=e'-e,令/'(x)=e「e>0,解得x>l,

则/'(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以/(x)在x=l处取得极小值，故B错误，C正确，

因为X逼近于+00时，/(X)逼近于+8,所以/(X)无最大值，故D正确.

故选：ACD.

9.已知定义在R上的函数〃x)满足：矿(幻-/(尤)>0,且/(1)=2,则/'(e')>2e工的解集为()

A.(0,+(»)B.(In2,+oo)C.(1,+℃)D.(0,1)

【答案】A

【分析】设g(x)=3,x>。，由#'(x)-/(x)>0得出g(x)在(0,+⑹单调递增，由"1)=2得出g⑴=2,

X

将/(e)>2e，转化为g(e、)>g(l)即可得出答案.

【详解】设g(x)=Z<2,x>0,

X

因为4'(x)_/(x)>0,

所以g(x)在(0,+s)单调递增,

因为/(1)=2,

所以g6=半=2,

由f(e)>2e)且二>0得/*>2,

则g(e")=¥>2=g⑴，

e

所以e、>l=e°,又歹=/在(0,+8)单调递增，

所以xw(0,+oo),

故选：A.

10.(多选)已知函数/(%)满足矿(、)-/(力=小)/(l)=e,则()

A./(tanl)<etanl

B./(/(x))</(e2-1)

1a

C.若方程/2(x)_4/(x)|+£=0有5个解，则(

/2A(2\

D.若函数g(x)=/(优)-/，)(a>0且awl)有三个零点，贝I]aeee,lul,ee

IJ\)

【答案】BCD

【分析】由#'(x)-/(x)=x2e'可构造函数尸(x)=£<2,由已知条件求出/(x),再由解析式求解判定选项.

【详解】因为切'("-/(力=-工，构造函数尸(造=四,

X

贝UF(x)="‘叫/⑺=e\所以可设"x)=e，+cn/(x)=x(e*+c),

X

又/(l)=e,所以。=o,f(x)=xex.

对于A选项，/(tan1)=tan1-etanl>tan1-©吗=tan1-e1,故A选项错误；

对于B选项，由O=(x+l)ex，所以当x<-1时，/'(x)<0，，于在(-0),-1)单调递减，当x〉-1时，f\x)>0,

/(x)在(―l,+°o)单调递增，

所以“X)极小值=〃一1)=：，而〃x),e2i均大于0,要比较/(/«)),/(/1)的大小，只需比较〃对纭1的

xx+iax

大小，f(x)=x-e=e,

令/z(x)=x+Inx-(2x-1)=Inx-x+1,(x>0),

]1—V

贝=〃(x)在(0,1)单调递增，在(1,+⑹单调递减,

所以/x)VA(l)=0,所以x+lnxWZxTe'+syeZi,即/⑴久?)，进而/(/卜))4/卜21),故B选项正

确;

对于C选项，方程/2(x)-a|/(x)|+5=0可化为|/。)「臼/⑸+/=o

(*),

令f=|/(x)Hxe)*则方程(*)可化为产5+3=0,

作出f="(x)|=|xe"的图象如图所示:

112

,2—at22=0,A=。2—4x1x———=a2——,

①A=0时，Q=±在时，方程+左=0的解只有一个,

则函数，="(x)|=|xe"I的零点至多有三个，不合题意；

②A<0时，方程/-〃+白■=()无解，，二|xe"|无零点，不合题意；

③A>0时，即----或a〉——时，方程的解有两个，记为且。<明

ee

若方程/2(x)—4/(刈+£=0有5个解，贝也=|汽”|有2个零点，/2=1双”|有3个零点，即0<%<，2=：，

2222

由求根公式得，"I”—/,,〃+俨—/1,

1222e

解得。=?3，此时。二不1合题，故C选项正确；

2e2e

对于D选项，若函数g(x)=/(优)-/1)(a>0且"1)有三个零点，

则方程/(/)=/(/)有三个根，因为优>0/220,又/(x)在(0,+s)单调递增,

所以方程/(，)=/(无2)有三个根，则方程屋=x2有三个根，

所以Ina"=Inx?有三个根，所以xlna二历/有三个根，即Ina="”有三个根,

X

令夕(乃=电二。/0),因为°(-x)=@±=-0(x),所以。(x)为奇函数，

X-X

贝U当x>0时，0*)=亚,贝晨)=2。一”),

XX

令9'(x)=0,x=e,所以°(x)在(0,e)单调递增，在(e,+s)单调递减，

2

所以夕(x)极大值=〃e)=1；当无-0+时，夕(x)f-co,当xf+8时，e(x)fO,

22(

所以——<lna<0或0<lna<—,解得aeee,lul,ee,故D选项正确.

eel八J

故选：BCD.

3.利用e""(x)构造型

11.已知了'(X)是函数/(X)的导数，/'(x)+/(x)>0,八2)=(，则不等式八也)<4的解集是()

ex

A.(2,4w)B.(e2,+oo)C.(0,e2)D.(0,2)

【答案】C

【分析】设g(x)=e"(x),求出函数的导数，得到g(x)在R上单调递增，问题2等价于

g⑺<g⑵,即可解决.

【详解】令f=In*则％=6'，

因为/(Iwc)((，

所以/⑺<1，即〃厅<2,

设g(x)=e"(x),

所以g'(x)=e*(/(x)+/(x)),

因为/(x)+_T(x)>0,

所以g，（x）>0,所以g（x）在R上单调递增，

因为八2）=/,

所以g（2）=e2/（2）=2,

所以〃力e，<2等价于g⑺<g⑵，

则£<2,即lux<2,解得0<x<e2.

所以不等式/（lnx）〈:的解集是（0己）.

故选：C

12.已知函数f（x）的导函数为广为）,且满足/（力+/'（力>0在R上恒成立,则不等式*/（2x+l）>

e2-V（3-x）的解集是.

【答案“|,+8（

【分析】构造函数g（x）=e"（x）,再将e2V（2x+l）>e?-"（3-x）转化为g（2x+1）>g（3-x）,进而根据g（x）

的单调性求解即可.

【详解】令g（x）=e"（x）,则g<x）=e[/（x）+r（x）]>0,所以g（x）在R上单调递增，

由e2"（2x+l）>/"（3-x）,得e2"V（2x+l）>eJ/（3-x）,即g（2x+l）>g（3-x）,

2

所以2x+1>3—x,解得“>],

所以不等式e2V（2x+1）>（3-x）的解集是.

故答案为：（I■，+

13.定义在R上的函数“X）的导函数为尸⑺，且3/（x）+/'（x）<0,/（ln2）=l,则不等式>8e』的

解集为（）

A.（-oo?2）B.（-co,In2）

C.（ln2,+co）D.（2,+oo）

【答案】B

【分析】根据题意分析可得/（、）。丸〉8,构建g（力^（x）e3）求导，结合函数单调性解不等式.

3

【详解】V/(x)>8e-\且e3、>0,可得/a卜3工>8,

故原不等式等价于/(x)e3x>8,

构建g(X)=f(X)e",则g，(x)汁")e*+y(x)e"=[r(x)+y(x)]e",

•：3/(x)+/(x)<0,/>0,则g。)=[/(x)+3/(x)]e31<0恒成立，

g(x)在定义域内单调递减，且8(1112)=<(11129、2=23=8,

则对于/(x)e3x>8,解得x<ln2,

故不等式/(x)>8屋，的解集为(-应In2).

故选：B.

14.已知/(x)是〃x)(xeR)的导函数，且r(x)+〃x)>0,/(1)=1,则不等式/(x)<e』的解集为

()

A.B.(-<»,e)

C.(1,+«)D.(e,+<»)

【答案】A

【分析】根据题意构造函数尸(x)=/(x)-e)借助函数的单调性解不等式即可.

【详解】令尸(x)=/(x)C,则尸。)=/卜'何+/5)]>0,二/(村在口上单调递增.

•••不等式/(x)<e~可化为〃x)©<e,即尸(x)</(l),，x<l,

则不等式/(x)<J"的解集为(-叫1).

故选：A.

4.用幺虫构造型

enx

15.已知函数/'(x)是函数/(x)的导函数，/(1)=-,对任意实数都有/(x)-/'(力>0,则不等式〃x)<ei

e

的解集为.

【答案】(1,+⑹

【分析】构造函数尸(》)=绰，对尸(X)进行求导，结合/(x)-/'(x)>o可得尸(X)为R上的减函数，由

/(1)=-,则尸(1)=4,所以尸(x)〈尸⑴，根据尸(x)的单调性即可得到答案

ee

【详解】构造尸(x)=”,

所以尸‘。卜''。［〃"),

因为对任意实数都有/(x)-/'(x)>0,

所以尸'(x)<0,即尸(x)为R上的减函数,

因为"1)=：，贝U尸⑴=芈=!，且尸(x)<\

所以由〃x)<ei得坐<4,即尸⑺〈尸⑴，

ee

因为尸(无)为R上的减函数，

所以X>1,所以不等式*x)<?的解集为(l,+s),

故答案为：(1,+°0)

16.已知定义在R上的函数〃x)满足〃x)-/'(x)>0,且有/⑵=2,则/(x)>2e-的解集为.

【答案】(-叫2)

【分析】构造g(x)=华并求g'(x),结合已知易得g(x)在定义域上单调递减，而原不等式等价于g(x)>g(2),

e

利用单调性即可求解.

【详解】设g(x)=",xeR,又〃x)-/'(x)>0,

则g，⑴一，

J"ex”

则g(x)在定义域内单调递减，又/(2)=2,

不等式/(X)>2e2等价于华〉华，即g(x)>g(2),

ee

贝ljx<2,gpxe(-oo,2),

故答案为：(一明2).

17.已知定义在R上的函数/(x)的导函数为数(x),/(0)=1,且/(x)>/(x),则不等式/(x)>e*的解集

为

【答案】(0,+8)

【分析】首先构造函数g(x)=与，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式.

【详解】设函数g(x)=誓，

g(町--6,所以g(x)单调递增，

不等式即g(x)>g(o),即x>0,

所以不等式的解集为(0,+").

故答案为：(0,+8)

18.(2023・安徽黄山•统考三模)已知定义域为R的函数/(x),其导函数为尸(x),且满足

r（x）-2/（x）<0,/（0）=1,则（）

A.e2/(-l)<lB./(l)>e2

C.佃<eD./⑴〉咱

【答案】C

【分析】构造函数g(x)=绅,由/'(x)-2〃x)<0得g[x)<0,进而判断函数g(x)的单调性,判断各选项

e

不等式.

【详解】g(x)=等，则g'(x)=仆）-2〃x）

2x

因为广(力-2/(%)<0在口上恒成立,

所以g'(x)<0在我上恒成立,

故g(x)在R上单调递减，

所以g(T)>g(0)，^Hl=e2/(-l)>4^=l,故A不正确；

ee

所以g⑴<g(o)，即粤〈坐，即/⑴<e2〃o)=e2,故B不正确;

ee

g弓卜g⑼，即，[^]<止=],即故C正确；

e1e°

g]£|>g(i),即金〃i),即/⑴〈炉故D不正确；

e1e2

故选：C.

19.已知函数/(x)的定义域为R,且对任意xeRJ(x)-/'(x)<0恒成立，则e"(x+l)>3±2的解集为

e

【答案】(口,-2)

【分析】通过构造函数g(x)=/(立，借助单调性解不等式.

'ex

【详解】由xeRJ(x)-/(x)<0,得(ZH]

Ie)e

记g(x)=£(»,则g(x)在R上单调递增.

ex

,八/(2x+3)//(x+1)f(2x+3)

由ex"(x+l)>八L得二…八，,

eee

即g(x+l)>g(2x+3),x+l〉2x+3,

X<-2,所以解集为(-8,-2).

故答案为：(-8,-2)

20.已知〃x)是定义在R上的可导函数，其导函数为/(X),对VxeR时，有/'(x)-2/(x)>0,则不等式

/(^+2023)-e2j[+4047(2)<0(其中e为自然对数的底数)的解集为()

A.(-2021,+8)B.(-2025,+8)

C.(-叫-2021)D.(-oo,-2025)

【答案】C

【分析】设g(x)=?2,求导判断单调性可得答案.

【详解】设g(x)=§2,xeR,因为广(x)-2/(x)>0,

所以g(x)=--------E—=-----百----->°，所以g(x)=坐在工eR上单调递增,

(eJe

因为/(x+2023)-e2*042/⑵<0,所以<[管)<,

ee

即x+2023<2,解得x<-2021.

故选：C.

【点睛】方法点睛：构造函数解决导数问题的常用模型有：

模型1,若/'（X）的系数为x,且同时出现与/（x）的和或差，考虑构造x与〃x）的积或者商；模型2,若出

现〃尤）与r（x）且系数相同时，考虑构造e与〃x）的积或者商.模型3,若出现"X）与/'（X）系数分别是常

数和x时，考虑构造X。与〃x）的积或者商；模型4,若出现〃x）与/（X）且系数为sinx与cos无时，考虑构

造sinx与“X）的积或者商，或者cosx与“X）的积或者商.

5.利用sinx与/（x）构造型

21.已知函数/（x）及其导函数尸（x）的定义域均为R,且〃x）为偶函数，f

3/(x)cosx+/,(x)sinx<0,则不等式/(x+|■卜os^x-；<0的解集为()

A.

C.

【答案】A

【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单

调性及一元一次不等式的解法即可求解.

【详解】令g(x)=/(x)sin3x,

则g\x)=3/(x)sin2xcosx+f\x)sin3x=sin2x\3f(x)cosx+f'(x)sinx]<0,

所以g（x）在R上单调递减.

又因为/（x）偶函数，所以/

又8口+鼻=/卜+|■卜厂卜+鼻二小+^除一,

所以不等式/'口+曰卜。3-；<0等价于81+三

根据函数的单调性可知x+W>-F解得工〉一—―，

26

所以不等式/卜+9距3T<0的解集为

故选：A.

22.(2023春・重庆•高二统考期末)设/(x)是函数"X)的导函数，当xe[-卦)时,

cos2x-f(x)+sin2x-fr(x)>—f(x),则()

D.

【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数g(x)=siiu-7(x),利用函数单调性依次判断选项.

［详解］rcos2x•/(x)+sin2x•f(x)>-f(x),,

/.(2COS2X-1)-/(x)+2sinxcosx-/'(%)+/(x)>0

cosx•f(x)+sinx•f(%)>0

设8(%)=5欣./(%)若[工)>0”3在卜5，|^单调递增,

，g用>g@=0n/用>0,所以A错误；

.7171

nsm-/r>sin(-^)/

6o

所以/1)+/,胃>0,所以B正确；

且图冷图为呜出卜甲3卜皿升甸)所以C错误；

g(0)>g(T)nsin0-/(0)>sin(-l)-/(-l)n0>-sinl-/(-l)o/(-l)>0,,

g(l)>g(0)sinl-/(l)>sin0-/(0)f(l)>0,所以D错误.

故选：B

23.定义在,3上的可导函数〃x)的值域为R,满足/'(x)tanx“2siruT)/(x),若/［胃=1,则/

的最小值为.

e3

【答案】

［分析］化简条件式得/,(x)-sinx+/(x)-cosx£2sinxcosx-/(x),构造函数g(x)=sinx•/(x)及

判断其单调性即可•

【详解】；xe〔O,1J,/.cosx>0,则化简/'(x)tanx“2siar-l)/(x)得:

/'(x)・sinx+/(x)-cosx>2sinxcosx-/(x),

令g(x)=sinx,f(x),则g'(x)=/r(x)-sinx+f(x)-cosx,

即g\x)-2cosx-g(x)>0,

令〃(x)=f©，则以上g，3：；¥g*0,故“X)在H上单调递增,

PV3-1

故答案为：

6.利用COSX与/(X)构造型

24.已知/'(X)是函数的导函数，/(x)-/(-x)=0,且对于任意的xe/3有

r(x)cosx>/(-x)sin(-x).则下列不等式一定成立的是()

【答案】A

【分析】设g(x)=△0，xe(0,g),根据已知条件，利用导数得到g(x)为增函数，由g(：)<gG)可推出A

cosx226

正确；由gq)<g(?可推出B不正确；由g(：)<g(l)可推出C不正确；由g(：)<gg)可推出D不正确.

【详解】因为对于任意的工［0,1')有/。)(：0立>/(-》911(-X).又/(x)-/(-x)=O,-sinx=sin(-x),

所以/'(尤)cosx+f(x)sinx>0,

设g(x)=",xe(0;)，则g，。)=/'(x)cosx/(x)(-sinx)=/'(x)cosx：/(x)sinx,

COSX2cos2Xcos2X

TT

因为当x£(0,5)时，八%)cos%+/(%)sin%>0,所以g'(x)>0,

所以g(x)在(0T9T上为增函数，

|TT

/(-)/(7)R.

因为;<e，所以g（f<g£）‘

所以---Y<------，所以——/(—)</(—)COS—,所以

cos—cos—2262

26

/（-）/（巴）

因为《十所以g6<g（a，所以v<一所以手/中<字/申，所以仞'（一看）<6/（-弓），

cos—CS

6°4

故B不正确;

因为弓<1,所以g（：）<g⑴，所以‘〈喏，所以cosl〃a〈手”1）,所以收cosl/（$</（-l）,

故

cosa

C不正确;

峙/（g）1Q6

I-1、t兀兀LL>>>/兀、/兀、

因为所以g（R<g（§）,所以F<T，所以吗），所以与“：）</（-§，故D

cos—COS、

43

不正确;

故选：A

25.定义在区间卜会制上的可导函数〃x）关于7轴对称，当龙e（0,会时，/'（无）8就>/（无）疝1（-无）恒成

立，则不等式的解集为（）

71兀

C.

4,2

【答案】C

【分析】构造函数尸(x)=£包，对尸(X)求导，可知当0微时，尸(%)单调递增，由

COSX>0

即尸(%)>尸,然后根据函数的性质可得不等式，解不等式即可得出答

案.

【详解】因为/'(工)85%>/(%)55(一%),化简得—(x)cosx+/(x)sinx>0,

构造函数/(x)=/H尸(x)J'(x)c°"/(x)S3,

cosxcosX

即当Xe,41时，F'(x)>0,F(x)单调递增,

所以由〃力上>。=〃力4|3=组>丛，

tanxtanxcosxsinx

即尸(%)>尸仁一“因为尸(X)为偶函数且在xe[o,?上单调递增,

兀兀

--<X<—，且xw0

22

717171

所以—<---x<—，解得工£

222

71

忖〉------X

2

故选：C.

26.偶函数/'(x)定义域为其导函数为/''(X),若对Vxe0,鼻，有尸⑺co&x</(x)sinx成立，

则关于x的不等式的解集为

2/(%)<

COSX

(兀兀\/兀兀)

【答案】■一刑9

【分析】令尸(x)=cosx-7(x),依题意可得歹(无)为偶函数且在0,3上单调递减，根据函数

的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】令尸(x)=cos"(x),xe[W),因为仆)定义域为卜卦]上的偶函数，

所以/(一%)=/(%),则/(-X)=cos(-X)­/(-x)=cosX-/(x)=F(x),即尸(X)为偶函数,

又尸(x)=cosx•7'(%)-sinx・/(x),

因为对Vxe0,-|j,有/''(》)8%</'(工,加成立，所以当xe0,切时F(x)<0,

即尸(x)在0朗上单调递减，则尸⑺在再,。］上单调递增，

则不等式等价于cosx-/(x)<cos](Kl

又xe所以cosx>0,

COSX

卜|>巴........

即尸(x)〈尸gj,即*x|)<U所以,3，解得一：<x<-g或

71712332

——<x<—

、22

所以不等式的解集为(-手-三卜已手.

故答案为：「，高山?十

27.已知函数〃x)的定义域为其导函数是/⑺有/(x)cosx+/(x)sinx<0,则关于x的不等式

/(x)>2/^cosx的解集为.

【答案】

【分析】构造函数尸(x)=利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即

可.

【详解】依题意令尸(x)=Z@

COSX

贝ljF\x)=八%)cos%+/(%)sin%

cos2%

冗7T

因为当一2Vx<2时，/'(%)cosx+/(x)sinx<0,

所以当时，尸(x)<0,

"X)在H上单调递减，

71

71

则〃x)>2噌COS%等价于‘)>—,即/(%)>尸

COSX7T3

COS—

3

71

X<——

3

,解得所以所求不等式的解集为

7171

——<X<—

22

故答案为:

7.e”与4(x)+bg(x)等构造型

28.(多选)已知函数〃x)是定义在R上的可导函数，其导函数为/'(x).若/'(0)=5,且

则使不等式〃x)V3e、+2成立的无的值可能为()

A.-2B.1C.--D.2

2

【答案】BD

[分析】构造函数/(X)=〃;厂2,通过求导并结合不等式/(x)V31+2,即可得出使不等式/(x)<3e*+2

成立的x的可能值.

【详解】由题意，xeR,

在函数/(x)中，

设尸(x)=小)-2,贝IJP(x)=“x)](x)+2

,.'/(x)-/，(x)>2,

/.f\x)-f(x)+2<0,

：.r(x)<0,即尸(x)在定义域R上单调递减.

・=(0)=5,

"(0)=3,

二不等式〃尤)V3e，+2等价于"无)一2<3(即尸(耳v尸(0),

e1

解得：x>0,

结合选项可知，只有BD符合题意.

故选：BD.

29.已知定义在R上的函数/(x)的导函数为/'[),若犷'(尤)+/。)>2,且满足/(1)=3,则不等式

炉[/(/)-2]<1的解集为

【答案】(TJ)

【分析】构造函数，利用导数确定单调性，通过单调性即可求解不等式.

【详解】构造函数尸(x)=W(x)-2x,

因为F(x)=+f(x)-2>0,所以F(x)在R上单调递增,

因为"1)=3,所以尸⑴=/(1)-2=3-2=1,

/[/■，)-2]<1可化为//，)-2%2<1,

即F(#)<F(1),

因为尸(x)在R上单调递增，

所以/<1,解得-1<尤<1,

故答案为：(T，l).

30.已知可导函数/(x)的导函数为r(x),若对任意的xeR,都有/(x)>/'(x)+l,且〃x)-2024为奇函数,

则不等式/(力-2023砂<1的解集为()

A.(一*0)B.(-℃,e)C.(e,+co)D.(0,+℃)

【答案】D

【分析】根据〃X)>/'(x)+1构造函数g(x)=卓二，利用导数判断其单调性，将不等式/(X)-2023e，<1

化为g(x)<g(0),利用g(x)的单调性求解可得结果.

/'(X)-〃x)+l<0

【详解】设g(x)=%一,由题设条件，得g(x)=-----------宙-----—