北师大版八年级数学常见题型专练：勾股定理之“蚂蚁爬行”模型（原卷版+解析）

重难点06勾股定理之“蚂蚁爬行”模型

【知识梳理】

蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更高效.

一、单选题

3

1.（2022秋・江苏•八年级专题练习）如图，圆柱的高为4cm,底面半径为一cm在圆柱下底面的/点处有

n

一只蚂蚁，它想吃到上底面8处的食物，已知四边形ND8C的边8c恰好是上、下底面的直径、问:

蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（）cm.

48

A.5B.57rC.3H—D.3+—

71TC

2.（2023春・山东济宁•八年级统考阶段练习）如图，长方体的高为9dm,底面是边长为6dm的正方形•一只

蚂蚁从顶点A开始爬向顶点5,那么它爬行的最短路程为（）

B.12dmC.15dmD.20dm

3.（2022秋•浙江•九年级专题练习）如图，圆柱的底面周长为16,BC=12,动点P从A点出发，沿着圆柱

的侧面移动到BC的中点S,则移动的最短距离为（）

A.10B.12C.14D.20

4.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点8处有一滴糖浆，容器外A

点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为6cm,宽为4an,高为3cm,点A距底部2cm,

请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）

A.2V29cmB.10cmC.6y/2cmD.4非cm

5.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是

20dm,3dm92dm,4和5是这个台阶相对的端点，点/处有一只蚂蚁，想到5处去吃食物，则这只蚂蚁爬

行的最短距离为（）

A20

R

A.25dmB.26dmC.24dmD.27dm

6.（2022秋•福建宁德•九年级校考期中）如图，有一个圆柱，底面圆的直径高尸为

8c的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（)

p

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

7.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点/处，一只苍蝇在这个

长方体的对角顶点G处，若48=3cm,2c=5cm,2F=6cm,则最短的爬行距离是（）

A.10B.14C.V106D.7130

8.（2022秋•江西萍乡•八年级统考期中）如图，长方体的长为20cm,宽为15cm,高为10cm,点B离点C

为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）

C.5A/37cmD.16cm

9.（2023春•八年级课时练习）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在

杯口内壁离杯口1.5厘米的/处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，/的相对方向有一小虫P,小虫离杯底的

垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（）

A.J万厘米B.10厘米C.8&厘米D.8厘米

10.（2021春・山东临沂•八年级统考期中）如图，圆柱形玻璃板，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离

杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的/处，则蚂蚁

到达蜂蜜的最短距离是（）

A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm

二、填空题

11.（2023秋•河南南阳•八年级统考期末）如图，圆柱形容器的高为0.9m,底面周长为1.2m,在容器内壁

离容器底部0.3m处的点8处有一蚊子.此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的

点/处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m.

12.（2022秋・江苏•八年级专题练习）如图是一个边长为6的正方体木箱，点0在上底面的棱上，AQ=2,

一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行的最短路程为.

13.（2023秋・江西宜春•八年级校考期末）如图，长方体的长鹿=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,

点“在CH上，且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离

是cm.

14.（2022秋•广东揭阳,八年级统考期末）如图，在圆柱的截面48co中，AB=—,BC=12,动点尸从N

TC

点出发，沿着圆柱的侧面移动到3c的中点S的最短距离为.

三、解答题

15.（2022秋・陕西咸阳•八年级校考阶段练习）如图，有一个高为10dm,底面周长为48dm的圆柱形水桶，

水桶的底端A处有一只蚂蚁，它准备沿水桶的侧面爬行到对角8处去吃一滴蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路线

长.

七二

16.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，一只螳螂在树干的点A处，发现它的正上方点8处有一只小虫

子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10。"，A,B

两点的距离为45c〃z,求螳螂爬行的最短距离（"取3）.

17.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，是用棱长为1cm的两个正方体拼成的新几何体，求一只蚂蚁从

顶点A出发沿着新几何体的表面爬行到顶点B的最短路程是多少cm?

B

A

【过关检测】

选择题（共7小题）

1.（2022秋•市中区期中）正方体盒子的棱长为2,2c的中点为一只蚂蚁从/点爬行到M点的最短距

离为（）

A.V13B.V17C.5D.2+V5

2.（2022秋•清新区期中）如图所示，一圆柱高8c%,底面半径一只蚂蚁从点/爬到点3处吃食，要

爬行的最短路程（TT取3）是（）

8食物

蚂蚁N

A.12cmB.1OcmC.14cmD.无法确定

3.（2022春•思明区校级期中）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点5离点。的距离为5,一只

蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点4爬到点3,需要爬行的最短距离是（）

A.5A/21B.25C.1075+5D.35

4.（2021秋•金水区校级月考）如图：有一圆柱，它的高等于8c"z,底面直径等于（n=3）,在圆柱下

底面的/点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与N相对的8点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）

A.10cmB.12cmC.19cmD.20cm

5.（2021春•宣化区期中）如图，一圆柱体的底面周长为24c加，高BD为5cm,2C是直径，一只蚂蚁从点

D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（）

A.6cmB.12cmC.13cmD.16cm

6.（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10c%，高为12CM,8c是直径，一只蚂蚁从点

A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）

A.17cmB.13cmC.12cmD.14cm

7.（2021秋•通川区校级月考）如图是一块长，宽，高分别是6c%,4c加和30”的长方体木块，一只蚂蚁要

从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要

爬行的最短路径的长是（）

A.（3+2」13）cmB.97cmC.V85cwD.V109cm

二.填空题（共8小题）

8.（2022春•凉州区期末）如图一只蚂蚁从长为5c加、宽为3cm,高是4a”的长方体纸箱的/点沿纸箱爬到

B点,那么它所爬行的最短路线的长是cm.

9.（2021秋•将乐县期中）如图，有一圆柱，其高为12cm,底面半径为3cm,在圆柱下底面/点处有一只

蚂蚁，它想得到上底面8处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为cm.（n取3）

10.（2021•南岗区校级开学）一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的4点沿纸箱爬到8点，那么

它所行的最短路线的长是.

11.（2021秋•浚县期末）如图，一只蚂蚁从长为7c/、宽为5cm,高是9c加的长方体纸箱的/点沿纸箱爬

到8点，那么它所走的最短路线的长是cm.

12.（2022春•芙蓉区校级期末）如图是棱长为4c机的立方体木块，一只蚂蚁现在工点，若在3点处有一块

糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是cm.

13.（2022春•重庆月考）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4,高是6的长方体纸箱的/点沿纸箱表面爬到2

点，那么它所行的最短路线的长是

14.（2022秋•薛城区校级月考）如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，

A,2是这个台阶上两个相对的端点，/点有一只蚂蚁，想到3点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行

到3点最短路程是米.

15.（2021秋•城阳区校级月考）如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10加，底面半径为4根，在圆柱形仓库

下底面的/处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点8处的食物，蚂蚁爬行的速度是50°加/加〃，那么蚂蚁吃

到食物最少需要min.（it取3）

三.解答题（共2小题）

16.（2021秋•七里河区校级期末）如图，长方体的底面是边长为1c%的正方形，高为3cm.如果用一根细

线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,请利用侧面展开图计算所用细线最短为多少.

17.（2021秋•中卫校级期中）如图，有一个圆柱，它的高等于16cm,底面半径等于4cm,在圆柱下底面的

/点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与/点相对的5点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？.（TT取

3)

重难点06勾股定理之“蚂蚁爬行”模型

【知识梳理】

蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题

将会更高效.

【考点剖析】

一、单选题

3

1.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，圆柱的高为4cm,底面半径为一c冽，在圆柱下

71

底面的4点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面5处的食物，已知四边形4D5C的边4。、BC

恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（）cm.

48

A.5B.57rC.34—D.3^—

7in

【答案】A

【分析】如图，先把圆柱体沿着直线AC剪开，得到矩形如图示：可得线段A3的长度为所

求的最短距离，再利用勾股定理可得答案.

【详解】解：把圆柱体沿着直线AC剪开，得到矩形如下：

则线段的长度为所求的最短距离.

3

由题意得圆柱的图为：4cm,底面半径为一cm,

71

113

AC=4,8C=JC底面圆=5*2/X/=3,

2271

AB=7AC12+BC2=A/32+42=5,

所以蚂蚁至少要爬行5cm路程才能吃到食物.

故选：A

【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，弄懂圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段

最短是解题的关键.

2.（2023春・山东济宁•八年级统考阶段练习）如图，长方体的高为9dm,底面是边长为

6dm的正方形•一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点那么它爬行的最短路程为（）

B.12dmC.15dmD.20dm

【答案】C

【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接利用勾股定理求出的长，找

出最短的即可.

【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则NO=6dm,

BZ）=6+9=15dm,

AB=762+152=3后dm；

②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，NC=6+6=12dm,8C=9dm,

AS=A/122+92=15dm；

③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则。£=6dm,8£=6+9=15dm,

Dj?=762+152=3V29dm；

回15<3回，

所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm.

故选：c.

【点睛】本题考查的是平面展开一一最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开

成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是利用两点之间，线段最短.关键是

在平面图形上构造直角三角形解决问题.

3.（2022秋•浙江•九年级专题练习）如图，圆柱的底面周长为16,BC=12,动点P从A点

出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S,则移动的最短距离为（）

A.10B.12C.14D.20

【答案】A

【分析】由于圆柱的高为12cm,S为BC的中点，故BS=6cm,先把圆柱的侧面展开，连

接AS,利用勾股定理即可得出AS的长.

【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，

C

连接AS,则AB=gxl6=8,BS=qBC=6,

在RtflABS中,根据勾股定理AB?+BS2=AS2,即82+62=AS2,

解得AS=10.

回A,S两点之间线段AS最短，

回点A到点S移动的最短距离为AS=10cm.

故选：A.

【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾

股定理求解是解答此题的关键.

4.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点8处有一滴

糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为6cm,宽为

4cm，高为3cm,点A距底部2c机，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）

A.2y/29cmB.10cmC.6y/2cmD.4垂cm

【答案】B

【分析】沿着上面的棱将A点翻折至4处，分三种情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股

定理求解即可.

【详解】解：沿着上面的棱将A点翻折至4处，则新长方体的长、宽、高依次为6cm,

4cm，4cm，

若蚂蚁的行走路线为后壁和下壁，则最短路径为：76^=10cm-

若蚂蚁的行走路线为左壁和下壁，则最短路径为：M#=2月cm，

若蚂蚁的行走路线为左壁和前壁，则最短路径为：而弄=2后cm，

010<2729,

团最短路径为：10cm.

故选：B.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，求算术平方根.能分类讨论是解题关键.

5.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别

是20dm,3dm52dm,/和8是这个台阶相对的端点，点/处有一只蚂蚁，想到3处去吃食

物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）

A20

R

A.25dmB.26dmC.24dmD.27dm

【答案】A

【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm,宽为（2+3）x3dm,

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm,

由勾股定理得：x2=202+[(2+3)X3]2=252,

解得x=25.

故选：A.

【点睛】本题的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开

成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图

形上构造直角三角形解决问题

6.(2022秋・福建宁德•九年级校考期中)如图，有一个圆柱，底面圆的直径/2=屿，高

3C=12cm,P为2c的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到尸点的最短距离为

()

pc

P

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【答案】B

【分析】把圆柱的侧面展开，连接AP,利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬

到尸点的最短距离.

【详解】解：如图：展开后线段A3的长度是圆柱中半圆的周长，

圆柱底面直径一cm、高5c=12c;w,尸为5c的中点,

BP=6cm,

/.AB=—x^-x—=8cm,

271

在RtABP中，AP=dAB?+PB?=旧+6?=10(c-)，

蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm,

故选：B.

【点睛】本题考查的是平面展开一最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用

勾股定理求解是解答此题的关键.

7.（2022秋•江苏,八年级专题练习）如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点/处，

一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若48=3cm,2C=5cm,BF=6cm,则最短的爬

行距离是（）

A.10B.14C.V106D.V130

【答案】A

【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线/G,根据勾股定理，即可

求出NG长度；

【详解】把长方体展开有三种情况：

当蜘蛛从/出发到防上再到G时，如下图所示

BC=5cm,

FG=BC=5cm,

/.3G=5+6=11("

在Rt^ABG中，AG=V32+ll2=7i30(on)；

当蜘蛛从/出发到2尸上再到G时，如下图所示

B

AB=3cm,BC=5cm,

AG=3+5=8(cm),

BF=6cm,

CG=BF=6cm,

在RtAABG中，AG=A/82+62=10(cm)，

当蜘蛛从/出发到EH上再到G时，如下图所示

F5G

/

//

39/

/

£---r-H

6

AE=6cm,EF^icmFG=5cm,

团AF=9cm,

在用一AFG中，AG=A/92+52=y/106(cm);

^/130>^^06>10.

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握两点之间线段最短是解题的关键.

8.(2022秋,江西萍乡•八年级统考期中)如图，长方体的长为20cm,宽为15cm,高为

10cm,点B离点C为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜

A.5^/29cmB.25cmC.5y/31cmD.16cm

【答案】B

【分析】分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连结AB,如图1；把上面展开到正面

上，连结AB,如图2；把侧面展开到正面上，连结AB,如图3,然后利用勾股定理分别计

算各情况下的AB,再进行大小比较.

【详解】把上面展开到左侧面上，连结AB,如图1,

AB=7(10+20)2+52=V925=5737(cm)

把上面展开到正面上，连结AB,如图2,

AB=7202+(10+5)2=-7625=25(cm)；

把侧面展开到正面上，连结AB,如图3,

AB=7102+(20+5)2=A/725=5729(cm).

ffl>/925>7725>25

所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离为25cm.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，

再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三

角形解决问题.

9.(2023春•八年级课时练习)如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖)高6厘米，底面周

长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的/处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，/的相对方

向有一小虫尸，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是

A.J万厘米B.10厘米C.8拒厘米D.8厘米

【答案】B

【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题

求解即可.

【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，

作点A的对称点B,

连接PB,

则PB为所求，

根据题意，得PC=8,BC=6,

根据勾股定理，得PB=10,

故选B.

【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，

灵活使用勾股定理是解题的关键.

10.（2021春•山东临沂•八年级统考期中）如图，圆柱形玻璃板，高为12cm,底面周长为

18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿

4cm与蜂蜜相对的N处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（）

却&乂,X

%

,（专室

/一、

-------J

A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm

【答案】A

【分析】在侧面展开图中，过C作C0回EF于0,作/关于昉■的对称点"，连接/'C交

EH于P,连接4P,则NP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出力0,C。，根据勾股

定理求出"C即可.

【详解】解：沿过/的圆柱的高剪开，得出矩形£砥汨，过C作CQSE/于。，作/关于

的对称点"，连接/'C交E”于P,连接NP,则NP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距

离，

SAE^A'E,A'P=4P,

^AP+PC^A'P+PC^A'C,

回C0=；xl8cm=9cm,/'0=12cm-4cm+4cm=12cm,

在R何TQC中，由勾股定理得："C=J12A92=15cm,

故选：A.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力.将图形

侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.

二、填空题

11.（2023秋•河南南阳•八年级统考期末）如图，圆柱形容器的高为0.9m,底面周长为

1.2m,在容器内壁离容器底部0.3m处的点8处有一蚊子.此时，一只壁虎正好在容器外

壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点N处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m.

【答案】1

【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点4关于跖的对称点根据两点之间线段

最短可知48的长度即为所求.

【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点/关于E尸的对称点4,连接48,

则48为最短距离.

3

fr

由题意知,AD=0.6m9AE=AE=Q.2rx},

团80=0.9-0.3+0.2=0.8m,

=A/0.62+0.82

=1（m）.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性

质和勾股定理进行计算是解题的关键.

12.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图是一个边长为6的正方体木箱，点。在上底面的

棱上，AQ=2,一只蚂蚁从尸点出发沿木箱表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行的最短路程为

【答案】10

【分析】将正方体上表面如图展开（见详解），根据两点之间，线段最短，即可得到：连接

PQ的线段是P到。的最短路程，再根据勾股定理计算即可.

【详解】解：将正方体上表面展开，如图所示，

回80=6+2=8,

回PQ=yjPB2+BQ2=V62+82=10.

回蚂蚁爬行的最短路程10.

故答案为：10.

【点睛】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理

求边长是解决此题的关键.

13.（2023秋•江西宜春•八年级校考期末）如图，长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,

高AD=20cm,点/在CH上，且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬

到点加，需要爬行的最短距离是cm.

【答案】25

【分析】首先将长方体沿C〃、HE、BE剪开，向右翻折，使面N8CD和面AE77C在同一个

平面内，连接/M；或将长方体沿S、GD、GH剪开，向上翻折，使面4BCD和面

0c8G在同一个平面内，连接或将长方体沿/2、AF,所剪开，向下翻折，使面

C5E7/和下面在同一个平面内，连接然后分别在与必ffl48M与R/EL4CM,利

用勾股定理求得的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程.

【详解】解：将长方体沿C〃、HE、,向右翻折，使面/BCD和面在同一个

CM

A

图3

由题意可得：MD=MC+CD=5+W=15cm,4D=20cm,

在必fflADM中，根据勾股定理得：AM=^52+202=25cm；

将长方体沿C〃、GD、G”剪开，向上翻折，使面48CD和面。CHG在同一个平面内，连

接/跖

如图2,

由题意得：BM=BC+MC=20+5=25(cm),4B=10cm,

在中，根据勾股定理得：AM=7252+102=5>/29cm,

连接如图3,

由题意得：AC=AB+CB=10+20=30(cm),MC=5cm,

在必S4CN中，根据勾股定理得：7"=J3(f+5?=5屈cm,

团25<5回<5庖，

则需要爬行的最短距离是25.

【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平

面图形，利用勾股定理的知识求解.

14.（2022秋•广东揭阳•八年级统考期末）如图，在圆柱的截面45CD中，AB=—,BC=

71

12,动点尸从/点出发，沿着圆柱的侧面移动到8c的中点S的最短距离为.

【分析】先把圆柱的侧面展开，连接NS,利用勾股定理即可得出NS的长.

【详解】如图所示，将其展开，

团在圆柱的截面48co中：AB=—,3c=12,

0AB=-x^-x—=8,BS=-BC=6,

2/2

将其展开可得如下的矩形，

在必AABS中，

0AS=A/82+62=10-

故答案为：10.

【点睛】题目主要考查弧长公式、勾股定理及其在圆柱展开展开中的应用，能想到将圆柱

展开应用勾股定理是解题关键.

三、解答题

15.（2022秋,陕西咸阳•八年级校考阶段练习）如图，有一个高为10dm,底面周长为48dm

的圆柱形水桶，水桶的底端A处有一只蚂蚁，它准备沿水桶的侧面爬行到对角8处去吃一

滴蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路线长.

J__

【答案】蚂蚊爬行的最短路线长为26dm.

【分析】先把水桶的侧面展开图如图所示.确定/。为半周长，然后利用勾股定理求解即

可.

【详解】解：水桶的侧面展开图如图所示.

由题意，易得BD=10dm,AD=24dm,

由勾股定理得，AB=\lAD2+BD2=7242+102=26dm>

即蚂蚊爬行的最短路线长为26dm.

【点睛】本题考查最短路径问题，掌握圆柱侧面展开图，确定点B是半周长的山边缘，用

勾股定理求解是解题关键.

16.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，一只螳螂在树干的点A处，发现它的正上方点

8处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，

已知树干的半径为10c加，A,8两点的距离为45c机，求螳螂爬行的最短距离（兀取3）.

【答案】75cm

【分析】将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂

爬行的最短距离，利用勾股定理即可求出AB.

【详解】解：将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为

螳螂爬行的最短距离

AF=2RX10-60CITI,BF=45cm

^AB=^AF-+BF-=7602+452=75cm

答：螳螂爬行的最短距离为75cm.

【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解直角三角形和两点之间线段

最短是解题关键.

17.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，是用棱长为1cm的两个正方体拼成的新几何

体，求一只蚂蚁从顶点A出发沿着新几何体的表面爬行到顶点B的最短路程是多少cm?

【答案】2&cm

【分析】根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，进而勾股定理求解即可

【详解】解：如图，将组合体的上底面展开，点3到了点3'的位置，蚂蚁沿AfOf3所

在的直线运动到E路程最短，

AB=^AC2+B'C2=722+22=2夜•

则AB'=J1+3?=如

V10>2V2

即蚂蚁从顶点A出发到顶点8的最短路程是2后cm.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键.

【过关检测】

一.选择题（共7小题）

1.（2022秋•市中区期中）正方体盒子的棱长为2,2c的中点为一只蚂蚁从/点爬行

到M点的最短距离为（）

A.B.717D.2+V5

【分析】把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点力和点M

间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形中，一条直角边长等于2长，

另一条直角边长等于3,利用勾股定理可求得.

【解答】解：展开正方体的点M所在的面，

WC的中点为

所以城=工3c=1,

2

在直角三角形中AM^^22+（1+2）2=W5•

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这

类问题的关键.

2.（2022秋•清新区期中）如图所示，一圆柱高8c加，底面半径2c”,一只蚂蚁从点/爬到

点2处吃食，要爬行的最短路程（IT取3）是（）

A.12cmB.10cmC.14cmD.无法确定

【分析】根据两点之间，线段最短.先将图形展开，再根据勾股定理可知.

【解答】解：如图所示：

cB

可以把N和8展开到一个平面内,

即圆柱的半个侧面是矩形：

矩形的长BC=4±=2TT=6,矩形的宽NC=8,

2

在直角三角形/2C中，NC=8,BC=6,

根据勾股定理得：（2冗）2+642。

故选：B.

【点评】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面

内，再计算.

3.（2022春•思明区校级期中）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点8离点C的

距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是

H

A.5721B.25C.1075+5D.35

【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最

短”得出结果.

【解答】解：将长方体展开，连接/、B,

根据两点之间线段最短，

（1）如图，20=10+5=15,AD=20,

由勾股定理得：AB=A/AD^+BD^~V152+20=7625=25.

(2)如图，BC=5,/C=20+10=30,

由勾股定理得，4B=qAC2+BC252+302—V925—5\/~37.

35C

（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图:

:长方体的宽为10,高为20,点8离点C的距离是5,

.•.2D=CD+BC=20+5=25,/。=10,

在直角三角形N3D中，根据勾股定理得：

•>•^S=VBD2+AD2=V102+252=5^29；

由于25<5^^<5J§7,

故选:B.

、

、、

、

、、

A

【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答

即可.

4.（2021秋•金水区校级月考）如图：有一圆柱，它的高等于8c机,底面直径等于4c〃z（TT=

3）,在圆柱下底面的/点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与/相对的8点处的食物，需要

爬行的最短路程大约（）

A.10cmB.12cmC.19cmD.20cm

【分析】根据两点之间，线段最短.首先把/和2展开到一个平面内，即展开圆柱的半

个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对

角线的长度.

【解答】解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即

2n=6,矩形的宽是圆柱的高即8.

根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10.

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这

类问题的关键.本题注意只需展开圆柱的半个侧面.

5.（2021春•宣化区期中）如图，一圆柱体的底面周长为24c"?,高BD为5cm,8C是直径，

一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（）

A.6cmB.12cmC.13cmD.16cm

【分析】根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短.

【解答】解：将圆柱体展开，连接。C,

圆柱体的底面周长为24CM,则DE=12C〃Z,

根据两点之间线段最短，

22=13

6/）=^5+12（加.

而走。-8-C的距离更短，

,:BD=5,5C=—,

故选：C.

【点评】本题考查了平面展开--最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最

短，运用勾股定理解答即可.

6.（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10c加，高为12cm,8c是直径，

一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）

A.17cmB.13c机C.12cmD.14cm

【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答.

【解答】解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为10cm,

则/。=10义工=5（cm）.

2

又因为CD=AB=\2cm,

所以/C=1122+52=13(cm).

故蚂蚁从点/出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13c加.

故选：B.

【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的计算，将圆柱的侧面

展开，构造出直角三角形是解题的关键.

7.（2021秋•通川区校级月考）如图是一块长，宽，高分别是6c%,4cm和3c加的长方体木

块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点/处，沿着长方体的表面到长方体上和/相对

的顶点3处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）

A.（3+2V13）cmB.V97cmC.V85cmD.V109cm

【分析】作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最

短，根据勾股定理即可计算.

【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是9和4,

则所走的最短线段是行不=V97；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形,

则这个长方形的长和宽分别是7和6,

所以走的最短线段是产不=丁而；

第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,

则这个长方形的长和宽分别是10和3,

所以走的最短线段是132+102=/而；

三种情况比较而言，第二种情况最短.

故选：C.

【点评】此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，

求出最短的线段.

二.填空题（共8小题）

8.（2022春•凉州区期末）如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3CM,高是4c〃?的长方体纸箱的

A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_\FN_c加.

【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点/和2点间的线段

长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另

一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得.

【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路

线中确定最短的路线.

（1）展开前面右面由勾股定理得/炉=（5+3）2+42=80；

（2）展开前面上面由勾股定理得/加=（4+3）2+52=74；

（3）展开左面上面由勾股定理得/炉=（5+4）2+32=90.

所以最短路径的长为（cm）.

故答案为：V74.

【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题及勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”

是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.

9.（2021秋•将乐县期中）如图，有一圆柱，其高为12CM,底面半径为3CTO,在圆柱下底面

A点处有一只蚂蚁,它想得到上底面B处的食物,则蚂蚁经过的最短距离为15cm.（n

取3）

【分析】本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则/，5所在的长方形的长为圆柱的高

12cm,宽为底面圆周长的一半为蚂蚁经过的最短距离为连接力,3的线段长，由勾

股定理求得的长.

【解答】解：圆柱展开图为长方形，

则48所在的长方形的长为圆柱的高121?相，宽为底面圆周长的一半为1UX7W,

蚂蚁经过的最短距离为连接N,8的线段长，

由勾股定理得4B=d122+（3兀）2=4122+92=。225=15cm.

故蚂蚁经过的最短距离为15c加.

【点评】解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理

计算即可.

10.（2021•南岗区校级开学）一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的/点沿纸箱

爬到8点，那么它所行的最短路线的长是10.

【分析】根据"两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩

形，则N8为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为/左

【解答】解：如图（1）所示：

^=VS2+（8+3）2

=V130；

如图（2）所示：

^=>/62+82

=10.

由于d130>10,