北京市密云区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（含答案与解析）

机密★启用前

北京市密云区2024〜2025学年度第一学期期末考试

九年级数学

1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.

考

2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号.

生

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用25铅

须

笔.

知

4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回.

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合

题意的.

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（）

△□OO

等边三角形正方形正五边影正六边账

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是（）

A（2,1）B.（2,-1）C.（―2,1）D.（-2,-1）

3.若方程f+4x+根=0有两个相等的实数根，则m的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

4.已知抛物线丁=以2+及+。图象如图所示,则方程Q2+法+C=。的实数根的情况是（）

,j'•

A.方程没有实数根B.方程的实数根情况不确定

C.方程有两个相等的实数根D.方程有两个不相等的实数根

5.下列事件中，随机事件是（）

A.一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6

B.任意画一个三角形，其内角和为180°

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

D.在标准大气压下，将水加热到100℃并持续加热，则水会沸腾

6.如图，。的半径长为1,PA，PB分别与一。相切于4B两点，ZAPB=60°,则劣弧人台的长度

71Z7T-

A.—B.—C.TtD.2兀

33

7.某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据

如下:

调查人数m10250700100050001000020000

回复满意人数W82186218984510899018020

回复满意的频率一（结果保留

m0.8000.8720.8870.8980.9020.8990.901

小数点后三位）

则下列说法正确的是（）

A.若随机调查10个用户，则回复满意的人数一定是8

B.随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率也增加

C.若随机调查500个用户，回复满意的人数一定是436

D.随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计

该平台用户回复满意的概率为0.900

8.如图，A,8是平面内两定点，C,。是平面内两动点，且满足AB=CD.下列说法中，

①4B,C,。四点一定在同一个圆上；②若AC=8D,则A,B,C,。四点一定在同一个圆上；③若

AC1BD,则四边形ABCD的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形A3CD既有外接圆，又有内

切圆.所有正确说法的序号是（）

D

A.①②B.②④D.①②③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.在平面直角坐标系宜刀中，点（1,2）关于原点。的对称点的坐标为.

10.方程£—16=0的解是

11.已知（。的半径是2,点尸在.。内，则OP2（填或）.

12.已知抛物线y=（x—I7,当x>加时，y随x的增大而增大，任写出一个符合题意的，"值______.

13.近年来，随着人们环保意识增强，新能源汽车的销售量逐年增加、据统计，2022年某城市新能源汽车

销量为2万辆，到2024年，这一数字跃升至5.8万辆.求该城市这两年新能源汽车销量的年平均增长

率.若设该城市这两年新能源汽车销量的年平均增长率为x,则可列出方程为.

14.如图，ABCDEF是O内接正六边形，AB=2cm,则该正六边形的边心距为cm.

-------

-----气

15.如图，ABCD是1。的内接四边形，ZABC=110°,则NOAC的大小是

16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=必—2x与x轴交于A（%,0）,B（x2,0）,且玉<%.

①=；

②当—2WxW加时，函数值y的取值范围是—l<y<8,则%的取值范围________.

三、解答题（本题共68分，其中17-22题每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分,

解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程).

17.解方程：x2+3x-1=0.

18.如图，在下面正方形网格中小正方形的边长为1,A,B,。都是格点(小正方形的顶点)，将

绕点。顺时针旋转90。得到A4。，点A,点B的对应点分别为4，Bx.

(1)补全图形；

(2)求用A长；

(3)NB[AO+ZAB}O=°.

19.已知抛物线y=》2—4x—1.

(1)求抛物线的顶点坐标、对称轴；

(2)抛物线丁=炉-4x-1可以由抛物线y=Y经过平移得到，任写出一种平移方法.

20.一个盒子中有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同.

⑴如果从盒子中随机摸出1个球，摸出红色球的概率为；

⑵若从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请通过列表或画树状图的方

法，求两次摸到不同颜色球的概率.

21.如图，A3是।。的直径，是。的弦，A5LCD于£

(1)求证：NCOB=2ZBAD；

(2)若CD=8,BE=2,求。的半径长.

22.已知方程f_3%+m=0有两个不相等的实数根.

（1）求实数机的取值范围；

（2）已知方程的一个根是4,求用的值，并求出方程的另一个根.

23.己知抛物线y=d+6x+c经过两点A（2,—3）,B（4,5）.

（1）求b,c值；

（2）当时，函数y=%+"的函数值总大于函数丁=f+6%+。的函数值，且函数丁=-7九+"

的函数值总小于函数y=必++c的函数值，直接写出满足题意的〃的取值范围.

24.如图，线段A3=10cm,点C是线段AB上一点（不与A,2重合）.将线段CB绕点C按逆时针方向

旋转90。得到线段CD.设3C=xcm,ACD的面积为ycmL

（1）》关于x的函数表达式为,自变量x的取值范围是；

（2）在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中函数的图象；

（3）当％=cm时，ACD的面积取得最大值是cm2.

25.如图，是「。的直径，AC是。的弦，延长3C至。，BC=CD,过。作CELAZ）交AD

于点E.

（1）求证：CE是O。的切线；

（2）连接BE,若NECD=30°,DE=1,求BE长.

26.已知抛物线y=双2+法+0（。＞0）,“01，%），政犯,力）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线

x=t

(1)当f=2时.

①直接写出6与。满足的等量关系.

②右%=%，则+%2=-

(2)已知石=/一3,%=/+1，点C(%％)在抛物线上•当3<W<4时，总有％〉%>为，求r

取值范围.

27.已知VA3C中，AB=AC,NBAC=90。，点。在射线CB上(不与2,C重合)，过点。作

DELBC交直线AB于点E,连接AD，EC.

图1图2

(1)如图1,DC=3BD,设BD=m,求EC,AD长(用含机的代数式表不).

(2)如图2,点。在CB延长线上，用等式表示线段EC与的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xQy中，。半径长为1,为。。的一条弦，若NAPfi=a(0°<a<180°),

则称点尸为「〉。的弦AB的戊度相关点.

(1)如图，直线丁=兀与。交于A,B两点，在点G(I,O),G(2,I)，G中，是弦AB的

90。相关点的有

(2)已知。。的弦CD的长为若，点尸是弦QD的60。相关点，T是CD中点，则△PCD面积的最大值

为，当△PCD面积取得最大值时PT长为.

(3)已知点。是直线y=x-l上的一个动点，且存在的弦所，所=2,点。为C。的弦跖的

60。相关点，直接写出点。横坐标f的取值范围.

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合

题意的.

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（）

△□OO

等边二密也正方形正五边附正六边做

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿

对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析即可求解.

【详解】解：等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意.

正方形是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意.

正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意.

正六边形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意.

综上所述，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有2个.

故选：B.

2.抛物线y=（x-2y+1的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（-2,-1）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了二次函数y=a（x-h）2+k的性质，熟练掌握二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质

是解题的关键.对于二次函数丁=。。-丸）2+左，其顶点坐标是（九左），对称轴是直线x=/z.

己知抛物线的顶点式，即可直接得出其顶点坐标.

【详解】解：；y=（x—2）2+l是抛物线的顶点式，

.♦•根据顶点式的性质可知，顶点坐标是（2,1）,

故选：A.

3.若方程f+4x+根=0有两个相等的实数根，则加的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的

关系.

根据一元二次方程根与判别式的关系可得，A=42-4m=0.求解即可.

【详解】解：•••关于x的方程好+4%+m=0有两个相等的实数根，

，A=4一一=0，即16—47〃=。，

解得：m=4,

故选：C.

4.已知抛物线y=奴2+/ZX+C的图象如图所示，则方程q2+法+C=0的实数根的情况是（）

A.方程没有实数根B.方程的实数根情况不确定

C.方程有两个相等的实数根D.方程有两个不相等的实数根

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式，由图象可知，抛物线丁=以2+。％+。与x轴有两个交

点,即可得方程q2+公+,=（）有两个不相等的实数根.

【详解】解：由图可得：抛物线丁=G？+"+C与X轴有两个交点，即可得方程以法+c=0有两个不

相等的实数根.

故选：D.

5.下列事件中，随机事件是（）

A.一枚质地均匀骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6

B.任意画一个三角形，其内角和为180°

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

D.在标准大气压下，将水加热到100℃并持续加热，则水会沸腾

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可

能发生也可能不发生的事件.

根据事件发生的可能性大小判断即可.

【详解】解：A、一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大

于6是不可能事件，不符合题意；

B、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，不符合题意；

C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；

D、在标准大气压下，将水加热到100℃并持续加热，则水会沸腾是必然事件，不符合题意；

故选：C.

6.如图，。的半径长为1,PA,总分别与.0相切于A,2两点，ZAPB=60°,则劣弧人台的长度

为（）

A

7iIn-

A.—B.—C.TTD.2兀

33

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了弧长的计算，多边形内角与外角及切线的性质，熟知切线的性质及弧长的计算公

式是解题的关键.

根据切线的性质，求出NOAP和NQBP的度数，再结合/APB的度数，得出NO的度数，最后借助于

弧长公式即可解决问题.

【详解】解：分别与。。相切于A8两点,

ZOAP=ZOBP=90°,

又・ZAPB=60°,

.•.NO=120。，

又：。的半径长为1,

故选：B.

7.某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据

如下：

调查人数加10250700100050001000020000

回复满意人数〃82186218984510899018020

回复满意的频率一（结果保留

m0.8000.8720.8870.8980.9020.8990.901

小数点后三位）

则下列说法正确的是（）

A.若随机调查10个用户，则回复满意的人数一定是8

B.随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率也增加

C.若随机调查500个用户，回复满意的人数一定是436

D.随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计

该平台用户回复满意的概率为0.900

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，

并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近

似值就是这个事件的概率.根据频率估计概率求解即可.

【详解】解：A.若随机调查10个用户，则回复满意的人数不一定是8,此选项说法错误，不符合题意；

B.随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率将趋于一个稳定的数值，不会一致增加，此选项错

误，不符合题意；

C.若随机调查500个用户，回复满意的人数不一定是436,此选项错误，不符合题意；

D.随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估

计该平台用户回复满意的概率为0.900,此选项正确，符合题意；

故选：D.

8.如图，A,8是平面内两定点，C,。是平面内两动点，且满足AB=CD.下列说法中，

①A,B,C,。四点一定在同一个圆上；②若则A,B,C,。四点一定在同一个圆上；③若

AC1BD,则四边形A3CD的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形ABCD既有外接圆，又有内

切圆.所有正确说法的序号是（）

A.①②B.②④C.②③④D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】由A3〃CD,A3=CD,证明四边形A3CD是平行四边形，可知四点不一定在同一个

圆上，可判断①错误；由四边形A3CD是平行四边形，=证明四边形A3CD是矩形，则A,5C,D

四点都在AC为直径的同一个圆上，可判断②正确；由四边形A3CD是平行四边形，ACJ.BD,证明四

边形ABCD是菱形，设ACM交于点/,过点/分别作各边的垂线，垂足分别为点G,H,£E,可证明

ZBAI=ZDAI,则/G=田，同理出=/F,/F=/E,可知以点/为圆心，以/G长为半径的圆与菱形

ABC。的各边都相切，可判断③正确；当四边形A3CD是正方形时，该四边形既有外接圆，又有内切圆，

可判断④正确，于是得到问题的答案.

【详解】解：：钻〃CD,A3=CD,

...四边形ABCD是平行四边形，

:平行四边形的对角不一定互补，

A,5C,D四点不一定在同一个圆上，故①错误；

•.•四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,

四边形ABCD是矩形，

A,3,C,D四点都在AC为直径的同一个圆上，故②正确；

•.•四边形A3CD是平行四边形，AC±BD,

，四边形ABCD是菱形，

如图，设AC,3。交于点/,过点/分别作各边的垂线，垂足分别为点

AB=AD,AC±BD,

：.ZBAI=ZDAI，

\IG=IH,

同理田=/F,3=/E,

：.IG=IH=IF=IE,

...以点/为圆心，以/G长为半径圆与菱形ABCD的各边都相切，

...四边形A3CD的各边一定都与某一个圆相切，故③正确；

•••A3是平面内两定点，是平面内两动点，且四边形ABCD是平行四边形，

/.四边形A3CD可能是正方形，

..•正方形既有外接圆，又有内切圆，

...存在四边形ABCD既有外接圆，又有内切圆，故④正确，

故选：C.

【点睛】此题重点考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定与性质，与圆有关的

位置关系等知识，正确理解平行四边形与特殊平行四边形的区别与联系是解题的关键.

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9.在平面直角坐标系中，点(1,2)关于原点。的对称点的坐标为.

【答案】(―L—2)

【解析】

【分析】此题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的横，纵坐标均互为相反数是解题的

关键.

根据关于原点对称的点的横，纵坐标均互为相反数即可求解.

【详解】解：点(1,2)关于原点的对称点坐标为(-1,—2),

故答案为:（T-2）.

10.方程£—16=0的解是

【答案】占=4,々=一4

【解析】

【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程求解即可.

【详解】解：%2=16，

X]=4,%2=~4.

故答案为：X]=4,X2=-4

11.已知、。的半径是2,点尸在.。内，则OP2（填或）.

【答案】＜

【解析】

【分析】本题考查点与圆的关系，解题关键是熟知点与圆的三种关系.

根据点与圆的三种关系即可判断得到答案.

【详解】解：：。的半径为2,点尸在（。内，

:.OP＜2,

故答案为：＜.

12.已知抛物线y=（x—I?,当x＞加时，y随x的增大而增大，任写出一个符合题意的加值______.

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴，牢固掌握增减性性质是解题关键.

先判断出开口方向向上，对称轴为直线x=i,则当x＞i时，y随x的增大而增大，又x＞加时，＞随x的

增大而增大，故加之1,在此范围内任意选择一个值即可.

【详解】解：由二次函数y=（x-l）2,可得其对称轴为直线尤=1,图象开口向上，

...当1＞1时，y随x的增大而增大，

又当X＞加时，y随X的增大而增大，

则加上1,所以口可取大于等于1的一切数.

故答案为：2（答案不唯一）.

13.近年来，随着人们环保意识增强，新能源汽车的销售量逐年增加、据统计，2022年某城市新能源汽车

销量为2万辆，到2024年，这一数字跃升至5.8万辆.求该城市这两年新能源汽车销量的年平均增长

率.若设该城市这两年新能源汽车销量的年平均增长率为x,则可列出方程为.

【答案】2(1+X)2=5.8

【解析】

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

利用2024年某款新能源汽车的销售量=2022年某款新能源汽车的销售量x(l+年平均增长率y，即可得出

关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】解:由题意得：2(1+x)2=5.8.

故答案为：2(1+x)2=5.8.

14.如图，ABCD防是的内接正六边形，AB=2cm,则该正六边形的边心距为cm.

工,---

【答案】6

【解析】

【分析】过点。作Q0LA5交AB于点M,连接。4,03,证明△OAB是等边三角形，得出

AB=OA=2cm,由垂径定理求出再由勾股定理求出即可.

【详解】解：过点。作QVfLAB交AB于点连接。A,03,

六边形ABCDEF为正六边形,

OA=OB,

△OAB是等边三角形，

:.AB=OA=2cm,

OMLAB,

：.AM=BM=-AB=lcm,

2

OM=A/22-I2=6cm，

即边心距为限m,

故答案为：V3.

【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质,

解题的关键是掌握以上知识点.

15.如图，ABCD是。。的内接四边形，ZABC=110°,则/。4C的大小是.

【解析】

【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质.首先根据圆内接四边

形的对角互补，得"=180°—4=70°.再根据圆周角定理，得NAOC=2ND=140。，由

OA=OC,推出ZOAC=ZOCA=1(1800-ZAOC)计算即可解答.

【详解】解：；ABCD是Q的内接四边形，ZABC=110°,

=180°—4=70。，

ZAOC=2ZD=140°,

,:OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=1(180°-ZAOC)=20°.

故答案为：20。.

16.在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=x?—2x与x轴交于A&,0),5(^,0),且可<々.

①刀2=；

②当—2WxW加时，函数值y的取值范围是—l<y<8,则根的取值范围________.

【答案】①.2®.l<m<4

【解析】

【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

①令V一2%=0，求出占,々值即可.

②由抛物线解析式可得，当龙=1时，y取得最小值—1.当令y=8,得9―2%=8,求出不々的值，再

结合图象可得答案.

【详解】解：①令必—2尤=0，

解得％—0,x2—2.

故答案为：2.

②；y-x2-2x-(x-l)2-1,

，当尤=1时，y取得最小值—1.

令y=8,得d—2x=8，

解得石=-2①=4.

:当—时，函数值y的取值范围是—i<y<8,

：.m的取值范围是

故答案为：

三、解答题(本题共68分，其中17-22题每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分,

解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程).

17.解方程：x2+3x—1=0.

【答案八二门"y—1

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键.

用求根公式法解方程即可.

【详解】解：••X2+3X-1=0，

••a=1,b=3,c——1,

22

.•.Z7_4ac=3-4xlx(-l)=13,

-3±V13

/.x=----------，

2

-3+^3-3-V13

x,=------------,x,=----------------

22

18.如图，在下面正方形网格中小正方形的边长为1,A,B,。都是格点(小正方形的顶点)，将

绕点。顺时针旋转90。得到A4。，点A,点B的对应点分别为A，

(1)补全图形；

(2)求用A长；

(3)NB]AO+NABQ=°.

【答案】(1)见解析(2)2百

(3)45

【解析】

【分析】本题考查作旋转图形、勾股定理与网格问题，

(1)根据旋转的性质作图即可.

(2)利用勾股定理计算即可.

(3)在线段与。的延长线上取点C,根据网格的特点可得N4AO+NAB。=NAOC=45。，即可求解.

【小问1详解】

解：如图，44。即为所求.

B、

【小问2详解】

解：与4=也2+下=2石

【小问3详解】

在线段与。的延长线上取点C,

由图可得，ZAOC=45°,

：.N4Ao+NABQ=ZAOC=45°.

故答案为：45.

19.已知抛物线丁=必一4十一1.

(1)求抛物线的顶点坐标、对称轴；

(2)抛物线y=——4x-1可以由抛物线丁=必经过平移得到，任写出一种平移方法.

【答案】(1)顶点坐标为(2,-5)、对称轴是直线x=2

(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定

系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键.

(1)先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可；

(2)按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移解答即可.

【小问1详解】

解：y=x2-4x-l=(x-2)2-5,

抛物线的顶点坐标为(2,-5),对称轴是直线x=2；

【小问2详解】

解：y=(x-2)2-5,

...由抛物线y=必先向右平移2个单位，再向下平移5个单位可得抛物线y=Y—4x-1或抛物线y=x2

先向下平移5个单位，再向右平移2个单位可得抛物线y=f一4x-1.

20.一个盒子中有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同.

⑴如果从盒子中随机摸出1个球，摸出红色球的概率为；

⑵若从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请通过列表或画树状图的方

法，求两次摸到不同颜色球的概率.

24

【答案】(1)—;(2)—.

39

【解析】

【分析】(1)一共有3个球，其中红色球有2个，所以可得到摸出红色球的概率；

(2)首先根据题意画树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，

再利用概率公式即可求得答案.

【详解】(1)一共有3个球，其中红色球有2个，所以从盒子中随机摸出1个球，摸出红色球的概率为

2

?；

(2)画树状图如下：

由树状图可知共有9种等可能的结果，先后摸出的两个球颜色不相同的有4种情况，

4

先后摸出的两个球颜色不相同的概率是：一

9

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求

情况数与总情况数之比.

21.如图，是〔。的直径，CD是O的弦，A5_LCD于E.

(1)求证：ZCOB=2ZBAD；

(2)若CD=8,BE=2,求二。的半径长.

【答案】(1)见详解(2)5

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

(1)连接利用垂径定理可得：BC=BD，从而可得=然后利用圆周角定理可得:

ZDOB=2ZDAB,从而可得NCOB=2NZMB,即可解答；

(2)利用垂径定理可得：CE=DE=4,然后设(。的半径为广，在RtOCE中，利用勾股定理进行计算

即可解答.

【小问1详解】

证明：连接0D,

:直径

BC=BD，

：.ZCOB=ZDOB,

■:ZDOB=2ZDAB,

：.ZCOB=2ZDAB-,

【小问2详解】

解：VAB±CD,

:.CE=DE=-CD=4,

2

设「0的半径为r,

在RtOCE中，OC2=CE2+OE~，

r2=42+(—2)2,

解得：r=5,

；.「O的半径长为5.

2

22.已知方程X-3%+m=0有两个不相等的实数根.

(1)求实数机的取值范围；

(2)已知方程的一个根是4,求机的值，并求出方程的另一个根.

9

【答案】(1)m＜-

4

(2)m=—4,另一个根是—1

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系.

(1)根据根的判别式的意义得到△=(—3『—4加＞0,然后解不等式即可；

(2)设方程的另一个根为方,利用根与系数的关系得4+/=3,4t=m,然后解一次方程组即可.

【小问1详解】

解：根据题意得△=(—3『—4加＞0,

9

解得777＜-,

4

9

m的取值范围为加＜：；

4

【小问2详解】

设方程的另一个根为乙

根据根与系数的关系得4+/=3,4r=m,

解得?=—1,m——4,

即方程的另一根是-1.

23.己知抛物线丁=必+法+。经过两点A(2,—3),5(4,5).

(1)求b,c值;

(2)当时，函数丁=x+〃的函数值总大于函数y=x?+6x+c的函数值，且函数丁=-7九+〃

的函数值总小于函数y=V+6x+c的函数值，直接写出满足题意的〃的取值范围.

【答案】(1)b=—2,c=-3

(2)1<〃<3

【解析】

【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数交点问题；

(1)利用待定系数法即可求得；

(2)依据题意，求得函数丁=*+〃以及函数y=-7x+〃的图象过界点时的〃的值，可以判断得解.

【小问1详解】

解：•••抛物线y=必+云+,经过两点4(2,—3),5(4,5).

[4+2b+c=-3

[16+4b+c=5

b=-2

<

c=-3

【小问2详解】

抛物线上，当尤=1时，y=-4,当x=4时，y=5；

函数y=的图象上，当尤=4,y=5时，n=l；

函数y=-7%+”的图象上，当x=i,y=-4时〃=3,

时，函数y=%+"的函数值总大于函数yuf+Ox+c的函数值，且函数y=-7*+〃的函数

值总小于函数y=f+bx+c的函数值.

1<w<3.

24.如图，线段A3=10cm,点C是线段上一点(不与A,8重合).将线段CB绕点C按逆时针方向

旋转90。得到线段C£>.设3C=xcm,ACD的面积为yen?.

(i)y关于1的函数表达式为,自变量x的取值范围是；

(2)在平面直角坐标系xOy中，画出(1)中函数的图象；

(3)当％=cm时，ACD的面积取得最大值是cm2.

1

【答案】(1)y=——_9r+5x,0<x<10(2)见解析

2

⑶5,”

2

【解析】

【分析】本题主要考查了旋转的性质，二次函数的应用，等腰直角三角形的性质：

(1)由旋转的性质得到5C=CD=xcm,N3co=NACD=90。，则AC=AB—5C=(10—x)cm,根

据么⑦的面积为了二^人仁⑺即可解答；

(2)根据(1)所求列表，描点，连线画出对应的函数图象即可；

(3)根据二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

解：由旋转的性质得到BC=CD=xcm,ZBCD=ZACD=90°,

*.*AB=10cm,

AC==(10-x)cm,

ACD的面积为y=gACCD=gx(10—x)=—gx2+5x(0<x<10),自变量x的取值范围是

0<x<10；

【小问2详解】

解：*.*y=——%2+5%(0<x<10)

列表得:

X34567

212521

y1212

~2~2T

.1.(1)中函数的图象为:

解：y=-1x2+5x=-1(x-5)2+y(0<%<10),

--<0,

2

25

.,.当％=5cm时，ACD的面积取得最大值是一cm"9.

2

25.如图，是I。的直径，AC是。的弦，延长3c至。，BC=CD,过C作CEJ_AZ)交AD

于点E.

(1)求证：CE是0。的切线；

(2)连接BE,若NECD=30°,DE=1,求BE长.

【答案】(1)见解析⑵屈

【解析】

【分析】(1)连接OC,根据三角形中位线定理得到OC〃AO,根据平行线的性质得到OCLCE,根据

切线的判定定理即可得到结论；

(2)设4。交〔。于连接根据三角形的内角和定理得到"=60。，根据圆周角定理得到

AC±BD,推出A5D是等边三角形，得到43=40=5。，/B4£>=60°,根据直角三角形的性质得

到CD=2DE=2,根据勾股定理得到结论.

【小问1详解】

证明：连接0C,

AO=BO,BC=CD,

0c是，A5D的中位线

OC//AD,

CE1AD,

:.OCLCE,

0C是1。的半径，

；.CE是、。的切线；

【小问2详解】

解：设4。交0。于“，连接

CE1AD,

:.ZCED^90°,

ZDCE=30°,

.•.NO=60°,

AB是。的直径,

:.AC±BD,

BC=CD,

...AB=AD，

.kABD是等边三角形，

:.AB=AD=BC,ZB4T>=60°,

NCED=90°,ZDCE=30°,DE=1,

CD=2DE=2，

:.AB=AD=BD=Ar,

AB=BD,BHLAD,

:.AH=DH=~AD=2,

2

BH=yjABT-AH-=2石

HE=DH-DE=1,

BE=7BH2+HE2=岳■

26.已知抛物线y=依2+法+4。>0）,MO[,月），NO2,月）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线

x—t.

（1）当方=2时.

①直接写出。与a满足等量关系―；

②若%=%，则占+々.

（2）已知石=/-3,%2=/+1，点在抛物线上.当3<&<4时，总有X〉%>%,求/的

取值范围.

【答案】（1）①Z?=Ta；②4

（2）K2或5WY6

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质.

（1）①利用对称轴公式求得即可；

②利用二次函数的对称性即可求解；

（2）由题意可知M（*i，yi）在对称轴的左侧，N（*2，y2）在对称轴的右侧，点C到对称轴的距离大于点N到对

称轴的距离小于点以到对称轴的距离，据此即可得到关于/的不等式组，解不等式组即可.

【小问1详解】

b

解：①'・"=----—2,

2a

故答案为：Z?=TQ；

②：A/（%,yJ,N（X2，%）是抛物线上两点，M=%，

"（%,%）,N（w,%）关于对称轴对称，

抛物线的对称轴为直线x=2,

xx

.i+2_2

"2~,

/.演+犬2=4,

故答案为：4；

【小问2详解】

解：由题意可知，在对称轴的左侧，N（%2，y2）在对称轴的右侧，

:点。（七,%）在抛物线上，3<&<4,

.,.点）关于对称轴的对称点为（2/-/，%），

2%—4<2%—w<2%—3,

当点。（七,为）在对称轴的左侧时，

:当3<&<4时，总有％〉%>%，

7-3<3

解得5<?<6；

2?-4>?+1

当点。（项，为）在对称轴的右侧时，

:当3<X,<4时，总有%>%>%，

7+143

解得：1<?<2；

/-3<2?-4

••"的取值范围是1W/W2或.

27.已知VA3C中，AB=AC,ZBAC=90°,点。在射线CB上（不与2,C重合），过点。作

交直线AB于点E，连接AD，EC.

A

A

图1图2

（1）如图1,DC=3BD,设BD=m,求EC,AD长（用含机的代数式表不）.

（2）如图2,点。在CB延长线上，用等式表示线段EC与的数量关系，并证明.

【答案】（1）ECAD长分别为私店机

(2)EC=41AD＞证明见解答

【解析】

【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质，勾股定得等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

(1)作于点尸，因为AB=AC,N3AC=90。，所以AF=BF=CF,NB=NACB=45。,因

为DELBC交AB于点、E，所以ZBDE=NCDE=90。,则NDEB==45°,所以ED=BD，由

DC=3BD,BD=m,得DC=3m,ED—m,则BC-4m,所以AF=BF=2m,DF=m,求得

EC=y/ED2+DC2=710m,AD=^AF2+DF2=出m；

(2)作AHLBC于点H,则AH=BH=CH,NDEB=NDBE=/ABC=N45。，所以ED=BD,设

ED—BD—n,AH—BH=CH=x,贝UCD=2x+4DH=x+n,求得

EC=A/C02+£D2=V2Xyl2x2+2xn+rr,AD=^DH2+AH2=J2f+2m+/，则EC=6AD-

【小问1详解】

解：如图1,作AF13C于点E，则NAKB=90°,

图1

AB=AC,ZBAC^90°,

AF=BF=CF=-BC,ZB=ZACB=45°,

2

,/DELBC交AB于点、E,

：.ZBDE=ZCDE=90°,

；・/DEB=/B=45°,

：・ED=BD，

DC—3BD,BD—m,

:.DC—3m,ED-m,

:.BC=BD+DC—m+3m-4m,

:.AF=BF=—BC=2m,DF=BF—BD=2m—m—m,

2

EC=sjED-+DC2=7m2+(3m)2=VlOm,AD=VAF2+£>F2=7(2m)2+m2=小m，

EC,AD长分别为VlO/w,4in.

【小问2详解】

解：EC=42AD>

证明：如图2,作于点”，

则ZAHD=90°,A"=BH=CH=-BC,ZABC=ZACB=45°,

2

VDELBC交AB的延长线于点E，

\?CDE90?,

ZDEB=ZDBE=ZABC=Z45°,

ED=BD，

设ED=BD=n,AH=BH=CH=x,

则CD=2x+n,DH=x+n,

EC=yjcD2+ED1—QQx+n)?+6=\/2xJ2%2+2xn+n2,

AD=JDH2+AH2=^(x+nf+x2=y/2x2+2xn+n2，

EC_xV2x2+2xn+n2_叵

AOA/2X2+2xn+n2

EC=yflAD-

28.在平面直角坐标系xOy中，。半径长为1,AB为o。的一条弦，若NAPS=a（0°<a<180°）,

则称点尸为。。的弦AB的«度相关点.

（1）如图，直线丁=兀与「。交于A,B两点，在点£（1,0）,C2（2,l）,C3中，是