第11 节函数与方程

第11节函数与方程考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.【知识梳理】1.函数的零点(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使________________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：2.函数零点存在定理(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②________<0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解.[常用结论与微点提醒]1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝2x的零点为0.()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.()2.(必修一P143例1改编)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零点个数为()A.3 B.2C.7 D.03.(必修一P144T2改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)4.函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________.考点一函数零点所在区间的判断例1(1)(2024·昆明诊断)函数f(x)＝x＋1－logeq\f(1,2)x的零点所在的区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))(2)(2024·广州质检)定义开区间(a，b)的长度为b－a.经过估算，函数f(x)＝eq\f(1,2x)－xeq\f(1,3)的零点属于开区间________(只需写出一个符合条件，且长度不超过eq\f(1,6)的开区间即可).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.训练1(1)根据表格中的数据可以判定方程lnx－x＋2＝0的一个根所在的区间为()x12345lnx00.6931.0991.3861.609x－2－10123A.(1，2) B.(2，3)C.(3，4) D.(4，5)(2)(2024·长沙调研)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)考点二函数零点个数的判断例2(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是()A.0 B.1C.2 D.3(2)(2024·杭州调研)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0，2024]上根的个数为()A.404 B.405C.406 D.203________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.训练2(1)(2024·海南质检)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为()A.0 B.1C.2 D.3(2)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为()A.6 B.7C.8 D.9考点三函数零点的应用角度1根据零点个数求参数范围例3(多选)(2024·聊城调研)已知函数f(x)＝x|x－a|－2有三个不同的零点，则实数a的取值可以为()A.0 B.2eq\r(2)C.3 D.4________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2根据零点范围求参数范围例4已知函数f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C.(－∞，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.训练3(1)函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(0，3) B.(1，3)C.(1，2) D.[2，＋∞)(2)(2024·重庆诊断)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x>a，,log2（x＋1），－1<x≤a))且a∈N*，记g(x)＝f(x)＋t，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，则正整数a的最大值为________.嵌套函数的零点问题函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.一、判断嵌套函数的零点个数例1(2024·山东省实验中学诊断)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x＞0，,x2＋2x，x≤0，))则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是()A.2 B.3C.4 D.5________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________二、由嵌套函数零点的情况求参数例2(2024·重庆质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))，x>0.))若关于x的方程[f(x)]2＋(m－4)f(x)＋2(2－m)＝0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是()A.[1，3) B.(0，2)C.[1，2) D.(0，1)_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________