北师版九年级数学上册期末复习考点清单：特殊平行四边形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

清单01特殊平行四边形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

考点循单

定义有一个角是直角的平行四边形

四个角是直角

性质

对角线相等

辘-

有一个角是直角的平行四边形

角

判定三个角是直角的四边形

对角线对角线相等的平行四边形

定义有一组邻边相等的平行四边形

边四条边相等

性质对角线互相垂直

对角线

菱形一每一条对角线平分一组对角

有一组邻边相等的平行四边形

边

判定四条边相等的四边形

对角线对角线互相垂直的平行四边形

特殊平行四边形

有一个角是直角

定义平行1四边形

有一组邻边相等

边四条边相等

角四个角是直角

相等

正方形一对角线互相垂直平分

每条对角线平分一组对角

边有一组邻边相等的矩形

角有一个角是直角的菱形

判定

对角线相等的菱形

对角线

对角线互相垂直的矩形

三角形中位线

三角形一~

直角三角形斜边上的中线

1

【清单01】平行四边形的性质

1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD/7BC,AD=BC,AB〃CD,AB=CD；

2.角的性质：两组对角分别相等，如图：ZA=ZC,ZB=ZD

3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：A0=C0,B0=D0

【清单02】平行四边形的判定

1.与边有关的判定：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形

【清单03】三角形的中位线

三角形中位线：在4ABC中，D,E分别是AC,AC的中点，连接DE.像DE这样,

连接三角形一两边中点的线段叫做三角形的中位线.B

中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

【清单04】平行线之间的距离与平行四边形的综合

定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之

间的距离

性质：平行线之间距离处处相等

【清单05】菱形的性质

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：(1)具有平行四边形的性质

(2)且四条边都相等

(3)两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

2

注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

【清单06】菱形的面积

菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半

S4S

^ABCD=Rt^oB=4X1*|AC*|BD=1AC*JBD

【清单07】菱形的判定

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

【清单08】矩形的性质

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫更形。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等（3）四个角都是直角。

【清单09】直角三角形斜边上的中线

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

【清单101矩形的判定

※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）四个角都相等的四边形是矩形。

【清单11】正方形的概念与性质

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

【清单12］正方形的判定

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

3

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）:

图3

观型储单

【考点题型一】菱形的性质

【典例1】如图，在菱形4BCD中，对角线4c与相交于点。，且4C=8,BD=6,则菱形2BCD的高

为（）

1224

A.3B.4C.—D.—

55

【变式1-1］如图，在菱形A8CD中，已知乙48。=26。，则4-40的度数为（）

C

A.98°B.128°C.120°D.118°

【变式1-2】已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形面积为（）

A.2^2B.2V5C.4V2D.2V10

【变式1-3］如图，在菱形力BCD中，乙4=60。，AD=2,P是48边上的一点，E,F分别是DP,BP的中点,

4

则线段EF的长为

【考点题型二】菱形的性质与判定综合运用

【典例2】如图，在EMBCD中，点E,F分别在边BC,AD上，AC与EF交于点。，且EF垂直平分4C,

连接4E,CF.

(2)若4C_LAB,ZB=30°,AE=12,求四边形4ECF的面积.

【变式2-1］如图，在菱形力BCD中，对角线4C,BD交于点。，过点C作CEIIBD,且BD=2CE,连接DE.

(1)求证：四边形OCED是矩形.

(2)若2。=3,四边形4BCD的面积是18百，连接。E,求。E的长.

【变式2-2］如图，四边形力BCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点。，点E、F分另U在AB、4D上,

5

AE=AF,连接EF,且力C1EF.

(1)求证：四边形48CD是菱形；

(2)连接0E,若点E是4B的中点，OE=显,OA=\OB,求四边形力BCD的周长和面积.

【变式2-3］如图，AABC中，乙4c8=90。，EF垂直平分BC,垂足为D,交48于点F,CE\\AB,连接BE,

CF.

(1)求证：四边形CFBE是菱形；

(2)若4B=10,BC=8,求DF的长.

【考点题型三】菱形中最小问题

【典例3］如图，在菱形2BCD中，AC=6,BD=6位,E是8C边的中点，P,M分别是AC,4B上的动

点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是()

A.6B.2V6C.3V3D.4.5

6

【变式3-1］如图，已知菱形4BCD的周长为16,面积为8/，E为的中点，若P为对角线BD上一动点,

【变式3-2］如图，在菱形48CD中，E、下分别是边C。、BC上的动点，连接AE、EF,G、X分别为4E、

EF的中点，连接G”.若NB=45。，BC=2®贝UGH的最小值为（）

A.V3B.—C.V6D.—

22

【变式3-3］如图，点P是菱形4BCD对角线AC上一动点，AB=1,Z.BAC=30°,点M是边48的中点,

过点M作MN||2C交BC于点N,贝必MPN周长的最小值是（）

A.V3+1B.V3-1C.--1D.—+1

22

【考点题型四】矩形的性质

【典例4】如图，在矩形力BCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交于点M,N.若4M=

1.BN=2,贝！JBD的长为（）

A.2V3B.3C.2V5D.3企

7

【变式4-1］如图，在矩形力BCD中，AC,BD交于点。，M,N分别为BC,0C的中点.若乙4cB=30。,

AB=12,则MN的长为。

C.6D.4

【变式4-2］如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,乙4。。=120。，AO=4,贝必。的长是().

A.4B.2V3C.V3D.4V3

【变式4-3］如图，点P是矩形2BCD的4。边上一动点，AB,BC长分别为15和20,那么点尸到矩形两条

对角线AC和BD的距离之和是()

A.26B.12C.24D.不能确定

【考点题型五】直角三角形斜边上的中线

【典例5】在Rt△48C中，N4CB=90。，点。为力B边的中点，连接CD,若4B=10,贝北。的长为

()

A.3B.5C.6D.8

【变式5-1］如图，在RtAABC中,乙ACB=90°,CD1AB于点D/BCD=20。,E是斜边4B的中点，贝U

NDCE的度数为()

A.30°B.50°

8

【变式5-2】如图,在△ABC中，点。在BC边上，E,尸分别是线段AC,B。的中点.^AB=AD,EF=

3,则4C=(

A.5B.6C.3V3D.4

【变式5-3】如图,四边形力BCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O,DH1BC于点H,连接。“2BAD=

56°,贝此。”。的度数是（）

A.38°B.34°C.28°D.24°

【考点题型六】矩形的性质与判定综合运用

【典例6］如图，平行四边形4BCD中，尸是力B边上的一点（不与点A,8重合），CP=CD,过点P作

PQ1CP,交4。于点。，连接CQ.

（1）若CQ平分ADCP,求证：四边形2BCD是矩形；

（2）在（1）的条件下，当4P=2,CB=4时，求CD的长.

9

【变式6-1］如图，四边形2BCD的对角线相交于点O,AB=CD,AB||CD.若四边形EB04是菱形;

⑴求证：四边形4BCD是矩形.

(2)若NE=60。，AB=2,求四边形4BCD的面积.

【变式6-2］如图，在平行四边形2BCD中，4E1BC于点E,延长BC至点尸，使CF=BE,连接DF,4F与

交于点。.

⑴求证：四边形4EFD为矩形.

(2)若4B=6,0E=4,BF=10,求。尸的长.

【变式6-3］如图，矩形48CD的对角线相交于。，点E是CF的中点，DFII4C交CE延长线于点F,连接2F.

⑴求证：四边形4。£>F是菱形；

(2)若/4。8=60。，/.AFC=90°,AB=1,求CF的长.

10

【考点题型七】矩形形中最小值问题

【典例7】如图，矩形ABC。中，AB=6,BC=3,若"、上各取一点M、N,使BM+MN的值最

小，求这个最小值（）

A.5B.3V3C.yD.y

【变式7-1】如下图，RtAABC中，乙4cB=90。，AC=6,BC=8,。是力B上一个动点，过点D分别作

DE14C于点E,DF1CB于点F,连接EF,则线段EF的最小值是（）

A.5B.2.5C.2.4D.4.8

【变式7-2］如图，在菱形4BCD中，若AC—BD=2,S菱形"°口=24,E是CD边上一动点，过点E分别作

EF1OC于点F,EG1。。于点G,连接FG,贝|FG的最小值为（）

A.2.4B.4.8C.3D.4

【变式7-3］如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E、F分别AD、DC边上的动点，且EF=2,点G为

EF的中点，点P为BC上一动点，则DG=P4+PG的最小值为.

11

【考点题型八】矩形中折叠问题

【典例8】在长方形纸片4BCD中，点E是边CD上的一点，将△4ED沿4E所在的直线折叠，使点。落在点尸

处.

图1图2图3

⑴如图1,若点F落在对角线力C上，且NB4C=54。，求ACME的度数.

(2)如图2,若点F落在边BC上，且28=6,AD=10,求CE的长.

(3汝口图3,若点E是CD的中点，力F的延长线交BC于点G,且4B=6,AD=10,求CG的长.

【变式8-1】如图，将矩形力BCD沿对角线折叠，点C的对应点是点E,BC的对应边BE交4。于点F.

(1)求证：ABF。是等腰三角形;

(2)若4B=3,BC=5,求4尸的长.

【变式8-2】如图，将长方形纸片A8CD沿对角线4C翻折，点B落在点次处，3(交4。于2

BC

12

⑴求证：AE=CE-,

(2)若4B=8,BC=12,求0E的长.

【变式8-3】把一张矩形4BCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点尸重合(E、/两点均

在BD上)，折痕分别为DG.

(1)求证：四边形BGDH为平行四边形；

(2)若4B=6,BC=8,求线段FG的长.

【考点题型九】正方形的性质

【典例9】如图，在平面直角坐标系中，正方形。4BC的顶点。，8的坐标分别是(0,0),(4,0),则顶点C的

坐标是()

A.(2,-2&)B.(2V2,-2V2)C.(2,-2)D.(2V2,-2)

【变式9-1】如图,四边形力BCD是正方形,延长BC到点E,使CE=AC,连结45交。。于点F,贝此力FC等

C.135D.150

13

【变式9-2］如图，E是正方形A8CD内一点，于E,若2E=6,BE=8,则阴影部分的面积为

()

A.48B.76C.78D.84

【变式9-3］如图，正方形4BCD和正方形EFG。的边长都是2,正方形EFG。绕点。旋转时，两个正方形重

叠部分的面积是（）

A.1B.2C.3D.4

【考点题型十】正方形的性质与判定综合运用

【典例10］如图，在正方形4BCD中，E是边BC上的一动点，过点E作EF1E4交CD于点G,且EF=

EA,连接CF.

⑴求证：ABAE=乙CEF；

⑵求NECF的度数.

14

【变式10-1］如图，已知正方形纸片ABCD的边长为9,BE=3,将△4BE沿4E对折至△力GE,延长EG交

CD于点F,连接4尸，且4F平分ND4G.

(1)证明：AAGF三AADF；

(2)求线段EF的长.

【变式10-2］如图，在正方形4BCD中，点M是对角线BD上的一点，连接4M,过点M作MNLAM,交CD

于点N,以AM、MN为邻边作矩形ZMNP.

(1)求证：矩形4MNP是正方形.

(2)若点N为CD的中点，且AD=8,求正方形力MNP的面积.

【变式10-3］如图，四边形4BCD、DEFG都是正方形，连接4E、CG.求证:

(1)X£=CG；

(2)AE1CG.

15

【考点题型十一】正方形中最小值问题

【典例12］如图，正方形4BCD边长为2,E是BC中点，点尸是BD上任一点，则PE+PC的最小值是

A.V5B.2C.V3D.V2

【变式12-1］如图，正方形4BCD的边长为4,E、F分别为边力B和BC上的动点，且始终满足AE=BF,连接

DE.DF,贝！IDE+DF的最小值为（）

C.4V2D.6

【变式12-2］如图，在边长为3的正方形4BCD中，点E,F分别是边8C,CD上的动点，且BE=CF,连

接BF,DE,则BF+DE的最小值为（）

C.2V5D.V5

【变式12-2］如图所示，正方形4BCD的面积为36,AABE是等边三角形，点E在正方形4BCD内，在对角

线2C上有一动点P,使PD+PE的最小值为（）

16

AD

C.6D.6V3

17

清单01特殊平行四边形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

考点循单

定义有一个角是直角的平行四边形

四个角是直角

性质

对角线相等

矩形一

有一个角是直角的平行四边形

角

判定三个角是直角的四边形

对角线对角线相等的平行四边形

定义有一组邻边相等的平行四边形

边四条边相等

性质对角线互相垂直

对角线

菱形一每一条对角线平分一组对角

有一组邻边相等的平行四边形

边

判定四条边相等的四边形

对角线对角线互相垂直的平行四边形

特殊平行四边形

有一个角是直角

定义平行1四边形

有一组邻边相等

边四条边相等

角四个角是直角

性质相等

正方形一对角线互相垂直平分

每条对角线平分一组对角

边有一组邻边相等的矩形

角有一个角是直角的菱形

判定

对角线相等的菱形

对角线

对角线互相垂直的矩形

三角形中位线

三角形一~

直角三角形斜边上的中线

18

【清单01】平行四边形的性质

4.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD/7BC,AD=BC,AB〃CD,AB=CD；

5.角的性质：两组对角分别相等，如图：ZA=ZC,ZB=ZD

6.对角线的性质：对角线互相平分。如图：A0=C0,B0=D0

【清单02】平行四边形的判定

4.与边有关的判定：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

5.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

6.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形

【清单03】三角形的中位线

三角形中位线：在4ABC中，D,E分别是AC,AC的中点，连接DE.像DE这样,

连接三角形一两边中点的线段叫做三角形的中位线.B

中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

【清单04】平行线之间的距离与平行四边形的综合

定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之

间的距离

性质：平行线之间距离处处相等

【清单05】菱形的性质

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：(1)具有平行四边形的性质

(3)且四条边都相等

(3)两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

19

注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

【清单06】菱形的面积

菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半

S4S

^ABCD=Rt^oB=4X1*|AC*|BD=1AC*JBD

【清单07】菱形的判定

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

【清单08】矩形的性质

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫更形。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等（3）四个角都是直角。

【清单09】直角三角形斜边上的中线

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

【清单101矩形的判定

※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）四个角都相等的四边形是矩形。

【清单11】正方形的概念与性质

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

【清单12］正方形的判定

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

20

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）:

图3

乳型情单

【考点题型一】菱形的性质

【典例1】如图，在菱形4BCD中，对角线4c与B。相交于点。，且4C=8,BD=6,则菱形2BCD的高DH

为（）

1724

A.3B.4C.—D.—

55

【答案】D

【分析】由菱形的性质可得4c_LBD,OA=OC=^AC=4,OB=OD=\BD=3,由垂线的性质可

得乙40B=90°,在RtAAOB中，根据勾股定理可得AB=VOX12+OB2=5,然后根据S菱形^CD=AB-

DH=.AC.BD可得DH=3.于是得解.

【详解】解：•.•四边形4BCD是菱形，AC=8,BD=6,

：.ACLBD,

11

OA=OC=-AC=-x8=4,

22

11

OB=OD=-BD=-x6=3,

22

・•・乙AOB=90°,

在408中，根据勾股定理可得：

21

AB=s/OA2+OB2=741+32=5,

•••DH是菱形48CD的高,

S菱形4BCD=-DH=--AC-BD,

1ACBD18X624

・••DH=-------=-x—=—

2AB255

故选：D.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂线的性质，勾股定理，利用菱形的性质求面积，等式的性质2

等知识点，熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键.

【变式1-1］如图，在菱形4BCD中，已知乙48。=26。，贝此艮4。的度数为（）

A.98°B.128°C.120°D.118°

【答案】B

【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分一组对角得到乙4BC的度数，再根据菱形

对边平行即可得到答案.

【详解】解：：在菱形力BCD中，已知N4B0=26。，

J./.ABC=2ZXBO=52°,AD||BC,

：./.BAD=180°-乙AHC=128°,

故选：B.

【变式1-2】己知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形面积为（）

A.2V2B.2V5C.4V2D.2V10

【答案】C

【分析】本题考查菱形的面积公式，涉及菱形的性质、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握菱形性质

是解决问题的关键.已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,作出图形，由菱形对角线相互

垂直，利用勾股定理可知另一条对角线长为4或，再根据菱形的面积公式即可解答.

【详解】解：根据题意，作图如下：

22

/?

AC1BD,

•••菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,

OB=OD=-BD=1,

2

在RtAAOD中，/LAOD=90°,OD=1,AD=3,贝1］。4=7AD?一。。2=5—F=2vL

BD=2,AC=4VL

二菱形的面积为-BD=|x4V2x2=4vL

故选：C.

【变式1-3］如图，在菱形4BCD中，NA=60。，AD=2,P是4B边上的一点，E,F分别是DP,BP的中点,

则线段EF的长为.

【答案】1

【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，突破点是证明A/IDB是等边三角形.如图连接BD,首先证明AADB是等边三

角形，可得8。=2,再根据三角形的中位线定理即可解决问题.

【详解】解：如图，连接BD.

•••四边形2BCD是菱形,

AD=AB=2,

•・•=60°,

・・・△280是等边三角形,

23

•••BD=AD=AB=2,

VF,F分别是DP,BP的中点，

BPD的中位线，

EF=-BD=1.

2

故答案为：1

【考点题型二】菱形的性质与判定综合运用

【典例2】如图，在回48CD中，点E,尸分别在边BC,2D上，4C与EF交于点。，且EF垂直平分4C,

连接力E,CF.

⑴求证：四边形4ECF是菱形；

(2)若力C1AB,4B=30°,AE=12,求四边形4ECF的面积.

【答案】(1)详见解析

(2)7273,详见解析

【分析】(1)证明AylOF三ACOEIASA)得。E=OF,再证明四边形2ECF是平行四边形，然后由菱形

的判定即可得出结论；

(2)由菱形的性质得CE=AE=12,再证明NCE。=NB=30。，则。C=2CE=6,AC=2OC=

12,然后由勾股定理得。E=6b,贝怀尸=12b，即可解决问题.

【详解】(1)•••四边形4BCD是平行四边形，

C.AD||BC,

：.^OAF=乙OCE,

：£尸垂直平分4。，

OA=OC,EF1AC,

itAXOFffACOE中，

CZ-OAF=Z-OCE

jOA=OC，

(乙4。9=乙COE

•••△AOFwzkCOE(ASA),

AOE=OF,

24

・・・四边形/EC尸是平行四边形,

又TEF1ZC,

・・・平行四边形力ECF是菱形；

(2)由(1)可知，0E=OF,四边形ZECF是菱形，

：.CE=AE=12,

ACLAB,EFLAC,

：.^COE=90°,EF||AB,

:•乙CEO=48=30。，

i

OC=-CE=6,

2

：.AC=2OC=12,OE=VCE2-OC2=V122-62=6同

：.EF=2OE=12V3,

菱形4ECF的面积=^AC-EF=|x12x12g=7273.

【点晴】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、

含30。角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

【变式2-1］如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,过点C作CEIIBD,且BD=2CE,连接DE.

(1)求证：四边形OCEO是矩形.

(2)若力。=3,四边形ABCD的面积是18百，连接。E,求OE的长.

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质勾股定理.

(1)由菱形的性质得BD=2OD,4C1BD,证明。。=CE可证四边形。CED是平行四边形，进而可证

四边形。CED是矩形；

(2)连接OE,由四边形ABCD的面积是18旧求出BD=6百，由勾股定理得CD=6,进而可得OE=

6.

【详解】(1)证明：•・•四边形ZBCD是菱形

25

BD=20D,AC1BD即NCOD=90°

VBD=2CE

OD=CE

­■CE||BD即CE||OD

••・四边形OCEO是平行四边形

/.COD=90°

•••回。CED是矩形

(2)解:连接OE

OE=CD

在菱形力BCD中，AC=2OA=2OC=6,OD=3BD

，S菱形ABCD=,BD=18A/3

1广

：.-\6BD=18V3

BD=6A/3

OD=3V3

•••CD=卜+(3⑹之二$

：.OE=6.

【变式2-2］如图，四边形48CD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点。，点E、F分另U在4B、4D上,

AE^AF,连接EF,S.AC1EF.

(1)求证：四边形4BCD是菱形;

26

(2)连接。凡若点E是4B的中点，OE=显,OA=\OB,求四边形力BCD的周长和面积.

【答案】(1)见详解

⑵四边形A8CD的周长和面积分别是8祈和16

【分析】(1)由平行四边形的性质得NC4D=〃CB,再证NB4C=N£MC,得AABC为等腰三角形即

可得出结论；

(2)由菱形的性质得。力=OC,OB=0D=BD=2,AC1BD,由直角三角形斜边上的中线性质得

OE=\AB,然后根据勾股定理和菱形面积公式即可得出结论.

本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、菱形的面积、勾股定理等知识，熟

练掌握菱形的性质是解题的关键.

【详解】(1)证明：・••2E=4F,

Z.AEF=Z.AFE,

•••ACIFF,

・•.z.BAC=Z.DAC,

••・四边形48CD是平行四边形，

・•.Z.CAD=Z.ACB,

Z.BAC=乙BCA,

...△ABC为等腰三角形，

BA=BC,

••・四边形4BCD是菱形；

(2)解：,•,四边形2BCD是菱形，

•••OA=OC,OB=OD=-BD,AC1BD,

2

・•・乙AOB=90°,

・・・E为45的中点，

・•・OE=-AB,

2

OE=V5,OA—OB,

2

•••AB=2OE=2V5,OB=20A,

OA2+OB2=AB2,

：-5O&2=20,

27

・•.0A=2(负值已经舍去)，

AC=20A=4,BD=20B=4。2=8,

-1-1

二四边形48CD的面积==；x4x8=16.

/.四边形力BCD的周长=4AB=8V5.

四边形48CD的周长和面积分别是8祈和16.

【变式2-3］如图，△4BC中，乙4cB=90。，EF垂直平分BC,垂足为D,交力B于点尸，CEWAB,连接BE,

CF.

(1)求证：四边形CFBE是菱形；

(2)若4B=10,BC=8,求DF的长.

【答案】(1)证明见解析；

(2)3.

【分析】(1)证明△CDE三△BDF(ASA)得到DE=DF,即得四边形CFBE是平行四边形，进而由EF1

BC即可求证；

(2)由勾股定理可得力C=7AB2一BC?=6,再证明2CIIEF可得四边形力CEF是平行四边形，得到

EF—AC=6,进而即可求解.

【详解】(1)证明：［CE||4B,

•••Z.DCE=乙DBF,

・•・EF垂直平分BC,

•••CD=BD,

在△CDE和△8DF中，

ZDCE=乙DBF

CD=BD,

/CDE=乙BDF

CDE=AB£)F(ASA),

・•.DE=DF,

・•・四边形CFBE是平行四边形，

又•：EF1BC,

28

・•・平行四边形CFBE是菱形;

（2）解：•••A.ACB=90°,

AC=7AB2-BC2=V102-82=6,AC1BC,

■：EF1BC,

：.AC\\EF,

又：C£W，

••・四边形4CEF是平行四边形，

•••EFAC=6,

由