八年级数学专项复习：动点中特殊三角形存在性的勾股求解

动点中特殊三角形存在性的勾股求解

动

态

问

题

【题型一】等腰三角形存在性（求坐标）

【例1一1】（2020•山西太原期中）如图，平面直角坐标系中，点P,Q的坐标分别为（0,2）,

（4,0）,连接PQ.

（1）若点M是尤轴负半轴上的一点，且则点/的坐标为.

（2）若点/是y轴上的一点，且MP=MQ,则点〃的坐标为.

【答案】(1)(4-27510),(2)(0,-3).

【解析】解：⑴如图，MQ=PQ=2下，

二点M的坐标为（4-2石，0）.

(x+2)2=x2+42,解得：x=3

【变式1—1］（2020•宿迁市期中）如图，己知点8在数轴负半轴上，。为原点，点A在过。

且垂直于数轴的直线上，ZBAO=60°,AB=4,点C在数轴上，当/4BC是以为腰的等

腰三角形时，点C表示的数为.

【答案】-26-4或2vL

【解析】解：'：OA±OB,ZBAO=6Q°,AB=4,

△O4B为直角三角形，ZABO=30°,

：.OA=^AB=2,OB=y/AB--OAr=A/42-22=2^3-

①当A8=AC时,

'：AB=AC,OALOB,

0C=0B=26，

.••点C表示的数为：2班;

②当时，

"：AB=BC=4,

：.0C=0B+BC=2y/3+4，

•.•点C在数轴负半轴上，

.••点C表示的数为：-26-4;

故答案为：—20—4或26.

【题型二】等腰三角形存在性（求时间）

【例2一1］（2020•浙江杭州市期中）在RfABC中，ZC=90°,BC=8cm,AC=6cm,

在射线3C上有一动点。从点B出发，以2cm/s的速度匀速运动，若点。运动/（s）时以点

A,D,3为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间/为s.

25

【答案】—，5,8.

8

在RfAACD中，由勾股定理得：AD^AC^+CD2,即2。2=（8-30）2+62,

25

解得：BD=一cm,

4

25

贝Ut=BD^2=—秒；

8

②当48=8。时，

在放△ABC中，由勾股定理得：AB=10,z=AB+2=5秒.

③当时，BD=2BC=\6,UBZX2=8秒

【变式2—1](2020•江阴月考)如图，在6x8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,动

点尸、。分别从点。、A同时出发向右移动，点尸的运动速度为每秒2个单位，点。的运动

速度为每秒1个单位，当点尸运动到点C时，两个点都停止运动.

(1)求8。的长；

(2)求运动时间f为多少秒时，△PQ6为以8尸为底的等腰三角形?

【答案】见解析.

【解析】解：(1)在RdAB。中，由勾股定理得：BD=10.

(2)过点。作于S,则PS=2t-t=t,

在RrZkPSQ中，尸。2=62+凡

当。2=。尸时，BQ=S-t,

即62+/2=(8-02

7

解得：t=—；

4

7

运动时间f为一秒时，APB。为以8P为底的等腰三角形.

4

【题型三】等腰三角形存在性(动点往返运动)

【例3一1](2020・四川成都期中)如图，ABC中，NC=90°,AC=8cm,BC=6cm,

若点尸从点A出发，以每秒2cm的速度沿A-运动，设运动时间为t(t>0)秒.

(1)若点尸恰好运动到8C的中点，求，的值.

(2)若ACBP为等腰三角形，求f的值.

【答案】见解析.

【解析】解：在△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6

由勾股定理得：AB=l0cm.

(1)点P的运动路程：AC+0.5BC=8+3=ll,

运动时间为11+2=5.5s.

(2)①尸从A-C,0<f<4时，

止匕时/C=90°,BC=CPi=6,APi=2,/=ls.

②尸从C—B时，4</<7,△CBP不存在

③尸从8―4时，7c区12

(z)当BC=CP2=6时，过C作CH±AB于H,

由CHAB=BCAC得：CH=—

1o

由勾股定理得

BP2=2BH=^-

t=(8+6+~^~)4-2=10.6S.

(z7)BC=BP3=6,

t=(8+6+6)4-2=10s.

(访)BP4=CP4,

则N2=N3,

由N2+Nl=90。，ZB+ZA=90°

得：Z1=ZA

.*.AP4=CP4,

；.尸4为AB中点，

t=(8+6+5)+2=9.5s.

综上所述，f的值为Is,10.6s,10s,9.5s.

【变式3一1］（2020•青神县期中）如图所示，已知△ABC中，ZB=90°,AB=16cm,BC=

12cm,P、。是△ABC边上的两个动点，其中点尸从点A开始沿A-2方向运动，且速度为

每秒1C7W,点。从点8开始沿B—CTA方向运动，且速度为每秒2c〃z,它们同时出发，设

出发的时间为ts.

务用图

(1)出发3s后，求尸8的长；

(2)当点。在边2C上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？

(3)当点。在边C4上运动时，求能使△BC。成为等腰三角形的运动时间.

【答案】(1)13cm；(2)—秒；(3)11秒或12秒或13.2秒.

3

【解析】解：(1)当才=3时，则4尸=3,

AB=16cmf

：.PB=AB-AP=16-3=13(cm),

(2)由题意，AP=t,BQ=2t,

VAB=16,

：.BP=AB-AP=16-t,

当△尸。3为等腰三角形时，则有8尸=5。，

即16-t=2t,解得t=—,

3

出发(秒后△PQB能形成等腰三角形；

(3)①当CQ=5。时，如图所示，

则NC=NC3Q,

丁ZABC=90°f

：.ZCBQ-^ZABQ=90°.

ZA+ZC=90°,

ZA=ZABQf

：.BQ=AQ,

：.CQ=AQ=1Q,

：.BC+CQ=22,

，f=22+2=ll秒.

②当CQ=BC时，如图所示,

贝U2C+CQ=24,

.•"=24+2=12秒.

③当时，如图所示,

过8点作BEL4C于点E,

48

则nlBE.,

由勾股定理得：CEq,

：.CQ=2CE=14.4,

・・・8。+。。=26.4,

/.t=26.44-2=13.2秒.

综上所述，当/为H秒或12秒或13.2秒时，△BC。为等腰三角形.

【题型四】等腰三角形存在性（多动点）

【例4一1】（2020遮州市期中）如图，AB1BC,8,5。，且3。=8=4。加，AB=lcm,

点P以每秒0.5的的速度从点B开始沿射线运动，同时点。在线段CD上由点。向终

点。运动.设运动时间为％秒.

DDD

图①图②

(1)当f=2时，BP=cm,CP=cm.

(2)如图①，当点尸与点Q经过几秒时，使得△ABP与APC。全等？此时，点Q的速度

是多少？(注：只求一种情况即可，并写出求解过程)

(3)如图②，是否存在点尸，使得△ADP是以AP为腰的等腰三角形？若存在，请直接写

出/的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)1,3；(2)(3)见解析.

【解析】解：(1)/=2时，BP=lcm,

•；BC=4cm,

PC=BC~BP=3cm

故答案为1,3.

(2)①当BP=PC=2,AB=CQ=1时，

△ABP咨AQCP

Z=2-T-0.5=4S

Vg=0.25cm/s.

②当AB=CP=1,CQ=BP=3时，4ABP咨APCQ,

Z=34-0.5=6s,VQ=0.5cm/s.

(3)过点A作AHLC。于H,

在放△AM中，AH=BC=4,DH=CD-CH=CD-AB=3>

由勾股定理得AO=5,AD2=25,

AP2=AB2+BP2=l+-t2,PD2=CD2+PC2=16+(4--Z)2

42

①当AP=PO时，1+-/2=16+（4--Z）2

42

解得r=J31

4

②当AP=AO时，l+-r2=25,

4

解得f=4痣或-4卡（舍）.

综上所述，满足条件的t的值为4面或3二1.

4

【变式4一1］（2020•浙江诸暨市期中）如图，在•△ABC中，AB=8,BC=6,点。从8点

出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线射线CB且8M=10,点

。从M点出发，沿射线方向以每秒。个单位长度的速度运动，已知。、。两点同时出

发，运动时间为/秒.

（1）当U2时，△OM。是等腰三角形，求a的值.

（2）求,为何值时，△DC4为等腰三角形.

（3）是否存在a,使得△DM。与AABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请

说明理由

47,

【答案】（1）<2=2；（2）t=\,—,—；（3）。=1或3或6或9.

39

【解析】解：（1）当/=2时，DB=6,

'：BM=10,

：.DM=4,

•.•△。河。是等腰三角形，ZDMQ=90°,

：.DM=MQ,即4=2a,

(2)在放ZWC中，A8=8,BC=6,AC=10,

①当AC=A。时，△DC4为等腰三角形，

•：AB_LCD,

:・BD=BC=6,t—2；

②当AC=CO=10时，△£)&1为等腰三角形，

VBC=6,

4

.\BD=4,t=—；

3

③当AO=CO=6+3/时，△DCA为等腰三角形，

・.・ZABD=90°,

7

：.AB2+BD2=AD2,即82+(302=(6+3力2,/=-；

9

47

综上所述：f=l,一,—时，△DC4为等腰三角形；

39

(3)与aABC全等，分两种情况：

①若△DM。也△ABC,

则MQ=BC=6,DM=AB=S,

VBM=10,

...BD=2或5。=18,

・2一°

..f=一或t=6,

3

.".a=9或。=1；

②若△CBA,

：.DM=BC=6,MQ=AB=S,

80=4或16,

♦—4-8

..t——或一，

33

.".a=6或3,

综上所述：当△■DM。与△ABC全等时，。=1或3或6或9.

【题型五】直角三角形存在性(求坐标)

【例5一1](2020•上海奉贤区期末)已知直角坐标平面内的放aABC三个顶点的坐标分别

为A(4,3)、8(1,2)、C(3,-4),则直角顶点是.

【答案】A.

【解析】解：(4,3)、B(1,2)、C(3,-4),

.\AB2=(4-1)2+(3-2)2=10,BC=(3-4)2+(-4-3)2=50,AO=(3-1)2+(-4-2)2=40,

...△ABC为直角三角形，

AZA=90°,即该直角三角形的直角顶点为A.

故答案为A.

【例5-2］（2020•浙江开化县期中）如图，在，ABC中，AB=3C=6,点。为中点，

点尸是射线4?上的一个动点，且ZAOC=60°.要使得.BC0为直角三角形，CP的长

为.

【答案】3后或3或3s.

【解析】解：①当NCPB=90。时，尸在线段A。延长线时,

•.•点。为中点，

：.AO=BO,

：.PO=BO,

'：ZAOC=60°,

：.ZBOP=60°,

:.丛BOP为等边三角形，

*.*AB=BC=6,

：.BP=3,PC=3石.

②当/BPC=90。时，P在线段A。上，

:点。为BC中点,

：.AO=BO,

ZCPB=90°,

：.PO=BO=CO,

,/ZAOC=60°,

.♦.△COP为等边三角形,

CP=CO=3.

②当/CBP=90。时，

ZAOC=ZBOP=60°,

：.ZBPO=30°,

:.BP=3W>

在RdCB尸中，由勾股定理得：CP=BC2+BP2=3s/l-

故答案为：3若或3或3J7.

【变式5一1］如图，平面直角坐标系中，点4(0,3)和3(4,0)；

(1)在x轴上求点C,使得BA=BC,请求出点。的坐标；

(2)在丁轴上求点。，使得NABD=90°,请求出点。的坐标.

【答案】(1)(-1,0)或(9,0)；(2)(0)

3

【解析】解：(1)由题意得：0A=3,。8=4,ZAOB=90°,

在放AAOB中，由勾股定理得：AB=5,

△A8G是等腰三角形，AB=BCi=5,OCi=BCi-OB=5-4=l,则Ci坐标为(-1,0),

△ABC2是等腰三角形，AB=BCz=5,OC2=BC2+OB=5+4^9,则Ci坐标为(9,0),

则C点坐标为（-1,0）或（9,0）.

（2）设OD=x,ZBOD=90°,

在RtABOD中，BD2=OB2+OD2=16+^,

由/ABO=90°,AD=3+x,由勾股定理得人/^幺^+瓦居

即（x+3）2=25+16+N,解得x=电

3

则。点的坐标为（0,-蛆）.

3

【题型六】直角三角形存在性（求时间）

【例6一1］（2019•河南平顶山月考）如图，ZAOB=90，线段04=187%,OB=6m,

一机器人。在点3处.

（1）若3C=AC,求线段3C的长.

（2）在（1）的条件下，若机器人。从点3出发，以3/n/min的速度沿着A03C的三条边

逆时针走一圈后回到点3,设行走的时间为/min,则当/为何值时，A08Q是以。点为

直角顶点的直角三角形？

B

【答案】(1)10/7?(2)6.8.

【解析】解：⑴设BC=x

"：BC=AC

：.OC=OA-CA=OA-BC=18-x

在RdO8C中由勾股定理得：62+(18-x)2=/

解得x=10

即BC=10m.

(2)当2QL2C时符合条件

此时eC=3r-(<9B+OC)=3/-(6+8)=3M4,BQ=BC-QC=24-3t

在放AOQC中，由勾股定理得：

O^OC^-CQ2^2-(3M4)2,

在Rt2OQB中，由勾股定理得：

002=082-802=62-(24-3r)2

故82-(3M4)2=62-(24-3力2

解得：r=6.8

则当r=6.8s时，△。8。是以。点为直角顶点的直角三角形.

【例6一2](2020•达州市期中)如图1,放AA8C中，NAC5=90°,直角边AC在射线OP

上，直角顶点C与射线端点。重合，AC=4,BC=3,如图2,向右匀速移动RfAABC,在移

动的过程中放△ABC的直角边AC在射线OP上匀速向右运动,移动的速度为2个单位/秒，

移动的时间为r秒，连接。艮

①若△0A8为等腰三角形，求r的值；

②RAABC在移动的过程中，能否使△为直角三角形？若能，求出f的值：若不能，说

明理由.

【解析】解：（1）在放△ABC中，AB=^AC~+BC'=5,

由题意得，0C=2t,

当20=BA时，OC=CA,即？=2,

当A2=A0时，2/=5-4=1,即,

2

当08=。4时，衣—⑵尸=2什4,

7

解得，t=—（舍），

16

综上所述，当?=4或/=1时，A0A2为等腰三角形；

（2）AOAB为直角三角形时，ZOBA=90°,

则（2/）2+32+52=⑵+4）2,

9

解得：t=~,

8

9

当U—时，为直角三角形.

8

【变式6—1X2020•南阳市月考）如图，在RtZXABC中，ZABC=9Q°,AB=20,BC=15,

点。为AC边上的动点，点。从点C出发，沿边C4往A运动，当运动到点A时停止，若

设点。运动的时间为/秒，点。运动的速度为每秒2个单位长度.

（1）当f=2时，CD=,AD=；（请直接写出答案）

（2）当/为何值时，是直角三角形；（写出解答过程）

（3）求当/为何值时，.CBD是等腰三角形？并说明理由.

B.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）片2时，CD=2x2=4,

VZABC=90°,AB=20,BC=\5,

：.AC=25,AD=AC-C£>=25-4=21；

故答案为：4,21；

（2）①NCDB=90°时，AC-BD=AB-BC,

：.BD=n,CD=9,

：.2t=9,

9

解得：t=-（秒）；

2

②NCBO=90。时，点D和点A重合，

：.2t=25,

25

解得：t=—（秒）；

2

925

综上所述，当仁一或一秒时，△CB£）是直角三角形;

22

（3）①CO=B£>时，过点。作OELBC于E,

贝1|CE=BE,DE//AB,

.1…25

..CD—AD=_AC=—,

22

解得：t=—（秒）；

4

②CO=8C时，C£>=15,

：.2t=15,

解得：六"（秒）；

2

③2D=8C时，过点2作BfUAC于E

R

；.2z=18,

解得：t=9（秒）；

综上所