2025中考数学专项训练：一线三等角【含答案】

2025中考数学二轮专题复习-一线三等角-专项训练

选择题（共7小题）

1.如图，已知直线相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形N3CD

的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（）

A.4B.5C.9D.

5

2.如图，直线/1〃及〃/3,一等腰直角三角形A8C的三个顶点/,B,C分别在/1,/2,/3

上，ZACB=90°,/C交/2于点。，已知/1与/2的距离为1,/2与/3的距离为3,这样

AD：CD=1：3,则建的值为（

BD

C.班D.2072

823

3.直线/1〃/2〃/3,且与/2的距离为1,/2与/3的距离为3,把一块含有45°角的直角三

角形如图放置，顶点/,B,C恰好分别落在三条直线上，NC与直线/2交于点。，则线

4.如图，。是等边△/BC边上的一点，且/D=l,BD=2,现将△48C折叠，使点C

与。重合，折痕ER点£、尸分别在/C和8C上，若跳'=1.25,则N£=（）

C

3355

5.如图，矩形/BCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的工型模板如图放置，则矩形

/BCD的周长为（）

A.1272B.10-73C.8代D.8+475

6.如图，正方形488的边长为4,E是2c上一点，过点E作交BC于点F,

连接/尸，则/尸的最小值是（）

AD

口

BEC

A.5B.V?C.2V2D.3

7.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,点。在边BC上，点E在/C内部，且△/£）£1是等

边三角形，ZCBE=60°.若BC=5,BE=3,则△48。的面积为（）

M

CDt

A.^3-B.373

c.473D.573

2

二.填空题（共4小题）

8.如图，已知在四边形/8££＞中,点C是线段的中点，且N4=/B=NDCE,BE=2,

40=8,那么.

9.如图，等边三角形48。中，放置等边三角形DB凡且点。，£分别落在8C上，AD

=5,连结"，若CF平分//C2,则3E的长度为

10.已知，如图，Rtz^48C中，ZACB=90°，AC=BC,D为BC上一点、,CEL4D于E,

右CE=2,贝U

11.如图，点M、N是边长为6的正△45。的边45、4c上的动点，将沿折叠,

恰好使/点落在5C边上的。点处.若BD：CD=2：3,则加/：4N的值

为

M

BC

D

三.解答题(共8小题)

12.如图①，点8、C在/M4N的边/“、AN上，点、E,尸在NM4N内部的射线4D上，

N1、/2分别是△4BE、△口尸的外角.已知4B=/C,N1=N2=NBAC.求证：△

ABE咨ACAF.

应用：如图②，在△48C中，AB=AC,/2>3C,点。在边2C上，且CD=2BD,点E,

尸在线段/。上.Z1=Z2=ZBAC,若△/BC的面积为15,求与△CDF'的面积

之和.

13.如图，已知矩形45CD的顶点/,。分别落在x轴、y轴上，。。=2cM=6,AD：AB

=3：1,CE垂直〉轴于点£.

(1)求证：△CDEs^DAO；

(2)直接写出点3和点。的坐标.

14.如图，一次函数y=fcv+6"WO)的图象与x轴，y轴分别交于/(-9,0),B(0,6)

两点，过点C(2,0)作直线/与垂直，点£在直线/位于x轴上方的部分.

(1)求一次函数^=6+6(左W0)的表达式；

(2)若的面积为11,求点E的坐标；

(3)当/C8E=N48。时，点£的坐标为.

15.如图，等边三角形△NC8的边长为3,点尸为上的一点，点。为/C上的一点,

连接4P、PD,ZAPD=60°.

(1)求证：①△ABPS^PC£)；@AP2=AD'AC-,

(2)若尸C=2,求CD和4P的长.

16.如图，△/BC和△£>£厂是两个全等的等腰直角三角形，/BAC=/EDF=90°,4DEF

的顶点E与△NBC的斜边8C的中点重合.将ADEF绕点E旋转,旋转过程中，线段

与线段N5相交于点尸，线段即与射线C4相交于点。.

(1)如图①，当点。在线段NC上，且4P=/0时，求证：4BPE沿ACQE；

(2)如图②，当点0在线段C4的延长线上时，求证：ABPEsACEQ.

B，Ec【BECr

图①图②

17.如图，M为线段4s的中点，AE与BD交于点、C,/DME=NA=/B=(x,且。M交

/C于尸，ME交BC于G.

(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对

(2)连接尸G,如果a=45°,AB=4圾,AF=3,求尸。和尸G的长.

4MB

丁C

D

18.感知：如图①，在四边形/BCD中，AB//CD,N2=90°,点P在8c边上，当NAPD

=90°时，可知（不要求证明）

探究：如图②，在四边形MCD中，点尸在8c边上，当N8=NC=NNPD时，求证：

△ABPsMCD.

拓展：如图③，在△/BC中，点P是边3c的中点，点。、£分别在边48、AC±.若

ZB=ZC=ZDPE=45°，BC=6近,BD=4,则DE的长为

图①图②图③

19.【模型建立】如图1,等腰直角三角形中，ZACB=90°,CB=CA,直线EZ）经过

点C,过点Z作/。，应＞于点。，过点8作于点E,易证明（无

需证明），我们将这个模型称为“K形图”.接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：

【模型运用】（1）如图2,在平面直角坐标系中，等腰RtZi/CB,ZACB=90°,AC=

BC,与y轴交点。，点C的坐标为（0,-2）,4点的坐标为（4,0）,求8,。两点

坐标；

（2）如图3,在平面直角坐标系中，直线/函数关系式为：y=4x+4,它交y轴于点力,

交x轴于点C,在x轴上是否存在点8,使直线48与直线/的夹角为45°?若存在，求

出点8的坐标；若不存在，请说明理由.

【模型拓展】（3）如图4,在RtZ\/2C中，ZC=90°,AC=6,3C=8,点。在/C上，

点E在8c上，CD=2,分别连接BD,AE交于尸点、.若/BFE=45°,请直接写出CE

的长.

图1图2图3图4

参考答案与试题解析

选择题（共7小题）

1.【解答】解：作即，/2,交/1于E点，交/4于厂点.

'：ll//l2//l3//l4,EFLh,

：.EF1h,EF1U,

即//即=/。尸。=90°.

为正方形，

ZADC=9Q°.

：.ZADE+ZCDF=90°.

又,：/ADE+/DAE=90°,

：.ZCDF=ADAE.

在△/£>£和△OCF中

，ZDEA=ZCFD

-ZEAD=ZCDF

,AD=DC

.MADEqADCF(AAS),

：.CF=DE=\.

,:DF=2,

：.CD2=l2+22=5,

即正方形48。的面积为5.

故选：B.

CF.

:直线/1〃/2〃/3,AD：CD=1：3,

：.AG：EG=\-.3,

设/G=l,EG=3,

VZACB=90°,

AZBCF+ZACE=9Q°,

VZBCF+ZCBF=90°,

ZACE=ZCBF,

，ZBFC=ZCEA

在和△CAP中，，NCBF=/ACE，

,BC=AC

4ACE冬4CBF,

：.CE=BF,CF=AE,

V/i与l2的距离为1,/2与/3的距离为3,

：.AG=l,BG=EF=CF+CE=I

4B=VBG2+AG2=5五,

'：h//h,

•••D—G=1,

CE4

，DG=ACE=3,

44

：.BD=BG-DG=1-3=空，

44

•AB=472

"BD5

故选:A.

3.【解答】解：分别过点/、B、。作/尸，/3,BELh,DGUi,

；LABC是等腰直角三角形，

：.AC=BC,

•；NEBC+NBCE=90°,ZBCE+ZACF=90°,ZACF+ZCAF=9Q°,

AZEBC=ZACF,NBCE=NCAF,

在△BCE与△C4尸中，

,ZEBC=ZACF

<BC=AC，

ZBCE=ZCAF

:.ABCE安ACAF(ASA)

：.CF=BE,CE=AF,

..Yl与/2的距离为1,/2与/3的距离为3,

:.CF=BE=3,CE=AF=3+1=4,

在RtZUCF中，

'：AF=4,CF=3,

:-AC=VAF2+CF2=V42+32=5，

'：AF±h，DGlh，

:ACDGsACAF,

.•.理_=CP_,3=旦_,解得

AFAC454

在RtZ\2CZ)中，

•：CD=^-,BC=5,

4

•>•^=7BC2+CD2=^52+(-y)2=^-

故选：A.

A

:.BC=AB=3,ZA=ZB=ZC=60°.

由翻折的性质可知：/EDF=60；

：.ZFDB+ZEDA=120°.

VZEDA+ZAED=12Q°,

ZAED=ZFDB.

：.AAEDsABDE.

AAE=BD1即坐=2,解得：A£=8__

ADFB11.255

故选：c.

5•【解答】解：..•小正方形的面积为1,...小正方形的边长也为1

设BE=x,CE=y,

；/AEB+NCEF=9Q°,而NEFC+NCE尸=90°

，/AEB=ZEFC

又：/3=/。=90°,AE=EF=4

:.4ABE当ECF(AAS)

.,.AB=EC=y,BE=CF=x

，由勾股定理可得«+炉=42

而同理可得/£尸。=/尸6。，且/。=/。=90°

:.△ECFs^FDG

.EC_CF尸.4

•而同W7

：.FD=ljEC=l.v,

227

•；AB=CD

,,1

..y=x+-^y

.*.y=2x,将其代入,+^2=42中

于是可得X=4遍,尸8愿

55

而矩形/BCD的周长=2(x+y)+2y=5y=5X*辰=8魁

5

故选：C.

6.【解答】解：,・•四边形48C。是正方形，

；・AB=BC=CD=AD=4,ZB=ZC=ZD=90°,

AZBAE+ZAEB=90°,

设BE=x,则EC=5C-5£=4-x,

'：EF.LAE,

：.ZAEF=90°,

AZAEB+ZFEC=\S0°-ZAEF=90°,

・・・ZBAE=ZFEC,

：.LABEsAECF,

•AB=BE,

,,而CF'

•4=X

"T7CF)

,-.CF=X(4-X)

4

=-AX2+X

4

=-A(x-2)2+l,

4

・••当x=2时，CF最大=1,

此时。尸最小=OC-CF=3,

在RtZk4Q尸中，AF=^AD2+DF2=V42+DF2j

J当。/最小=3时，4/取最小值，

：・4尸最小=个42+32=5,

・・・//的最小值是5,

故选：A.

7.【解答］解：如图，在5c的延长线上取点R使//b。=60°,

A

•••△4DE是等边三角形，

：.AD=DE=AE,/ADE=60°,

,/NADB=ZAFD+ZDAF=NADE+NEDB,

：.ZDAF=/EDB,

又NCH£=60°,

AZAFD=ZDBE=60°,

：.AAFD^ADBE(AAS)f

；・FD=BE=3,AF=BD,

设CF=x,贝l」CZ)=3-x,

BD=5-(3-x)=x+2,

VZACB=90°,

AZACF=90°,

：・/CAF=90°-60°=30°,

AF=2,CF=2,xj

・・2x2,

•・x=2,

ACF=2,

AF=BD=4

S

•■•AABD=1-BD'AC=yX4X2y=4加，

故选：C.

二.填空题(共4小题)

8.【解答】解：VZA=ZB=ZDCE,

VZADC^180°-ZA-ZACD,/2CE=18(T-ZDCE-ZACD,

：.ZADC=ZBCE,

：.AACDsABCE,

.AD=AC

,,而BE)

:点C是线段N3的中点，

；.AC=BC,

：.AC2=AD-BE=16,

；./C=4,

故答案为：4.

9.【解答］解：如图，在3c上截取£G=3D,连接尸G,

44BC和丛DEF是等边三角形，

：.DE=EF,AB=BC,NDEF=NB=NACB=6Q°,

ZDEC=ZBDE+ZB=ZDEF+ZFEG,

・•・/BDE=/FEG,

在△加口和AG/芯中，

rDE=EF

<NBDE=NFEG，

BD=EG

:.ABED义AGFE{SAS'),

:・NB=NEGF=60°,BE=FG,

・"C平分N4C5,

ZACF=ZECF=30°,

,//EGF=/GFC+/FCG,

；・/GFC=NGCF=30°,

：・FG=CG=BE,

•；AB=BC,BD=EG,

：.AD=BE+CG=2BE=5,

：.BE=2,5.

故答案为：2.5.

10.【解答］解：如图，过点5作交CE的延长线于点8,

VZACB=90°,

AZACE+ZBCH=90°,

。：BHLCE,

：.ZBHC=90°,

:・/HBC+NBCH=90°,

J/HBC=/ACE,

在ABHC与LCEA中，

'NBHC=ZCEA=90°

<ZHBC=ZECA，

BC=AC

「△BHC之ACEA(AAS),

：・BH=CE=2,

.c_CEXBH_2X2_Q

-bABEC=―2-―2一'

故答案为：2.

11.【解答】解：是等边三角形，

，//=60°,

由翻折可知：ZMDN=ZA=6Q°,

：.ZMDB+ZNDC^120°,

在△瓦W中，ZMDB+ZBMD=nO°,

NBMD=NNDC,

:.丛BDMsACND,

•.•△48C是边长为6的等边三角形，BD-.CD=2：3,

：.BD=2A,0=3.6,

■:ABDMs^CND,

：.BM-.CD=BD：CN=DM：DN,

'：AM=MD,AN=ND,BM=6-AM,CN=6-AN,

/.(6-AM)：3.6=2.4：(6-AN)=AM：AN,

：.3.6AM=6AN-AN，AM①,

2AAN=6AM-AM*AN②,

①-②得，3.6/四-2AAN=6AN-6AM,

即9.6AM=SAAN,

：.AM：AN=(8.4)：(9.6)=7：8.

故答案为：L.

8

三.解答题(共8小题)

12.【解答】证明：(1)'：Z1=Z2=ZBAC,^.Z1=ZBAE+ZABE,Z2=ZFAC+ZFCA,

NB4C=ZBAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,ZABE=ZE4C,且/3=NC,

.♦.△4BE名ACAF(ASA)

(2)；N1=N2=/BAC,S.Z1=ZBAE+ZABE,Z2=ZFAC+ZFCA,ZBAC=Z

BAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,/ABE=/E4C,S.AB=AC,

:.LABE出4CAF(ASA)

••SAABE=SACAF,

,:CD=2BD,△48C的面积为15,

S&ACD=10=S^ABE+S^CDF.

13.【解答】(1)证明：•.•四边形是矩形，

：.CD=AB,ZADC=90°,

AZADO+ZCDE=ZCDE+ZDCE=90°,

ZDCE=ZADO,

:.XCDEsXADO.

(2)解：,:△CDEsMAO,

•CE_DE_CD

ODOAAD

'：OD=2OA=6,AD：AB=3：1,

：.OA=3,CD：AD=L,

3

.".CE=^-OD=2,DE=-OA=\,

33

：.OE=1,

：.C(2,7),

利用平移的性质可得2(5,1).

14.【解答】解：(1)二•一次函数y=fcc+6(y0)的图象与x轴，y轴分别交于/(-9,0),

B(0,6)两点，

.J-9k+b=0,

1b=6

,b=6

...一次函数y=fcr+6的表达式为y=]x+6；

(2)如图，设点E到x轴的距离为九

,：A(-9,0),C(2,0),

•'•S^ACE—^lC*h=—'X11A=11,

22

：.h=2,即点£的纵坐标为2,

记直线/与y轴的交点为。，

"：BCLl,

：.ZBCD=90°=/BOC,

ZOBC+ZOCB=ZOCD+ZOCB,

:.NOBC=NOCD,

/BOC=/COD,

:.△OBCsAOCD,

•OB0C

"ocW

•:B(0,6),C(2,0),

：.OB=6,OC=2,

•・•-6---2-,

20D

:.OD=2L,

3

：.D(0,-2),

3

VC(2,0),

•••直线/的解析式为y=L-2,

33

当y=2时，ix--=2,

33

**»x=8,

：.E(8,2)；

(3)如图，过点E作防，x轴于尸，连接

VZABO^ZCBE,ZAOB=ZBCE=90°

：./\ABO^/\EBC,

.BCBO2

"cf'AO

VZBCE=90°=/BOC,

，NBCO+/CBO=ZBCO+ZECF,

:./CBO=NECF,

；NBOC=/EFC=9Q°,

:.△BOCs^CFE,

•BO=0C=BC二2,

"CF'EF

•622

声石，

：.CF=9,EF=3,

：.OF=n,

：.E(11,3).

故答案为(lb3).

15•【解答】(1)证明：①在等边三角形△/CB中，/B=/C=60°,

VZAPD=60°,ZAPC=ZPAB+ZB,

：./DPC=/PAB,

：.△ABPs&CD；

②•：/B4C=ND4P,/C=/4PD=60°,

：.△ADPsAAPC,

•.•-A-P~-A-D-,

ACAP

:.AP2=AD-AC；

(2)解：•.•△/BPs△尸CD,AB=AC=3,

•ABBP

,•瓦F，

竺=2,

33

：.AD=3-2=工，

33

:等边三角形△/C8的边长为3,PC=2,AP2=AD'AC,

:.AB=3,BP=1,

：.AP=yf7>

：.CD=^-.

3

16.【解答】证明：(1)是等腰直角三角形，

/.ZB=ZC=45a,AB=AC.

;AP=4Q,

：.BP=CQ.

是3c的中点，

：.BE=CE.

在△APE和△CQE中，

'BE=CE

-NB=NC，

BP=CQ

:.△BPE出4CQECSAS)；

(2):/BEF=NC+NCQE,ZBEF=ZBEP+ZDEF,且/C=/OM=45

；.NCQE=NBEP,

:/B=NC,

.♦.△BPEsACEQ,

17.【解答】解：(1)LAMEsAMFE,/\BMD^/\MGD,/\AMF^/\BGM,

VZAMD^ZB+ZD,/BGM=NDMG+ND

又/B=/A=/DME=CL

：.ZAMF=/BGM,

：.AAMFs^BGM,

(2)连接/G,

由（1）知，丛AMFs丛BGM,

.BGBM

"AM"AF'

是线段中点,

：.AB=4&,AM=BM=2®,

•：BG=^,Za=45",

3

...△NBC为等腰直角三角形，

：.AC=BC^4,CF=AC-AF=1,

：.CG=4-当工

33

，由勾股定理得/G=$.

3

18.【解答】解：感知：・・・N/PD=90°,

ZAPB+ZDPC=90°,

VZB=90°,

AZAPB+ZBAP=90°,

/BAP=/DPC,

•；AB〃CD,NB=90°,

AZC=ZB=90°,

・・・△ABPsBCD.

探究：•:/APC=NBAP+/B,NAPC=/APD+/CPD,

：.ZBAP+ZB=ZAPD+ZCPD.

,//B=/APD,

：.ZBAP=ZCPD.

,//B=/C,

：.AABPSAPCD,

拓展：同探究的方法得出，ARDPsdCPE,

•BDBP

"CP

:点尸是边3c的中点，

:.BP=CP=3近,

:BD=4,

.43A/2

■,3V2=CE)

：.CE=^-,

2

：/8=NC=45°,

?.Z^=180°-Z5-ZC=90°,

即AC±AB且AC=AB=6,

.'.AE—AC-CE=6-旦=3,AD=AB-BD—6-4=2,

22

在Rt△曲中，A{M)2+AE2=JC|)2+22、.

故答案为：A.

2

19.【解答】解：(1)如图1,过点8作3瓦Ly轴于£,

:点。的坐标为(0,-2),/点的坐标为(4,0),

：.OC=2,OA=4,

:等腰Rt/UCB,/ACB=90°,AC=BC,

又轴，y轴，x轴，

:.NBEC=NAOC=NACB=90°,

：.ZBCE+ZACO=90°,ZBCE+ZCBE=9Q°,

/ACO=NCBE,

在△CEB和△NOC中，

,ZBEC=ZAOC

'ZCBE=ZAC0>

,BC=AC

：./\CEB^/\AOCCAAS),

：.BE=OC=2,CE=AO=4,

：.OE=CE-OC=4-2=2,

：.B(-2,2),

设直线48的解析式为(后WO),

,：A(4,0),B(-2,2),

.f4k+b=0

"l-2k+b=2，

k=JL

3

.,.5.，

,b=f

直线的解析式为y=--Ir+A,

33

与y轴交点。，

：.D(0,A)；

3

(2)存在符合条件的点反理由如下：

①点B在x轴负半轴上，如图2,

过点C作CDLNC,交4B于点、D,过点。作轴于点£,

VZBAC=45°,N/CD=90°,

：.CA=CD,

；NDEC=/ACD=/ACO=90°,

：.ZBCD+ZACO=90°,ZBCD+ZCDE=90°,

ZACO^ZCDE,

:.ACED咨AAOC(AAS),

：.DE=OC^\,CE=4O=4,

：.OE=5,

：.D(-5,1),

设直线4D的解析式为>=狂什加(左落0),

,：A(0,4),D(-5,1),

.h=4

…-5ki+bi=l'

fk3

解得：，