浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期数学期中考试试题（含答案）

浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期数学期中考试试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||A．{−2,−1C．{1,22．双曲线E:A．y=±14x B．y=±12x3．已知向量a=(1,2A．-4 B．4 C．-6 D．64．i为虚数单位，则1+i+iA．−i B．i C．-1 D．15．已知正数x，y满足x+y=2，则x2A．[1，4] B．[0，4] C．[1,46．圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A．10π B．20π C．8π D．16π7．对于数列{an}，设甲：{A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为S，编号之积为T，则下列说法正确的是（）A．S是3的倍数的概率为0.4 B．S是3的倍数的概率为0.6C．T是3的倍数的概率为0.2 D．T是3的倍数的概率为0.8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若直线y=kx与圆(x−2)2+(A．3 B．4 C．5 D．610．已知α,A．cos(B．cos(C．sin(D．sin(11．下列定义在(0,+∞)上的函数A．f(x)=x B．f(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．(x+2y)5的展开式中，含x13．已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A作直线l交14．若不等式xy+y2+z2⩾k(x+y)四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f(（1）求函数y=f(x)（2）求函数y=f16．已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；（2）记摸球的次数为随机变量X，求X的分布列和期望．17．如图，在正三棱柱ABC−A1B1C（1）求证：平面A1EC⊥平面（2）若AA1=A118．如图，抛物线Γ:y2=2px(p>0),M(2,1)是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2（1）求抛物线Γ的方程；（2）求AC·19．对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得m=an+b，其中a∈N,0⩽b<n,b∈N，我们记a=D(m,n),（1）求D(2024,（2）求{T(（3）存在n0，使得T(i)n当T(定义数列{T(i)n当T(定义数列{T(i)n若数列{T'(i)n}（ⅰ）求证：函数f(（ⅱ）求证：f(

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由x<3，解得-3<x<3，则集合A={x|−3<x<3}，

故答案为：B．【分析】解不等式求的集合A，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：由双曲线E:x29−y236=1故答案为：C．【分析】由题意，根据双曲线的几何性质求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：因为向量a=(1又因为a⊥(a+b)，所以故答案为：A.【分析】根据题意，利用向量的垂直的坐标表示，列方程求解即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：因为ik所以1+i+i故答案为：D．【分析】根据复数的乘方运算计算求值即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：因为x>0，y>0，且x+y=2，所以0<xy≤(x+y)当且仅当x=y=1时等号成立，则x2故答案为：C．【分析】由题意，根据基本不等式可得0<xy≤1，再结合完全平方公式计算求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：因为圆台的上、下底面面积分别为π、9π，所以上、下地面的半径分别为1、3，则圆台的侧面积为12故答案为：D．【分析】由题意，根据圆台的侧面积公式计算即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：若{an}若a1+(n−1)an+1=nan，则a1故答案为：C．【分析】根据等差数列的通项公式计算即可证明充分性成立；由a1+(8．【答案】A【解析】【解答】解：从袋子中随机选择3张卡片的样本空间的样本点个数为n(S是3的倍数的情况包括{3T是3的倍数的情况数为C1故答案为：A．【分析】利用列举法写出符合题意的样本点，结合古典概型的概率公式求解判断即可.9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：设圆心为C，半径为r，易知圆心C(2,−1)，半径r=3，

设圆心C因为直线y=kx恒过原点，且|OC|=22+又因为d2+|故答案为：BCD．【分析】根据直线过定点，可得0≤d≤510．【答案】B,D【解析】【解答】解：cos(==cosin(==sin2故答案为：BD．【分析】根据两角和差的余弦、正弦公式以及同角三角函数的平方关系化简判断即可．11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、f(x)=x，则fB、f(x)当且仅当x=1时，等号成立，不满足条件，故B错误；C、f(x)D、f(x)=ex，因为所以f(x)故答案为：ACD．【分析】根据函数性质结合基本不等式逐项计算即可判断ABD；利用余弦函数的性质计算即可判断C.12．【答案】40【解析】【解答】解：二项式(x+2y)5令5−r=3，解得r=2，则含x3y2故答案为：40.【分析】写出二项式展开式的通项，直接计算即可.13．【答案】2【解析】【解答】解：由题意，根据椭圆对称性，设A(a,因为|MN|=2|NA|，所以MN=2NA，即则x1=2a−2x1y代入椭圆的方程可得49+a29故答案为：25【分析】根据题意，设N(x1,y1)14．【答案】2【解析】【解答】解：因为x，y，z为正实数，所以k≤y(x+y)+z2(x+y)z所以yz当且仅当y=2−12z时等号成立，故实数故答案为：2−【分析】分离常数转化成求yz+zx+y的最小值问题，根据y+z≥x，把zx+y放缩成z15．【答案】（1）解：函数y=ex+x2则函数在x=0处的切线的斜率为k=e0+0=1，切点的纵坐标为e故切线方程为y−1=x+0，即x-y+1=0；（2）解：函数y=x2ex定义域为当y'>0时，解得0<x<2；当y'<0时，解得则函数y=x2ex的单调递增区间为函数y=x2ex的极大值为【解析】【分析】（1）先求函数的定义域以及导函数，根据导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点，由直线的点斜式方程即可求得函数的切线方程；（2）求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间以及极值即可.16．【答案】（1）解：摸球三次后刚好停止摸球，则前两次都摸到黑球，且第三次一定摸到白球，

则摸球三次后刚好停止摸球的概率P=2（2）解：由题意，可知随机变量X的可能取值为1，2，3，

P(X=1)=24=12，

X123P111E(【解析】【分析】（1）由摸球三次后刚好停止摸球分析得，前两次摸到黑球第三次一定摸到白球，计算概率即可；（2）由题意可知X=1,2,17．【答案】（1）证明：连接AC1，交A1C于点M，再连接EM、EA、根据题意得，四边形AA1C因为E为侧棱BB1的中点，所以在Rt△A1B1E根据勾股定理得两条斜边相等，即A1E=CE，所以EM⊥A因为AC1与A1C交于点M，AC1⊂平面ACC1又因为EM⊂平面A1EC，所以平面A1（2）解：当AA由AC1⊥A1C，同（1）易证所以AC1⊥面A1EC由题设知：C1C是面A1B1由图知：

平面A1EC与平面A1【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一、线面垂直的判定定理先证明E与A1C中点的连线垂直于平面（2）先找出二面角两个平面的法向量，得出∠AC18．【答案】（1）解：设直线AB:联立x=my−m+2,y2所以y1又因为M(2,|=代入化简得(p−1)(4故抛物线Γ的方程为y2（2）解：AC==−MC由（1）可得y1+y因为|=(1+=(1+m同理|MC所以AC⋅当且仅当m=±1时等号成立，即AC·DB的最小值为【解析】【分析】（1）设直线AB:x−2=m(y−1),A(x（2）根据数量积的运算律得到AC⋅DB=|MC19．【答案】（1）解：因为2024=224×9+8，所以D(（2）解：T(（3）证明（ⅰ）对任意正整数i，总有M(i,1)=0，且一定存在n0，使得3因为0⩽M(i,3n又M(M(i,3n),因为i=M(i,若{T(i1)n}和{T(i2)n}的变换数列分别为{T(j1)n}和{T(当n1<n则j1当n1=niijj则j2若T(iijj则j2−j若