初中数学代数恒等变形难题100道附详解

初中数学代数恒等变形难题100道附详解本资料系统汇编100道代数与恒等变形经典习题，涵盖七大核心模块：

◆代数运算：整式运算、分式变形、二次根式化简

◆方程体系：一元二次方程、方程组求解技巧

◆不等式应用：一元一次/二次不等式解析

◆进阶变形：因式分解、恒等式证明

◆函数探究：配方法求最值、参数分析

◆方法突破：换元法、公式法、数形结合等解题策略

资料中每道题都由公式编辑器编辑而成，可编辑、修改，文后每道题目均配有详解步骤，适合老师、学生下载使用。一、选择题.若实数满足

则的值为()

A. B.2025 C. D.1若满足不等式的整数只有一个,则正整数的最大值为()

A.100 B.112 C.120 D.150若多项式,则的最小值是()

A.2021  B.2022  C.2023  D.2024已知,,则代数式的值是()

A.-15  B.-2  C.-6  D.未知若是三角形的三边长,则代数式的值()

A.大于零  B.小于零  C.大于或等于零  D.小于或等于零已知,,,则()

A.1 B.2 C.  D.若,则的最小值为()

选项:

A.6  B.  C.  D.已知实数满足和,则的值为()

选项:

A.0  B.3  C.6  D.9已知实数满足,求的最大值()

选项:

A.12  B.20  C.28  D.36已知,,求则的值是()

A.0 B.3 C. D.已知,,则＝()

A.4 B.0 C.2 D.－2已知,,且,则的值等于()

A.－5 B.5 C.－9 D.9若代数式,,则的值()

A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数若实数满足等式之值为()

A.B.C.D.若的三边长满足:

则的形状为().

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形已知三个整数的和为奇数,则的奇偶性为().

A.一定是非零偶数 B.等于零

C.一定是奇数 D.可能是奇数,也可能是偶数若,则的值为()

A.-1  B.0  C.1  D.2已知实数满足,则()

选项:

A.  B.或 

C.或 D.已知,,,则的值等于()

选项:

A.1  B.  C.  D.-1设是的三条边,且,则这个三角形是()

选项:

A.等腰三角形  B.直角三角形  C.等腰三角形或直角三角形  D.等腰直角三角形已知,求的值为()

A. B. C. D.已知且,则的值为()

A.12 B.14 C.16 D.18已知是实数,且满足,则的平方根值为()

A. B.± C. D.±若实数满足且,则的值为()

A.-1 B.0 C.1 D.22已知实数满足,,则()

A.±1 B.-1 C.1 D.0若和是非零实数,满足和,那么等于()

A.3 B. C. D.已知,则的值为()

A.0 B.1 C.―1 D.2024已知,且,则代数式的值是()

A.3 B.2 C.1 D.0若,则可取的最小值为()

A.3 B. C. D.6设实数满足,且,那么().

A. B. C.0 D.不确定如果,那么,等于().

A.1 B.2 C.3 D.4已知,,则的值是()

A.2021 B.2022 C.2023 D.2024二、填空题.已知,则___________.已知,则

___.设满足,,则______.分解因式___________.在中,,且满足,则的形状是___________.若,,,,则_____.若是实数,且,则的最小值为__________.

.

.

则的最小值是-22.已知,,则________.已知都是整数,且,,则________.已知实数满足,,则______.已知,,,则______.已知,则___________.若正数满足,则_______.已知,则___________.已知满足,则代数式的值为___________.若,则___________.已知实数满足,则______.实数满足,则的最大值为______.已知实数,满足,则______.分解因式:______.已知实数满足,则______.已知:,为实数.

则的值为______.已知实数满足,则___.已知,则______.若,则______.已知正实数满足方程组,则______.已知且,则______.已知,,则______.设,,且

,则______.已知实数满足,且,则______.设为实数,那么的最小值是______.已知,则______.已知则______.三、解答题.已知实数满足方程,求的值已知

,且,求的值.已知实数满足.

求的值.已知,求的值因式分解:.已知实数满足方程,求的值计算:.已知正实数满足方程组,求的值.已知整数满足不等式,求的值.已知实数满足且,求的值.已知实数满足,及,求的值.已知实数满足,,则求的值.因式分解:.已知,求的值.已知实数满足,,求的值.已知实数满足,求的最大值.解方程.若实数满足,求的值.已知,,求的值.已知,求.已知,求的值.已知,,求的值.已知,求的值.已知是实数,且,求的值.设,,求的值.若实数满足,求的值.已知,,求的值.已知为实数,满足:,,求的值.已知满足,求的值.已知为整数,且,,若,求的最大值.已知,,求的值.已知,,求的值.已知实数满足,求的值.设为实数,代数式的最小值.已知,求的值.

初中数学竞赛代数式恒等变形练习100道详解一、选择题.若实数满足

则的值为()

A. B.2025 C. D.1

解:

而

两式相加得:

代入原式得,最终计算多项式值为1

答案:D.若满足不等式的整数只有一个,则正整数的最大值为()

A.100 B.112 C.120 D.150

解:

将不等式变形为:

要求区间内仅有一个整数,则区间长度需满足:

验证时,区间为,唯一整数解,故最大值为112.

答案:B.若多项式,则的最小值是()

A.2021  B.2022  C.2023  D.2024

解:

将多项式配方:

化简得:

当,时,取得最小值

答案:B.已知,,则代数式的值是()

A.-15  B.-2  C.-6  D.未知

解:

由,代入代数式:

由,得,且.

则:原式

答案:C.若是三角形的三边长,则代数式的值()

A.大于零  B.小于零  C.大于或等于零  D.小于或等于零

解析:

将代数式变形为:

根据三角形不等式,得,故:原式

答案:B.已知,,,则()

A.1 B.2 C.  D.

解:

令,代入得:,同理

因此

答案:A.若,则的最小值为()

选项:

A.6  B.  C.  D.

解析:设公共比为,则:

代入:

展开后配方求最小值,解得,代入得最小值为.

答案:D.已知实数满足和,则的值为()

选项:

A.0  B.3  C.6  D.9

解析:

由.

第二个方程配方:

故,此时,,则.

答案:B.已知实数满足,求的最大值()

选项:

A.12  B.20  C.28  D.36

解析:

展开表达式:

利用及,得最大值为.

答案:C.已知,,求则的值是()

A.0 B.3 C. D.

解:

由和,得:

,故.

因此:

答案:B.已知,,则＝()

A.4 B.0 C.2 D.－2

解:

由,代入第二个方程

因此,,则,故

答案:B.已知,,且,则的值等于()

A.－5 B.5 C.－9 D.9

解:

计算和的代数关系:

化简多项式:

代入方程:

答案:A.若代数式,,则的值()

A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数

解:

答案:B(一定是正数).若实数满足等式之值为()

A.B.C.D.

解:若,由和,可知和是方程的根.设和为此方程的两根,则:

因此:

若,则,此时.

答案:C(或).若的三边长满足:

则的形状为().

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

解:

三式相加得:

仅当时成立,此时三角形为等边三角形.

答案:D(等边三角形).已知三个整数的和为奇数,则的奇偶性为().

A.一定是非零偶数 B.等于零

C.一定是奇数 D.可能是奇数,也可能是偶数

解:

化简表达式:

由为奇数,且也为奇数,故乘积为奇数.

答案:C(一定是奇数).若,则的值为()

A.-1  B.0  C.1  D.2

解析:

由,代入原式:

(所有项相消,结果为0).

答案:B.已知实数满足,则()

选项:

A.  B.或 

C.或 D.

解:

将方程配方整理为:

因此且,代入得或.

答案:B.已知,,,则的值等于()

选项:

A.1  B.  C.  D.-1

解:设,,,则原式化为:

解得,,,联立得,即.

答案:B.设是的三条边,且,则这个三角形是()

选项:

A.等腰三角形  B.直角三角形  C.等腰三角形或直角三角形  D.等腰直角三角形

解:

将方程因式分解:

因此(等腰)或(直角).

答案:C.已知,求的值为()

A. B. C. D.

解:

由方程,代入分式:

再利用化简:

因此:

答案:D.已知且,则的值为()

A.12 B.14 C.16 D.18

解:

由等式,两边乘以2并配方:

故.代入,解得.因此:.

答案:B.已知是实数,且满足,则的平方根值为()

A. B.± C. D.±

解:

配方整理方程:

解得,.代入得:,平方根为±.

答案:B.若实数满足且,则的值为()

A.-1 B.0 C.1 D.22

解析:

将方程因式分解:

提取公因子:

由于,则(除非,矛盾),故必有.

答案:B.已知实数满足,,则()

A.±1 B.-1 C.1 D.0

解:

由,得:.

答案:D.若和是非零实数,满足和,那么等于()

A.3 B. C. D.

解:分情况讨论:

1.当时,,方程变为:

解得(舍去)或.代入得(无实根).

2.当时,,方程变为:

代入得.取负根,则.

因此.

答案:D.已知,则的值为()

A.0 B.1 C.―1 D.2024

解:

由,得(因).多项式可分组为:

每四分之一项和为0,余下.故总和为.

答案:B.已知,且,则代数式的值是()

A.3 B.2 C.1 D.0

解:

由,得.

将原式通分:

答案:A.若,则可取的最小值为()

A.3 B. C. D.6

解:设公共参数为,则:

代入表达式:

当时,最小值为.

答案:B.设实数满足,且,那么().

A. B. C.0 D.不确定

解:

展开表达式:

因,得

化简为:

代入原式:

答案:选C.如果,那么,等于().

A.1 B.2 C.3 D.4

解:

由,代入第二个方程:

再代入第三个表达式:

答案:B.已知,,则的值是()

A.2021 B.2022 C.2023 D.2024

解:

联立方程组:

目标表达式分解:

减去424后得:

答案:D.二、填空题.已知,则___________.

解:.

.

,,,,解得

故答案为:0.已知,则

___.

解:多项式的系数和，就是的值．

.

故答案为:128.设满足,,则______.

解:

令

则

故答案为:2.分解因式___________.

解:设,则原式化为关于的二次三项式.

原式))()=()(.在中,,且满足,则的形状是___________.

解:由,得

从而且

所以且

因此是等腰直角三角形.若,,,,则_____.

解:,.

,,,

.

即.

①

同理

,,,,.

即②

由①、②联立,设.

,解得,.

即,.

由,,.

.

.

所以.

.

.若是实数,且,则的最小值为__________.

.

.

则的最小值是-22.已知,,则________.

又.

则

故答案为:.已知都是整数,且,,则________.

解:将代入得:

.

解得:.

,都是整数.

,只能取,

相对应,或3或-1或-3.

故答案为:5或3或-1或-3.已知实数满足,,则______.

解:实数、、满足:,

把代入中得

,且.

,,.

故答案为:0.已知,,,则______.

解:,两边平方得.

,.

又,.

同理得,.

.

故答案为:已知,则___________.

解:将三个分式相乘得,将两个分式相乘得

,故原式.若正数满足,则_______.

解:正数满足

或

答案:.已知,则___________.

解:

即

,

又

故答案为12.已知满足,则代数式的值为___________.

解:

,,,,当,时,原式

故答案是若,则___________.

解:设.

则.

.

,即,所以或

①当时,则

同理.

所以

②当时,.

所以.

故答案为:8或-1.已知实数满足,则______.

解:由题意得,①

②

平方得③

平方得④

由③④得

故答案为:34.实数满足,则的最大值为______.

解:

,是关于的一元二次方程

的两实根.

.

即,

,当时,;

故的最大值为

故答案为:已知实数,满足,则______.

解:

.

故答案为:1分解因式:______.

解:原式.

.

故答案为:已知实数满足,则______.

解:

,解得,或,

故答案为:0.已知:,为实数.

则的值为______.

解:因为

,所以

故答案为:已知实数满足,则___.

解:

,,.

故答案为:0.已知,则______.

解:

.

故答案为:2029若,则______.

解:

故答案为:.已知正实数满足方程组,则______.

解:三式相加,得:

都是正实数

.

故答案为:8已知且,则______.

解:由题设等式得

当时,由一元二次方程根的判别式,可知关于的一元二次方程

有两个相等实数根.

又,于是是方程的根.

故方程的两个根都是

所以当时,有

此时

综上:已知,,则______.

解:

又

故答案为:7.设,,且

,则______.

解:设,则

代入,得

即:

设则

解得:或1或-1

.

故答案为:1已知实数满足,且,则______.

解:

因此两项都非负,只能都为0

故答案为:4.设为实数,那么的最小值是______.

解:

当时,代数式有最小值,最小值为-1.

故答案为:1已知,则______.

解:设.

则.

解得,令

则.

故答案为:已知则______.

解:为方便化简,我们设,于是

解得

所以,原式

故答案为:三、解答题.已知实数满足方程,求的值

解:

故答案为:已知

,且,求的值.

解:由,五式相加得:

.

故答案为:4已知实数满足.

求的值.

解:由得

因为,所以

于是

故答案为:.已知,求的值

解:由得,由得

所以

故答案为:3因式分解:.

解:

故答案为:已知实数满足方程,求的值

解:.

同理可得(

两式相加,得.

故答案为:2.计算:.

解:原式

.

故答案为:2027.已知正实数满足方程组,求的值.

解:由题意得

.

故答案为:602.已知整数满足不等式,求的值.

解:因为不等式两边都是正整数,故原不等式等价于配方,得,因为,所以,从而有,

故答案为:已知实数满足且,求的值.

解:将代入得:

故答案为:0.已知实数满足,及,求的值.

解:,,.

,,,.

.

故答案为:8.已知实数满足,,则求的值.

解:三式相加得.

则

.

故答案为:-8.因式分解:.

解:原式

故答案为:已知,求的值.

解:因为

所以

从而

故

故答案为:1已知实数满足,,求的值.

解:因为

所以.

所以

所以

所以

所以

因为.

所以

因为1.

所以

所以

所以

所以.

故答案为:.已知实数满足,求的最大值.