2024-2025学年湖北省襄阳市南漳县九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省襄阳市南漳县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请将所选选项的字母写在题目后面的括号内）1．（3分）下列方程中，是关于x一元二次方程是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C．x2+1x2=0 2．（3分）我市积极开展“全民参与垃圾分类，共享环保低碳生活”宣传活动．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾进行分类，分别投入相应标识的收集容器内．下面有关垃圾分类的图标，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得抛物线表达式为（）A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝﹣x2+4 C．y＝﹣x2 D．y＝﹣（x+1）2+44．（3分）下列说法正确的是（）A．“水滴石穿”这个事件是必然事件 B．“太阳西升东落”这个事件是随机事件 C．“守株待兔”这个事件是不可能事件 D．“明天全市的降水概率为70%”表示明天全市一定会下雨5．（3分）已知半径为9的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A．18π B．27π C．36π D．54π6．（3分）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．67．（3分）一件产品原来每件的成本是1000元，由于连续两次降低成本，现在的成本是810元，则平均每次降低成本（）A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%8．（3分）如图，量角器外缘上有A，B，C三点，且A，B两点所表示的读数分别是130°，100°，则∠ACB应为（）A．15° B．25° C．30° D．40°9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），以原点O为中心，将点A顺时针旋转90°得到点A'，则点A'坐标为（）A．（1，−3） B．（−3，1） C．（0，2） D．（10．（3分）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论：①ac＜0；②3a+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3；④抛物线上有两点P（a1，b1）和Q（a2，b2），若b1＝b2，则a1+a2＝2．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则a+b＝．12．（3分）已知点A（m，1）与点B（5，n）关于原点对称，则m+n＝．13．（3分）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，CD＝8，则线段BE的长为．15．（3分）如图，D是等边△ABC外一点，连接AD，BD．若BD=19，CD=3，AD＝4，则△ABC的边AB长为三、解答题（本大题共9小题，共75分）16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程．17．（6分）如图，在9×6的长方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶A，B，C均在格点上．请你用一把无刻度的直尺完成作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）以C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°至△DEC（点A，B的对应点分别为点D，E），并连接AD；（2）作出经过点A，C，D三点的圆的圆心O，并直接写出⊙O的半径．18．（6分）如图是一个长20cm、宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等、互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的115019．（8分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是；（4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围．20．（8分）为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同．（1）杨老师选择B3座位的可能性为；（2）请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率．21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝23，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．22．（10分）某商场购进一批小商品，其进价为10元/个．经市场调研发现：当销售单价为12元时，销售量为180个．若销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）请写出小商品的销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）为了让利给顾客，并同时获得840元利润，销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，商场获得利润最大，最大利润是多少？23．（11分）我们可以通过类比联想，引中拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请你补充完整．原题：如图1，点E．F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．则EF＝BE+DF，请说明理由．（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G在一条直线上．根据，易证△AEF≌，得EF＝BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF＝BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝4，CE＝3．①试猜想线段BD，DE，EC之间的数量关系，请证明你的猜想；②直接写出△ADE的面积．24．（12分）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）交x轴于点A，B，交y轴于点C，且OA：OC＝2：3．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求a的值；（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q（n，0）在x轴上，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．

2024-2025学年湖北省襄阳市南漳县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DCBABDDADC一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请将所选选项的字母写在题目后面的括号内）1．（3分）下列方程中，是关于x一元二次方程是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C．x2+1x2=0 【解答】解：A．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，不符合题意；B．x2+y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C．x2D．x2+x＝4，是一元二次方程，符合题意．故选：D．2．（3分）我市积极开展“全民参与垃圾分类，共享环保低碳生活”宣传活动．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾进行分类，分别投入相应标识的收集容器内．下面有关垃圾分类的图标，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：C．3．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得抛物线表达式为（）A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝﹣x2+4 C．y＝﹣x2 D．y＝﹣（x+1）2+4【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣1+1）2+2+2，即y＝﹣x2+4．故选：B．4．（3分）下列说法正确的是（）A．“水滴石穿”这个事件是必然事件 B．“太阳西升东落”这个事件是随机事件 C．“守株待兔”这个事件是不可能事件 D．“明天全市的降水概率为70%”表示明天全市一定会下雨【解答】解：A、“水滴石穿”这个事件是必然事件，故该项说法正确，符合题意；B、“太阳西升东落”这个事件是不可能事件，故该项说法不正确，不符合题意；C、“守株待兔”这个事件是随机事件，故该项说法不正确，不符合题意；D、“明天全市的降水概率为70%”表示明天全市不一定会下雨，这个事件是随机事件，故该项说法不正确，不符合题意；故选：A．5．（3分）已知半径为9的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A．18π B．27π C．36π D．54π【解答】解：根据扇形的面积公式，得S扇形=12lR=12×故选：B．6．（3分）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．6【解答】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．故选：D．7．（3分）一件产品原来每件的成本是1000元，由于连续两次降低成本，现在的成本是810元，则平均每次降低成本（）A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%【解答】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得：1000（1﹣x）（1﹣x）＝810，解得：x＝0.1或1.9（不合题意，舍去）即：x＝10%故选：D．8．（3分）如图，量角器外缘上有A，B，C三点，且A，B两点所表示的读数分别是130°，100°，则∠ACB应为（）A．15° B．25° C．30° D．40°【解答】解：设量角器的圆心是O，连接OA、OB，则∠AOB＝130°﹣100°＝30°，由圆周角定理，得∠ACB＝30°÷2＝15°．故选：A．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），以原点O为中心，将点A顺时针旋转90°得到点A'，则点A'坐标为（）A．（1，−3） B．（−3，1） C．（0，2） D．（【解答】解：如图所示，过A作AB⊥x轴于B，过A'作A'C⊥x轴于C，∵∠AOA'＝90°＝∠ABO＝∠OCA'，∴∠BAO+∠AOB＝90°＝∠A'OC+∠AOB，∴∠BAO＝∠COA'，又∵AO＝OA'，∴△AOB≌△OA'C（AAS），∴A'C＝BO＝1，CO＝AB=3∴点A′坐标为（3，1），故选：D．10．（3分）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论：①ac＜0；②3a+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3；④抛物线上有两点P（a1，b1）和Q（a2，b2），若b1＝b2，则a1+a2＝2．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故①正确．∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴−b∴b＝﹣2a，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＝0，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，故③正确．抛物线上有两点P（a1，b1）和Q（a2，b2），若b1＝b2，则P和Q关于对称轴对称，∴a1∴a1+a2＝2，故④正确．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则a+b＝3．【解答】解：∵a和b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，∴a+b＝3，故答案为：3．12．（3分）已知点A（m，1）与点B（5，n）关于原点对称，则m+n＝﹣6．【解答】解：∵点A（m，1）与点B（5，n）关于原点对称，∴m＝﹣5，n＝﹣1，∴m+n＝﹣6，故答案为：﹣6．13．（3分）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是14【解答】解：∵共有四种区域文化，随机选一种文化开展专题学习，随机选一种文化开展专题学习，∴则选中“荆楚文化”的概率是14故答案为：1414．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，CD＝8，则线段BE的长为2．【解答】解：连接OC，如图∵弦CD⊥AB，∴CE＝DE=12在Rt△OCE中，∵OC＝5，CE＝4，∴OE=5∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．故答案为：2．15．（3分）如图，D是等边△ABC外一点，连接AD，BD．若BD=19，CD=3，AD＝4，则△ABC的边AB长为7【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴将△ABD绕点A旋转60°得到△ACE，点B的对应点为点C，点D的对应点为点E，连接DE，过点C作CH⊥AD于点F，如图所示：由旋转的性质得：△ABD≌△ACE，AD＝AE＝4，∠DAE＝60°，CE＝BD=19∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，∵CD=3∴CD2+DE2＝（√3）2+42(3又∵CE2=(19∴CD2+DE2＝CE2，∴△CDE是直角三角形，即∠CDE＝90°，∴∠CDA＝∠CDE﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△CDF中，∠CDA＝30°，CD=3∴CF=12CD由勾股定理得：DF=C∴AF＝AD﹣DF=4−3在Rt△ACF中，由勾股定理得：AC=A△ABC的边AB长为7．故答案为：7．三、解答题（本大题共9小题，共75分）16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0，解得m≤4；（2）若该方程的两个实数根相等，则m＝4，故方程为x2﹣4x+4＝0，（x﹣2）2＝0，解得x1＝x2＝2．17．（6分）如图，在9×6的长方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶A，B，C均在格点上．请你用一把无刻度的直尺完成作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）以C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°至△DEC（点A，B的对应点分别为点D，E），并连接AD；（2）作出经过点A，C，D三点的圆的圆心O，并直接写出⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，△DEC即为所求．（2）如图，取AD的中点O，由旋转得，∠ACD＝90°，AC＝CD，∴AD为经过点A，C，D三点的圆的直径，∴点O为经过点A，C，D三点的圆的圆心，则点O即为所求．由勾股定理得，AD=7∴⊙O的半径为1218．（6分）如图是一个长20cm、宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等、互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的1150【解答】解：设彩条的宽度为x，根据题意可得，（20﹣x）（15﹣x）＝20×15×（1−11解得x1＝2，x2＝33（舍去）答：彩条的宽度2cm．19．（8分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是﹣3＜x＜1；（4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围．【解答】解：（1）设y＝a（x+3）（x﹣1），将（0，﹣3）代入得a×3×（﹣1）＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），如图，（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围﹣3＜x＜1；故答案为：﹣3＜x＜1；（4）x＝3时，y＝（x+1）2﹣4＝12，当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是﹣4≤y＜12．20．（8分）为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同．（1）杨老师选择B3座位的可能性为13（2）请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率．【解答】解：（1）杨老师还有三个座位可选，是等可能性的，选择B3座位的可能性有1种，故概率为13故答案为：13（2）杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，列表如下：C1C2C3B2（B2，C1）（B2，C2）（B2，C3）B3（B3，C1）（B3，C2）（B3，C3）B4（B4，C1）（B4，C2）（B4，C3）共有9种等可能的结果，其中两位老师刚好坐同一列的结果有2种，∴两位老师刚好坐同一列的概率为2921．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝23，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）BC与⊙O相切．证明：连接OD．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD．又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA．∴∠CAD＝∠ODA．∴OD∥AC．∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切．（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF+BF＝x+2，根据勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即（x+2）2＝x2+12，解得：x＝2，即OD＝OF＝2，∴OB＝2+2＝4，∵Rt△ODB中，OD=12∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴S扇形DOF=60π×4则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=12×2×23故阴影部分的面积为23−22．（10分）某商场购进一批小商品，其进价为10元/个．经市场调研发现：当销售单价为12元时，销售量为180个．若销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）请写出小商品的销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）为了让利给顾客，并同时获得840元利润，销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，商场获得利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）y＝180﹣10（x﹣12）＝180﹣10x+120＝﹣10x+300，即：y＝﹣10x+300；（2）由题意得：（x﹣10）y＝840，（x﹣10）（﹣10x+300）＝840，整理得：x2﹣40x+384＝0，解得：x1＝16，x2＝24（舍去），∴为了让利给顾客，并同时获得840元利润，销售单价应定为16元；（3）设总利润为w元，由题意得：w＝（x﹣10）（﹣10x+300）＝﹣10x2+400x﹣3000＝﹣10（x﹣20）2+1000，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝20时，w最大＝1000元，∴当销售单价定为20元时，商场获得利润最大，最大利润是1000元．23．（11分）我们可以通过类比联想，引中拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请你补充完整．原题：如图1，点E．F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．则EF＝BE+DF，请说明理由．（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G在一条直线上．根据SAS，易证△AEF≌△AGF，得EF＝BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D＝180°时，仍有EF＝BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝4，CE＝3．①试猜想线段BD，DE，EC之间的数量关系，请证明你的猜想；②直接写出△ADE的面积．【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F，D、G共线，则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG，在△AEF和△AGF中，AF=AF∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝BE+DF；故答案为：SAS，△AGF；（2）当∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，理由如下：如图2，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠FAG＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝18