2025人教版七年级数学下册教案：第八章 实数 小结与复习

人教版初中数学七年级下册

第八章实数小结与复习教案

一、教学目标：

1.梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的联系;

2.会进行开平方和开立方运算及巩固实数的运算.

二、教学过程:

知识网络

T定义:若犬=°,则x叫做”的①平方根|

H若J=a(x>0),则正数x叫做a的算术平为桶

|平方根|—|算术平方根:，被开方数为②非负数I

算术平方根为③非负数I

一个正数有④两个平方根，它们互为⑤相反数I

T性质卜母F耳方根是⑥o-

U⑦负数没有平方根|

H开平方:求一个数的平方根的运算I

T定义:若则x叫做a的立方短|

实

d立方根I--隹质:正数的立方根是⑧正数.鱼数的立方根是

数

⑨负数.0的立方根是⑩0

H开立方:求一个数的立方根的if纲

一实数的概念:无理数与有理数的统称|

按定义:有理数和无理数|

-I实数I---1分类

按正负:正实数、⑪一0、负实数|

H实数的运算:与有理数的运算法则、运算律等相同I

实数与数轴上5每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示I

的点—对应一L孩轴上的每一个点都表示一个实数|

知识梳理

一、算术平方根

像52=25,那么5叫做25的算术平方根;

102=100,那么10叫做100的算术平方根；

•••32=9,9的算术平方根是3.

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.

a的算术平方根记作：八,读作:“根号a”.

即x2=a(x>0)根号_莉；_被开方数

a的算术平方根

X叫做a的算术平方根，记作：x=8.

规定：0的算术平方根是0.记作：Vo=o.

2.算术平方根的性质：

⑴一个正数的算术平方根有1个;0的算术平方根有一个，是0;负数没有算术平方根.

⑵被开方数a是非负数，即哈0;正是非负数，即孤K).(双重非负性)

(3)被开方数越大，对应的算术平方根也越大.若a>b>0,则«>超>0.

⑷被开方数扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根扩大(缩小)10倍.

二、平方根

1.平方根的定义：

一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果

x2=a,那么x叫做a的平方根.

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.

2.平方根的特征：

⑴正数有两个平方根，它们互为相反数；

(2)0的平方根是0;

⑶负数没有平方根.

3.平方根的表示：

正数a的算术平方根可以表示为F,正数a的负的平方根，可以表示为.正数a的平方

根可以用土«表示，读作“正、负根号a”.

4.平方根与算术平方根的联系与区别：

'1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

联系Y2.只有非负数才有平方根和算术平方根.

、3.0的平方根是0,算术平方根也是0.________

(1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.

〔2.表示法不同:平方根表示为士y[a,而算术平方根表示为弱.

三、立方根

一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如

果x3=a,那么x叫做a的立方根.

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也

互为逆运算.

类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“妫”表示，读作“三次根号a"，其中a是被开方数，

3是根指数.

正数的立方根是；负数的立方根是；0的立方根是.

立方根的性质:一般地，/工=-姐

平方根与立方根的区别和联系

平方根立方根

正数两个，互为相反数一个，为正数

性

000

质

负数没有平方根一个，为负数

表示方法4a

被开方数

非负数可以为任何数

的范围

四、实数及其运算

L有理数

我们知道有理数包括整数和分数，利它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.

5327119

一，--，--，-9-------.

254911

532711•Q

-=2.5,--=-0.6,—=6.75,—=1.2,—=0.81.

254911

任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无

限循环小数也都是有理数.

2.无理数

通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.

无限不循环小数又叫做无理数.

例如尼，-石，正，g等都是无理数.

兀=3.14159265…，1.01001000100001…它们都是无限不循环小数，是无理数.

常见的无理数的三种形式：（1）含兀的一些数；（2）开方开不尽的数；（3）有规律但不循环的

数,如1.01001000100001…

3.实数

有理数和无理数统称为实数.

「正有理数］

［正有理数

（有理数o有限小数或无限循环小数（正实数［正无理数

实数［负有理数J

实数0

〔无理数｛党鬻｝无限不循环小数〔负实数J负有理数

I负无理数

〔负无理数J

分类原则：不重不漏

,,,一支,,、短，，无，.

-4-3-2-101234

事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.

当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都

可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的

大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.

数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数.

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设

a表示任意一个实数，则

也，当。>0时；

|a|=<0,当a=0时；

「a,当时.

4.实数的运算性质

⑴当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方

运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.

⑵在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.

1.交换律：加法a+b=b+a,乘法axb=bxa

2.结合律：加法(a+b)+c=a+(b+c),乘法(axb)xc=ax(bxc)

3.分配律：ax(b+c)=axb+axc

考点梳理

考点解析

考点1:算术平方根的概念及计算

例1.求下列各数的算术平方根：

(1)100(2)-(3)0.0001

解：(1)因为io2=ioo,所以loo的算术平方根是io,即”UU=io；

所以荷的算术平方根是履即旧7

(2)因为6r

8

⑶因为0.012=0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即").0001=0.01.

例2.化简:

⑶7(-2)X(-8)

(2)^(-1.3)2==1.3

(3)7(-2)x(-8)=716=4

【迁移应用】

【1-1】用的算术平方根是()

A.4B+4C.2D+2

【1-2】一个正方形的面积变为原来的4倍，则它的边长变为原来的一倍;面积变为原来的9倍,

则它的边长变为原来的一倍;面积变为原来的100倍，则它的边长变为原来的一倍;面积变

为原来的n倍时，则它的边长变为原来的倍.

[1-3]求下列各数的算术平方根.

(1)64；(2)0.25；(3)|；(4炉；⑸(一总；(6)104.

解：(1)因为82=64,所以64的算术平方根为8；

(2)因为0.52=0.25,所以0.25的算术平方根为0.5；

⑶因为(»2=£所以押算术平方根为点

(4)因为52=52,所以52的算术平方根为5；

2222

(5)因为(一白=*)=(2)，所以(一白的算术平方根为》；

(6)因为IO4=1002,所以io,的算术平方根为100.

考点2:算术平方根的非负性应用

例3.若(x-4)2+VyT3=0,求(x+y)20i9的算术平方根.

解：Kx-4)2+7yT3=0,且(x-4)2>0,>0,

・・・x-4>0,y+3>0

・・・x-4=0,y+3=0,

•'•X—4,y—3,

把x=4,y=—3代入，(x+y)2°i9=[4+(—3)]2。19=12。19=1,

.•・。+丫)2。19的算术平方根是1.

【迁移应用】

若实数x、y、z满足Vx+2+(y—3)2+|z+6|=0,求xyz的算术平方根.

解：vVx+2+(y-3)2+|z+6|=0,

.'.X+2=0,y—3=0,x+6=0,

**»x=2,y—3,z=6,

••,xyz=(—2)x3x(—6)=36,

・•.xyz的算术平方根是=6.

考点3:平方根的概念及计算

例4.求下列各式的值:

(1)而；(2)-Toll；⑶喏・

解：⑴因为62=36,所以质=6；(2)因为0.以=0.81,所以-、瓯=-0.9；

⑶因为(±];彳，所以±科=±(

例5.已知一个正数m的平方根为2n+1和4-3n.

⑴求Hl的值；

(2)|a-1|+Vb+(c-n)2=0,a+b+c的平方根是多少？

(1)解：•••正数m的平方根互为相反数，

*'•2n+1+4—3n=0,

解得：n=5,

・・・2n+1=11,

・・・m=112=121；

(2)由(1)得：n=5,

v|a—11+Vb+(c—n)2=0,

-a—1=0,b=0,c—n=0,

.,.a=1,b=0,c=n=5,

-a+b+c=1+0+5=6,

.■-a+b+c的平方根是土点.

例6.已知2a-1的算术平方根是3,b-1的平方根是±4,c是履的整数部分，求a+2b-c的

平方根.

解：•••2a-1的算术平方根是3；b-l的平方根是±4,

.,.2a—1=9,b—1=16,

Aa=5,b=17.

•••C是旧的整数部分，3<履<4,

AC=3.

-a+2b—c=5+17x2—3=36.

•••36的平方根是±6.

.•・a+2b—c的平方根为±6.

【迁移应用】

［3-1］下列式子中，正确的是()

A.±V4=2B.必7=-2C.V4=+2D.在=2

【3-2］计算:(l)gl=；(2)-VL69=；

(3)-V(-0.3)2=；(4)±V324=.

[3-3]已知一个正数的平方根是2x+3和x-9,则这个数是.

[3-4]求下列各数的平方根.

(1)49；(2)||；(3)2/(4)0.36；(5)(-

解：⑴(±7)2=49,.-49的平方根是±7；

⑵.・.(±丁=祟碟的平方根是士点

(3):25=系，(±|)2=京的平方根是±|；

(4)•.•(±0.6)2=0.36,•••0.36的平方根是±0.6；

⑸=^=(丁，'(一」的平方根是土看

【3-5】求下列各式中的x.

(1)9x2—25=0,(2)4(x—2)2—9=0.

⑴解：9x2-25=0

移项得：9x2=25,

25

9

,5

•'X=±

(2)4(x-2)2-9=0

4(x-2)2=9,

•••(x-2)2=：

CI3

AX—2=+-

-2

71

•■-X1=PX2=2-

考点4立方根的概念及计算

例7.列各式的值：

⑴标⑵⑶&

解：⑴痂=4；⑵(3)=

例8.已知a?=16,|b|=9,Vc=—2,且ab<0,be>0,求a—b+c的值.

解：va2=16,|b|=9,黄=-2,

・・・a=+4,b=±9,c=-8.

vab<0,be>0,

・・・b与c同号，a与b、c异号.

.'.a=4,b=—9,c=—8

.,.a—b+c=4—(—9)+(—8)=5.

例9.对于结论：当a+b=0时.a3+b3=0也成立.若将a看成a?的立方根，b看成b?的立方

根.由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”

⑴举一个具体的例子进行验证；

(2)若歹方和港口互为相反数，且x-3的平方根是它本身，求x+y的立方根.

(1)解：举例：a3=8,b3=—8,

则+V—8=2+(—2)=0,此口寸8+(—8)=0,即8与—8互为相反数，

所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立.

（2）解：•••7—和通M互为相反数，

・•・7-y与2y-5互为相反数，

**•7—y+2y—5=0,

解得y=-2,

•••X-3的平方根是它本身，

・・・x-3=0,

解得x=3,

・・・x+y=3—2=1,

•••x+y的立方根是1.

【迁移应用】

[4-1]下列说法正确的是（）

A.9的算术平方根是±3B.-8没有立方根

C.-8的立方根一2D.8的立方根是±2

[4-2]下列各式中，正确的是（）

A.-V3^6=-0.6B.V^=-V5C.J（—13）2=-13D.V36=±6

【4-3】如果好市~L333,V237~2.872,那么“23700约等于（）

A.28.72B.287.2C.13.33D.133.3

[4-4]已知a—5的平方根是±4,2b-1的立方是—27,求a-4b的算术平方根.

解：•••a-5的平方根是±4,

a-5=（±4）2=16,

解得a=21,

2b—1的立方是一27,

2b—1—V—27——3,

解得b=-1,

••.a-4b=21—4x（—1）=25,

・•.a-4b的算术平方根是5.

[4-5]已知A—m-^n—m+3是n—m+3的算术平方根,B-m-2n+Vm+2n

是m+2n的立方根，求B-A的平方根.

解：由题思得：m—2=2,m—2n+3=3,

解得：m=4,n=2,

则A=V2-4+3=LB=V4+2x2=2,

B-A=2—1=1,

则B—A的平方根为：±1.

考点5:实数的概念、性质及分类

例10.如图，请将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来:

280CD

11

-±

---

024

解:A点表示-旧万点表示-亍0点表示0,C点表示应,D点表示2,E点表示71.

例11.把下列各数填在相应的大括号内：

0,-2,V3,-V27,o.l2,-3^,V4,y,y^,1.21212121...,0.1010010001.^p

有理数：｛…｝

无理数：(…)

非负数：(

分数：｛■■■)

负实数：｛…｝

:|0»—2,0.1',—《。7,^/4»—»1.21212121**%...}

无理数：{^/T,-VTT",—,o.ioiooioooi-..—...(

1241

非负数：[0,^3.0.12.74.—.—,1.2121212b».0.101001000b*--...)

I724J

(八,,1

分数：{0-1-»—/~8~-22»l-21212121•••,…}

负实数:{-2,-A/27",-J券,…}

例12.如图所示，数轴上A,B两点表示的数分别为一1和g,点B关于点A的对称点为C,

求点C所表示的实数.

AB

-----------1------------------------1----------------------------------------1——►

-10R

解：•・•数轴上A,B两点表示的数分别为一1和g,

•・•点B到点A的距离为1+旧，

则点C到点A的距离为1+8，

设点C表示的实数为x,则点A到点C的距离为一1—x,

—1—x=1+A/3,

■■•x=12—V3

【迁移应用】

【5-1】如图，数轴上A,B两点表示的数分别为鱼和5.1,则A,B两点之间表示整数点共有(：

A.6个B.5个C.4个D.3个

I■..

0J25.1

[521若将三个数-b，夕,VTT表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是.

[531把下列各数分别填入相应的集合内:

号0.3737737773…

次,;访町-[，楞"-店-疯X

C.3C_3

有理数集合无理数集合

>兀、J*'6,

(《0.3737737773…)

有理数集合无理数集合

考点6:实数的大小比较

例13.通过估算比较下列各组数的大小

⑴V5与1.9；(2)渔产

与1.5.

解：⑴因为5＞4,所以花＞2；

所以芯＞1.9.

(2)因为6＞4,所以遥＞2；

所以，|里＞出，即如里＞15.

222

例14.比较下列各组数的大小.

(1)秒与2.5;(2)我与

2

解：因为2.53=15.625

所以强＜415.625

所以我<2.5

(2)因为(%

2o

所以我〈杼

所以指<3

2

【迁移应用】

[6-1]将下列各实数按从小到大的顺序排列，并用号连接起来.

一2,1],一百，1一%,J2,1.141.

0

解：-病<1-兀<-2<1.141<1|〈企.

[6-2]比较3,4,胸的大小.

解：•••33=27,43=64,

炳<病<^64,

即3〈胸<4.

[6-3]已知"<病<〃+1(n为正整数)，则2n的立方根为.

[6-4]比较下列各组数的大小：

⑴%与V10；(2)765与8；(3)当二与0.5；(4)官二与1.

解：(1)：8<10,.•.①<VTU.

(2)；65>64,.'.V65>V64,即候〉8.

(3)vV5>2,.-.V5-1>2-1,♦,•”>]即”>05

(4)vV5<3,.-.V5-K3-1,,即包<1.

考点7:实数的运算

例15.计算：

(1)|V3-2|-(-2)2+2X^；(2)|2-V10|+|V10-V14|+|4-V14|；

（3+（2/+四）一封（保留小数点后