2025人教B版高二年级数学上学期期末教学质量模拟检测（二）（含解析）

2024-2025学年上学期人教B版高二年级期末教学质量模拟检测

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知点A（3,l），3（2,3），若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）

A.(-<x>,-4]U[l,-K»)

C.(0,4]叩川

2.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角△AHC.已知

0'是斜边B'C'的中点，且A。=1，则AABC的边上的高为（）

A.lB.2C.42D.2V2

3.如图所示，矩形O'AB'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A=6cm，CD=2cm，则原

图形Q43c的面积是cm2（）

C.6D-24V2

4.已知直线工+〃9一3=0的倾斜角为150°，则实数根的值为（）

A.一6B一显C.V3D.2

33

5.已知i为虚数单位,则复数（2+i）（l-i）的虚部为（）

A.iB.-iC.lD.-l

6.已知圆。］：/+丁=4和圆02：/+/—标―6y+i6=0,则G与。2的位置关系是（）

A.外切B.内切C.相交D.外离

22

7.如果椭圆的方程是工+21=1，那么它的焦点坐标是（)

42

A-(±2,0)B-(O,±2)C.(±V2,0)

5兀

8.如图，在扇形OAB中，半径|。4|=|。6|=2,弧长为一,点尸是弧AB上的动点，点ALN分

6

别是半径。4,QB上的动点，则周长的最小值是（)

C.2若D.*\/6+A/2

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

22

9.若直线/与双曲线土—匕=1的左、右两支各有一个交点，则/的方程可以是（）

315

A.y=^x+1B.y=%+l

Cy=3xD.）=72X+A/2-1

10.如图，在△ABC中,AB=AC=3,6C=2,点D,G分别边47,台。上，点E,F均在边45上，设

Z）G=x，矩形DEFG的面积为S,且S关于x的函数为S（x）,则（）

B.s(V

C.S(x)先增后减D.S(x)的最大值为夜

11.设直线/P/2,/3两两垂直，且三条直线与平面内,a2,%所成角如下表所示:

夹角a}%«3

兀

40a

兀

4%0

4

兀71

k47

注：夹角为0表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是()

A.q=mB.-2

C.q和为互余D.3。］和24互补

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.已知双曲线C:二—二=1(。〉0］〉0)的左、右焦点分别为百，工点A在双曲线C上，点8

ab

在y轴上，耶，瓦豆，月X=—2哥则双曲线C的离心率为.

13.若z-(3—i)=l—2i，则z的虚部为.

22

14.设0是坐标原点是椭圆工+%=1,〉6〉0)的左焦点，椭圆上的点尸关于。的对称点是

0,若NPF［Q=120。,|PQ|=6a，则该椭圆的离心率是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

下1c

15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且满足----sinB=tanA-cosi?.

a

(1)求角A的大小；

⑵若b=2及且△ABC的面积为26，求边a

⑶若cos(x+A)=；,且求sinx的值

16・在△ABC中，已知ZBAC=120°，D为BC＜一点、，CD=币，BD=4币，且ABAD=900-

⑴求把的值;

AC

⑵求△Ac。的面积.

17.如图，在△ABC中，AB=AC=6,点。是边上一点，且AD，A3，cos/CAD=2叵，

3

AE=2EB

（1）求AHC/的面积;

（2）求线段A。的长.

18.A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P,Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由

\Api/PAM

A点对PQ施以视角运算”:若点M在线段PQ上，记（P,Q-M}=\-----s-n--------;若点M在线段PQ

,一''\AQsinZMAQ~

外，记（P,Q；M）=-.在△.C中，角A8,C的对边分别是ahc,点、D在射线上.

⑴若AD是角A的平分线，且^=3。由A点对施以视角运算，求的值；

⑵若A=60°，a=4,A3,AD，由A点对施以视角运算，（民。；。）=2-2g，求△ABC的周长;

⑶若A=120°，=4，由A点对BC施以视角运算,（3,C;。）=£，求/?+4c的最小值.

b

19.如图，在平面四边形ABCD中，AC与DB的交点为瓦DB平分

zL4Z)C，AB=BC-CD=2，AD>2-

⑴证明：BD2=2（AD+2）；

⑵若NA3D=里，求匹

4BE

参考答案

1.答案：D

解析：记(1,—1)为点P,则直线Q4的斜率即4=詈=1，直线网的斜率即8=券=4，

因为直线/过点尸(L-1),且与线段A3相交，结合图象，可得直线/的斜率上的取值范围是[1,4].

故选：D.

2.答案：D

解析：因为直观图是等腰直角△ABC',ZB'AC=90°,AO'=1,所以4c=0，根据直观

图中平行于y轴的长度变为原来的一半，所以△ABC的边上的高AC=2A'C=2夜.

故选：D.

3.答案：D

解析：因为CD=2cm，由斜二测画法可知/D'O'A'=45°，

则ZC'O'D'=45°，故△O'C'D'为等腰直角三角形，故O'C'=2cm>

故矩形O'A'B'C'的面积为S'=O'A'xO'C'=6x2=12(cm2)，

sci'।rsMTSTwn口S=-7==2-\/2x12=24A/2(cm")

所以原图形Q4BC的面积是72'

~T

故选：D.

4.答案：C

解析：直线x+7殁一3=0的倾斜角为150°，

所以斜率一定存在，且左=tanl50°=-3，

3

1Q

直线x+—3=0即丁=---x-\——，

mm

所以斜率左=—走=—L，即机=6•

3m

故选：C

5.答案：D

解析：(2+i)(l-i)=2-2i+i-i2=3-i,

故其虚部为—1.

故选：D.

6.答案：A

解析：由C2：(x—4y+(y—3)2=9,可得C]与。2的圆心距是5,又弓+々=5,所以G与外切，故选

A.

7.答案：C

解析：由02=储_匕2=2,则它的焦点坐标是(土行,0卜故选C.

8.答案：D

解析：如图，连接。P,作点P关于直线04的对称点耳，关于直线08的对称点舄，

连接1鸟交Q4于点M，交OB于点N,连接PM,PN,

9A\PM\=\PXM\,|PA^|=|^|,\OF[\^\OP,\=\OP\=2,

此时的周长取得最小值，其最小值为线段打鸟的长度，

51TS1L

因为扇形Q45的弧长为「，半径|。4|=|。6|=2,所以NAO3=—,

612

5汽

根据对称的性质，可得/《0鸟=一，在△《。鸟中，由余弦定理，

6

2222

得由=|O/?|+|C)/>|_2|<9^||o^|cosy=2+2-2X2X2X--

=8+4A/3=(V6+A/2)2,所以山林=逐+应,

即周长的最小值是n+J5.故选D.

9.答案：BD

22_

解析：双曲线工_2L=1的焦点在X轴上，且渐近线方程为y=±­，则直线丫=氐+1与双曲

315

22

线上_21=1的左支只有一个交点，A错误；

315

22

因为3>石，所以直线y=3x与双曲线上—匕=1无交点，C选项错误；

315

y-x+\

联立,九2y1，消V得2%2_%-8=0，

------=1

〔315

A=1—4x2x(—8)>0,所以方程2f_%-8=0有两个根匹，x2，

玉%2=-4<。，所以方程2%2_%.8=0有一正一负根，

y-—1

联立*丁」，消y得一+(2后-4卜+2应-18=0，

-------1

I315

A=(2^-4)2-4X3X(2A/2-18)=240-40A/2>0>所以方程3/+(20—4卜+20—18=0

有两个根工3，工个

.二个<。，所以方程%—正一负根，

22

直线y=x+l，丫=正%+0_1均与双曲线^__匕=1的左、右两支各有一个交点，B,D选项正

315

确.

故选：BD.

10.答案：ACD

解析：对于A,取8c的中点N,连接AN，

c

则4VL3C，且⑷V=疗二F=20，所以△ABC的面积为gx2x20=2VL

假设△ABC内切圆的半径为「,则（•（AB+BC+AC）-r=S^ABC,

所以J_x8xr=2VL解得「=也,故A正确；

22

对于B、C、D,过C作CHJ_AB，垂足为区设与。G交于点M

由等面积法可得lA3.CH=2J5,则C4=述

23

受，得优=里空=也

ABAB9

则MH=CH—CM=^—4，

39

所以5（尤）=。6.。石=£>6・河”=^^（3%—*2）=—±^11—|）+血（0<%<3）,

则s⑴=述，则S（x）在〔0,|）上单调递增，在231上单调递减，

所以S（x）的最大值为百，故B错误,C,D均正确.

故选：ACD.

11.答案：CD

解析：设空间直角坐标系中，

直线小小。对应的方向向量分别为1=（1,0,0），£=（0,1,0），4=（。,0,1），

平面%,0；2，%的法向量分别为“=（石，乂，4），%=（%,%，22>4=（&，%，Z3），

不妨设直线方向向量与法向量的夹角0,-,

2

由题意得,sin-=cos（冢万）=

O'/Jx；+y；+z；2

•兀/-*一、%◎

sin—=cos{e,n）=—

430]）7<?77^?一2

两式相除得％=J5jq，可取々（1,行,1）,同理可取0=（0,百,1），&=（L。,1），

所以sin^=cos%=:,sin2=cos£第=—，sin03=cos[a=—

222

二匚【、I八兀✓"»兀八兀

所以a=—,劣=—,“=-

162334

故选：CD.

A/S'+A/2

12.答?案：-———

3

解析：・・・耳5,月5,

.•.他H即=0c

又亭=-2@,

.♦J可二20c

贝U研=2a+20c,

../狗—陷=2。，

即26c-20c=2a,

.c_1_75+V2

一cT亚―亚―3,

13.答案：—,/_（）5

2,

解析：由z-（3—i）=l—2i，可得z=j^~=（1—21）©+1）=

、73-i101022

故z的虚部为_

2

故答案为：_L

2

14.答案：1

2

解析：由NPEQ=12（r,|PQ|=6a，

可得/月28=60。,卢0|=孚.

【法一】则由椭圆的定义不妨设归制=%,忸£|=2。—%,

x2+(2a-x)2=2(|OF,|2+|OP|2),

由余弦定理和中线长公式得

22

闺闾~=x+(2tz-x)-2x(2tz-x)cos60°o

2x2-4ax=2c2--a1

即426c2—=8。2—8/

3x2-6ax=4c2-442

得2c2=^/,则e2=J1

242

【法二】设P（%,%），5的映=b?tan=cy0，

22

&+至=1

/b2'

%；+=；/

化简得3a2一与+"/+J

43c23c243

即£=《，得e2=i_左=J_e=-

34/4，2

JT

15.答案：(1)A=-

3

(2)c=2A/2

die

解析：(1)由-----sinB=tanA-cosB

a

V3sinCsinA

得：---------sin6=------cosfi,

sinAcosA

/.V3sinCcosA-sinBsinAcosA=sinAcosBsinA,

v3sinCcosA=sinA(sinAcosB+cosAsinB),

即gsinCcosA=sinAsin(A+B),

,/sinC=sin(A+B)>0，

A/3COSA=sinA,

即tanA=

JT

又0<4<兀，：.A=—.

3

1兀

⑵由S=/反sinA及A=]

得：2百='x2gxcx，L解得：c=2垃.

22

71

(3),/0<x<—,

2

7171571

——<XH--<---,

336

所以由cos[x+g)=；

所以sinx=sin[x+^-

兀)71(兀、.兀

=sinxH—cos----cosxH—sin—

3)3I3)3

4A/311733A/3

=---------X------------X-------=----------

727214

16.答案：（1）2;

(2)^/1.

2

解析：（l）NBAC=120。，/^4£）=90。，则/。4£>=30。，

B

D

AC

在△ACD中，-------=----，所以AC=2币sinZADC=277sinZADB-

sinZADCsinZCAD

AB

在AABD中,ZBAD=90°，sinZADB=——，所以AB=46sinZADB-

BD

他AB_4近sinZADB_?

AC~2y/1sinZADB~

⑵在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosNBAC，

即（5&j=A°2+但A。）？-4AC2COS1200，

解得AC=5.AB=10，

则AD=y/BD2-AB2=273-

故△AC。的面积为LAC.ADsin^CAD=巫•

22

17.答案：（1）小巧；

⑵372

解析：⑴..•衣=2丽，

,••屋qBCEMBC

而

=-AJB-AC-sin^BAC=-x6x6xsinf^CAD+-^=18cos^CAD=18x^^=12V2

22I23

,1'SABCE=3S^ABC=4A/^-

（2）解法（1）：•.•cos/G4£>=半，/C4De（O,兀），

smZCAD=-

3

cosZCAB=cosIZCAD+-U-sin^CAD=

I2J3

在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2A5ACcos^G4B=36+36-2x6x6x1-11=96

.•.5。=4痴，二在等腰4醺（2中，cosB==垃=YE

BA63

・・・•△ABD中，cosB也=a=a，：.BD=3瓜

3BDBD

••.AD=NB»-BA=V54-36=30-

解法（2）：由SABCMS^BO+S^C。得，

-x6x6sin|^G4D+-U-x6AD+-x6ADsin^G4D,

2I2）22

AD=3A/2

18.答案：⑴工

3

（2）4+272+276

（3）36

解析：（1）因为AD是角A的平分线，所以/RAD=/"C且D在线段8c上,

AB\sinZBAD_c

所以（氏。;0=

AC\sinZDAC^b

又Z?=3c，所以（BCDh.n；；

（2）因为点D在射线8C上,ZBAC=60°,且AB，AD，所以。在线段BC外，且ZDAC=30°,

ABsinZBAD_csin90°2c=22百

所以（3,。;。）=—=

ACsinZDAC~Z?sin30°b

所以]=石+1°,

2

在ZVlBC中，由余弦定理可得々2=人2+02—2bccosA,

即4+2百02+°2_6+1°2=3,2=]6,解得0=坡（负值己舍去），

4223

所以6=60+2后,

3

所以△ABC的周长为q.c=〃+b+c=4+20+2旗-

t「AB\sin/BADc

⑶因为（BC展Z〉。,所以"初如。7则43皿C，

因为A=120。，所以NSAD=NZMC=60。，

+

又S^A3c=^AA