2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题：数列的应用（含解析）

2025人教B版高中数学选择性必修第三册

5.4数列的应用

基础过关练

题组一等差数列的实际应用

1.小明在超市购买了一个卷筒纸,量得该卷筒纸的内圆直径为4cm,外圆直径为12cm-

共卷了60层.若把各层都视为同心圆，取兀=3.14,则这个卷筒纸的长度（精确到个位）约为

（）

A.17mB.16mC.15mD.14m

2.（多选题）（2024湖南衡阳第二中学期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下

问题:“今有大夫、不更、簪袤、上造、公士,凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几

何?”已知问题中五个爵位是由高到低排列的，古代数学中“以爵次分之”一般表示等差分配.

若上造得三分鹿之二，即上造分得|头鹿，则下列说法正确的有（）

A.大夫分得二鹿

B.不更分得一鹿加三分鹿之一

C.不更、上造分得的鹿之和是簪裹的两倍

D.不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和相等

3.某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特

殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”

为0,每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量

为2,要使得10人的“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（）

A.7B.8C.9D.10

题组二等比数列的实际应用

4.（2024山东荷泽一中月考）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买了一台

价值a元的家电,在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次,

一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r.按复利计算，则小李每

个月应还（)

*1112

Aarfl+r）一口ar(l+r)-

A•声即兀产一1兀

元元

1111

5.（多选题）（2023辽宁朝阳建平实验中学期中）某牧场2022年年初牛的存栏数为500,预计

以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初

的计划存栏数依次为ci,C2,C3,…,cn,…，其中n£N+,则下列结论正确的是（附:1.25幺488

3,1.2682.9860,1.27~3.5832,1.210~6.1917）（）

A.C2=540

B.Cn+l=l.2Cn-60

C.按照计划2028年年初存栏数首次突破1000

D.C1+C2+C3+...+cio~8192

6.（2023山东威海期末）若某政府增加环境治理费用a亿元,每个受惠的居民会将50%的额

外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则a=

（最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1）.

7.（2023北京交通大学附属中学期中）如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角

三角形的两腰上再连接两个正方形……如此下去将得到一个树形图形，称为“勾股树”.若

某“勾股树”含有1023个正方形，且其中最大的正方形的边长为日，则其中最小的正方形的

边长为.

8.（2023福建福州第一中学期末）某林场去年年底木材蓄积量为100万立方米，若树木以每

年20%的增长率生长，计划从今年起,每年年底砍伐x万立方米树木，记an（单位:万立方米）

为第n年年底的木材蓄积量.

⑴求ai,a2及数列｛a“的递推公式；

⑵为了实现经过10年木材蓄积量翻两番（原来的4倍）的目标，则x的最大值是多少?（精确

至U0.1）

参考数据:1.2%5.16,1.21先6.19.

题组三数列的综合应用

9.(2024山东泰安新泰第一中学月考)某城镇为改善当地生态环境,2016年投入资金120万

元，以后每年投入资金比上一年增加10万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加

10%,到2025年该城镇生态环境建设的投资总额大约为(参考数

i®:l.l6-1.77,l.l7-1.95)()

A.1600万元B.1660万元

C.1700万元D.l8n万元

10.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩

上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图，实心点个

数为1,5,12,22,…，被称为五边形数,其中第1个五边形数记作ai=l,第2个五边形数记作

a2=5,第3个五边形数记作a3=12,第4个五边形数记作a4=22,……，第n个五边形数记作an.

已知an-an-i=3n-2(n>2),则前n个五边形数中，实心点的总数为.1参考公

式十+22+32+…+/=帅+1)3+1)

6

.O白色"

151222

11.某村投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后，第一年需支出各项费用n万元,

以后每年支出费用相对前一年增加2万元.从第一年起，每年收入都为36万元.设f(n)(单位:

万元)是前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额).

⑴求f(n)的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；

⑵计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值.

能力提升练

题组一等差数列的应用

1.(2024北京师范大学第二附属中学期中)《九章算术》之后,人们进一步地用等差数列求

和公式来解决更多的问题，如《张丘建算经》卷上第22题为利用等差数列求和公式解决

织布问题.若有一女善织布，从第2天起每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺布，一

个月（按30天计）共织420尺布，则第2天织布的尺数为（）

A.—B.—C.-D.-

292953

2.按照图1~图3的规律，第10个图中圆点的个数为（）

图1图2图3

A.40B.36C.44D.52

3.朱世杰是历史上有名的数学家，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”有如下问

题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人,次日转多七人，每人日支

米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为:官府陆续派遣1864人前往修筑

堤坝，第一天派出64人，从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每

天发大米3升，共发出大米40392升,问修筑堤坝多少天?在这个问题中，堤坝修筑了

天，第8天应发大米升.

题组二等比数列的应用

4.（2024吉林长春东北师范大学附属中学期中）在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,

使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作称为该数列的一次“H扩展”.已知数列1,2,第一

次“H扩展”后得到1,3,2,第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2,那么第十次“H扩展”后得到的数

列的项数为（）

A.1023B.1025C.513D.511

5.（2024四川成都树德中学月考）有一个国王奖励国际象棋发明者的故事，故事里象棋发明

者要求这样的奖励:在棋盘上的64个方格中，第1个方格放1粒小麦，第2个方格放2粒小

麦,……，第k个方格放2皿粒小麦，结果国王拿出全国的小麦也不够.假设能有这么多的小

麦，则这个故事继续如下,将这些小麦用1,2,3,…编号，并按照一定规律逐个抽取幸运小麦,

设第n次随机抽取的幸运小麦的编号为an,若ai=7,接下来按照规律:an+i=a>2an（n©N*）逐

个抽取幸运小麦，则共能抽取的幸运小麦的粒数为（）

A.4B.5C.15D.63

6.（多选题）（2023广东深圳技术大学附属中学月考）在流行病学中，基本传染数Ro是指在没

有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.初始感染者

传染Ro个人为第一轮传染，第一轮被传染的Ro个人每人再传染Ro个人为第二轮传染,……

假设某种传染病的基本传染数Ro=4,平均感染周期为7天,初始感染者为1人，则（参考数

据:log43001~5.8)()

A.第三轮被传染的人数为16

B.前三轮被传染的人数累计为80

C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列

D.被传染人数累计达到1000大约需要35天

题组三数列的综合应用

7.（多选题）某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有

资金2000万元,将其投入生产，到当年年底资金增长了40%,预计以后每年资金增长率与

第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元（t<800）,并将

剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为an万元，则

（）

A.a2=2800-t

7

B.an+i=-an-t

C.an+i>an

D.当t=400时,a3>3800

8.（2022浙江丽水期末）已知某地2020年共发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10

万张，电动型汽车牌照2万张.为响应国家号召，实现“双碳目标”，从2021年起,每年发放的电

动型汽车牌照按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若

某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年

的水平不变.那么从2021年至2030年这十年将累计发放汽车牌照万张.

9.（2023北京东直门中学期中）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的

某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形,

将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两

个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推,每次对

折后都会有两个图形规格相同.如果把第k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk

表示，且Si=咚，S2=哼-，则S4=________;若对折n次，则£Sk=_________.

24fc=i

10.（2024辽宁省实验中学月考）市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给

小张提供了两种贷款方式:①等额本金，即在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数

额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还

款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息，即银行从每月月供款中，先收

剩余本金利息，后收本金，利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供

款中的比例因增加而升高,但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始

首次还款（如2021年7月8日贷款到账，则2021年8月8日首次还款）.已知该笔贷款年限

为25年，月利率为0.4%.

⑴若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5500元,最后一个还款月应还

2510元,试计算该笔贷款的总利息；

⑵若小张采取等额本息的还款方式，银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一

半,已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他

因素)；

⑶对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式?并说明你的理由.

参考数据：1.0043叫331.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.C

信息提取①各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列，记为｛dn｝,且di=4,d60=12;②各层

纸的长度(单位:cm)兀5,而2,...*60也构成等差数列e求卷筒纸的长度(单位:皿)即求等差

数歹U｛兀dn｝的前60项和.

解析由题意可知，各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列，记为｛dn｝,其中di=4,d60=12,

则这个卷筒纸的长度为7idi+7id2+7rd3+...+7rd6o=7r(di+d2+d3+...+d6o)="*；-。)xgg—

《4+12)*

2

60=480x3.14=1507.2cm-15(m).

2.BCD由题意得大夫、不更、簪裹、上造、公士五人分得鹿的数量构成递减的等差数

列，设为｛an｝淇前n项和为Sn,公差为d,

»+10d=5,

由题意得S5=5,a4==所以]„,2

解得(1*所以an=|—|(n—1)=—|n+2,

(d=一小

所以大夫、不更、簪裹、上造、公士各分得鹿|头3头,1头,|头,|头，所以A错误,B正确；

不更、上造分得的鹿之和为g+：=2(头)，所以C正确；

不更、上造分得的鹿之和为2头,大夫、公士分得的鹿之和为|+|=2(头)，所以D正确.故

选BCD.

3.C设电梯所停的楼层是n(2<n<12,n£N*)/不满意度”之和为S,则

S=1+2+...+(n-2)+2x[1+2+...+(12-n)]=+2x(12-w^(13-n)=|(n2-yn)+157=

弘九号)2-手+157,其图象开口向上，对称轴为直线n§,

Z\6/246

又•.♦nCN'.S在n=9时取最小值.故选C.

4.A设小李每个月应还x元，按复利计算，则有x[l+(l+r)+(l+r)2+...+(l+r)10]=a(l+r)11,

即当井翼x=a(l+r)”,解得*=察喘，故选A.

1—(1+r)(l+r)11-1

5.ABD由题意得ci=500,Cn+i=1.2cn-60,故B正确；

C2=L2CI-60=L2X500-60=540,故A正确；

设Cn+l-X=L2(Cn-X),则Cn+l=L2Cn-0.2x,则0.2x=60,解得x=300,；.Cn+i-300=1.2(Cn-300),即数歹U

｛Cn-3OO｝是首项为C1-3OO=2OO,公比为1.2的等比数列，

Cn-300=200x1.2e,则cn=300+200x1.2宜，

4Cn=300+200xl.2nl>l000,则1.2nl>3.5,

V1.26~2.9860,1.27~3.5832,

n-l>7,<*.n>8,

故按照计划2029年年初存栏数首次突破1000,故C错误；

-1_1n10

C1+C2+C3+...+cio=3OOxlO+2OOxi^-=3000+1OOOx(1.2lo-l)-3000

+1000x(6.1917-1)-8192,故D正确.故选ABD.

6.答案200

解析依题意可知,a+ax50%+ax(50%)2+...+ax(50%)i°=妙噌/

1—50%

=400,解得a-200.

7.答案或

解析由题意可知，由下至上,各层正方形的边长构成以手为首项年为公比的等比数列，由

下至上，第n(n©N+)层正方形的个数构成以1为首项,2为公比的等比数歹U.现已知共有1

023个正方形，则有1+2+...+

ix(i-2")

2n.i==1023,.・.n=10,・•.最小的正方形的边长为噂X俘f9

1—22\2/32

8.解析(l)ai=100(l+20%)-x=120-x,a2=ai(l+20%)-x=1.2(120-x)-x=144-2.2x,

an+i=an(l+20%)-x=1.2an-x,n£N+.

(2)由⑴知,an+i=l.2an-x,则an+i-5x=1.2(an-5x),

若x=20,则ai-5x=0,所以数列｛a「5x｝是常数列，所以an-5x=0,即an=100.

若xW20,则ai-5xM,所以数列｛a「5x｝是以ai-5x=120-6x为首项,1.2为公比的等比数列，

所以an-5x=(120-6x)xl.2n-i,即an=(120-6x)xL2n/+5x,当x=20时,上式也成立,

因此an=(120-6x)xl.2n"+5x,neN+.

令aio>4OO,M(120-6x)x1.29+5x>400,

口口12Ox1.2^-400120x5.16—400o心曰1./七日c/

即xW6一x1.29-5-6x5….16-5u-8.4,故x的最大值是8.4.

9.D设2016年到2025年每年投入资金(单位:万元)分别为ai,a2,a3,a4,bi,b2,...,b6.

易知ai,a2,a3,a4为等差数列，且ai=120,公差d=10,其和为4x120+^x10

=540.

易知bi®,…,b6为等比数列，且bi=(120+3xl0)xl.l=165,公比q=l.l,

其和为165X0TI6)=1650x(1.650x(1.77-1)-1271.

1—1.1

所以540+1271=1811.故选D.

10.答案片趣

解析由题意得an=an-an-i+an-i-an-2+...+a2-ai+ai=3n-2+3n-5+...+4+l="0；"0——:故

前n个五边形数中，实心点的总数为%2为2+…+112A也检=三一帅+D3+1)一迎上2=

22x2264

n(n+l)(2n+l)-n(n+l)_n2(n+l)

4—2

n.解析(1)由题意，每年的支出费用(单位:万元)构成首项为n,公差为2的等差数列，

故前n年的总支出费用为Un+誓x2=(n2+10n)万元，

f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64=-(n-13)2+105,nGN+.

・•.当n=13时,f(n)取得最大值105,

即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元.

⑵由(1)知，前n年的年平均纯利润为等=弋上空=[_[+?)+26]万元，

-Zn+->2”=16,当且仅当n="，即n=8时等号成立,...吗-16+26

n7nnn

=10,

即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元.

能力提升练

1.A由题意知每天织布的尺数构成等差数列，设公差为d,则420=30x5+罟d,解得

d嘿...第2天织布的尺数为5+d=^.

2.A由题中图1~图3可判断，从第二个图开始,每个图中圆点的个数比上一个图多4,即每

个图中的圆点数成等差数列，且该数列的首项为4,公差为4,所以第10个图中圆点的个数

为4+9x4=40.

3.答案16;2124

解析由题意知，每天派遣的人数构成等差数列，记为｛an｝,其中ai=64,公差d=7,其前n项和

为Sn,则Sn=64n+普2令Sn=l864,解得n=16（负值舍去）.

又S=64X8+—X7=708,

82

所以第8天应发大米708x3=2124（升）.

4.B设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an,

则第（n+1）次“H扩展”后得到的数列的项数为an+i=2an-l,

••a.n+i-l=2（an-l）,

XVai-l=3-l=2,

...｛an-1｝是以2为首项,2为公比的等比数列，

nn

.,.an-l=2,/.an=2+l,

.,,aio=2lo+l=l025.

5.B由an+i=a^+2anan+i+l=a^+2an+l=（an+l）2,

两边取对数得log2（an+l+1）=21og2（an+1）,

设Cn=log2（an+1）,则Cn+1=2Cn,故｛Cn｝是公比为2的等比数列.

又Cl=log2（7+1）=3,所以Cn=3-2n",即log2（an+l）=3・2n”,所以an+l=23,2";所以an=23'2"^-l.

由放小麦的规则可得小麦的总粒数为1+2+...+263=）。=2641所以23-2nLlW264-l,即

1—2

33七64,得nW5.故选B

6.CD设第n轮被传染的人数为an,易知数列｛a“是首项为4,公比为4的等比数歹U,则

an=4-4"i=4n,所以a3=43=64,故A错误,C正确.

设前n轮被传染的人数为Sn,则Sn=l+与等=因为s=|x44-J=85,故B错误.

1—433333

n+1

令Sn>l000,得［dn+i-Nl000,得4>3001,即n>log43001-1^4.8,An=5.

所以被传染人数累计达到1000大约需要5X7=35（天），故D正确.故选CD.

7.BC第一年年底剩余资金ai=2000x（l+40%）-t=（2800-t）万元，

第二年年底剩余资金a2=aix（l+40%）-t=|al-t=（3920-蔡t）万元，

第三年年底剩余资金a3=a2x（l+40%）-t=|a2-t=（5488-罢）万元,……，

所以第（n+1）年年底剩余资金an+i=anX（l+40%）-t=On-t）万元故A错误,B正确.

因为an=^an—1—t=：6"九-2寸卜

=G)an—2—*t

◎'一++/(丁+—(瞑

=(旷(2800-t)-i^-J

二(旷(28。。」理，；T-l

=(r(2*)+当

72

所以an+i-an=-an—t—an=-an-t

小r。80°‘)+小

=1(旷GBOO-?),

因为t<800,所以2800-y>0,

所以an+l-an>0,即an+l>an,故C正确.

当t=400时,a3=5488-嚓=5488-109^40°^3744<3800,故D错误.故选BC.

8.答案134

解析以2021年为第1年，设第n年发放的燃油型汽车牌照数为an,发放的电动型汽车牌

照数为bn,发放的汽车牌照数为Cn,则｛an｝成等差数列,Cn=an+bn,ai=9.5,an=10-0.511,

所以｛an｝的前10项和为9.5X10+等x(-0.5)=72.5.

bi=2xl.5=3,b2=3xl.5=4.5,b3=