2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题:数列的应用(含解析)_第1页
2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题:数列的应用(含解析)_第2页
2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题:数列的应用(含解析)_第3页
2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题:数列的应用(含解析)_第4页
2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题:数列的应用(含解析)_第5页
已阅读5页,还剩7页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

2025人教B版高中数学选择性必修第三册

5.4数列的应用

基础过关练

题组一等差数列的实际应用

1.小明在超市购买了一个卷筒纸,量得该卷筒纸的内圆直径为4cm,外圆直径为12cm-

共卷了60层.若把各层都视为同心圆,取兀=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)约为

()

A.17mB.16mC.15mD.14m

2.(多选题)(2024湖南衡阳第二中学期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下

问题:“今有大夫、不更、簪袤、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几

何?”已知问题中五个爵位是由高到低排列的,古代数学中“以爵次分之”一般表示等差分配.

若上造得三分鹿之二,即上造分得|头鹿,则下列说法正确的有()

A.大夫分得二鹿

B.不更分得一鹿加三分鹿之一

C.不更、上造分得的鹿之和是簪裹的两倍

D.不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和相等

3.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特

殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”

为0,每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量

为2,要使得10人的“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层()

A.7B.8C.9D.10

题组二等比数列的实际应用

4.(2024山东荷泽一中月考)小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买了一台

价值a元的家电,在购买1个月后的2月1日第一次还款,且以后每月的1日等额还款一次,

一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款),月利率为r.按复利计算,则小李每

个月应还()

*1112

Aarfl+r)一口ar(l+r)-

A•声即兀产一1兀

元元

1111

5.(多选题)(2023辽宁朝阳建平实验中学期中)某牧场2022年年初牛的存栏数为500,预计

以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初

的计划存栏数依次为ci,C2,C3,…,cn,…,其中n£N+,则下列结论正确的是(附:1.25幺488

3,1.2682.9860,1.27~3.5832,1.210~6.1917)()

A.C2=540

B.Cn+l=l.2Cn-60

C.按照计划2028年年初存栏数首次突破1000

D.C1+C2+C3+...+cio~8192

6.(2023山东威海期末)若某政府增加环境治理费用a亿元,每个受惠的居民会将50%的额

外收入用于国内消费,经过10轮影响之后,最后的国内消费总额为400亿元,则a=

(最初政府支出也算是国内消费,结果精确到1).

7.(2023北京交通大学附属中学期中)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角

三角形的两腰上再连接两个正方形……如此下去将得到一个树形图形,称为“勾股树”.若

某“勾股树”含有1023个正方形,且其中最大的正方形的边长为日,则其中最小的正方形的

边长为.

8.(2023福建福州第一中学期末)某林场去年年底木材蓄积量为100万立方米,若树木以每

年20%的增长率生长,计划从今年起,每年年底砍伐x万立方米树木,记an(单位:万立方米)

为第n年年底的木材蓄积量.

⑴求ai,a2及数列{a“的递推公式;

⑵为了实现经过10年木材蓄积量翻两番(原来的4倍)的目标,则x的最大值是多少?(精确

至U0.1)

参考数据:1.2%5.16,1.21先6.19.

题组三数列的综合应用

9.(2024山东泰安新泰第一中学月考)某城镇为改善当地生态环境,2016年投入资金120万

元,以后每年投入资金比上一年增加10万元,从2020年开始每年投入资金比上一年增加

10%,到2025年该城镇生态环境建设的投资总额大约为(参考数

i®:l.l6-1.77,l.l7-1.95)()

A.1600万元B.1660万元

C.1700万元D.l8n万元

10.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩

上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图,实心点个

数为1,5,12,22,…,被称为五边形数,其中第1个五边形数记作ai=l,第2个五边形数记作

a2=5,第3个五边形数记作a3=12,第4个五边形数记作a4=22,……,第n个五边形数记作an.

已知an-an-i=3n-2(n>2),则前n个五边形数中,实心点的总数为.1参考公

式十+22+32+…+/=帅+1)3+1)

6

.O白色"

151222

11.某村投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后,第一年需支出各项费用n万元,

以后每年支出费用相对前一年增加2万元.从第一年起,每年收入都为36万元.设f(n)(单位:

万元)是前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额).

⑴求f(n)的表达式,计算前多少年的纯利润总和最大,并求出最大值;

⑵计算前多少年的年平均纯利润最大,并求出最大值.

能力提升练

题组一等差数列的应用

1.(2024北京师范大学第二附属中学期中)《九章算术》之后,人们进一步地用等差数列求

和公式来解决更多的问题,如《张丘建算经》卷上第22题为利用等差数列求和公式解决

织布问题.若有一女善织布,从第2天起每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺布,一

个月(按30天计)共织420尺布,则第2天织布的尺数为()

A.—B.—C.-D.-

292953

2.按照图1~图3的规律,第10个图中圆点的个数为()

图1图2图3

A.40B.36C.44D.52

3.朱世杰是历史上有名的数学家,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”有如下问

题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支

米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日?”其大意为:官府陆续派遣1864人前往修筑

堤坝,第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每

天发大米3升,共发出大米40392升,问修筑堤坝多少天?在这个问题中,堤坝修筑了

天,第8天应发大米升.

题组二等比数列的应用

4.(2024吉林长春东北师范大学附属中学期中)在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,

使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作称为该数列的一次“H扩展”.已知数列1,2,第一

次“H扩展”后得到1,3,2,第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2,那么第十次“H扩展”后得到的数

列的项数为()

A.1023B.1025C.513D.511

5.(2024四川成都树德中学月考)有一个国王奖励国际象棋发明者的故事,故事里象棋发明

者要求这样的奖励:在棋盘上的64个方格中,第1个方格放1粒小麦,第2个方格放2粒小

麦,……,第k个方格放2皿粒小麦,结果国王拿出全国的小麦也不够.假设能有这么多的小

麦,则这个故事继续如下,将这些小麦用1,2,3,…编号,并按照一定规律逐个抽取幸运小麦,

设第n次随机抽取的幸运小麦的编号为an,若ai=7,接下来按照规律:an+i=a>2an(n©N*)逐

个抽取幸运小麦,则共能抽取的幸运小麦的粒数为()

A.4B.5C.15D.63

6.(多选题)(2023广东深圳技术大学附属中学月考)在流行病学中,基本传染数Ro是指在没

有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.初始感染者

传染Ro个人为第一轮传染,第一轮被传染的Ro个人每人再传染Ro个人为第二轮传染,……

假设某种传染病的基本传染数Ro=4,平均感染周期为7天,初始感染者为1人,则(参考数

据:log43001~5.8)()

A.第三轮被传染的人数为16

B.前三轮被传染的人数累计为80

C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列

D.被传染人数累计达到1000大约需要35天

题组三数列的综合应用

7.(多选题)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有

资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了40%,预计以后每年资金增长率与

第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始,每年年底上缴资金t万元(t<800),并将

剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为an万元,则

()

A.a2=2800-t

7

B.an+i=-an-t

C.an+i>an

D.当t=400时,a3>3800

8.(2022浙江丽水期末)已知某地2020年共发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10

万张,电动型汽车牌照2万张.为响应国家号召,实现“双碳目标”,从2021年起,每年发放的电

动型汽车牌照按前一年的50%增长,燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张,同时规定,若

某年发放的汽车牌照超过15万张,以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年

的水平不变.那么从2021年至2030年这十年将累计发放汽车牌照万张.

9.(2023北京东直门中学期中)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的

某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R的圆形纸,对折1次可以得到两个规格相同的图形,

将其中之一进行第2次对折后,就会得到三个图形,其中有两个规格相同,取规格相同的两

个之一进行第3次对折后,就会得到四个图形,其中依然有两个规格相同,以此类推,每次对

折后都会有两个图形规格相同.如果把第k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk

表示,且Si=咚,S2=哼-,则S4=________;若对折n次,则£Sk=_________.

24fc=i

10.(2024辽宁省实验中学月考)市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房,银行给

小张提供了两种贷款方式:①等额本金,即在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还同等数

额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,因此,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还

款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息,即银行从每月月供款中,先收

剩余本金利息,后收本金,利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低,本金在月供

款中的比例因增加而升高,但月供总额保持不变.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始

首次还款(如2021年7月8日贷款到账,则2021年8月8日首次还款).已知该笔贷款年限

为25年,月利率为0.4%.

⑴若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还5500元,最后一个还款月应还

2510元,试计算该笔贷款的总利息;

⑵若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一

半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他

因素);

⑶对比两种还款方式,你会建议小张选择哪种还款方式?并说明你的理由.

参考数据:1.0043叫331.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.C

信息提取①各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列,记为{dn},且di=4,d60=12;②各层

纸的长度(单位:cm)兀5,而2,...*60也构成等差数列e求卷筒纸的长度(单位:皿)即求等差

数歹U{兀dn}的前60项和.

解析由题意可知,各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列,记为{dn},其中di=4,d60=12,

则这个卷筒纸的长度为7idi+7id2+7rd3+...+7rd6o=7r(di+d2+d3+...+d6o)="*;-。)xgg—

《4+12)*

2

60=480x3.14=1507.2cm-15(m).

2.BCD由题意得大夫、不更、簪裹、上造、公士五人分得鹿的数量构成递减的等差数

列,设为{an}淇前n项和为Sn,公差为d,

»+10d=5,

由题意得S5=5,a4==所以]„,2

解得(1*所以an=|—|(n—1)=—|n+2,

(d=一小

所以大夫、不更、簪裹、上造、公士各分得鹿|头3头,1头,|头,|头,所以A错误,B正确;

不更、上造分得的鹿之和为g+:=2(头),所以C正确;

不更、上造分得的鹿之和为2头,大夫、公士分得的鹿之和为|+|=2(头),所以D正确.故

选BCD.

3.C设电梯所停的楼层是n(2<n<12,n£N*)/不满意度”之和为S,则

S=1+2+...+(n-2)+2x[1+2+...+(12-n)]=+2x(12-w^(13-n)=|(n2-yn)+157=

弘九号)2-手+157,其图象开口向上,对称轴为直线n§,

Z\6/246

又•.♦nCN'.S在n=9时取最小值.故选C.

4.A设小李每个月应还x元,按复利计算,则有x[l+(l+r)+(l+r)2+...+(l+r)10]=a(l+r)11,

即当井翼x=a(l+r)”,解得*=察喘,故选A.

1—(1+r)(l+r)11-1

5.ABD由题意得ci=500,Cn+i=1.2cn-60,故B正确;

C2=L2CI-60=L2X500-60=540,故A正确;

设Cn+l-X=L2(Cn-X),则Cn+l=L2Cn-0.2x,则0.2x=60,解得x=300,;.Cn+i-300=1.2(Cn-300),即数歹U

{Cn-3OO}是首项为C1-3OO=2OO,公比为1.2的等比数列,

Cn-300=200x1.2e,则cn=300+200x1.2宜,

4Cn=300+200xl.2nl>l000,则1.2nl>3.5,

V1.26~2.9860,1.27~3.5832,

n-l>7,<*.n>8,

故按照计划2029年年初存栏数首次突破1000,故C错误;

-1_1n10

C1+C2+C3+...+cio=3OOxlO+2OOxi^-=3000+1OOOx(1.2lo-l)-3000

+1000x(6.1917-1)-8192,故D正确.故选ABD.

6.答案200

解析依题意可知,a+ax50%+ax(50%)2+...+ax(50%)i°=妙噌/

1—50%

=400,解得a-200.

7.答案或

解析由题意可知,由下至上,各层正方形的边长构成以手为首项年为公比的等比数列,由

下至上,第n(n©N+)层正方形的个数构成以1为首项,2为公比的等比数歹U.现已知共有1

023个正方形,则有1+2+...+

ix(i-2")

2n.i==1023,.・.n=10,・•.最小的正方形的边长为噂X俘f9

1—22\2/32

8.解析(l)ai=100(l+20%)-x=120-x,a2=ai(l+20%)-x=1.2(120-x)-x=144-2.2x,

an+i=an(l+20%)-x=1.2an-x,n£N+.

(2)由⑴知,an+i=l.2an-x,则an+i-5x=1.2(an-5x),

若x=20,则ai-5x=0,所以数列{a「5x}是常数列,所以an-5x=0,即an=100.

若xW20,则ai-5xM,所以数列{a「5x}是以ai-5x=120-6x为首项,1.2为公比的等比数列,

所以an-5x=(120-6x)xl.2n-i,即an=(120-6x)xL2n/+5x,当x=20时,上式也成立,

因此an=(120-6x)xl.2n"+5x,neN+.

令aio>4OO,M(120-6x)x1.29+5x>400,

口口12Ox1.2^-400120x5.16—400o心曰1./七日c/

即xW6一x1.29-5-6x5….16-5u-8.4,故x的最大值是8.4.

9.D设2016年到2025年每年投入资金(单位:万元)分别为ai,a2,a3,a4,bi,b2,...,b6.

易知ai,a2,a3,a4为等差数列,且ai=120,公差d=10,其和为4x120+^x10

=540.

易知bi®,…,b6为等比数列,且bi=(120+3xl0)xl.l=165,公比q=l.l,

其和为165X0TI6)=1650x(1.650x(1.77-1)-1271.

1—1.1

所以540+1271=1811.故选D.

10.答案片趣

解析由题意得an=an-an-i+an-i-an-2+...+a2-ai+ai=3n-2+3n-5+...+4+l="0;"0——:故

前n个五边形数中,实心点的总数为%2为2+…+112A也检=三一帅+D3+1)一迎上2=

22x2264

n(n+l)(2n+l)-n(n+l)_n2(n+l)

4—2

n.解析(1)由题意,每年的支出费用(单位:万元)构成首项为n,公差为2的等差数列,

故前n年的总支出费用为Un+誓x2=(n2+10n)万元,

f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64=-(n-13)2+105,nGN+.

・•.当n=13时,f(n)取得最大值105,

即前13年的纯利润总和最大,且最大值为105万元.

⑵由(1)知,前n年的年平均纯利润为等=弋上空=[_[+?)+26]万元,

-Zn+->2”=16,当且仅当n=",即n=8时等号成立,...吗-16+26

n7nnn

=10,

即前8年的年平均纯利润最大,且最大值为10万元.

能力提升练

1.A由题意知每天织布的尺数构成等差数列,设公差为d,则420=30x5+罟d,解得

d嘿...第2天织布的尺数为5+d=^.

2.A由题中图1~图3可判断,从第二个图开始,每个图中圆点的个数比上一个图多4,即每

个图中的圆点数成等差数列,且该数列的首项为4,公差为4,所以第10个图中圆点的个数

为4+9x4=40.

3.答案16;2124

解析由题意知,每天派遣的人数构成等差数列,记为{an},其中ai=64,公差d=7,其前n项和

为Sn,则Sn=64n+普2令Sn=l864,解得n=16(负值舍去).

又S=64X8+—X7=708,

82

所以第8天应发大米708x3=2124(升).

4.B设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an,

则第(n+1)次“H扩展”后得到的数列的项数为an+i=2an-l,

••a.n+i-l=2(an-l),

XVai-l=3-l=2,

...{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,

nn

.,.an-l=2,/.an=2+l,

.,,aio=2lo+l=l025.

5.B由an+i=a^+2anan+i+l=a^+2an+l=(an+l)2,

两边取对数得log2(an+l+1)=21og2(an+1),

设Cn=log2(an+1),则Cn+1=2Cn,故{Cn}是公比为2的等比数列.

又Cl=log2(7+1)=3,所以Cn=3-2n",即log2(an+l)=3・2n”,所以an+l=23,2";所以an=23'2"^-l.

由放小麦的规则可得小麦的总粒数为1+2+...+263=)。=2641所以23-2nLlW264-l,即

1—2

33七64,得nW5.故选B

6.CD设第n轮被传染的人数为an,易知数列{a“是首项为4,公比为4的等比数歹U,则

an=4-4"i=4n,所以a3=43=64,故A错误,C正确.

设前n轮被传染的人数为Sn,则Sn=l+与等=因为s=|x44-J=85,故B错误.

1—433333

n+1

令Sn>l000,得[dn+i-Nl000,得4>3001,即n>log43001-1^4.8,An=5.

所以被传染人数累计达到1000大约需要5X7=35(天),故D正确.故选CD.

7.BC第一年年底剩余资金ai=2000x(l+40%)-t=(2800-t)万元,

第二年年底剩余资金a2=aix(l+40%)-t=|al-t=(3920-蔡t)万元,

第三年年底剩余资金a3=a2x(l+40%)-t=|a2-t=(5488-罢)万元,……,

所以第(n+1)年年底剩余资金an+i=anX(l+40%)-t=On-t)万元故A错误,B正确.

因为an=^an—1—t=:6"九-2寸卜

=G)an—2—*t

◎'一++/(丁+—(瞑

=(旷(2800-t)-i^-J

二(旷(28。。」理,;T-l

=(r(2*)+当

72

所以an+i-an=-an—t—an=-an-t

小r。80°‘)+小

=1(旷GBOO-?),

因为t<800,所以2800-y>0,

所以an+l-an>0,即an+l>an,故C正确.

当t=400时,a3=5488-嚓=5488-109^40°^3744<3800,故D错误.故选BC.

8.答案134

解析以2021年为第1年,设第n年发放的燃油型汽车牌照数为an,发放的电动型汽车牌

照数为bn,发放的汽车牌照数为Cn,则{an}成等差数列,Cn=an+bn,ai=9.5,an=10-0.511,

所以{an}的前10项和为9.5X10+等x(-0.5)=72.5.

bi=2xl.5=3,b2=3xl.5=4.5,b3=

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论