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文档简介
2025人教B版高中数学选择性必修第三册
5.4数列的应用
基础过关练
题组一等差数列的实际应用
1.小明在超市购买了一个卷筒纸,量得该卷筒纸的内圆直径为4cm,外圆直径为12cm-
共卷了60层.若把各层都视为同心圆,取兀=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)约为
()
A.17mB.16mC.15mD.14m
2.(多选题)(2024湖南衡阳第二中学期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下
问题:“今有大夫、不更、簪袤、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几
何?”已知问题中五个爵位是由高到低排列的,古代数学中“以爵次分之”一般表示等差分配.
若上造得三分鹿之二,即上造分得|头鹿,则下列说法正确的有()
A.大夫分得二鹿
B.不更分得一鹿加三分鹿之一
C.不更、上造分得的鹿之和是簪裹的两倍
D.不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和相等
3.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特
殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”
为0,每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量
为2,要使得10人的“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层()
A.7B.8C.9D.10
题组二等比数列的实际应用
4.(2024山东荷泽一中月考)小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买了一台
价值a元的家电,在购买1个月后的2月1日第一次还款,且以后每月的1日等额还款一次,
一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款),月利率为r.按复利计算,则小李每
个月应还()
*1112
Aarfl+r)一口ar(l+r)-
A•声即兀产一1兀
元元
1111
5.(多选题)(2023辽宁朝阳建平实验中学期中)某牧场2022年年初牛的存栏数为500,预计
以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初
的计划存栏数依次为ci,C2,C3,…,cn,…,其中n£N+,则下列结论正确的是(附:1.25幺488
3,1.2682.9860,1.27~3.5832,1.210~6.1917)()
A.C2=540
B.Cn+l=l.2Cn-60
C.按照计划2028年年初存栏数首次突破1000
D.C1+C2+C3+...+cio~8192
6.(2023山东威海期末)若某政府增加环境治理费用a亿元,每个受惠的居民会将50%的额
外收入用于国内消费,经过10轮影响之后,最后的国内消费总额为400亿元,则a=
(最初政府支出也算是国内消费,结果精确到1).
7.(2023北京交通大学附属中学期中)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角
三角形的两腰上再连接两个正方形……如此下去将得到一个树形图形,称为“勾股树”.若
某“勾股树”含有1023个正方形,且其中最大的正方形的边长为日,则其中最小的正方形的
边长为.
8.(2023福建福州第一中学期末)某林场去年年底木材蓄积量为100万立方米,若树木以每
年20%的增长率生长,计划从今年起,每年年底砍伐x万立方米树木,记an(单位:万立方米)
为第n年年底的木材蓄积量.
⑴求ai,a2及数列{a“的递推公式;
⑵为了实现经过10年木材蓄积量翻两番(原来的4倍)的目标,则x的最大值是多少?(精确
至U0.1)
参考数据:1.2%5.16,1.21先6.19.
题组三数列的综合应用
9.(2024山东泰安新泰第一中学月考)某城镇为改善当地生态环境,2016年投入资金120万
元,以后每年投入资金比上一年增加10万元,从2020年开始每年投入资金比上一年增加
10%,到2025年该城镇生态环境建设的投资总额大约为(参考数
i®:l.l6-1.77,l.l7-1.95)()
A.1600万元B.1660万元
C.1700万元D.l8n万元
10.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩
上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图,实心点个
数为1,5,12,22,…,被称为五边形数,其中第1个五边形数记作ai=l,第2个五边形数记作
a2=5,第3个五边形数记作a3=12,第4个五边形数记作a4=22,……,第n个五边形数记作an.
已知an-an-i=3n-2(n>2),则前n个五边形数中,实心点的总数为.1参考公
式十+22+32+…+/=帅+1)3+1)
6
.O白色"
151222
11.某村投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后,第一年需支出各项费用n万元,
以后每年支出费用相对前一年增加2万元.从第一年起,每年收入都为36万元.设f(n)(单位:
万元)是前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额).
⑴求f(n)的表达式,计算前多少年的纯利润总和最大,并求出最大值;
⑵计算前多少年的年平均纯利润最大,并求出最大值.
能力提升练
题组一等差数列的应用
1.(2024北京师范大学第二附属中学期中)《九章算术》之后,人们进一步地用等差数列求
和公式来解决更多的问题,如《张丘建算经》卷上第22题为利用等差数列求和公式解决
织布问题.若有一女善织布,从第2天起每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺布,一
个月(按30天计)共织420尺布,则第2天织布的尺数为()
A.—B.—C.-D.-
292953
2.按照图1~图3的规律,第10个图中圆点的个数为()
图1图2图3
A.40B.36C.44D.52
3.朱世杰是历史上有名的数学家,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”有如下问
题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支
米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日?”其大意为:官府陆续派遣1864人前往修筑
堤坝,第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每
天发大米3升,共发出大米40392升,问修筑堤坝多少天?在这个问题中,堤坝修筑了
天,第8天应发大米升.
题组二等比数列的应用
4.(2024吉林长春东北师范大学附属中学期中)在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,
使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作称为该数列的一次“H扩展”.已知数列1,2,第一
次“H扩展”后得到1,3,2,第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2,那么第十次“H扩展”后得到的数
列的项数为()
A.1023B.1025C.513D.511
5.(2024四川成都树德中学月考)有一个国王奖励国际象棋发明者的故事,故事里象棋发明
者要求这样的奖励:在棋盘上的64个方格中,第1个方格放1粒小麦,第2个方格放2粒小
麦,……,第k个方格放2皿粒小麦,结果国王拿出全国的小麦也不够.假设能有这么多的小
麦,则这个故事继续如下,将这些小麦用1,2,3,…编号,并按照一定规律逐个抽取幸运小麦,
设第n次随机抽取的幸运小麦的编号为an,若ai=7,接下来按照规律:an+i=a>2an(n©N*)逐
个抽取幸运小麦,则共能抽取的幸运小麦的粒数为()
A.4B.5C.15D.63
6.(多选题)(2023广东深圳技术大学附属中学月考)在流行病学中,基本传染数Ro是指在没
有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.初始感染者
传染Ro个人为第一轮传染,第一轮被传染的Ro个人每人再传染Ro个人为第二轮传染,……
假设某种传染病的基本传染数Ro=4,平均感染周期为7天,初始感染者为1人,则(参考数
据:log43001~5.8)()
A.第三轮被传染的人数为16
B.前三轮被传染的人数累计为80
C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列
D.被传染人数累计达到1000大约需要35天
题组三数列的综合应用
7.(多选题)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有
资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了40%,预计以后每年资金增长率与
第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始,每年年底上缴资金t万元(t<800),并将
剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为an万元,则
()
A.a2=2800-t
7
B.an+i=-an-t
C.an+i>an
D.当t=400时,a3>3800
8.(2022浙江丽水期末)已知某地2020年共发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10
万张,电动型汽车牌照2万张.为响应国家号召,实现“双碳目标”,从2021年起,每年发放的电
动型汽车牌照按前一年的50%增长,燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张,同时规定,若
某年发放的汽车牌照超过15万张,以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年
的水平不变.那么从2021年至2030年这十年将累计发放汽车牌照万张.
9.(2023北京东直门中学期中)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的
某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R的圆形纸,对折1次可以得到两个规格相同的图形,
将其中之一进行第2次对折后,就会得到三个图形,其中有两个规格相同,取规格相同的两
个之一进行第3次对折后,就会得到四个图形,其中依然有两个规格相同,以此类推,每次对
折后都会有两个图形规格相同.如果把第k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk
表示,且Si=咚,S2=哼-,则S4=________;若对折n次,则£Sk=_________.
24fc=i
10.(2024辽宁省实验中学月考)市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房,银行给
小张提供了两种贷款方式:①等额本金,即在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还同等数
额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,因此,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还
款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息,即银行从每月月供款中,先收
剩余本金利息,后收本金,利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低,本金在月供
款中的比例因增加而升高,但月供总额保持不变.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始
首次还款(如2021年7月8日贷款到账,则2021年8月8日首次还款).已知该笔贷款年限
为25年,月利率为0.4%.
⑴若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还5500元,最后一个还款月应还
2510元,试计算该笔贷款的总利息;
⑵若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一
半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他
因素);
⑶对比两种还款方式,你会建议小张选择哪种还款方式?并说明你的理由.
参考数据:1.0043叫331.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C
信息提取①各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列,记为{dn},且di=4,d60=12;②各层
纸的长度(单位:cm)兀5,而2,...*60也构成等差数列e求卷筒纸的长度(单位:皿)即求等差
数歹U{兀dn}的前60项和.
解析由题意可知,各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列,记为{dn},其中di=4,d60=12,
则这个卷筒纸的长度为7idi+7id2+7rd3+...+7rd6o=7r(di+d2+d3+...+d6o)="*;-。)xgg—
《4+12)*
2
60=480x3.14=1507.2cm-15(m).
2.BCD由题意得大夫、不更、簪裹、上造、公士五人分得鹿的数量构成递减的等差数
列,设为{an}淇前n项和为Sn,公差为d,
»+10d=5,
由题意得S5=5,a4==所以]„,2
解得(1*所以an=|—|(n—1)=—|n+2,
(d=一小
所以大夫、不更、簪裹、上造、公士各分得鹿|头3头,1头,|头,|头,所以A错误,B正确;
不更、上造分得的鹿之和为g+:=2(头),所以C正确;
不更、上造分得的鹿之和为2头,大夫、公士分得的鹿之和为|+|=2(头),所以D正确.故
选BCD.
3.C设电梯所停的楼层是n(2<n<12,n£N*)/不满意度”之和为S,则
S=1+2+...+(n-2)+2x[1+2+...+(12-n)]=+2x(12-w^(13-n)=|(n2-yn)+157=
弘九号)2-手+157,其图象开口向上,对称轴为直线n§,
Z\6/246
又•.♦nCN'.S在n=9时取最小值.故选C.
4.A设小李每个月应还x元,按复利计算,则有x[l+(l+r)+(l+r)2+...+(l+r)10]=a(l+r)11,
即当井翼x=a(l+r)”,解得*=察喘,故选A.
1—(1+r)(l+r)11-1
5.ABD由题意得ci=500,Cn+i=1.2cn-60,故B正确;
C2=L2CI-60=L2X500-60=540,故A正确;
设Cn+l-X=L2(Cn-X),则Cn+l=L2Cn-0.2x,则0.2x=60,解得x=300,;.Cn+i-300=1.2(Cn-300),即数歹U
{Cn-3OO}是首项为C1-3OO=2OO,公比为1.2的等比数列,
Cn-300=200x1.2e,则cn=300+200x1.2宜,
4Cn=300+200xl.2nl>l000,则1.2nl>3.5,
V1.26~2.9860,1.27~3.5832,
n-l>7,<*.n>8,
故按照计划2029年年初存栏数首次突破1000,故C错误;
-1_1n10
C1+C2+C3+...+cio=3OOxlO+2OOxi^-=3000+1OOOx(1.2lo-l)-3000
+1000x(6.1917-1)-8192,故D正确.故选ABD.
6.答案200
解析依题意可知,a+ax50%+ax(50%)2+...+ax(50%)i°=妙噌/
1—50%
=400,解得a-200.
7.答案或
解析由题意可知,由下至上,各层正方形的边长构成以手为首项年为公比的等比数列,由
下至上,第n(n©N+)层正方形的个数构成以1为首项,2为公比的等比数歹U.现已知共有1
023个正方形,则有1+2+...+
ix(i-2")
2n.i==1023,.・.n=10,・•.最小的正方形的边长为噂X俘f9
1—22\2/32
8.解析(l)ai=100(l+20%)-x=120-x,a2=ai(l+20%)-x=1.2(120-x)-x=144-2.2x,
an+i=an(l+20%)-x=1.2an-x,n£N+.
(2)由⑴知,an+i=l.2an-x,则an+i-5x=1.2(an-5x),
若x=20,则ai-5x=0,所以数列{a「5x}是常数列,所以an-5x=0,即an=100.
若xW20,则ai-5xM,所以数列{a「5x}是以ai-5x=120-6x为首项,1.2为公比的等比数列,
所以an-5x=(120-6x)xl.2n-i,即an=(120-6x)xL2n/+5x,当x=20时,上式也成立,
因此an=(120-6x)xl.2n"+5x,neN+.
令aio>4OO,M(120-6x)x1.29+5x>400,
口口12Ox1.2^-400120x5.16—400o心曰1./七日c/
即xW6一x1.29-5-6x5….16-5u-8.4,故x的最大值是8.4.
9.D设2016年到2025年每年投入资金(单位:万元)分别为ai,a2,a3,a4,bi,b2,...,b6.
易知ai,a2,a3,a4为等差数列,且ai=120,公差d=10,其和为4x120+^x10
=540.
易知bi®,…,b6为等比数列,且bi=(120+3xl0)xl.l=165,公比q=l.l,
其和为165X0TI6)=1650x(1.650x(1.77-1)-1271.
1—1.1
所以540+1271=1811.故选D.
10.答案片趣
解析由题意得an=an-an-i+an-i-an-2+...+a2-ai+ai=3n-2+3n-5+...+4+l="0;"0——:故
前n个五边形数中,实心点的总数为%2为2+…+112A也检=三一帅+D3+1)一迎上2=
22x2264
n(n+l)(2n+l)-n(n+l)_n2(n+l)
4—2
n.解析(1)由题意,每年的支出费用(单位:万元)构成首项为n,公差为2的等差数列,
故前n年的总支出费用为Un+誓x2=(n2+10n)万元,
f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64=-(n-13)2+105,nGN+.
・•.当n=13时,f(n)取得最大值105,
即前13年的纯利润总和最大,且最大值为105万元.
⑵由(1)知,前n年的年平均纯利润为等=弋上空=[_[+?)+26]万元,
-Zn+->2”=16,当且仅当n=",即n=8时等号成立,...吗-16+26
n7nnn
=10,
即前8年的年平均纯利润最大,且最大值为10万元.
能力提升练
1.A由题意知每天织布的尺数构成等差数列,设公差为d,则420=30x5+罟d,解得
d嘿...第2天织布的尺数为5+d=^.
2.A由题中图1~图3可判断,从第二个图开始,每个图中圆点的个数比上一个图多4,即每
个图中的圆点数成等差数列,且该数列的首项为4,公差为4,所以第10个图中圆点的个数
为4+9x4=40.
3.答案16;2124
解析由题意知,每天派遣的人数构成等差数列,记为{an},其中ai=64,公差d=7,其前n项和
为Sn,则Sn=64n+普2令Sn=l864,解得n=16(负值舍去).
又S=64X8+—X7=708,
82
所以第8天应发大米708x3=2124(升).
4.B设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an,
则第(n+1)次“H扩展”后得到的数列的项数为an+i=2an-l,
••a.n+i-l=2(an-l),
XVai-l=3-l=2,
...{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
nn
.,.an-l=2,/.an=2+l,
.,,aio=2lo+l=l025.
5.B由an+i=a^+2anan+i+l=a^+2an+l=(an+l)2,
两边取对数得log2(an+l+1)=21og2(an+1),
设Cn=log2(an+1),则Cn+1=2Cn,故{Cn}是公比为2的等比数列.
又Cl=log2(7+1)=3,所以Cn=3-2n",即log2(an+l)=3・2n”,所以an+l=23,2";所以an=23'2"^-l.
由放小麦的规则可得小麦的总粒数为1+2+...+263=)。=2641所以23-2nLlW264-l,即
1—2
33七64,得nW5.故选B
6.CD设第n轮被传染的人数为an,易知数列{a“是首项为4,公比为4的等比数歹U,则
an=4-4"i=4n,所以a3=43=64,故A错误,C正确.
设前n轮被传染的人数为Sn,则Sn=l+与等=因为s=|x44-J=85,故B错误.
1—433333
n+1
令Sn>l000,得[dn+i-Nl000,得4>3001,即n>log43001-1^4.8,An=5.
所以被传染人数累计达到1000大约需要5X7=35(天),故D正确.故选CD.
7.BC第一年年底剩余资金ai=2000x(l+40%)-t=(2800-t)万元,
第二年年底剩余资金a2=aix(l+40%)-t=|al-t=(3920-蔡t)万元,
第三年年底剩余资金a3=a2x(l+40%)-t=|a2-t=(5488-罢)万元,……,
所以第(n+1)年年底剩余资金an+i=anX(l+40%)-t=On-t)万元故A错误,B正确.
因为an=^an—1—t=:6"九-2寸卜
=G)an—2—*t
◎'一++/(丁+—(瞑
=(旷(2800-t)-i^-J
二(旷(28。。」理,;T-l
=(r(2*)+当
72
所以an+i-an=-an—t—an=-an-t
小r。80°‘)+小
=1(旷GBOO-?),
因为t<800,所以2800-y>0,
所以an+l-an>0,即an+l>an,故C正确.
当t=400时,a3=5488-嚓=5488-109^40°^3744<3800,故D错误.故选BC.
8.答案134
解析以2021年为第1年,设第n年发放的燃油型汽车牌照数为an,发放的电动型汽车牌
照数为bn,发放的汽车牌照数为Cn,则{an}成等差数列,Cn=an+bn,ai=9.5,an=10-0.511,
所以{an}的前10项和为9.5X10+等x(-0.5)=72.5.
bi=2xl.5=3,b2=3xl.5=4.5,b3=
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