2025人教B版高二年级数学上学期期末教学质量模拟检测（一）（含解析）

2024-2025学年上学期人教B版高二年级期末教学质量模拟检测

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知椭圆鼻+?=1（。〉0）与直线％—4丁—6=0交于48两点，点〃（2,—1）满足2闻0=45,

则a的值为（）

A,472B,6C.屈0.277

2.如图，在平行六面体ABC。—AgCiR中，N是的中点，设4、=。，AB=b,AD=c,

则4N等于（）

B.—6Z+Z?+C

1

D.a—b7H—c

2

3.在正四面体ABCD中，E为棱的中点，AB=^,则A£>-AE=（）

A.76B,3C.2V6D.6

4.关于空间向量a,b,c,下列运算错误的是（）

A.a・b=b,a

^.\a+b\'C=a-c+b'C

C.Aa-b=A\a-b

D.".处C=

5.下列可使非零向量。，b,c构成空间的一组基底的条件是()

A.a,b,c两两垂直

B.b=2c

C.a=mb+nc

D.a+b+c=0

6.中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为()

2222

A.土+匕=1B.匕+土与

4242

2222

C.匕+土=1D.土+工=1

164164

7.如图，在正方体A3CD—44£口中，AB=bM,N分别是棱AB，CC1的中点，则点A到

直线的距离为()

A.@C.lD.-

4123

8.直线/：3%-y+4=0的一个方向向量为()

A.(3,-1)B.(3,l)C.(l,3)

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4：(加之+2)x—2y+3=0和直线12:3mx—2y+4=0平行，则m=()

A—1B.lC.2D,一2

10.若｛。涉,。｝是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有()

A.a,2b,3c

B.〃+b,b+c,c+a

C.a+2b,2b+3c,3a-9c

D.a-b-c,b,c

11.已知实数满足方程犬2+y2—4%+1=o,则下列说法不正确的是()

A.丁一九的最大值为痛一2B.12+,2的最大值为7+

C.上的最大值为3D.x+y的最大值为2+G

x2

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知一个球的半径为2,若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为.

13.若复数z=3也是纯虚数，则实数加=.

1+mi

14.若点A(0,4)和点5(—1,3)关于直线I:mx+y+n=0对称，则m+n=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在平面四边形ABCZ)中(BQ在AC的两侧),AD=CD=1,/ADC=120°.

⑴若NZMB=90°,3C=述，求ZABC；

2

(2)若A6=2BC,求四边形ABC。的面积的最大值.

16.在八ARC中，内角A,B,C的对边分别为〃，4c,向量m=(也。,/?),〃=(3cosAsinB)且加〃九•

⑴求角A;

⑵若〃=J7，c=2,求△A3C内切圆的半径.

17.记△ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知A=2_B.

(1)若Z?=2,c=lf求。；

⑵若b+c=y/3a，求B.

18.已知△A5C的三个内角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,且sinA+百cosA=0,〃=7,

b=3.

(1)求A和c；

(2)已知点。在线段上，且A。平分N8AC,求的长.

19.记ZVlBC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知J^sinA-cosA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,J5bsinC=csin2B,求ZVlBC的周长.

参考答案

1.答案：A

解析：因为A,B两点在直线上，

故可设A（4m+6,m）,5（4〃+6,

故AM=（T-4机一1一瓶），AB=（4n-4m,n-m）

因为2AM=AB,

2(-4—4m)=4n—4m

故＜

2(—1-m)=n—m

即〃=—2—机，

击I山金…8m+8-4-4m

整理得到-------7=------

(2m+l)rn+4m

ho

解得加=—1或加=—,

6

-2<m<2

而<-2<-2-m<2,

故加=一1土，故。=4夜，

6

故选：A.

2.答案：A

解析：因为在平行六面体A3CD-中，N是的中点,

所以AN=45+3N=44+4与+工3c.

1

-—AA^+AB+—AD

=-a+b+-c

2

故选：A.

3.答案：B

解析：

c

因为E为棱BC的中点，所以AE=；(A3+AC),

所以ADAE=g(Ar>AB+Ar)AC).

=g[#xnCOSy+A/6x痴COS/]=3

故选：B.

4.答案：D

解析：由数量积运算的交换律可得〃/二6•〃,选项A正确.

由数量积运算的分配率可得(a+6)・c=〃・c+b・c,选项B正确.

由数量积运算的数乘结合律可得Aa-b=A^a-b),选项C正确.

(a必)・c表示与c共线的向量，a•(&•<?)表示与a共线的向量，

与a・伍-c)不一定相等，选项D错误.

故选：D.

5.答案：A

解析：由基底定义可知只有非零向量a,b,c不共面时才能构成空间中的一组基底.

对于A,因为非零向量a,b,c两两垂直,

所以非零向量a，b,c不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；

对于B,b=Ac,则Z?,c共线，

由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，

所以。与b,，共面，故B错误；

对于C,由共面定理可知非零向量a,b,c共面，故C错误；

对于D,a+b+c=0

即。=-b-c,故由共面定理可知非零向量a,b,4共面，故D错误.

故选：A.

6.答案：D

解析：设椭圆方程为JWC2+ny2=l(m>0,〃>0)，

1

m=一,

1—116

把点(4,0),(0,2)代入得:"'所以<

4〃=1,1

n=—

故选：D.

7.答案：B

解析：如图，以。为原点，DA，DC，DD｛方向为x，乃z轴建立空间直角坐标系，如下所示:

易知A(1,O』)，N(0,l,g

==W=^1+7+7=T；

取a=AM=[o,g,7),

_2r1H11)/痴痴痴]

则a'』，a-u=-^-＞

412

151_7174

所以点A到直线MN的距离为M—(a.”¥

\4-24-12

故选：B.

8.答案：C

解析：由3x-y+4=0,得y=3x+4,所以直线斜率为％=3,

又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为v=(l,左)，所以直线3x-y+4=0的一个方向向量为

(1,3)，

故选:C.

9.答案：BC

解析:因4/%，故得-2(m2+2)=-2x3m且4(m2+2)片3x3m，

2

可推得M_3OT+2=0,解得=1或阴=2，经检验均符合题意.

故选:BC.

10.答案：ABD

解析：由已知a,b,c不共面，则a,2b,3c不共面，A选项正确;

设a+b=x(b+c)+y(c+a)=ya+xO+(x+y)c

y=l

即k=1方程无解，

x+y=0

所以。+》，b+c,c+a不共面，B选项正确；

设匕+2/?=M(2〃+36)+〃(3〃-9c)=3na+2mb+(3m-9n)c

3〃=1fm=l

即＜2加=2,解得：＜1,

n=—

3m—9n=013

即a+2b=（2b+3c）+g（3a—9d）

所以a+2匕，lb+3c,3a—9c共面，C选项错误；

设a—b—C=+,因为｛a,仇c｝是空间的一个基底

所以方程无解，这表明三个向量不共面，D选项正确；

故选：ABD

11.答案：CD

解析：由题意知方程#+丁_4x+1=0即（x-2）2+J?=3表示圆，圆心为（2,0）泮径为也,

对于A,设y—x=z，则只需直线x—y+z=0与圆（x—2>+y2=3有公共点，

则篙^收解得一向2K而-2,

即y—x的最大值为"_2，A正确；

对于8,设.=旧+寸，其几何意义为圆（x-2）2+/=3上的点到原点的距离，

而（X—2）2+y2=3上的点到原点距离的最大值为2+百，

即r的最大值为2+G，故尤2+y2的最大值为（2+6）2=7+4百，B正确；

对于C,设左=上,则fcc—y=o,则直线近―y=o和圆（x—2）2+y2=3有公共点,

X

则娶L<6,解得一石《左46,即上的最大值为出，c错误；

对于D,设x+y=机，则直线x+y-根=0与圆（x-2）2+y2=3有公共点，

则君驾〈收解得一"+24屋面+2，

VI2+1

即x+y的最大值为痛+2，D错误;

故选:CD

12.答案：371

解析：由球的性质可得截面为圆面，则截面圆的半径为万ZF=73，

故面积为兀(6丁=3兀，

故答案为：371.

13.答案：o

解析：因为7=m+i=(m+i)(l—〃疝)=2加+(1-2i是纯虚数，

乙•

1+mi21+m21+m

所以2m=0,且1一加2工。即加=()•

故答案为：0.

14.答案：_2

解析：因为点A(0,4)和点3(—1,3)关于直线I:mx+y+n=0对称，

所以/是线段AB的垂直平分线，由AB_L/，可得3—4.(_晒=_1，解得“2=1.

-1-0

又A3的中点坐标为(一工,1］，所以—』+1+”=0,解得〃=—3・

(22)22'

^m+n=-2-

故答案为：—2•

15.答案：⑴NABC=45。

(2)1+半

4

解析：⑴在△ZMC中，由余弦定理得AC2=DAr+DC2-2DADCcosZADC=3,即AC=月.

因为AZ)=CD=1,NADC=120。,所以/ZMC=30。，

又ZDAB=90°,所以ZBAC=ZBAD-ZDAC=60°在AABC中，由正项定理得

ACBC

sin/ABC—sin/BAC'

A6

ACsinABAC"义人V2

所以sinNABC=------------------=------4=——，

BC3722

2

又BC=逑>6=人。,所以448。〈60。,所以乙铝。二45。.

2

⑵设BC=m（m>0）,所以BA=2m.

衣人2._Ar222

加2+4m—3_5m—3

在△ABC中,由余弦定理得cosZABC=——

2BABC4m24m2

所以ZVIBC的面积SuJBA.BCsinNABC=工加•Zmjl—(独二=-j-pf/w2+16,

22V(4m214Vl3)

所以Smax=1,此时根2=I，

又△ZMC的面积S^DAC=gD4•DCsinZADC=毛，

所以四边形ABCD的面积的最大值为Smax+S^DAC=l+当.

16.答案：（1）A=-；

3

（2）5―-01

6

解析：⑴因为向量m=（&!,。）与〃=（385人,51118）平行，所以百asiaB_36cos4=0，

由正弦定理得J§sinAsiaB-3sinBcosA=0，

又siaBw0，所以^/3sinA—3cosA=0，所以tanA=A/3，

又人£（0,兀），所以A=］；

（2）由余弦定理得=方2+，—2%OSA，所以7=Z?2+2?—2Z?，解得/?=3或Z?=—1（舍），

所以△ABC的面积S=-bcsinA=巫，

22

设△ABC内切圆的半径为厂，

所以S=g(a+6+c)r=gx(2+3+r=空,解得厂50-后

26

17.答案：（1）而；

⑵王

6

解析：(1)解法1：A=25=>sinA=sin2B=>sinA=2sinBcosB

a2+c2-b22,2,

=>a=2b----------n〃-b-be

lac

代入〃2一4=2x1，得a=&,

hcc

解法2：由正弦定理可得：——：

sinnsinesm(兀-36)

,、21

代入=丁7TD\化向2sin3B=sinB,

smBsin(兀一3与

则2sin(2B+B)=2sin2BcosB+2cos2BsinB=sinB，

则4sinBcos2B+2cos2BsinB=sinB?

A/6,

因为sinBwO,所以4cos23+2(28523—1)=1，解得:cosB=

7,

由余弦定理可得：cosB='+"一、=逅，

lac4

代入d±l二1=逅化简得2/一瓜―6=0,解得°=几(负值舍)・

2a4

(2)解法1：

b+c=y/3ac-2b

<njl，

a2-b1-bea=13b

6b2A/3

cosB-、/一/又5£(0,71)

2ac4折2~2

所以3='.

6

解法2：因为/?+C=J3Q，所以siaB+sinC=JIsinA，

代入sinB+sin(71-3B)=石sin25,

sinB+sin3B=sinB+sin2BcosB+cos2BsinB=6sin2B，

sinB+2sinBcos2B+(2cos2B-l)sinB=2A/3sinBcosB，

因为sin5w0，贝1J1+2cos23+(2cos?3—1)=2百cos5，

化简：4(cosB)2=26cos3,

当cos_B二0时，则5=—，则A二=舍去不¥两足题意;

2~

当COS_Bw0时,贝Ucos_B='因为5£（0,兀），所以3='.

26

2jr

18.答案：（1）A=—，c=5

3

（2）AD=—

8

解析：（1）在△ABC中，由sinA+百cosA=0,得tanA=—J§\而0<AVTI,则A

3

由余弦定理，得/=〃+。2—2bccosA,即49=9+C?+3C,即c?+3c—40=0,

而c>0,所以c=5.

2兀

（2）由（1）知，A--,由AD平分