2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习10正方形存在性问题含答案

/专题10正方形存在性问题（2024•无锡）1．已知二次函数的图象经过点和点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2024•绥化三模）2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为．(1)求二次函数的解析式；(2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标；(3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2023秋•斗门区期末）3．【实践探究】数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过?请通过计算进行说明（货船看作长方体）；(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于，求的最大值．②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．（2024•滨州模拟）4．综合与探究如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．（2024•甘肃模拟）5．如图，二次函数的图象交x轴于点A，，交y轴于点，点M是直线上方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴，垂足为点D，交于点E．(1)求二次函数的解析式和点A的坐标；(2)连接，交y轴于点F．①当时，求点M的坐标；②连接，四边形有可能是正方形吗？如果有可能，此时的正切值是多少？如果没可能，请说明理由．（2024•香洲区三模）6．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上.(1)如图1，已知点O0,0，，在抛物线上，则________；_______；(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由；(3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.（2024春•天河区校级月考）7．在平面直角坐标系中，已知抛物线，点A在抛物线G的对称轴上，且在x轴上方．(1)求抛物线G与x轴交点的坐标（用含a的式子表示）；(2)已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在抛物线对称轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值，如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；(3)在抛物线G上存在两点B、D，且B、D在对称轴右侧，点B在点D的左侧，使得四边形是正方形，求动点的纵坐标y，在的最大值．参考答案：1．(1)(2)存在，点的坐标为或或或或或．【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；（2）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴这个二次函数的表达式为；（2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为，当为正方形的边时，①∵，∴，过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，∵轴，∴，∴，则，设，则，∴，∴点N的纵坐标为，即，∵以，，，为顶点的四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，把代入得：，解得：，（舍去），∴；②如图：构造，和①同理可得：，，设，则，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；③如图：构造，和①同理可得：，，设，则，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；④如图：构造，和①同理可得：，，设，则，∴，，，把代入得：，解得：，（舍去），∴；当为正方形对角线时，⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，易得，∴，设，则，和①同理可得：，∴，∴四边形为正方形，∴，∴，则，∴，设，则，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；⑥如图：构造，同理可得：，设，则，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；综上：点的坐标为或或或或或．【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．2．(1)(2)或(3)存在，或或．【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似和正方形存在性，图形结合和分类讨论是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点作轴，垂足为，交于点，设，表示出点坐标，再利用列式求解；（3）利用先探究是等腰直角三角形，再确定点的方法，分三种：①过点作交坐标轴于点；②过点作交坐标轴于点；③作的垂直平分线交坐标轴于点．本题利用此方法，再结合是等腰直角三角形即可确定．【详解】（1）解：把，代入，得，解得，∴二次函数的解析式为；（2）如图，过点作轴，垂足为，交于点，当时，解得，∴，当时，得，∴，设直线解析式为，代入，，得，解得，∴直线解析式为，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，解得或，∴或；（3）∵，，∴，∵，∴，根据题意分三种情况：①如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，此时四边形是矩形，∵，，∴，∴，∴四边形是正方形，∴，∴；②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，同①可得四边形是正方形，，∴；③如图，∵是等腰直角三角形，∴点与点重合，∴作点关于直线的对称点，∴四边形是正方形，∴，∴，综上，存在，或或．3．(1)(2)该货船不能通过，理由见解析(3)①；②或【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入，即可求解；（2）根据题意将代入解析式，得出，而轮船安全通过需要米，即可求解；（3）①依题意，得出，是等腰直角三角形，则，进而设点，则，表示出，根据二次函数的性质，即可求解；②由①可得，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时，是等腰直角三角形，将代入，即可求解．【详解】（1）解：依题意，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，测得当拱顶高离水面时，水面宽，则抛物线经过，当时，，即，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：依题意，当宽度为、高度为的货船通过，∴，将代入解析式得：，，∴该货船不能通过；（3）解：①∵，抛物线的对称轴为直线，∵交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，∴，∴，∵，则是等腰直角三角形，∴，∴，设点，则，∴∴当时，取得最大值为,则的最大值为．②由①可得，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时，是等腰直角三角形，∴，且，∵，∴的纵坐标为，将代入解得：或∴的横坐标为，或，又∵G为直线上一动点，∴或．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，线段周长问题，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．(1)(2)（1，2）(3)(4)【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．【详解】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得，，解这个方程组得，抛物线的解析式为：；（2）解：如图，设直线AB的解析式为：，把点A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得，直线AB的解析式为：，由（1）知抛物线的对称轴为，点C为抛物线对称轴上一动点，，当点C在AB上时，最小，把x=1代入，得y=2，点C的坐标为（1，2）；（3）解：如图，由（2）知直线AB的解析式为y=x+1设，则，则，当时，DE有最大值为，（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，直线与y轴的交点为D（0，1），，，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作，则四边形为正方形，依题意，知D与F重合，点的坐标为（1，1）；②以为中心分别作点F，点C点的对称点，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，综上所述，点N的坐标为：【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．5．(1)二次函数的解析式为，；(2)①点M的坐标为1,4；②有可能，．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①求得直线的解析式，点M的坐标为，则点E的坐标为，由，求得，，根据，代入数据即可求解；②证明四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，，∴，解得，∴二次函数的解析式为，令，则，解得，，∴；（2）解：①∵，，设直线的解析式为，代入得，解得，∴直线的解析式为，设点M的坐标为，则点E的坐标为，∴，，，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，解得（舍去）或，∴点M的坐标为1,4；②由①得，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，当时，四边形是正方形，∴，解得，∴，，∴．【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查的知识点有二次函数的图象及其性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判断和性质，解直角三角形．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．6．(1)－1；－1(2)不存在，理由见解析(3)，满足的等量关系为或【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入函数解析式即可求出a、m的值；（2）假设存在，由，，可知，因为四边形为菱形，所以，可求出，因此可求得点的坐标，根据轴，亦可求出点的坐标，又已知点在抛物线上，而，因此假设不成立，即不存在四边形为菱形；（3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，然后分情况讨论：①当点B，均在轴左侧时，②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，③当点B，均在轴右侧时，证明，因此利用，，即可得出结论．【详解】（1）解：，在抛物线上，将代入，得，，将代入，得，（2）不存在．理由如下：假设存在，由（1）得，，，设与轴交于点，，四边形为菱形，，．点的坐标为，轴，点的坐标为，又点在抛物线上，而，假设不成立，不存在四边形为菱形；（3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，①当点B，均在轴左侧时，如图1，，，，，，，，又，，，，，化简得，，；②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，如图2，，，，，同理可得，，，，化简得，或；③当点B，均在轴右侧时，如图3，，，，，同理可得，，，，化简得，，，综上所述，，满足的等量关系为或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，正方形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，本题的关键是熟练运用二次函数的性质解题．7．(1)或(2)是定值，且值为；(3)【分析】（1）令，解方程即可求解；（2）连接、交点为，过作轴于，过作于，证明，，，，则，，设，则，，，，进而因式分解得出，即可求解；（3）根据（2）可得又，则，，分别得出的关系式，根据动点的纵坐标，进而根据确定的范围，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：当，则，即解得：∴抛物线与轴交点的坐标或（2）解：由（1）可得对