2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型解读与提分训练（原卷版）

专题09三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互

补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航一

例题讲模型

.........................................................1

模型1.垂美四边形模型.......................................................................1

模型2.378和578模型........................................................................6

习题练模型,

..........................................................................

例题讲模型

模型1.垂美四边形模型

垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。

模型证明

图1图2

条件：如图1,已知四边形/BCD,对角线/C、AD交于点。，且/C_L3。；

结论：©AB^+CD2=AD2+BC1-,②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四

2

证明：'：AC±BD,；./AOD=/AOB=/BOC=/C0D=9Q°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2=AB2+CD2；AC.LBD,S^ABC=~ACBO,S^ADC=-AC-DO

22

S四边彩ABCD=SAABLS^ADC=-ACBO+—ACDO=-ACBD°

条件：如图2,在矩形48co中，P为CO边上有一点，连接/P、BP；结论：DP2+BP2=4P2+P。

证明：：四边形/BCD是矩形，:.NADP=NBCP=90。,AD=BC,

由勾股定理得，，，；./尸2一。尸=56一。？2,二/p2+cp2=5p2+Dp2。

条件：如图3（或图4）,在矩形N2CD中，尸为矩形内部（外部）任意一点，连接4P、BP,CP,DP；

结论：AP2+PC2=DP2+BP2

证明：过点尸作40的垂线，交40于点E,交BC于点、F,则四边形4BFE和CDEb为矩形,

图3

AE=BF,DE=CF,由勾股定理得：则/尸？=/£?十尸石2,尸。2=尸尸2十°尸2

BP2=BF2+PF2,PD~=DE2+PE2,PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2,

PB2+PD2=BF-+PF2+DE2+PE2，PA2+PC2=PB2+PD2.（图4的证明和图3证明相同）

用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。

模型运用

例1.（23-24八年级上•河北保定•期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”

四边形NBC。，对角线/C,BD交于点、O.若/。=1,BC=4,贝!等于（）

A.15B.16C.17D.20

例2.（23-24九年级上•天津•期末）如图，四边形4BCD两条对角线/C、8。互相垂直，且/C+BD=I0.设

（1）用含尤的式子表示：田四也%BS=；（2）当/BCD四边形的面积为8cn?时，求/C、2。的长;

例3.（2023・江苏盐城•一模）如图，四边形4BCD的对角线/C和BO互相垂直，AC+2BD^\Q,则四边形

ABCD面积最大值为.

例4.（2024•陕西•一模）已知矩形48CD中有一点尸，满足E4=l,尸2=2,PC=3,则PD=.

BC

例5.（23-24八年级下•浙江宁波・期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.

了解性质：如图1：已知四边形/BCD中，AC1BD.垂足为O,则有：AB2+CD2=AD1+BC\

性质应用：（1）如图1,四边形/BCD是垂美四边形，若ND=2,3c=4CD=3,贝！|N3=_；

性质变式：（2）如图2,图3,P是矩形/BCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论:

AP2+CP2=BP2+DP2.请以图3为例将重要结论证明出来.

图5

P^+PC2

应用变式：（3）①如图4,在矩形N8C。中，。为对角线交点，P为30中点，则=10；（写出证

PB2

明过程）；②如图5,在V/5C中，CA=4,CB=6,。是VN2C内一点，且CD=2,ZADB=90°,则的

最小值是.

例6.（23-24八年级下•江西赣州•期末）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形/BCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABC。是垂美四边形吗？请说

明理由；(2)性质探究：如图1,四边形/BCD的对角线NC、BD交于点、O,ACLBD.经探究发现垂美四

边形/BCD的两组对边AB?,CD?和AD?,BC?有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明.

(3)解决问题：如图3,分别以R3/C8的直角边/C和斜边为边向外作正方形/CFG和正方形48DE,

连结C£、BG、GE.已知/C=4,AB=5,求GE的长.

例7.(2024•山东德州•一模)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3

中，/尸,8£是V4BC的中线，AFLBE,垂足为P.则称V4BC为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,4B=c.

②如图2,当N/8E=3(F,c=4时，求。和6的值.

⑵请猜想/、/和,2三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程.

(3)如图4,在边长为3的菱形/3CD中，。为对角线NC、8。的交点，瓦尸分别为线段/。,。。的中点,

连接厂并延长交于点分别交ND于点G,〃，求M^+心产的值.

模型2.378和578模型

模型解读

378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。

当我们遇到两个三角形的三边长分别为3,7,8和5,7,8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是

因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的

等边三角形。

模型证明

条件：当两个三角形的边长分别为3,7,8和5,7,8时；

结论：①这两个三角形的面积分别为6百、10&;②3、8与5、8夹角都是60。；③将两个三角形长为7

的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。

证明：如图2,过点C作于点设贝ij4W=3+x,：.ZCMB=90°,

在RA4CA/中：CAfi=AC2-AM2,在RfABCAf中：CkP=BO-BAfi,

：.AC1-AM2=BC1-B\f,即82-(3+x)2=72-N,解得X=1,，CM=4,，CM=46，

：.SMBC^-AB-CM=^«3«4>/3=6V3,'：CM=4,AC=8,ZACM=30°,ZCAM=60°o

22

如图3,过点下作于点N,设£W=x则川£=5个，ZFND=90°,

在R/ADNF中：NF2=DF2-DN2,在RtAENF中:NF1=£1^-NE1,

:.DP-DN^EP-NE2,即72-N=82-(5-x)2,解得x=l,NE=4,：.NF=4拒,

：.SADEF^-'DE-NF=1«5«4A/3=10V3,,:NE=4,EF=8,ZEFN=30°,/FEN=60。。

22

：.CM=NF=4也,/CMB=NFND=90°,"：CB=DF=1,C.RtNBCM与RtADNF,：.ZCBM=ZFDN,

'：ZCBM+ZABC=180°,；.ZFDN+ZABC=180°,'：AC=EF=8。

.♦•将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形(如图4)o

模型运用

例1.（2023•浙江温州•九年级校考期末）边长为5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是（）.

A.90°B.150°C.135°D.120°

例2.（2023•江苏•八年级专题练习）已知在△48C中，48=8,AC=I,BC=3,则48=（）.

A.45°B.37°C.60°D.90°

例3.（2023•绵阳市•八年级专题练习）如图，zUBC的边/B=8,BC=5,/C=7.求2C边上的高.

例4.（2023八年级上•江苏•专题练习）已知在V/3C中，AB=1，AC=8,BC=5,则V/3C的面积为

（）

A.17.5B.20C.10V3D.28

例5.（23-24九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）在VN2C中，48=8,ZB=60°,AC=1,则3C的长

为

习题练模型

1.（2023•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，四边形/BCD的两条对角线互相垂直，AC,3。是方程

--16x+60=0的两个解，则四边形/BCD的面积是（）

C.16D.32

2.（23-24八年级下•安徽合肥•期末）点尸是矩形A8CD内一点，且满足尸4=2,PB=3,PC=4,则的

值为（）

A.3B.5C.V5D.VTT

3.（2024・天津和平・二模）如图，四边形的两条对角线/C,BD相交于点。，点O在线段/C上，且

AC±BD,AB=5,BC=3,若4C+BD=10.有下列结论：①/C的取值范围是2</C<8；②/C的长有两

个不同的值满足四边形的面积为⑵③四边形油皿面积最大值为万.其中，正确结论的个数有（）

D

4.（2023•山东八年级课时练习）已知在A/BC中，AB=7,AC=8,BC=5,则/C=（）.

A.45°B.37°C.60°D.90°

5.（2024•四川广元•二模）如图，在四边形/BCD中，4D〃3C,对角线/C,2。互相垂直，AC=12,BD=8,

则4D+BC的值是

AD

6.（2022•山东枣庄•模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形

ABCD,对角线NC、3。交于点O.若4D=3,BC=5,则/炉+C£>2=.

7.（23-24九年级上•广东梅州•期中）四边形的对角线互相垂直且长分别为8和12,则面积为.

8.（23-24八年级•浙江•期末）当两个三角形的边长分别为3,7,8和5,7,8时，则这两个三角形的面积

之和是.

9.（23-24八年级下•河北石家庄•阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所

示的“垂美"四边形ABCD,对角线NC,BD交于点、O.

OC=4,贝!]8C=(2)若AD=6,BC=E，贝!lN82+Cr>2=

(3)若48=m,BC=n,CD=c,AD=d,则〃?，”，c,d之间的数量关系是

10.（23-24八年级下•广东广州•期末）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两

边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍.即：如图，在VN8C中，AD是8C边上

的中线，则有/笈+/。2=2（m2+/7叫.请运用上述结论，解答下面问题.如图，点P为矩形N8C。外部

一点，已知P/=PC=3,若PD=1,则/C的取值范围为

11.（2022・湖北•一模）如图，P是矩形N3CD外一点，有以下结论：①S/MB+S/CD：；S朝/BCD②

S』BC=SJMC+SAPCD③PA2+PC2=PB?+PD2；④若PD_L尸瓦则尸、4、B、C、。在同一个圆上其中正确的

序号是__________

12.（23-24九年级上•广东广州•期中）如图，四边形/BCD的两条对角线/C,8。互相垂直，且/C+3O=8,

13.（23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为

奇妙四边形.如图1,四边形/BCD中，若AC=BD,AC1BD,则称四边形N3C。为奇妙四边形.根据

奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘

积的一半.根据以上信息回答:

（1）矩形奇妙四边形（填“是”或“不是”）；（2）如图2,已知。。的内接四边形/BCD是奇妙四边形，

若OO的半径为8,NBCD=60。.求奇妙四边形/BCD的面积；（3）如图3,已知。。的内接四边形48CZ）是

奇妙四边形.请猜测/O和BC的位置关系，并证明你的结论.

14.（23-24九年级上•广东东莞・期中）如图，四边形4BCD中，AD=CD,AB=BC,我们把这种两组邻

边分别相等的四边形叫做“筝形”

（1）试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；

⑵已知筝形48co的对角线/C,8。的长度为整数值，且满足/C+BD=6.设/C的长为x,四边形48co

的面积为S,试求x为多少时，S有最大值，最大值是多少？

15.（2024•山西晋城•三模）请阅读列材料，并完成相应的任务：

三角形中线定理

三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系.

阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期

的三大数学家.

中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1,在V/2C中,

点。为8c的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，^^AB2+AC2=2AD2+2BD2.下面是该定理的证明过程（部

分）：

证明：过点/作3c于点£,如图2,在中，AB2=AE2+BE2，

同理可得：AC2=AE2+CE2,AD2=AE-+DE2»

证明的方便，不妨设2D=CD=x,DE=y,

AB"+AC1=AE~+BE1+AE-+CE2=...

（2）如图3,在V4BC中，点。为3C的中点，48=4,/C=10,5C=8,贝何。的长为；

⑶如图4,已知平行四边形Z3CD中，/C和BD相交于点O,设/C=a,BD=b,请直接用含。，6的代

数式表示2（N炉+BC?）的值；（4）如图5,已知平行四边形N8C。内接于。。，点尸为。。内一点，若/3=6,

SC=8,PB=4,PD=1,请直接写出。尸的长.

16.(24-25九年级上•广东深圳・月考)垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.

⑴如图1,四边形/5C。是“垂美四边形”，猜想CD?与叱、/方之间的数量关系：,并说明

理由.

(2)如图2,分别以的直角边NC和斜边48为边向外作正方形/C尸G和正方形NADE,连接

BG、CE,若AB=4,AC=2近，求EG的长.

(3)如图3,在RtA^SC中，/ABC=90°,点尸是RtZ\4BC外一点，连接8尸，AP=/C=10,已知\BC-AB\=2,

若以N、B、C、尸为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出月尸的长.

17.(2024•山东德州一模)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,

AF,BE是VN8C的中线，AFLBE,垂足为P.则称VN8C为“中垂三角形”.设5c=a,AC=b,AB=c.

②如图2,当//BE=30。，c=4时，求。和6的值.

⑵请猜想力、/和,2三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程.

(3)如图4,在边长为3的菱形4BCD中，。为对角线ZC,8。的交点，E,尸分别为线段/O,。。的中点,

连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交40于点G,H,求林^+必产的值.

18.（2023•山东青岛•二模）如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角

形”，例如图1,图2,图3中，AF,BE是V/BC的中线，AFLBE,垂足为尸，称V4BC这样的三角形为

“中垂三角形"，设3C=a,AC=b,AB—c.

(1)如图1,当/4BE=45。，c=