2025年中考数学几何模型归纳训练：全等与相似模型之手拉手模型解读与提分训练（原卷版）

专题20全等与相似模型之手拉手模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知

识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，

熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，

方便掌握。

■

目录导航

J1

例题讲模型

模型1.手拉手模型（全等模型）.......................................

模型2.手拉手模型（相似模型）.......................................

习题练模型

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

例题讲模型I

模型1.手拉手模型（全等模型）

将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，

也叫旋转型全等。其中：公共顶点/记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左

手”，第二个顶点记为“右手”。

4（兴）

等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进

行解决。S/S型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

1）双等边三角形型

条件：4/台。和△OCE均为等边三角形，。为公共点；连接BE,AD交于点尸。

结论：①咨△BCE；②BE=AD；®ZAFM=ZBCM=60°；④CF平分NBFD。

证明：和△£>（7£均为等边三角形，：.BC=AC,CE=CD,NBCA=/ECD=60。

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即：ZBCE=ZACD,：.4ACD%ABCE（&4S）,

：.BE=AD,NCBE=NCAD,又</CMB=/AMF,：.ZAFM=ZBCM=60°,

过点。作。1/£）,。。13£,则/。。8=/5=90。，又；NCBE=NCAD,BC=AC,.MBCQ咨AACPCAAS）

：.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分NBFD。

2)双等腰直角三角形型

条件：△A8C和△£>(“均为等腰直角三角形，C为公共点；连接交于点N。

结论：①△/(7£>咨△8CE；②BE=AD；③/ANM=NBCM=90。；④CN平分/BND。

证明：•.•△4BC和△DCE均为等腰直角三角形，：.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=90°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,^ZBCE=ZACD,MACD沿4BCE(SAS),

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又,：NCMB=NAMN,：.ZANM=ZBCM=90°,

过点。作。1/£>,。0〃3£,则/。。2=/。"=90°,又；/CBE=/CAD,BC=AC,：.^BCQ^/\ACPCAAS)

：.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分NBND。

3)双等腰三角形型

条件：BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD,C为公共点；连接BE,40交于点尺

结论：①AACD会ABCE；®BE=AD；®ZBCM=ZAFM；④CF平分NBFD。

证明：VZBCA=ZECD,：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,BPZBCE=ZACD,

又；BC=AC,CE=CD,：.4ACD咨ABCE(SAS),：,BE=AD,NCBE=NCAD,

又,?ZCMB=ZAMF,：.ZBCM=ZAFM,过点C作C尸工则ZCQB=ZCPA=90°,

又；NCBE=/C4D,BC=AC,.MBCQ当AACP(44S)

：.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分/BFD。

4）双正方形形型

条件：四边形/8C。和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接8G,ED交于点、N。

结论：①△2CG0△OCE；®BG=DE；③/BCM=/DNM=90。；④CN平分N37VE。

证明：：四边形N2CD和四边形CE尸G都是正方形，，2C=/C,CE=CG,ZBCD=ZECG=9Q°

：.ZBCD+ZDCG=ZECG+ZDCG,即/BCG=/DC£,LBCG^/\DCE(S4S),

：.BG=DE,ZCBG=ZCDE,又,：/CMB=NDMN,ZBCM=ZDNM=90°,

过点C作CP1D£,CQ1BG〃|J/CPD=/CP8=9O。，又,：/CBG=/CDE,BC=DC,：.^BCQ^/\DCP(AAS)

：.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分NBND。

模型运用

例1.（23-24八年级下•辽宁丹东•期中）如图，点4,B,C在同一条直线上，△48。，ABCE均为等边三

角形，连接/E和CD,/£分别交CD、BD于点、M,P,CD交BE于点、Q,连接尸。，BM,下面结论：①

△ABEADBC；②/。凶4=60。；③为等边三角形；④MB平分N/MC；⑤NPEQ=30。.其中结论

正确的有（）

C.3个D.4个

例2.（2024•山东泰安•中考真题）如图1,在等腰RtZUBC中，ZABC=90°,AB=CB,点D,E分别在NB,

CB上,DB=EB,连接4E,CD,取NE中点尸，连接BF.

（1）求证：CD=2BF,CD1BF；（2）将ADBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出3F与C。的位置关系:；②求证：CD=2BF.

例3.（2023•山东•九年级专题练习）已知，AASC为等边三角形，点。在边8C上.

【基本图形】如图1,以4D为一边作等边二角形V4DE,连结C£.可得CE+CZ）=/C（不需证明）.

【迁移运用】如图2,点尸是/C边上一点，以。尸为一边作等边三角“JEF.求证：CE+CD^CF.

【类比探究】如图3,点尸是/C边的延长线上一点，以。尸为一边作等边三角SE厂.试探究线段CE,CD,

CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由.

例4.（23-24九年级上•浙江台州•期末）如图，将V/3C绕点/顺时针旋转得到并使C点的对应

点D点落在直线8c上.（1）如图1,证明：DA平分NEDC；（2）如图2,NE与AD交于点R若

ZAFB=50°,ZB=20°,求NA4c的度数；（3）如图3,连接8E,若班=13,ED=5,CD=17,则ND的

长为.

图1图2图3

例5.（2022•浙江湖州•统考中考真题）已知在用A/BC中，ZACB=90°,a,6分别表示的对边,

a>b.记2U5C的面积为S.

（1）如图1,分别以NC,C3为边向形外作正方形NCDE和正方形2Gpe.记正方形/CDE的面积为国，正

方形8GFC的面积为星.①若岳=9,昆=16,求S的值；②延长创交G3的延长线于点N,连结FN,

交3c于点交AB于点、H.若（如图2所示），求证：S「S、=2S.

（2）如图3,分别以NC,C3为边向形外作等边三角形NCO和等边三角形C5E,记等边三角形/CD的面积

为耳，等边三角形C8E的面积为星.以为边向上作等边三角形48尸（点C在A/B尸内），连结£尸，CF.若

EFLCF,试探索邑-，与S之间的等量关系，并说明理由.

例6.（2024•黑龙江•九年级期中）已知RtA/BC中，AC=BC,ZACB=90°,歹为N5边的中点，且DF=EF,

ZDFE=90°,。是3c上一个动点.如图1,当。与C重合时，易证：CD2+DB2^2DF2；

Cl）当。不与C、8重合时，如图2,CD、DB、。厂有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明.

（2）当。在8C的延长线上时，如图3,CD、DB、有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明.

模型2.手拉手模型（相似模型）

模型解读

“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们称这样的图

形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个

三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。

模型证明

1）手拉手相似模型（任意三角形）

条件:如图，NBAC=/DAE=a,丝="=上；

AEAC

结论：MDEsAABC,MBDsAACE；—=k<ZBFC=ZBAC.

EC

证明：：任=任=左，:.四=里,VZBAC=ZDAE=a,：.LADE^/\ABC,

ABACABAC

VABAC=ADAE=a,：./BAC-/DAC=NDAE-/DAC,：.ZBAD=ZCAE,

...更=必=左，："BDsAACE,.•.些=丝=左，ZABD=ZACE,：.ZBFC=ZBAC=ZDAE=a,

AEACECAC

2）手拉手相似模型（直角三角形）

条件:如图，ZAOB=ZCOD=90°,—=—=^；

ODOB

结论：AAOCSABOD；£=k，ACLBD,SAnrn=-ABxCD.

BDABCD2

证明：；ZAOB=NCOD=90°,：.ZAOB-ZBOC=ZCOD-ZBOC,：.ZAOC=ZBOD,

；2£=21=k，,,jOCs^BOD,；.£=2A=k,ZOAB=ZOBD,

ODOBBDOB

：

AZAEB=ZAOB=90°,.AC±BD,SiAR8rLnD=-2AB^CD-

3)手拉手相似模型(特殊的等边三角形与等腰直角三角形)

条件:M为等边三角形48c和DM的边/C和。尸的中点；结论：ABMEsMMF；些=百.

CF

证明：为等边三角形48c和。跖的边/C和。尸的中点，，2丝=旦=6，/BMC=/EMF=90°,

MCMF

：.ZBMC-ZEMC=ZEMF-ZEMC,AZBME=ZCMF,：.LBME^/\CMF,：.-=—=J3,

CFCM

条件:“5C和/£>£是等腰直角三角形；结论：AABDsdacE；ZACE=90°；丝=注.

CE2

证明：•.,△4BC和4DE是等腰直角三角形，.•.丝=丝=1,ZBAC=ZDAE=45°,

ACAE2

AZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,：.ZBAD=ZCAE,：.^ABD^/\ACE,

.BDABV2

ZACE=ZABD=90°

,~CE~^C~~2

模型运用

例I.(2023•江西•一模)图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的

旋转变换进行研究.

(1)［观察猜想］如图I,MBC是以4B、NC为腰的等腰三角形，点。、点£分别在Z8、ACh.且DE〃BC,

将△/0£绕点A逆时针旋转aC0°<a<360°).请直接写出旋转后BD与CE的数量关系；

(2)［探究证明］如图2,LACB是以NC为直角顶点的等腰直角三角形，DE〃BC分别交4c与AB两边于点E、

点。.将A/DE绕点N逆时针旋转至图中所示的位置时，(1)中结论是否仍然成立.若成立，请给出证明;

若不成立，请说明理由；

(3)［拓展延伸］如图3,3。是等边A/BC底边NC的中线，AELBE,AE〃BC.将MAE■绕点8逆时针旋转到

△E8E,点4落在点歹的位置，若等边三角形的边长为4,当时，求出。产的值.

E

图2

图1

图3

例2.(2024•山东枣庄•二模)综合实践

问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度

存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1,在中，D5=90°，AB=BC=4,分别取,

/C的中点。，E,作V/DE.如图2所示，将V/DE绕点/逆时针旋转，连接BD,CE.

(1)探究发现：旋转过程中，线段8。和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.

(2)性质应用：如图3,当DE所在直线首次经过点8时，求CE的长.

图1图2

例3.（2024・四川成都•中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个

顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片/2C和中，

AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90°.

【初步感知】（1）如图1,连接3。，CE,在纸片NOE绕点A旋转过程中，试探究当的值.

CE

【深入探究】（2）如图2,在纸片4DE绕点A旋转过程中，当点。恰好落在“3C的中线期的延长线上时,

延长瓦）交4C于点尸，求CF的长.

【拓展延伸】（3）在纸片/OE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直

接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.

E

例4.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知

识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

⑴发现问题：如图1,在“3C和△4EF中，AB=AC,AE=AFABAC=AEAF=30°,连接BE,CF,

延长BE交CF于点D.则■与C尸的数量关系：，NBDC=

(2)类比探究：如图2,在“3C和中，AB=AC,AE=AF,ABAC=AEAF=120°,连接BE,CF,

延长BE,尸C交于点。.请猜想BE与CF的数量关系及N8OC的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,“3C和△/所均为等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=90°,连接BE,CF,且点B,

E,尸在一条直线上，过点A作⑷/LBP,垂足为点则3尸，CF,之间的数量关系：；

(4)实践应用：正方形48CD中，48=2,若平面内存在点?满足NBPD=90。，PD=1,贝U$△.=.

例5.(2024•山西•模拟预测)综合与实践

问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知V/3C和AZ)EF均为等边三角

形，。是3c和。尸的中点，将S斯绕点。顺时针旋转.

猜想证明：(1)如图①，在9跖旋转的过程中，当点£恰好在CS的延长线上时，AB交EF于点、H,试判

断△BEa的形状，并说明理由；(2)如图②，在3E尸旋转的过程中，当点£恰好落在边NC上时，连接CF,

试猜想线段/E与线段CF的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若AB=25DE=2,连接班"设。£所

在直线与8C所在直线交于点在△£)£下旋转的过程中，当点、B,F,£在同一直线上时，在。两点

中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时3尸的长.

图③

例6.(2024•山东济南•模拟预测)

(1)问题发现：如图1,矩形/EFG与矩形/BCD相似，且矩形4EFG的两边分别在矩形48CD的边43和4D

上，BC:AB=1:密,连接C尸.线段CF与。G的数量关系为二

(2)拓展探究：如图2,将矩形NEFG绕点/逆时针旋转，其它条件不变.在旋转的过程中，(1)中的结论是

否仍然成立，请利用图2进行说理.

(3)解决问题：当矩形ABCD的边AD=时，点E为直线CD上异于D,C的一点，以AE为边作正方形AEFG,

点，为正方形/EFG的中心，连接ZVZ,若/。=4,DE=2,直接写出的长.

例7.(2024・广东深圳•二模)如图，在等腰直角。中，AB=BC=4,。为3C上一点，£为延长线

上一点，且ND/E=45。，AE=2AD,则.

A

■E

BDC

习题练模型

1.（23-24九年级•辽宁盘锦•开学考试）如图，在V/8C中，ZABC=45°,过点C作CD，于点。，过

点3作即/L/C于点连接MD,过点。作ZW，"D,交于点N.CD与3”■相交于点E,若点E是

CO的中点，则下列结论：①AC=BE；②DM=DN；③//MD=45。；@NE=3ME.其中正确的有（）

个.

2.（2022・湖南•中考真题）如图，点。是等边三角形A8C内一点，CM=2,08=1,0c=JL贝与

ASOC的面积之和为（）

A

A."B."C.—D.V3

424

3.（23-24九年级上•辽宁大连•期中）如图，在“3C中，AC=BC,ZACB=9G,4B=8,点D是边4B上

的一个动点，连接。，过点C作CELCD,使CE=CD,连接DE,点尸是的中点，连接CF并延长,

交边所在直线于点G,若3G=2,则的长为.

4.（23-24九年级上•广东深圳•期中）如图，等腰直角AA8C中，NB4C=90°,BC=6,过点C作CD_L3C,

CD=2,连接8。，过点。作CELBD,垂足为£,连接4E,则4E长为

A

ED

BC

5.（2024・河南周口•模拟预测）如图，AABC是等边三角形，43=6,点E是/A4c的平分线4D上的一动

点，连接CE,将点E绕点C顺时针旋转60。得到点尸，连接CF,BF.若△BC尸是直角三角形，则线段/E

的长为________

6.（2024•山东泰安•三模）将矩形绕点8顺时针旋转得到矩形48。，，点/、C、。的对应点分别

为4、G、口.如图，当4A过点C时，若BC=5,CD=3,则4/的长为.

7.（2023・湖北黄石•统考中考真题）如图，将Y4BCD绕点/逆时针旋转到二42'C'D'的位置，使点9落在8C

上，B'C'与CD交于点E若4B=3,AD=4,BE=3,则NB48'=（从“行，2,3”中选择一个符合

要求的填空）；DE=.

8.（2024•上海徐汇・九年级统考期末）如图，在必△/2C中，ZCAB=90°,点。为斜边8c上一点,

且3D=3CD,将△48。沿直线40翻折，点3的对应点为9，则s%/C2Z>=

9.（23-24九年级上•辽宁大连・期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1,^ABC

和△OCE是等边三角形，点2、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论

；（写出一对即可）

分线，且CD=DE.将线段NE绕点E顺时针旋转!a得到线段EP.当a=120。时，连接尸。，试判断线段

和线段5D的数量关系，并说明理由；①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段尸。和线

段2D的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；②小玲同学从

条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件a=120。，则//EP=60。，再通过“手拉手”模型，合理添加辅

助线，构造与△户0£全等的三角形来解决问题.

请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由.

【拓展延伸】（3）如下图，“8C中，当乙4=60。时，点。、E为ZC、上的点，CD=BE,ZCED=30°,

若BC=1,CE=5,求线段ED的长.

10.（23-24九年级下•四川达州・开学考试）已知，VABC与VADE都是等腰直角三角形，NA4C=ZDAE=90°,

AB>AD，连接8。，CE.

（1）如图1,求证AD=C£；（2）如图2,点。在VNBC内，B,D,£三点在同一直线上，过点A作V4DE的

高/〃，证明：BE=CE+2AH-（3）如图3,点。在V/BC内，AD平分/B4C,8。的延长线与CE交于

点尸，点尸恰好为CE中点，若8c=4,求线段的长.

11.（2023•河南新乡•模拟预测）问题发现：如图1,在△NBC中，AB^AC,/"。=60。，D为BC边上

一点（不与点8,C重合），将线段绕点/逆时针旋转60。得到NE,则:

（1）①//CE的度数是；②线段/C,CD,CE之间的数量关系是.

拓展探究：（2）如图2,在△/8C中，AB=AC,/8/C=90。,。为3c边上一点（不与点5,C重合），将线

段4D绕点/逆时针旋转90。得到/E,连接EC,请写出//CE的度数及线段4D,BD,CD之间得数量关

系，并说明理由；

解决问题：（3）如图3,在中，£>5=3,DC=5,NBDC=90。,若点N满足/B4c=90。,

请直接写出线段/。的长度.

12.（2024•河南新乡•模拟预测）问题发现：如图1,在A/BC中，AB=AC,NBAC=60。，D为BC边上

一点（不与点8,。重合），将线段ND绕点/逆时针旋转60。得到NE,贝IJ：

（1）①//CE的度数是；②线段NC,CD,CE之间的数量关系是.

拓展探究：（2）如图2,在△/8C中，AB=AC,/9°=90°，。为3C边上一点（不与点8,C重合），将线

段/。绕点/逆时针旋转90。得到/£,连接EC,请写出NNCE的度数及线段BD,CA之间得数量关

系，并说明理由；

解决问题：（3）如图3,在MAD3C中，DB=3,DC=5,ZBDC=90°,若点/满足NB4c=90°,

请直接写出线段的长度.

13.（2024・浙江绍兴•校考一模）【问题探究】（1）如图1,锐角4/台。中，分别以43、ZC为边向外作等腰

直角ZUBE和等腰直角A/CD,®AE=AB,AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,连接8。，CE,试猜想3。与

CE的大小关系，不需要证明.

【深入探究】（2）如图2,四边形/BCD中，45=5,BC=2,N4BC=NACD=N4DC=45。,求3ZA的值;

甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将8。进行转化再计算，请你准确

的叙述辅助线的作法，再计算；

【变式思考】（3）如图3,四边形N8CD中，AB=BC,N4BC=60。,N/£>C=30。，AD=6,BD=10,则

CD=.

14.（2024•江西・中考真题）综合与实践：如图，在Rta4BC中，点。是斜边N8上的动点（点。与点力不

重合），连接C。,以CD为直角边在的右侧构造RtzXCDE,NDCE=90°,连接BE,—=—=m.

CDCA

特例感知（1）如图1,当加=1时，5E与4D之间的位置关系是,数量关系是

类比迁移（2）如图2,当机W1时，猜想8E与/。之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.

拓展应用（3）在（1）的条件下，点尸与点C关于对称，连接。尸，EF,BF,如图3.已知/C=6,

设4D=x,四边形Q）尸E的面积为y.①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当5尸=2时，请

直接写出/。的长度.

15.（2024・广东深圳•模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点N旋转一个角度。（0°<6<180。）,

再将旋转后的多边形以点/为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为上称这种变

换为自旋转位似变换.若顺时针旋转，记作7（4顺仇左）；若逆时针旋转，记作7（4逆仇左）.

例如：如图①，先将"3C绕点3逆时针旋转50°,得到V43CI,再将V48cl以点2为位似中心缩小到原

来的玄，得到A&8C2,这个变换记作“昆逆50°,£）.

图③图④

⑴如图②，经过7（。,顺60。,2）得到△HQC,用尺规作出△HB'C.（保留作图痕迹）

（2）如图③，“8C经过7（民逆/幻得到经过7（C,顺△左2）得到△EDC,连接/£,AF.求

证：四边形4FDE是平行四边形.（3）如图④，在中，ZA^150°,AB=2,AC=\.若。3C经过（2）

中的变换得到的四边形AFDE是正方形，请直接写出NE的长.

16.（2024•黑龙江齐齐哈尔•三模）天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究:

（1）问题发现：如图1,在等边。8C中，点尸是边8C上任意一点，连接/P,以4P为边作等边△/尸0,

连接CQ.易证：8尸=_（2）变式探究：如图2,在等腰AASC中，4B=BC,点P是边BC上