2025年新高考数学专项复习：含参不等式的十大题型（原卷版）

专题2-1含参不等式的十大题型汇总

。常考题型目录

题型1含参一元二次不等式已解集问题.............................................5

题型2含参分式不等式已知解集问题................................................6

题型3含参绝对值不等式已知解集问题.............................................7

题型4一元二次方程根的分布......................................................8

题型5含参不等式取值范围问题....................................................9

题型6整数解问题...............................................................10

题型7恒成立问题...............................................................10

题型8有解问题.................................................................11

题型9与充分，必要条件结合的问题...............................................12

题型10高次不等式..............................................................13

Q知识梳理

知识点一.一元二次不等式的概念

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不

定义

等式

a/+bx+o0,a"+bx+c<0,a)^+bx+c>0+bx+c<0，其中a/0,

一般形式

a.b,c均为常数

知识点二.一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数片aa+bx+c,我们把使a兄+bx+c=0的实数x叫做二次函数y

=a/+bx+c的零点.

知识点三.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

判别式/>0/=0/<0

二次函数y=8解+1LP

即\12/"2XV

bx+4a>0）的图象X

有两个相等的实数

一元二次方程8解十有两个不相等的实

b没有实数根

bx+c=0（3>0）的本艮数根Xl,X2（X1<X2）根Ai二至二-

2a

+bx+o0(a>0)Ta

,或心及｝R

的解集

a/+bx+c<0(a>0)

及｝00

的解集

知识点四.一元二次不等式的解法

(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或

ax2+bx+c<0(a>0).

(2)求出相应的一元二次方程的根.

(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.

方程的根一函数草图-观察得解，对于a<0的情况可以化为a>0的情况解决

注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按

照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。

注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨

论，同时注意判别式韦达定理的应用。

注：三个"二次"之间的关系

(1).三个"二次"间的关系

判别式△=b2-4ac△>0△=0△<0

二次函数y=ax2+bx

+c(a>0)的图象A

有两相等实根X1=X

一元二次方程ax2+有两相异实根Xi,2

没有实数根

b

的根()

bx+c=0(a>0)X2X1<X2=-2a

ax2+bx+c>0(a>

伙仅>X2

R

或X<Xi}

0)的解集14:

ax2+bx+c<0(a>

{X[X1<X<X2}00

0)的解集

(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数

的图象及性质来解决问题，关系如下：

|.vO)(a-O)的解集端点|

|方程底+乐+。=03*0)的根H函数yn2+bx+HaWO)的零点|

特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式.

知识点五.解含参数的一元二次不等式的步骤

知识点六.分式不等式的解法

解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式

(1)>0>2B>0.(2)|<0Q<0.

⑶公。。方M明w。。窗制

【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0;当分母符号确定

时，可利用不等式的形式直接去分母。

知识点七.绝对值不等式

1.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

不等式a>0a=0a<0

冈<a(-a,a)00

冈“(-8,-a)U(a,+oo)(-8,0)U(0,+8)R

(2)|ax+b|<c(c>0)^|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法

①|ax+b|<c<^>-c<ax+b<c;

@|ax+b|2c=ax+b"或ax+bw-c.

(3)|x-a|+|x-b|>c(c>0)和|x-a|+|x-b|<c(c>0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用"零点分段法"求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

2.含有绝对值的不等式的性质

(1)如果a,b是实数，则|a+b|<|a|+|b|,当且仅当ab20时,等号成立；

(2)|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|;

⑶如果a,b,c是实数，那么|a-c|<|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)>0时，等号

成立.

注意：

1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.

2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.

3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|-|b141a土b|4|a|+|b|求函数最值，要注意其中等号成

立的条件.

但题型分类

题型1含参一元二次不等式已解集问题

【例题1】（多选）（2022秋•江苏常州•高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）若关于%的

不等式。<ax2+bx+c<l（a>0,b,ceR）的解集为[一1,2],则4a+5b+c的值可以是（）

A.-iB.-iC.-D.1

242

【变式1-1]1.（2023•全国•高一专题练习）已知一元二次不等式a/+bx+c>

0（a,b,ceR）的解集为{"一1<久<3},贝必一c+美勺最大值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【变式1-1]2.（2023・全国•高一专题练习）若不等式/—（a+i）x+a§。的解集是一娟]

的子集，则a的范围是（）

A.[-4,3]B.[-4,2]

C.[-1,3]D.[-2,2]

【变式1-1]3.（2022秋•上海普陀・高一曹杨二中校考阶段练习）已知关于x的不等式/—

2ax-8a2<。的解集为（/，上），若孙-=12,则实数a的值是（）

A.-2B.2C.±1D.一2或2

【变式1-U4.（2022秋・海南•高一校考期中）已知不等式a/+bx+c<。的解集为

{x\x<-3或无>4],求不等式b/+2ax-c-3b<0的解集.

【变式1-1】5.（2022秋•四川泸州•高一泸县五中校考阶段练习）已知关于x的不等式

ax2+4x—3>0的解集为{久Il<x<b}.

（1）求a力的值；

（2）解关于x的不等式注<0.

X—D

【变式1-1]6.（2021・高一课时练习）已知关于x的不等式。＜x2+ax+b＜6-x的解

集为[2,3]U{6},求实数a、b的值.

【变式1-1]7.（2020秋・安徽合肥•高一合肥一中校考阶段练习）关于%的不等式*++

c＜。的解集为（1,4）,则关于x的不等式c/+版+。＞o解集为.

【变式1-1]8.（2021・高一课时练习）已知关于x的不等式＞%+6的解集为（6,9）,则

a+b的值为.

题型2含参分式不等式已知解集问题

【例题2】2020秋•浙江宁波•高一宁波市北仑中学校考期中旧知关于%的不等式1＞0

的解集为（-2,0）,则a的值为（）

A.m=—1B.m=-2C.m=2D.m=—4

【变式2-1]1.（2020秋•宁夏银川•高二银川唐彳来回民中学校考阶段练习）已知关于%的不

等式蜉＜。的解集是（-1,》，则a的值为（）

A.2B.-2C.-D.—工

22

【变式2-1】2.（多选）（2023秋•江苏常州•高一常州市北郊高级中学校考期末）已知关于

x的不等式竺"＞。的解集为（-8,—2]u（1,+8）,则（）

x~c

A.c=1

B.点（a,6）在第二象限

C.2a+袍勺最小值为2

D.关于x的不等式a/+ax-b2。的解集为（一8,一2]U[1,+co）

【变式2-1]3.（2021秋・上海宝山・高一上海交大附中校考开学考试）若集合4=

[x＞0}=（-00,-1）U（4,+oo）,则实数a=.

【变式2-1]4.（2021・上海•高一专题练习）已知关于x的不等式三＜1的解集为{x|x＜l

或x>3},则a的值是一.

【变式2-1]5.(2023秋•宁夏吴忠・高三盐池高级中学校考阶段练习)(1)已知关于久的不

等式胃<-1的解集是[2,3),求a的值；

(2)若正数a,b满足a+2b=1,求2a+(+46+g的最小值.

题型3含参绝对值不等式已知解集问题

【例题3](2020春・浙江金华・高一校考阶段练习)若不等式|尤-2|<1的解集恰为不等式

ax2+bx+3<0的解集，贝！|a-b=()

A.3B.-3C.5D.-5

【变式3-1】1.(2023•高一课时练习)已知关于x的不等式m-|%|>。的解集是[-1,1],

则实数m的取值集合为()

A.{1}B.(1,+8)C.[1,+oo)D.(0,1)

【变式3-1]2.(2021秋・上海嘉定•高三校考期中)已知关于x的不等式柔<。的解集为

M,不等式|2x-1|<1的解集为N.

(1)若M=(-8,-2)U(-1,+8),求实数a的值和解集N.

(2)若"xeN"是"X6M"的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

【变式3-1]3.(2022秋・辽宁・高一辽宁实验中学校考阶段练习)已知不等式|2x-3|<x

与不等式—mx+n<。的解集相同.若a,b,cG(0,1),且ab+be+ac=m—n,则a+

b+c的最小值为

【变式3-1]4..(2023春・陕西渭南•高二统考期末)已知不等式|x-3|<4的解集为

{x\a<x<b},则不等式(x-2)(x2-ax-b+1)<。的解集为___.

【变式3-1]5.(2020春・江西上饶•高二统考期末)若关于久的不等式|ax-2|<3的解集

为｛%|—5V2<%<何，贝!]a=

题型4一元二次方程根的分布

【例题4】(2022秋・河南郑州•高一校考阶段练习)已知关于x的方程32+2+1=0有两个不

同实根巧盟，若⑶-冷区4,则实数a的取值范围是.

【变式4-1]1.(2023•全国•高三专题练习)已知方程2(k+l)x2+4日+3k-2=。有两

个负实根，则实数k的取值范围是()

A.(-2,-1)U(|/1)B.2,-1)

0•(〉1)口.卜2,—1)U(|,1]

【变式4-1]2.(2023秋•江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考开学考试)已知关于久的

方程3产—2(3k+l)x+31—1=o,根据下列条件,分别求出k的值.

Q)有一根为0；

(2)有两个互为相反数的实根；

(3)两根互为倒数.

【变式4-1]3.(2023•全国•高一专题练习)已知二次函数y=x2-2tx+t2-l(tGR).

(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式/—2S+/—120；

(2)若关于x的方程/-2坟+/—1=0的两个实根均大于-2且小于4,求实数t的取值范

围.

【变式4-1】4.(2022秋•全国•高一专题练习圮知关于久的方程/—(2爪+l)x+爪+7=。

有两个不等的实根久1,%2•

(1)两根一个根大于1,一个根小于1,求参数小的取值范围；

求参数的取值范围.

(2)1<<3,x2>4,zn

【变式4-1]5.(2020秋•四川遂宁•高一统考期中)已知二次函数f0)=ax2+x+l(a>0).

(1)求函数久)在区间[-4,-2]的最大值M(a)；

(2)若关于x的方程"")=。有两个实根叼、叼，且辽6[-i-,10],求实数a的最大值.

%2LIUJ

【变式4-1]6.(2020•高一课时练习)已知抛物线y=(m-l)x2+(m-2)x-l(x6R).

(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

(2)若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,

求m的取值范围.

题型5含参不等式取值范围问题

【例题5](2023秋•福建宁德•高三福建省宁德第一中学校考阶段练习)已知全集U=R,

非空集合

(1)当a=0寸,求(QB)nA；

(2)命题p:xGA,命题q:久eB,若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.

【变式5-1]1.(2022秋河南信阳・高一信阳高中校考阶段练习)已知全集U=R,非空集

合力==舍<0}

⑴当a=次寸，求(CuBCA)；

⑵命题p:久64,命题q:,若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.

【变式5-1]2.(2022秋广东佛山•高一校联考期中)关于x的不等式/—3-12a2<o的

任意两个解的差不超过14,贝必的最大值与最小值的差是.

【变式5-1】3..(2023•全国•高三专题练习)——

口2—1)<0},若Ac8=0,则实数a的取值范围是；

【变式5-1]4.(2023・全国•高一专题练习)若不等式/—①+1次+aw。的解集是[—4,3]

的子集，则a的范围是()

A.[-4,3]B.[-4,2]

C.[-1,3]D.[-2,2]

题型6整数解问题

【例题6】（2023・江苏•高一专题练习）若关于x的不等式（2久-I）2<a/的解集中的整数恰

有2个，则实数a的取值范围是.

【变式6-1]1.（2023秋・江苏镇江・高一扬中市第二高级中学校考开学考试）关于x的不等

式爪/+（2一m）x-2>。恰有三个整数解，则实数小的取值范围是.

【变式6-1]2.（2022秋•高一校考单元测试）已知关于x的不等式3/+（10-2a）x-6a+

3<0的解集中恰有5个整数解，则实数a的范围是:

【变式6-1]3.（2022秋・湖北武汉•高一校联考期中）若关于x的不等式（依-fc2-1）（%-

1）<0有且只有一个整数解，则实数k的取值范围是（）

A.{fc|3-V5<fc<1或4<fc<3+V5}B.{fc|0<fc<1}

C.{/c|2-V3</c<1或4</c<4+V3]D.[kI<k<等且k丰1}

【变式6-1】4.（2023-江苏•高一专题练习）已知关于x的不等式组

L27的整数解的集合为{—2},则实数k的取值范围是______.

I乙IzS/vID）XIO/v<U

【变式6-1]5.（2022秋•陕西西安・高一长安一中校考阶段练习）设关于x的不等式a7+

8（a+l）x+7a+1620,（aeZ）,只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式

的非负整数解的和为.

【变式6-1]6.（2023秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨三中校考开学考试）关于久的不等式

（2x+I）2<a/的整数解恰有3个，则实数a的取值范围是.

题型7恒成立问题

【例题7]（2022秋・浙江台州•高一校联考期中）若不等式2k/+2依-3<。对一切实数x

都成立，则k的范围是（）

A.(0,6)B.(-6,0)C.(-6,0]D.[0,6)

【变式7-1]1.（2023•全国•高一专题练习）若不等式mx2-2mx+l>。的解集为R,则

实数小的范围为（）

A.0<m<1B.m<0或HT>1

C.m<。或m>1D.0<m<1

【变式7-1]2.（2022秋•北京丰台•高一北京市第十二中学校考期中）若〃-2<x<m"

是〃/—%—6<0〃的一个必要不充分条件，则实数m的范围是（）

A.m>3B.m>3C.-2<m<3D.—2<m<3

【变式7-1]3.（2023•全国•高一专题练习）对VxeR,（a2-4）x2+（a+2）x-l<。恒成

立，则实数a的范围为

【变式7-1J4.（2023•全国模拟预测）已知a>0力>0卷+：=1写出满足加<a+2b"

恒成立的正实数血的一个范围是C用区间表示）.

题型8有解问题

【例题81（2022秋•江苏南通・高一江苏省南通中学校考阶段练习）若两个正实数x,y满足

+|=|且存在这样的x,y使不等式生+^</c2+2k有解，则实数k的取值范围是（）

A.（—2,4）B.（—4,2）

C.（―8,—4）U（2,+8）D.（―8,—3）U（0,+8）

【变式8-1]1.（2023・全国•高一专题练习）若关于x的不等式%2-6%+ll-a<。在区

间（2,5）内有解，则实数a的取值范围是（）

A.（—2,+oo）B.（3,4-00）c.（6,+oo）D.（2,+8）

【变式8-1】2.（多选）（2023秋•高一单元测试）若两个正实数x,y满足]+；=1,且不

等式x+J<m2-3爪有解，则实数小的值可以是（）

A.-2B.-1

C.3D.5

【变式8-1]3.(2023•全国•高一专题练习)已知函数f(%)=/+(3—a)x+2+2a+6,

a,bER.

(1)若关于x的不等式/O)>。的解集为<-4或x〉2},求实数a,6的值；

(2)若关于久的不等式/(X)Wb在xe[1,3]上有解，求实数a的取值范围；

(3)若关于光的不等式/'(>)<12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围.

【变式8-1]4.(2023•全国•高一专题练习)已知不等式/+px>4x+p-4.

(1)若不等式在2<%<4时有解,求实数p的取值范围；

(2)若不等式在0<p<6时恒成立，求实数x的取值范围.

【变式8-1]5.(2021秋•高一课时练习)设函数y=2x2+bx+c,若不等式y<0的解集

是{x[l<x<5},则y=；若对于任意1<x<3,不等式y<2+t有解，则实数珀勺

取值范围为.

题型9与充分，必要条件结合的问题

【例题9](2023秋•福建厦门•高三厦门市松柏中学校考阶段练习)若x>2m2—3是-1<

x<3的必要不充分条件，则实数m的范围是()

A.[-1,1]B.[-V3,V3]

C.(-CO,-1]u[1,+8)D.(—CO,—V3]U[V3,+8)

【变式9-1]1.(2023春•江苏无锡・高二江苏省江阴市第一中学校考阶段练习)不等式

2kx2+kx~l<。对一切实数X恒成立的k的取值集合为A集合B-ix\x2-mx-3<0}