2025年中考数学《圆的相关性质及计算证明》题型知识点讲解与练习（含答案解析）

圆的相关性质及计算证明（34题）

一、单选题

1.（2024・江苏无锡•中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为（）

A.6兀B.12兀C.15%D.24兀

【答案】B

【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面

积万x底面半径x母线长.

【详解】解：S刑j=万〃=万x3x4=12%，

故选：B.

2.（2024•甘肃•中考真题）如图，点/,B,C在。。上，ACLOB,垂足为。，若乙4=35。，则/C的度

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】A

【分析】根据乙4=35°得到ZO=70°,根据AC1OB得到ZCDO=90°,根据直角三角形的两个锐角互余,

计算即可.

本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键.

【详解】••・//=35。，

.-.ZO=70°,

■.■AC1OB,

20）0=90。，

ZC=90°-ZO=20°.

故选A.

3.（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在0。中，弦的长为8,圆心。到45的距离OE=4,则。。的

半径长为（）

C.5D.5亚

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到NE,再根据勾股定理求解即可.

【详解】解：,•,在。。中，弦42的长为8,圆心。到42的距离OE=4,

OEVAB,AE=-AB=A,

2

在RtZX/OE中，OA=sjOE2+AE1=742+42=472，

故选：B.

4.（2024•山东泰安・中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆。'的一个直径端点与半圆。的

圆心重合，若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（）

4/-42/-

A.一兀73B.-71C.一兀一73

333

【答案】A

【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面

积公式是关键.

如图：连接。4,A0',作48，。。于点2,得三角形是等边三角形，求出

AB=43,S弓形/O，=S扇形No。一SJOO,=与一6,再根据S阴影=S弓初+S扇形a。，即可解答.

【详解】解：如图：连接。4,AO,作于点8,

•••OA=OO'=AO'=2,

2

・・・三角形400'是等边三角形,

ZAOOf=60°,OB=-OOf=l

2f

•••AB=V22-l2=V3

2

60^x22X>/3x—

=V3,

,,S弓形4。S扇形40。—SAAOO,

36023

2%2TT4»

S阴影二S弓形40,+S扇形40。二H-----二—

333

故选：A.

5.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在扇形ZQ8中，4408=80。，半径04=3,。是々上一点，连

接0C,。是。。上一点，且。。=。。，连接即.若则就的长为（）

D.兀

【答案】B

【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质；连接3C,根据0D=DC,

BD10C,易证△08C是等腰三角形，再根据08=0C,推出△08C是等边三角形，得到4BOC=60。,

即可求出乙4。。=20。，再根据弧长公式计算即可.

【详解】解：连接3C,

0D=DC,BD10C,

OB=BC,

/XOBC是等腰三角形,

OB=OC,

：.OB=OC=BC,

△08C是等边三角形,

NBOC=60°,

•••NA0B=8。。,

ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

••・04=3,

.7一20~x3兀兀

••71C/---------=—,

1803

故选：B.

6.(2024・山东济宁•中考真题)如图，边长为2的正六边形48cAM内接于。。，则它的内切圆半径为

()

A.1B.2C.V2D.73

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；

连接04,。尸，作0GL4尸于G,证明A/O尸是等边三角形，可得尸G=；/斤=1,然后利用勾股定理求

出0G即可.

【详解】解：如图，连接。4,OF,作。G_L/尸于G,

•••OF=0A,ZAOF=36Q°x-=60°,

6

・・.△AO厂是等边三角形，

：.OF=OA=AF=2,

-OG1AF,

：.FG=-AF=\,

4

OG=y2~—l2=A/3，

即它的内切圆半径为有，

故选：D.

7.（2024・四川雅安・中考真题）如图，。。的周长为8万，正六边形48cM户内接于。O.贝心。48的面积

为（）

A.4B.4GC.6D.6也

【答案】B

【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键.

根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可.

【详解】解：设半径为「，由题意得，24=8%，

解得r=4,

■:六边形ABCDEF是OO的内接正六边形，

360°

ZAOB=^-=60°,

6

OA=OB,

是正三角形，

OAB=60°,

弦AB所对应的弦心距为04sin600=—OA=2y/3,

2

=gx4x26=45

故选：B.

8.（2024•山东泰安・中考真题）如图，4B是。O的直径，C,。是0。上两点，8/平分/C3D,若N/。。=50。,

则NN的度数为（）

cB

D

A.65°B.55°C.50°D.75°

【答案】A

【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据

圆周角定理得到=再根据圆周角定理得到//C8=90。，/ABC=NABD=；/AOD=25。,

然后利用三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解：••・BA平分ZCBD,

."ABC=ZABD,

•••48是。。的直径，ZAOD=50°,

ZACB=90°,/ABD=；/AOD=25。,则NN2C=25。，

ZA=180°-ZC-ZABC=180°-90°-25°=65°,

故选：A.

9.（2024•重庆・中考真题）如图，是。。的弦，交。。于点C,点。是。。上一点，连接2D,

CD.若NO=28。，则/048的度数为（）

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出NCO5,根据等腰三角

形的三线合一性质求出,等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可.

【详解】解:•.•/£>=28。,

ABOC=2ND=56°,

OC1AB,OA=OB,

.-.ZAOB=2ZBOC=n2°,NOAB=NOBA,

6

NOAB=1(180°-zL4<95)=34°

故选：B.

10.（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，。为48的中点，C为拱门最高

点，线段CQ经过拱门所在圆的圆心，若/8=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接先证明CD148,

=50=0.5,再进一步的利用勾股定理计算即可；

【详解】解：如图，连接CM,

为48的中点，。为拱门最高点，线段CQ经过拱门所在圆的圆心，AB=lm,

:.CDLAB,AD=BD=0.5,

设拱门所在圆的半径为厂，

OA=OC=r,而CD=2.5m,

OD=2.5-r,

1•,r2=0.52+（2.5-r）2,

解得：r=1.3,

•••拱门所在圆的半径为L3m；

故选B

11.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，A48c内接于OO,3C为。。的直径，4D平分/R4c交于

A.V2B.V3C.2V2D.2A/3

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅

助线为解题的关键.

作辅助线如图，先证明=//CD+448。=180。，从而可以得到旋转后的图形，再证明力/是

等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果.

【详解】解:如图，连接8。、CD,

•••BC是。。的直径，

ABAC=NBDC=90°,

•••40平分/R4C,

ZBAD=NCAD,

■■BD=DC>

；.BD=CD,

在四边形/HOC中，ABAC=ZBDC=90°,

.-.ZACD+ZABD=180°,

・•・△/DC绕。点逆时针旋转90。，则48,4三点共线，如图所示

,•・由旋转可知ZA'DB=ZADC,A'D=AD

ZA'DA=ZA'DB+ABDA=/ADC+ABDA=ZBDC=90°,

8

・・.在等腰直角三角形4"中，sinaT=sin45。=四亚

AAf2

AAfAB+AC

ADAD

故选：A

二、多选题

12.（2024•山东潍坊•中考真题）如图，0。是“3C的外接圆，AO//BC,连接C。并延长交。。于点

D.分别以点4c为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点直线交3c于

点、E,连接/E,下列结论一定正确的是（）

C.ZAOD=ABACD.四边形/OCE为菱形

【答案】ABD

【分析】本题主要考查圆的性质、圆周角定理、平行线的性质以及菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题

的关键.根据全等三角形的判定定理证明NOC4=N/CE,证明OC=CE=O/即可证明四边形NOCE为菱

形，再根据圆周角定理进行判定即可.

【详解】解：令/GOE交于点尸，

由题意得：。£是/C的垂直平分线，

EA=EC

:AO=OC

:./\AOE^/\COE

ZAOE=ZCOE

\-OF=OF,AO=AO

.△AOF知COF

...ZOAF=ZOCF

•••AO//BC,

NOAF=NACE

/OCA=NACE

2S=2D＞选项A正确；

ZOCF=NECF,ZOFC=NEFC=90°,CF=CF

:MEFC'OFC

OC=CE=OA

■：AO//EC

故四边形/OCE为菱形，选项D正确；

:前=筋，

AB=AD

■：四边形AOCE为菱形，AE=OC=OD

，四边形ZE。。为平行四边形，

AD=OE

AB=OE,选项B正确；

ZAOD=ZOAE,故选项C错误；

故选ABD.

三、填空题

13.（2024•江苏常州•中考真题）如图，48是。。的直径，C。是。。的弦，连接/D、BD.若

/BCD=20°,则a4AD=°.

【答案】70

【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角,结合三角形的内

角和定理，进行求解即可.

【详解】解：:/B是0。的直径，BD=BD，/BCD=20。,

NADB=90°,NN=NBCD=20°,

10

.•.//3D=90°-20°=70°；

故答案为：70.

14.（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成

一个底面半径为5cm,母线长为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是cn?（结果用含兀

的式子表示）.

【答案】60%

【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面

积公式计算即可.

【详解】解：•.・底面半径为5cm,

二圆锥底面圆的周长为2万x5=107r（cm）,

即扇形纸片的弧长为10%cm,

♦.•母线长为12cm,

圆锥的侧面积gxl2xl0万=60）（cm?）.

故答案为：60万

15.（2024•湖南长沙•中考真题）半径为4,圆心角为90。的扇形的面积为（结果保留兀）.

【答案】4兀

【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式S=%匚（"为圆心角的度数，/为半径）求解即

360

可.

【详解】解：由题意，半径为4,圆心角为90。的扇形的面积为止始=4兀，

360

故答案为：4无.

16.（2024•甘肃兰州•中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用,

图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中（W,ON的半径分别是1cm和

10cm,当。河顺时针转动3周时，ON上的点尸随之旋转"。，则〃=.

p

M

N

图1图2

【答案】108

【分析】本题主要考查了求弧长.先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解.

【详解】解：根据题意得：点尸移动的距离为3x2乃xl=61cm,

n°x7rxl0,

---------------二6万,

180

解得：n=108.

故答案为：108

17.（2024•江苏盐城•中考真题）如图，“3C是。。的内接三角形，ZC=40°,连接04OB,则

【分析】本题考查主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理计算

出乙4O8=2/C=80。，再根据等边对等角得出=员4,最后利用三角形内角和定理即可求出

ZOAB.

【详解】解：：NC=40。,

ZAOB=2ZC=80°,

•••OA=OB,

ZOAB=NOBA,

ZOAB+NOBA+ZAOB=180°,

ZOAB=；(180。-NN08)=gx(180。-80。)=50°,

故答案为：50.

18.（2024•江苏连云港•中考真题）如图，是圆的直径，Nl、N2、/3、N4的顶点均在42上方的圆

12

弧上，Nl、N4的一边分别经过点/、B,贝!]/1+/2+/3+/4=

【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为180。，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即

可.

【详解】:/B是圆的直径，

.•.48所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180。，

••■ZKN2、N3、N4所对的弧的和为半圆，

.­.Zl+Z2+Z3+Z4=-xl80°=90°,

2

故答案为：90.

19.（2024・四川资阳・中考真题）如图，在矩形/3CD中，48=4,40=2.以点A为圆心，4D长为半

径作弧交48于点£,再以N8为直径作半圆，与靛交于点尸，则图中阴影部分的面积为.

【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法

求阴影部分的面积.

设弓形/mF,连接4月，FE,由题意知/石二/斤二房二？，即△/FE为等边三角形，

AFAE=AFEA=60°,即可得出阴影部分面积为%=s半圆一s扇形。庄—S弓形4机尸,代入数值即可求出结果.

【详解】解：••・以点A为圆心，4D长为半径作弧交AB于点£,48=4,AD=2,

*'-AE=AD=BE=2,

.・•以42为直径作半圆时，圆心为点E,

设弓形/mF,连接4月，FE,^AE=AF=FE=2,如图：

AAFE为等边三角形,

NFAE=ZFEA=60°,

故阴影部分面积为“=S半圆一S扇形OFE—S弓形4机尸，

八、、皿c1cc60Kx22(60Kx22VJ一、仄2

代入数值可得S阴=]x2x2兀————x2=y/3+—7i,

故答案为百十§兀.

20.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出:

作等边三角形/BC；分别以点A,B,。为圆心，以45的长为半径作前，就，AB.三段弧所围成的

图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为3兀，则它的面积是,

2

【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果

周长为3兀，则其中的一段弧长就是兀，所以根据弧长公式可得/5=ZC=3C=3,即正三角形的边长为

3.那么曲边三角形的面积=三角形的面积十三个弓形的面积，从而可得答案.

【详解】解：:曲边三角形的周长为3兀，为等边三角形，

•••AB=BC=AC,AB=BC=AC,ZABC=60°,

60K-AB3兀

-------=—=兀,

180----3

/.AB=BC=AC=3,

,^-ABBC-sinZABC=7,

HAUsrL24

__60TTX32_3^9G

..D弓形_D扇形CZB-、"BC2，

日士一行皿钻的加.973(3719Gl971-973

「•曲边二角形的面积为：——+3x—------—=——-——.

4242

7

14

9万+9如

故答案为:

2

21.（2024・重庆•中考真题）如图，48是。。的直径，8C是。。的切线，点5为切点.连接NC交0。于

点。，点E是。。上一点，连接BE,DE,过点A作4F〃8E交AD的延长线于点F.若BC=5,

CD=3,NF=NADE,则的长度是；。尸的长度是.

……20“28,

【答案】—/6-

【分析】由直径所对的圆周角是直角得到/">3=/瓦3=90。，根据勾股定理求出2。=4,则

CD3

cosC=——=-,由切线的性质得到/A8C=90。，则可证明/C=448D,解直角三角形即可求出

BC5

DTJ20

AB=——-—=—；连接ZE,由平行线的性质得到N24F=N4BE,再由/尸=乙4。£,

cosZABD3

on208

ZADE=ZABE,推出N尸=/胡尸，得到=一，贝I」。尸=-8。=——4=-.

333

【详解】解：是0。的直径,

ZADB=ZBDC=90°,

在RMBDC中，由勾股定理得8£)=，国产一。2=4,

cCD3

**•cosC——,

BC5

・・・8C是。。的切线，

・•・/ABC=90°,

・•.ZC+ZCBD=ZCBD+ZABD=90°,

/C=/ABD,

,BD420

在中，cosZABD33；

5

如图所示，连接4E,

FC

,♦AF〃BE，

・•・ZBAF=ZABE，

•••ZF=ZADE,ZADE=AABE,

・•・ZF=/BAF，

onQ

故答案为：—;—.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解

直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明=尸是解题的关键.

22.（2024・山东•中考真题）如图,“BC是。。的内接三角形，若。/〃C3,//C3=25°,则ZCAB=.

【答案】40。/40度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出

2）。8的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出N048的度数，利用平行线的性质求出/CMC

的度数，即可求解.

【详解】解:连接

16

•・・NACB=25。,

・•.AAOB=2NACB=50°,

,/OA=OB,

AOAB=AOBA=1(180°-ZAOB)=65°,

•••OA//CB,

ZOAC=ZACB=25°,

"CAB=ZOAB-AOAC=40°,

故答案为：40°.

23.(2024•山东泰安•中考真题)如图，48是。。的直径，4H是0。的切线，点。为。。上任意一点，

点。为灰的中点，连接2。交NC于点E,延长3。与2H相交于点尸，若。尸=1,tan2=g,则NE的长

【答案】V5

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是

解题关键.

先证NDN尸=N/AD可得“14尸SA/%/从而得到空=5|=tan8=!,求得40=2,再运用勾股定理可

ADBD2

得”=布,再根据圆周角定理以及角的和差可得N4£D=N4TO,最后根据等角对等边即可解答.

【详解】解：•・•45是。。的直径，

・•・/ADB=90。,

•・・/〃是。。的切线，

ZBAF=90°f

ZDAF=ZABD=90°-/DAB,

•••ADAFs^DBA，

DF型=ta"

~ADBD2

•：DF=\,

***AD=2,

AF=也,

,点。为左的中点，

；・石=五,

ZABD=ADAC=ZDAF,

•••ZADE=NADF=90°,

,­,90°-NDAE=90°-ZDAF,即ZAED=ZAFD,

AE=AF=y[5■

故答案为：V5.

24.（2024・四川巴中•中考真题）如图，四边形/BCD是。。的内接四边形，若四边形。N2C为菱形，则//DC

的度数是.

【答案】60°

【分析】根据菱形的性质得到乙42C,根据圆周角定理得到〃LDC=；4OC,根据圆内接四边形

的性质得到乙4DC+乙48c=180。，计算即可.

【详解】解：•••四边形。N2C为菱形，

；.UOC=UBC,

由圆周角定理得：^ADC=^^AOC,

,•,四边形ABCD为OO的内接四边形，

.■■/-ADC+/-ABC^1SO0,

：.AADC+2^ADC=1SQ°,解得：AADC=60°,

故答案为：60°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是

解题的关键.

18

25.（2024•重庆・中考真题）如图，以N8为直径的0。与/C相切于点A,以/C为边作平行四边形

ACDE,点。、£均在。。上，DE与4B交于点F,连接CE,与。。交于点G,连接。G.若

AB=10,DE=8,则/尸=______DG=.

【答案】8竺叵/型年

1313

【分析】连接。。并延长，交。。于点〃，连接而，设CE、4B交于点M,根据四边形/CDE为平行四

边形，得出生〃ZC,/C=DE=8,证明月3LOE,根据垂径定理得出。尸=跖=1。£=4,根据勾股

2

）---------EFFM

定理得出。尸=:。。2_。尸2=3,求出/尸=。4+。9=5+3=8；证明AER0sAe得出——=——,

ACAM

求出可w=|,根据勾股定理得出EM=JEF?+FM2=12+1|J证明A瓦7MSAHGD,得出

【详解】解：连接。。并延长，交。。于点8,连接曲，设CE、交于点M,如图所示:

•••以AB为直径的OO与AC相切于点/,

：.AB1AC,

：.ZCAB=90°,

,•・四边形/CQE为平行四边形，

:.CE〃AC、AC=DE=8,

；./BFD=/CAB=9。。,

・•・ABLDE,

：.DF=EF=LDE=4,

2

•・•AB=\Q,

：.DO=BO=AO=-AB=5,

2

-0F=yj0D2-DF2=3^

・•.AF=OA+OF=5+3=8；

•:CE"AC,

・•・八EFMs^CAM，

EF_FM

~AC~^M

.4FM

"8-AF-FM

即丁FM

8—FM

Q

解得：FM=—,

3

■■EM=ylEF2+FM2=FI#

・・・OH为直径，

；./DGH=90。,

/DGH=/EFM,

,-DG=DG,

:・/DEG=/DHG,

AEFMS^HGD,

FMEM

DGDH

84后

即J_=H，

DG10

解得：DG=3巫.

13

故答案为：8；型姮.

13

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相

似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.

四、解答题

20

26.(2024•四川南充•中考真题)如图，在。。中，AB是直径，NE是弦，点尸是标上一点，AF=BE,

厂交于点C,点。为时延长线上一点，且NC4O=/C1.

⑵若BE=4,AD=2下,求。。的半径长.

【答案】(1)见解析

(2)275

【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：

(1)圆周角定理推出=mZCAD=ZCDA,结合三角形的内角和定理，推出

ZBAE+ZCAD=90°,即/84D=90。,即可得证；

(2)连接4F,易得AF=BE=4,直径得到//3=90。,在RM4D尸中，勾股定理求出。尸的长，三角函

数求出N8的长即可.

【详解】(1)证明：•.•//=2E

AF=BE,

ZABF=ZBAE.

ZCAD=ZCDA,ZADC+NABF+ZBAE+ACAD=180°,

ZBAE+ZCAD=90°.

即/5/。=90。，

/.ADLAB.

又・・・CM为半径，

二力。是。。的切线.

(2)解：连接，尸.

•・•BE=4

・•・AF=BE=4.

•••45是直径,

:.ZAFB=90°,

:./AFD=90°.

在RM4D/中，DF=yjAD2-AF2=2-

「ABAF

•：tanD=-----=-----,

ADDF

AB_A

,',2V5=25

AB=4卮

又N8是直径

二。。的半径长为2VL

27.(2024・辽宁•中考真题)如图，。。是的外接圆，48是。。的直径，点。在前上，AC^BD，

E在A4的延长线上，ACEA=ACAD.

(1)如图1,求证：CE是0。的切线；

(2)如图2,若NCEA=2NDAB,OA=8,求丽的长.

【答案】(1)见详解

(2)2万

【分析】（1）连接CO,则/1=/2,故/3=/1+/2=2/2,由就=筋，得到N4=N2,而

N4CB=90°,则/C/D+2/2=90°,由NC£/=Na。，得/CE/+2/2=90°,因此/C£/+/3=90°,

故NECO=90。，则CE是。。的切线；

22

90°

(2)连接C。,。。，可得23=2/2=2/4=/旧，贝|/3=/g=可=45。，故/4=22.5。，由

45x77xR

BD=BD，得4>03=2/4=45。，那么防长为、。八=2万.

lo(J

【详解】(1)证明：连接co,

vOC=OB,

・•・/1=/2,

.・./3=/1+/2=2/2,

AC=BD，

・•・N4=N2,

45为直径，

：.ZACB=90°,

.-.ZC4D+24+22=90°,即+2/2=90。,

•・•ACEA=/CAD,

・・・/CE4+2/2=90。，

.*.ZCEz4+23=90°,

・・・/ECO=90°,

・•・OCLCE,

・・・C£是。。的切线；

(2)解：连接C。,。。，

由(1)得/3=2/2=2/4,

•・•ACEA=2/DAB,

・・・/CEA=/3,

•・•NECO=90。,

90°

,-.Z3=ZCEA=——=45。

2

.・・/4=22.5°,

BD=BD，

・・.ZDOB=2/4=45。，

...防长为：竺q=2万.

180

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正

确添加辅助线是解决本题的关键.

28.(2024•江苏无锡•中考真题)如图，48是。。的直径，A/CD内接于。。，CD=DB，AB,CD的延

长线相交于点E,且。回=功.

⑴求证：Z\CADs/\CEA；

⑵求//DC的度数.

【答案】(1)见详解

(2)45°

【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等

知识，掌握这些性质是解题的关键.

(1)由等弧所对的圆周角相等可得出=再由等边对等角得出=等量代换可得

出NCAD=NE,又/C=/C,即可得出AC40s△c£4.

(2)连接8D,由直径所对的圆周角等于90。得出=90。，设NC4D=ND4B=a,即/C/E=2a,

由相似三角形的性质可得出ZADC==2a,再根据圆内接四边形的性质可得出2a+2a+90。=180°,

即可得出a的值，进一步即可得出答案.

【详解】⑴证明：-：CD=DB

:"CAD=/DAB,

24

-■DE=AD,

■■■NDAB=NE,

"CAD=ZE,

又"

二△CADSMEA,

(2)连接8。，如下图：

,••48为直径，

：.ZADB=9Q°,

设NC4D=/DAB=a,

■■NCAE=2a,

由(1)知：^CAD^ACEA

；./ADC=ACAE=la,

•.,四边形42OC是圆的内接四边形,

；.NC4B+NCDB=180。,

即2«+2«+90°=180°,

解得：a=22.5°

/ADC=ZCAE=2x22.5°=45°

29.（2024•山东潍坊•中考真题）【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方

形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适

的安装方案.

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面.喷洒覆盖率Q=8,s为待喷洒区域面积，k

S

为待喷洒区域中的实际喷洒面积.

图1

【数学建模】

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

【探索发现】

(1)如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率。=

9

(2)如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为:m的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半

2

9

径均为3m的自动喷洒装置；……，以此类推，如图5,设计安装二个喷洒半径均为-m的自动喷洒装

n

置.与(1)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判

断并给出理由.

(3)如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率

0=1.已知/E=AF=CG=Z>77,设4E=x(m),的面积为了(0?),求了关于x的函数表达式，并求

当了取得最小值时『的值.

26

(4)该公司现有喷洒半径为3亚m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷

洒覆盖率夕=1?(直接写出结果即可)

【答案】(1)0.785；(2)不能，理由见解析；(3)y=g(x-9y+塔；当>取得最小值时厂=%旦；(4)

222

9

【分析】(1)根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；

(2)根据(1)的方法求得喷洒覆盖率即可求解；

(3)根据勾股定理求得X，，•的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可

求解；

(4)根据(3)的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为3亚m的圆的内接正方形

的边长为6,进而将草坪分为9个正方形，即可求解.

【详解】(1)当喷洒半径为9m时，喷洒的圆面积s=%/=»x92=8brm2.

正方形草坪的面积S=/=18?=324m?.

故喷洒覆盖率P6=誓=白0.785.

s3244

(2)对于任意的〃，喷洒面积左,="2万(2)2=8反而草坪面积始终为324m2.

n

因此，无论“取何值，喷洒覆盖率始终为0.785.

这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用.

(3)如图所示，连接所，

1,其中s为草坪面积，上为喷洒面积.

s

OQ,QO2,O<?3,。。4都经过正方形的中心点o,

在Rt八AEF中，EF=2r,AE=x,

•・•AE=BF=CG=DH

/.AF=18—x,

在RS4E产中，AE2+AF2=EF2

A4r2=x2+(18-x)2

2%2+fl8—x)

•••y=7ir=-------------------兀

4

・•・当x=9时，y取得最小值,此时4-2=92+92

解得：/=逑

2

(4)由(3)可得，当的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，

则当r=3万m时，圆的内接正方形的边长为巫x2x3后=6m

2

1Q

而草坪的边长为18m,—=3,即将草坪分为9个正方形，将半径为3亚m的自动喷洒装置放置于9个正方

6

形的中心，此时所用装置个数最少，

二至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率夕=1

【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然

后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积

和喷洒半径之间的函数关系.解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率

28

的计算问题转化为面积计算和函数求解问题.同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识,

如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等.最后，还需要注意将数学计算结果还原为实

际问题的解决方案.

30.（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，/3。中，/4CB=90°,点。为/C边上一点，以点。为圆心,

0c为半径作圆与相切于点。，连接CD.

⑴求证：AABC=2.ZACD；

（2）若ZC=8,BC=6,求。。的半径.

【答案】（1）证明见解析

⑵3

【分析】（1）连接根据题意可得/。以=90。，根据余角的性质可得=根据圆周角定

理可得4=等量代换即可得证；

（2）在RtZUBC中，勾股定理求得45=10,证明RtAODBgRMOC/HL）,设。。的半径为心贝U

OD=OC=r,CM=8f,在Rt“OD中，r2+42=（8-r）\解方程即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接。。，

•••48为切线，

ODLAB,

.\ZODA=90°,

•.ZA+ZAOD=90°f

-ZACB=90°f

.-.ZABC+ZA=90°

・・.ZAOD=/ABC,

-ZAOD=2ZACD,

NABC=2ZACD.

(2)解：在RtZk48C中，AB=~JBC2+AC2=A/62+82=10-

•••AOCB=90°=NODB,

在RtZ\OD8和Rt^OCH中，OD=oc,OBOB,

：.RtziOOB也RtAOCB（HL）,

•••BD=BC=6,

AD=AB—BD=4,

设OO的半径为八则。。=OC=r,04=8-r,

在RM/OD中，r2+42=（8-r）\

解得r=3,

...O。半径的长为3

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知

识是解题的关键.

31.（2024・四川泸州•中考真题）如图，AA8C是。。的内接三角形，N8是0。的直径，过点3作。。的

切线与4c的延长线交于点。，点E在。。上，AC=CE,CE交AB于点、F.

⑴求证：NCAE=ND；

（2）过点C作CG_L48于点G,若。/=3,BD=3日求尸G的长.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到/BCD=90。，则/D+